2022年河南省焦作市新宇高級中學高二數(shù)學理測試題含解析

2022年河南省焦作市新宇高級中學高二數(shù)學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.四面體ABCD的四個頂點都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，△BCD是邊長為3的等邊三角形．若AB=2，則球O的表面積為（）A．4π B．12π C．16π D．32π參考答案：C【考點】球的體積和表面積．【分析】取CD的中點E，連結(jié)AE，BE，作出外接球的球心，求出半徑，即可求出表面積．【解答】解：取CD的中點E，連結(jié)AE，BE，∵在四面體ABCD中，AB⊥平面BCD，△BCD是邊長為3的等邊三角形．∴Rt△ABC≌Rt△ABD，△ACD是等腰三角形，△BCD的中心為G，作OG∥AB交AB的中垂線HO于O，O為外接球的中心，BE=，BG=，∴R=2．四面體ABCD外接球的表面積為：4πR2=16π．故選：C．【點評】本題考查球的內(nèi)接體知識，考查空間想象能力，確定球的切線與半徑是解題的關(guān)鍵．2.如圖是函數(shù)的導函數(shù)的圖象，則下面判斷正確的是A．在區(qū)間上是增函數(shù)B．在上是減函數(shù)C．在上是增函數(shù)

D．當時，取極大值

參考答案：C略3.由曲線xy=1,直線y=x,y=3所圍成的平面圖形的面積為（）A． B．ln3 C．4+ln3 D．4ln3參考答案：D4.直線的傾斜角為(

)A

B

C

D

參考答案：D5.假設(shè)你家訂了一份牛奶，奶哥在早上6：00﹣﹣﹣7：00之間隨機地把牛奶送到你家，而你在早上6：30﹣﹣﹣7：30之間隨機地離家上學，則你在離開家前能收到牛奶的概率是（）A． B． C． D．參考答案：D【考點】CF：幾何概型．【分析】設(shè)送報人到達的時間為x，此人離家的時間為y，以橫坐標表示報紙送到時間，以縱坐標表示此人離家時間，建立平面直角坐標系，作圖求面積之比即可．【解答】解：設(shè)送奶人到達的時間為x，此人離家的時間為y，以橫坐標表示奶送到時間，以縱坐標表示此人離家時間，建立平面直角坐標系（如圖）則此人離開家前能收到牛奶的事件構(gòu)成區(qū)域如圖示∴所求概率P=1﹣=；故選：D．【點評】本題考查幾何概型的會面問題，準確作圖利用面積作為幾何測度是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．6.設(shè)O－ABC是正三棱錐，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一點，且OG＝3GG1，若則（x，y，z）為參考答案：A略7.非空數(shù)集A={a1，a2，a3，…，an}（n∈N*）中，所有元素的算術(shù)平均數(shù)記為E（A），即E（A）=．若非空數(shù)集B滿足下列兩個條件：①B?A；②E（B）=E（A），則稱B為A的一個“保均值子集”．據(jù)此，集合{1，2，3，4，5}的“保均值子集”有（）A．5個 B．6個 C．7個 D．8個參考答案：C【考點】子集與交集、并集運算的轉(zhuǎn)換；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)．【分析】根據(jù)集合A和“保均值子集”的定義把集合的非空真子集列舉出來，即可得到個數(shù)．【解答】解：非空數(shù)集A={1，2，3，4，5}中，所有元素的算術(shù)平均數(shù)E（A）==3，∴集合A的“保均值子集”有：{3}，{1，5}，{2，4}，{3，1，5}，{3，2，4}，{1，5，2，4}，{1，2，3，4，5}共7個；故選C．8.已知命題p：x＜1；命題q：不等式x2+x﹣2＜0成立，則命題p的（）是命題q．A．充分而不必要條件 B．充要條件C．必要而不充分條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A【考點】2L：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】對于命題q：解出不等式，即可判斷出關(guān)系．【解答】解：命題p：x＜1；命題q：不等式x2+x﹣2＜0成立，解得：﹣2＜x＜1．則命題p的充分不必要條件是命題q．故選：A．【點評】本題考查了不等式的解法、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．9.若函數(shù)，則(

)A．

B．

C．

D．參考答案：B略10.我們把離心率為黃金分割系數(shù)的橢圓稱為“黃金橢圓”.已知“黃金橢圓”C的中心在坐標原點，F(xiàn)為左焦點，A，B分別為右頂點和是上頂點，則（

）A.30° B.45° C.60° D.90°參考答案：D【分析】設(shè)出橢圓的方程，根據(jù)題意寫出A,B,F的坐標，利用向量與向量乘積為0，得到.【詳解】設(shè)橢圓的方程為，由已知，得則離心率即故答案選D【點睛】本題主要考查了橢圓的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如右圖，將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣：按照以上排列的規(guī)律，第行（）從左向右的第3個數(shù)為

.參考答案：略12.已知是拋物線上的焦點，是拋物線上的一個動點，若動點滿足，則的軌跡方程是_____________.參考答案：略13.點為定點，點是拋物線的焦點，點在拋物線上移動，若取得最小值，則點的坐標為

。參考答案：（1,2）14.若有極大值和極小值，則的取值范圍是__參考答案：或

15.已知數(shù)列

參考答案：500016.若圓錐的全面積是底面積的倍，則它的側(cè)面展開圖的圓心角是

．參考答案：17.已知：（x+2）8=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a8（x+1）8，其中ai=（i=0，1，2…8）為實常數(shù)，則a1+2a2+…+7a7+8a8=．參考答案：1024【考點】二項式定理的應(yīng)用．【分析】把所給的等式兩邊分別對x求導數(shù)，可得8（x+2）7=a1+2a2（x+1）+…+7a7（x+1）6+8a8（x+1）7，再令x=0，可得則a1+2a2+…+7a7+8a8的值．【解答】解：∵[1+（x+1）]8=a0+a1（x+1）+…+a8（x+1）8，其中ai=（i=0，1，2…8）為實常數(shù)，兩邊分別對x求導數(shù)，可得8（x+2）7=a1+2a2（x+1）+…+7a7（x+1）6+8a8（x+1）7，再令x=0，可得則a1+2a2+…+7a7+8a8=8?27=1024，故答案為：1024．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知，橢圓C過點A，兩個焦點為（﹣1，0），（1，0）．（1）求橢圓C的方程；（2）E，F(xiàn)是橢圓C上的兩個動點，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個定值．參考答案：【考點】橢圓的應(yīng)用；橢圓的標準方程；直線與圓錐曲線的綜合問題．【專題】計算題；壓軸題．【分析】（Ⅰ）由題意，c=1，可設(shè)橢圓方程代入已知條件得，求出b，由此能夠求出橢圓方程．（Ⅱ）設(shè)直線AE方程為：，代入得，再點在橢圓上，結(jié)合直線的位置關(guān)系進行求解．【解答】解：（Ⅰ）由題意，c=1，可設(shè)橢圓方程為，解得b2=3，（舍去）所以橢圓方程為．（Ⅱ）設(shè)直線AE方程為：，代入得設(shè)E（xE，yE），F(xiàn)（xF，yF），因為點在橢圓上，所以由韋達定理得：，，所以，．又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數(shù)，在上式中以﹣K代K，可得，所以直線EF的斜率即直線EF的斜率為定值，其值為．【點評】本題綜合考查直線與橢圓的位置關(guān)系，解題時要認真審題，仔細解答，避免出錯．19.如圖，已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的四個頂點分別是A1，A2，B1，B2，△A2B1B2是邊長為2的正三角形，其內(nèi)切圓為圓G．（1）求橢圓C及圓G的標準方程；（2）若點D是橢圓C上第一象限內(nèi)的動點，直線B1D交線段A2B2于點E．（i）求的最大值；（ii）設(shè)F（﹣1，0），是否存在以橢圓C上的點M為圓心的圓M，使得過圓M上任意一點N，作圓G的切線（切點為T）都滿足=？若存在，請求出圓M的方程；若不存在，請說明理由．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】（1）由△A2B1B2是邊長為2的正三角形，可得b=，，即可得出橢圓C的標準方程．設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，則，即可得出內(nèi)切圓G的標準方程．（2））（i）設(shè)直線B1D的方程為：y=kx﹣，．與橢圓的方程聯(lián)立解得D，可得|DB1|．直線A2B2的方程為：，與y=kx﹣聯(lián)立解得E．可得|EB1|．可得=，變形利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．（ii）假設(shè)存在以橢圓C上的點M為圓心的圓M，使得過圓M上任意一點N，作圓G的切線（切點為T）都滿足=．當切點為點O時，由=，可得N（0，±1），由此可得只有可能M（±3，0）．其圓M的方程為：（x﹣3）2+y2=10，或（x+3）2+y2=10（舍去）．證明即可．【解答】解：（1）∵△A2B1B2是邊長為2的正三角形，∴b=，=3，=．∴橢圓C的標準方程為：．設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，則=1．∴內(nèi)切圓G的標準方程為（x﹣1）2+y2=1．（2）（i）設(shè)直線B1D的方程為：y=kx﹣，．聯(lián)立，化為，解得D，∴|DB1|==．直線A2B2的方程為：，聯(lián)立，解得E．∴|EB1|==．∴==≤1+=，當且僅當時取等號．∴的最大值為．（ii）假設(shè)存在以橢圓C上的點M為圓心的圓M，使得過圓M上任意一點N，作圓G的切線（切點為T）都滿足=．當切點為點O時，由=，可得N（0，±1），由此可得只有可能M（±3，0）．其圓M的方程為：（x﹣3）2+y2=10，或（x+3）2+y2=10（舍去）．下面證明：設(shè)N，則|NF|2﹣2|NT|2=|NF|2﹣2（|NG|2﹣1）=﹣2=16+10+8cosθ﹣2=0，∴．因此存在以橢圓C上的點M（3，0）為圓心的圓M，其圓M的方程為：（x﹣3）2+y2=10，使得過圓M上任意一點N，作圓G的切線（切點為T）都滿足=．20.在我市“城鄉(xiāng)清潔工程”建設(shè)活動中，社會各界掀起美化環(huán)境的熱潮.某單位計劃在小區(qū)內(nèi)種植A，B，C，D四棵風景樹，受本地地理環(huán)境的影響，A，B兩棵樹成活的概率均為，C，D兩棵樹成活的概率為a(0<a<1),用表示最終成活的樹的數(shù)量.（1）若A，B兩棵樹有且只有一棵成活的概率與C，D兩棵樹都成活的概率相等，求a的值；（2）求的分布列（用a表示）；（3）若A，B，C，D四棵樹中恰有兩棵樹成活的概率最大，求a的范圍.參考答案：（1）由題意有：（2）的可能取值有0，1，2，3，4.所以的分布列為01234P(3)由0<a<1,所以，所以有得a的取值范圍是略21.已知圓C：x2+y2﹣8y+14=0，直線l過點（1，1）（1）若直線l與圓C相切，求直線l的方程；（2）當l與圓C交于不同的兩點A，B，且|AB|=2時，求直線l的方程．參考答案：【考點】直線與圓的位置關(guān)系．【專題】計算題；分類討論；綜合法；直線與圓．【分析】（1）確定圓心與半徑，利用直線l與圓C相切，分類討論，即可求直線l的方程；（2）由，得d=1，分類討論，即可求出直線l的方程．【解答】解：（1）圓C：x2+y2﹣8y+14=0，配方，得x2+（y﹣4）2=2，圓心C（0，4），半徑，①當直線l的斜率不存在時，l：x=1，此時l不與圓相切．

2分②若直線l的斜率，設(shè)l：y﹣1=k（x﹣1），由得k=7或﹣1，所以直線方程為7x﹣y﹣6=0或x+y﹣2=0（2）由，得d=1，①若當直線l的斜率不存在時，l：x=1，滿足題意

②若直線l的斜率存在，設(shè)l：y﹣1=k（x﹣1）由得，此時l：4x