平行四邊形-2023年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（全國通用）

考向24平行四邊形

【考點梳理】

1、平行四邊形：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。

2、平行四邊形的性質(zhì)

(1)平行四邊形的鄰角互補，對角相等。

(2)平行四邊形的對邊平行且相等。

(3)平行四邊形的對角線互相平分。

推論：夾在兩條平行線間的平行線段相等。

3、平行四邊形的判定

(1)定義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形

(2)定理1：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形

(3)定理2：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形

(4)定理3：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

(5)定理4：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

4、兩條平行線的距離

兩條平行線中，一條直線上的任意一點到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線的距離。

平行線間的距離處處相等。

5、平行四邊形的面積：

S平行四邊形=底邊長X∣?=ah

6.三角形的中位線的性質(zhì)：

三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半。

【題型探究】

題型一：平行四邊形的性質(zhì)

1.(2022?江蘇泰州?模擬預(yù)測)如圖，在口ABC。中，Aβ=4,AZ)=2√2,E,尸分別為邊AB,CD上的點，若四

邊形AECF為正方形，則Nr）的度數(shù)為（）

2.（2021.貴州遵義?校考模擬預(yù)測）如圖，在平行四邊形ABC。中，以對角線AC為直徑的O分別交BC,8于

N.若AB=I3,BC=14,CW=9,則AN的長度為（）

3.（2023?廣東佛山?石門中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，在平行四邊形ABCD中，對角線ACLBC,M在NCAO的平分線上,

且AArLOM,點N為CZ）的中點，連接若AQ=12,MN=2.則A8的長為（）

A.12B.20C.24D.30

題型二：平行四邊形的判定

4.（2022?河北廊坊?統(tǒng)考二模）如圖，E是四邊形ABCZ）的邊Be延長線上的一點，且A5〃C￡>,則下列條件中不

能判定四邊形ABa）是平行四邊形的是（）

A

BCE

A.ZD=Z5B./3=/4C.Z1=Z2D.ZB=ZD

5.（2022?河南安陽?統(tǒng)考一模）如圖，四邊形EGF”的四個頂點分別在矩形ABa）的邊和對角線上，已知AG=C”,

下列條件能使四邊形EGFH是平行四邊形的是（）

DFC

6.（2022?四川成都?模擬預(yù)測）如圖，在YABcC）中，要對角線3。上找點E,F,使四邊形AECF為平行四邊形，

現(xiàn)有①，②，③三種方案，①只需要滿足8E=r>F;②只需要滿足CFLBD；③只需要滿足4E,CF

分別平分,840,ZBCD,則正確的方案是（）

A.①②③B.①③C.①②D.②③

題型三：三角形的中位線問題

7.（2022秋?遼寧沈陽?九年級?？计谥校┤鐖D，在，ABC中，。是AB邊的中點，點E在BC邊上，且BE:CE=3:2,

CD與AE交于點F,則。F:CF=（）

BEC

A.2：3B.3：4C.4：3D.3：2

8.（2022.四川綿陽?東辰國際學(xué)校?？寄M預(yù)測）如圖，在ABC中，NAeB=90。，BC=6,cosZB=-,AE平分

4

ABAC,且AELCE于點E,點。為BC的中點，連接OE,則OE的長為（）

A.2B.4-√7C.2√7D.2--

2

9.（2023?上海靜安?統(tǒng)考一模）如圖，在ABC中，中線Ao與中線BE相交于點G,聯(lián)結(jié)0E.下列結(jié)論成立的是

（）

A

CDB

y、SACDE_

A.DG=-AGB.—=—C,2=；I）-----——

S2

3EGABSMCB4

題型四：平行四邊形性質(zhì)和判定的應(yīng)用

10.（2022?江蘇淮安?模擬預(yù)測）如圖，在平行四邊形ABa）中，點E、F、G分別是AT＞、BC、CO的中點,

BElEG,AD=2后,AB=3,則A尸的長是（）

二

BFC

A.2B.3C.4D.5

11.（2022.四川綿陽.統(tǒng)考中考真題）如圖，E、I二G、H分別是矩形的邊AB、BC、CD、A。上的點，A”=C凡AE

=CG,NEHF=60°,NGHF=45°.若A”=2,ΛD=5+√3.則四邊形EFG〃的周長為（）

A.4(2+√6)B.4(√2+√3+l)C.8(√2+√3)D.4(√2+√6+2)

12.（2022?湖北鄂州?統(tǒng)考中考真題）如圖，定直線MN〃PQ,點8、C分別為MN、PQ上的動點，且BC=⑵BC

在兩直線間運動過程中始終有NBeQ=60。.點A是MN上方一定點，點D是PQ下方一定點，且AE//BC//DF,AE=4,

DF=8,AD=24√3,當(dāng)線段BC在平移過程中，4B+C。的最小值為（）

題型五：平行四邊形的綜合問題

13.（2022?浙江杭州?杭州育才中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在平行四邊形ABCO中，點E、尸分別在A8、CDh,且

EDlDB,FBLBD.

⑴求證：AE3之AeF8.

（2）若N4=3O。，ZDEB=45o,DAF=5,求￡）尸的長.

14.（2022?江蘇鎮(zhèn)江?模擬預(yù)測）如圖①，在矩形ABC。中，AD=2AB,E為AD的中點，F(xiàn),G分別在4B、BC上,

KBF=CG.

圖①

⑴求證：EF=EG-

(2)若CG=I,EF=2,求BC的長;

(3)如圖②，M為BG的中點，連接EM,CF,求證：EMLCF.

15.(2022?貴州畢節(jié)?統(tǒng)考二模)已知，如圖拋物線y=ɑχ2+3以+c(ɑ>O)與y軸交于C點，與X軸交于A、B兩點,

A點在B點左側(cè)，點B的坐標(biāo)為(1,0),OC=3OB.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點D是線段AC下方拋物線上的動點，求四邊形ABC。面積的最大值；

(3)若點E在X軸上，點尸在拋物線上，是否存在以4C、E、尸為頂點且以AC為一邊的平行四邊形？若存在，求

點尸的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【必刷基礎(chǔ)】

一、單選題

16.(2022秋?廣東東莞?九年級校聯(lián)考期末)如圖，在YABCD中，E/〃43,DE:E4=2:3,EF=4,則CD的長為().

3

17.(2019?海南省直轄縣級單位.統(tǒng)考中考模擬)如圖，菱形ABCZ)中，對角線AC、BD相交于點。，E為AO邊中

點，菱形ABCD的周長為28,則OE的長等于()

A.3.5B.4C.7D.14

18.（2022?山東臨沂??？级＃┤鐖D，將。ABC。沿對角線BO折疊，使點A落在點E處，交BC于點F,若/ABD=48。,

A.102oB.112oC.122oD.920

19.（2019?天津?校聯(lián)考中考模擬）如圖，。ABCD的周長為36,對角線AC、BD相交于點。，點E是CD的中點,

BD=12,則ADOE的周長為（）

20.（2022秋.湖南株洲?九年級統(tǒng)考期末）如圖，平行四邊形ABCD中，AB=2,AD=4,對角線AC,BD相交于點

0,且E,F,G,H分別是AO,BO,CO,DO的中點，則下列說法正確的是（）

BC

A.EH≈HGB.四邊形EFGH是平行四邊形

C.AC±BDD.AABO的面積是ΔE尸。的面積的2倍

21.（2022.山東濟南?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知：如圖，在平行四邊形ABCz）中，點￡、尸為對角線8。上兩點，且

/BAE=∕OCK求證：BF=DE.

AD

22.（2022?江蘇鹽城?校考三模）如圖，在ΛBC中，點。是BC邊的中點，點F,E分別是Ar）及其延長線上的點,

CF//BE,連接8尸，CE.

（1）求證：四邊形BEC尸是平行四邊形.

（2）當(dāng)ΛBC滿足.條件時，四邊形BECF為菱形.（填寫序號）

①AB=AC.②∕54C=90°,?AB=BC,④NBc4=90。.

23.（2022?寧夏銀川??？级＃┤鐖D，已知四邊形ABcD中，對角線AC,B。相交于點。，且OA=OC,OB=OD,

過點0作防，%分別交AO,BC于點、E,F.

（1）求證：AAOE與ACOF；

⑵若80=24,EF=IO,求四邊形BFDE的周長.

【必刷培優(yōu)】

一、單選題

24.（2022?廣東佛山??？既＃┤鐖D，四邊形ABCD中，AB//DC,CD=4,AB=Io,點V,N分別是邊AO和

對角線的中點，且MN與對角線AC交于點。，則PN的長為（)

C.5D.7

25.（2022?河北邯單B??？既＃┤鐖D.RAABC中，NACB=90。，點。是AABC的重心，連接30并延長交AC于

3

點E,連接CO并延長交48于點R連接EF.若AE=E,CF=-,則E尸=()

2

A.5B.4C.3D.2

26.（2022秋?全國?九年級專題練習(xí)）如圖，在RtΔA8C中,ZACB=90,AC=6、BC=4,點F為射線CB上一動點,

過點C作CMJ_AF于M交AB于E,。是AB的中點，則。M長度的最小值是（）

A.6B.√2C.1D.^2

27.（2022?重慶?西南大學(xué)附中校考三模）如圖，AB為。的直徑，CA與。相切于點A,BC交。于點DE是AQ

的中點，連接OE并延長交AC于點尸，若BD=g（JD,AB=5,則A/的長為（）

C

28.（2022秋?九年級課時練習(xí)）如圖，在45C中，點D、E、尸分別為邊A3、BC、AC的中點，分別連結(jié)OE、

EF、DF.AE,點0是AE與OF的交點，下列結(jié)論中，正確的個數(shù)是（）

BEC

①M的周長是43C周長的一半；②AE與。尸互相平分；③如果Nfi4C=90。，那么點。到四邊形ADE尸四個

頂點的距離相等；④如果AB=AC,那么點。到四邊形4）￡尸四條邊的距離相等.

A.1個B.2個C.3個D.4個

29.（2022?青海?統(tǒng)考中考真題）如圖，在RtAABC中，NAC5=90。，。是AB的中點，延長CB至點E,使BE=BC,

連接。E,F為。E中點，連接BF.若AC=I6,BC=12,則BF的長為（）

30.（2022?內(nèi)蒙古通遼?統(tǒng)考中考真題）如圖，點。是OaBC內(nèi)一點，AO與X軸平行，8。與），軸平行，BD=B

k

o9/-

ABDC=?2Q,SABCO=-√3,若反比例函數(shù)y=：（x<o）的圖像經(jīng)過C,。兩點，則G的值是（）

C.-12GD.-12

31.（2022?山東濰坊?中考真題）如圖，在口ABC。中，NA=60。，AB=2,AD=X,點、E,尸在CABC。的邊上，從點A

同時出發(fā)，分別沿Aτ8->C和ATz）TC的方向以每秒1個單位長度的速度運動,到達(dá)點C時停止，線段EF掃過

區(qū)域的面積記為y,運動時間記為X,能大致反映y與X之間函數(shù)關(guān)系的圖象是（）

二、填空題

32.（2022?黑龍江哈爾濱??？级＃┤鐖D，平行四邊形ABeD中，點E在CO邊上，連接BE,NABE=60。，F(xiàn)在BE

上，AF=CE,/BAF=NCBE,若AO=7,AB=6,則BF=.

33.（2022?四川綿陽?東辰國際學(xué)校?？寄M預(yù)測）如圖，在平行四邊形ABCO中，AB=2,AD=3,ZABC=60°,

AELbC于點E,點尸為8的中點，OE與BF相交于點P,則BP的長為

34.（2022?內(nèi)蒙古通遼.模擬預(yù)測）如圖，在..ΛBC和CZ）E中，ZACB=ADCE=90°,AC=BC=a,CD=CE=b,

將CDE繞點C旋轉(zhuǎn)，連接AE）,若點〃為A。中點，/SE繞點C旋轉(zhuǎn)180。，則點M的運動軌跡的長為.

35.（2022?湖南株洲??？级＃┤鐖D，在平行四邊形ABCQ中，AB=3,BC=5,μ平分/AfiC交于點F,E

是AD的中點，連接CE,BF交于點、G,連接CF,則SFEG：SzJCG的值為.

D

36.（2023?陜西西安?西安市鐵一中學(xué)校考二模）如圖，平行四邊形Q4BC的頂點。在坐標(biāo)原點上，B在V軸上，頂

57

點A在y=-±上，頂點C在y=」上，則平行四邊形Q4BC的面積是.

XX

37.（2023?陜西西安?西安市鐵一中學(xué)?？级＃┤鐖D，正方形ABC。，點E、F、G、H分別在邊A8、BC、CD、

D4上，若EG與F〃的夾角為45。，AB=2,FH=45,則EG的長度為.

38.（2023?廣東佛山?石門中學(xué)校考一模）如圖，在二ABC中，D,E分別為BC,AC上的點，將8E沿OE折疊,

得到VIEDE,連接8/，CF,NBFC=90°,若EF〃AB，AB=4√3,EF=IO,則AE的長為

39.(2023?陜西西安??？级?如圖，在平行四邊形4?C￡>中，AS=4,AD=6,ZA=I20。，點尸、點N分別為

CZλAB的中點，點E在邊AO上運動，將二￡D尸沿EF折疊，使得點。落在W處，連接BE>',點"為8￡>'中點，

則MN的最小值是.

三、解答題

40.(2022,寧夏銀川?銀川九中?？级?如圖，在,43。中，D、E分別是A3、AC的中點，連接CQ,過E作防〃OC

交BC的延長線于點尸，

(1)證明：四邊形8EF是平行四邊形；

⑵若NACB=90°,AB=IO,AC=S,求四邊形CDEF的周長.

41.(2022?山西?山西實驗中學(xué)?？寄M預(yù)測)綜合與探究：

已知：二次函數(shù)y=aχ2+fcv+c的圖象的頂點為。(-1,4),與X軸交于B,A兩點，與N軸交于點C(0,3),如圖:

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)在拋物線的對稱軸上有一點E,使得*cε的周長最小，求出點E的坐標(biāo)；

(3)若點N在拋物線的對稱軸上，拋物線上是否存在點P,使得以A、B、N、P為頂點的四邊形是平行四邊形？若

存在，請直接寫出滿足條件的點尸的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

42.(2022?江蘇鎮(zhèn)江?統(tǒng)考中考真題)已知，點E、F、G、H分別在正方形ABC。的邊A3、BC、CD、AD±..

(1)如圖1,當(dāng)四邊形EFGH是正方形時，求證：AE+AH=ABx

(2)如圖2,已知AE=AH,CF=CG,當(dāng)4E、CF的大小有.關(guān)系時，四邊形EFG”是矩形;

(3)如圖3,AE=DG,EG、FH相交于點O,OE:。尸=4:5,已知正方形ABC。的邊長為16,FH長為20,當(dāng)AOEH

的面積取最大值時，判斷四邊形瓦'G〃是怎樣的四邊形？證明你的結(jié)論.

43.(2022?四川資陽?中考真題)已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)為A(l,4),且與X軸交于點8(-1,0).

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)如圖，將二次函數(shù)圖象繞X軸的正半軸上一點P0"?0)旋轉(zhuǎn)180。，此時點A、B的對應(yīng)點分別為點C、D

①連結(jié)AB、BC、CD、DA,當(dāng)四邊形ABC。為矩形時，求機的值；

②在①的條件下，若點何是直線X=W上一點，原二次函數(shù)圖象上是否存在一點。，使得以點B、C、例、。為頂點

的四邊形為平行四邊形，若存在，求出點。的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

參考答案：

I.B

【分析】由四邊形A8C3是平行四邊形，AB=4,得到CO=4,由正方形的性質(zhì)得到

AE=CE=CF=AF,ZAFC=ZDFA=90°,AE=CE=CF=AF=x,貝∣J

DF=CD-CF=A-X,在∕?Z?ZMF中，由勾股定理得到x=2,AF=2,DF=4-2=2,

得到AE=E)尸，則一。E4是等腰直角三角形，即可得到/。的度數(shù).

【詳解】解：：四邊形ABCD是平行四邊形，AB=A,

：.CD=AB=4,

：四邊形AECF為正方形，

.?.AE=CE=CF=AF,ZAFC=ZDFA=90°,

^lAE=CE=CF=AF=x,則OR=Ct)-C尸=4-x,

在RtADAF中，AO=2√2,

.?.X2+(4-X)2=(2√2)2,

整理得，X2-4X+4=0,

解得x=2,

.?.AF=2,。狂=4-2=2,

.,.AF=DF,

??DE4是等腰直角三角形，

ZD=45°.

故選：B

【點睛】此題考查了正方形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理、解一元二次方程、等腰

直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，證明qDE4是等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵.

2.C

【分析】連接AM,由AC為。的直徑，推出NAMC=90°=ZAΛffi,ZANC=90。=ZAND,

在RtAMB中，勾股定理求出40的長，利用平行四邊形的性質(zhì)得到∕β=4>,

ANAD

AO=BC=14,證明，AΛfl3SAM),得到F-大，代入數(shù)值計算可得AN的長度.

AMAB

【詳解】解：連接AM,

M

D

：AC為。的直徑,

ΛZAMC=90°=ZAMBiZANC=驕=ZAND,

在RtAM3中，BM=BC-CM=↑4-9=5,

-AM=y∣AB2-BM2=√132-52=12

???四邊形ABC。是平行四邊形，

ΛZB=ZD,AO=BC=14,

又,：ZAMB=ZAND

??..AMB^AND

.AN_AD

**AM^AB,

.AN14

??一，

1213

?人"168

13

故選：C.

【點睛】此題考查了勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，

熟練掌握圓周角定理和相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

3.B

【分析】延長OW交AC于E,利用ASA證明ZiACM絲Z?AEM可得AE=AO=12,DM=EM,

即可證明MN是ASE的中位線，可求解CE的長，進(jìn)而可求解AC的長，再結(jié)合平行四邊

形的性質(zhì)利用勾股定理可求解.

【詳解】解：延長。M交AC于E,

平分NCAZ),AMVDM,

ZDAM=ZEAM,ZAMD=ZAME=90O,

在AAQM和AAEM中，

ZDAM=NEAM

<AM=AM,

ZAMD=ZAME

：.(ASA),

：.DM=EM,AE=AD=M,

.?.M點是。E的中點，

,：N是CO的中點，

,MN是ACDE的中位線，

<MN=2,

：.CE=IMN=A,

.?AC=AE+CE=↑2+4=?6,

在平行四邊形ABCD中，AB=CD,AD//BC,AClBC,

：.AClAD,

：.NCw=90°,

.?.AB=CD=√AD2+AC2=√122+162=20-

故選B.

【點睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，三角形的中位線，勾

股定理，求解AC的長是解題的關(guān)鍵.

4.C

【分析】利用平行線的判定方法判斷即可得到結(jié)果.

【詳解】解：A.ZD=Z5,

.?.AD//BC,

AB//CD,

四邊形ABcD是平行四邊形，故不符合題意；

B./3=4,

.?.AD//BC,

AB//CD,

四邊形ABS是平行四邊形，故不符合題意；

C.Z1=Z2,

.-.ABIICD,不能判斷四邊形ABC。是平行四邊形，故符合題意；

D.AB//CD,

.?.ZB=Z5,

NB=∕D,

.?.ZD=Z5,

.-.AD//BC,

AB//CD,

四邊形ABCO是平行四邊形，故不符合題意.

故選：C.

【點睛】本題考查了平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定方法是解本題的關(guān)鍵.

5.C

【分析】條件。F=BE,根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AB=Cz),ZCAB=ZACD,由此證明

?AEG^?CFW(SAS),推出NAGE=NC"尸，GE=FH,得至IJGE〃尸”，由此證得四邊形

EGF”是平行四邊形.

【詳解】條件。F=BE可使四邊形EG切是平行四邊形，

證明：Y四邊形A8C。是矩形，

J.AB∕∕CD,AB=CD,

：.ACAB=AACD,

'：DF=BE,

：.AE=CF,

又YAG=CH,

：.AAEG且ACFH(SAS),

ΛZAGE=ZCHF,GE=FH,

：.NCGE=NAHF,

J.GE//FH,

Λ四邊形EGF”是平行四邊形，

故選：C.

【點睛】此題考查了矩形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)，熟記矩形

的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

6.A

【分析】連接AC與8。相交于點。，由四邊形ABCQ是平行四邊形，得AO=C。，BO=DO,

MffiOE=OF,可得①正確；由四邊形ABCo是平行四邊形，f?AB=CD,NABD=NBDC,

再證/AEB=NCF￡)=90。，可得NAEB=∕CFO=9(T,可得△ABE絲△?￡>￡可得②正確；由

四邊形ABCD是平行四邊形，得AB=CD,ZABD=ZBDC,ZBAD=DCB,SIjEZBAE=ZDCF,

可得AABE絲A>CDF,可得③正確.

【詳解】解：如下圖，連接AC與8。相交于點O,

?；四邊形ABCO是平行四邊形,

：.AO^CO,BO=DO,

"：BE=DF,

：.OE=OF,

.?.四邊形AECF是平行四邊形，

故①正確；

,/四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AB=CD,ZABD=ZBDC,

"：AELBD,CF±BD,

：.NAEB=NCFD=90。,

，?ΛBE^?CDF,

'BE=DF,

和①一樣了，

故②正確；

,/四邊形ABCD是平行四邊形，

.?.NBAD=DCB,NABD=NBDC,AB=CD,

VAE,CF分別平分∕8AO,ZBCD,

：.ZBAE=ZDCF,

：.∕?ABE^ΛCDF,

：.BE=DF,

.?.和①一樣了，

故③正確，

故選：A.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定，解題的關(guān)鍵是連接AC,

利用對角線相等證平行四邊形.

7.B

【分析】過點。作DH〃BC交AE于，，可得。以為.ABE的中位線，可得ZW=設(shè)

BE=3x,則CE=2x,根據(jù)平行線分線段成比例定理即可求解.

【詳解】解：如圖，過點。作DH〃8C交AE于〃，

ADAH

。是AB邊的中點，

；?點”是AE的中點,

.?.D7是αAB石的中位線，

..DH=-BE,

2

3

?BE=3x,則CE=2x,DH=-X9

DH//BC9

.DHDF

,CECF,

3

.?,"=二=3,

CF^2x-4

故選：B.

【點睛】本題考查了平行線分線段成比例，三角形的中位線，過點。作構(gòu)造三

角形的中位線是解題的關(guān)鍵.

8.B

【分析】利用余弦求出AB的長，利用勾股定理求出AC的長，延長CE交AB于點尸，證明

ACE(ASA),得到AC=A尸=2√7,推出DE是VeB/的中位線，進(jìn)行求解即可.

3

【詳解】解：VZACB=90o,BC=6,cosZB=-,

4

?BC3

??一，

AB4

4

：.AB=-BC=S,

3

；?AC=y∣AB2-BC2=2√7；

延長CE交AB于點尸，

平分∕BAC,AELCE,

；.ZEAF=ZEAC,ZAEC=ZAEF=90°,

又；AE=AE,

：...AFE^..ACE(ASA),

：.AC=AF=2出,CE=EF,

；?點E為C尸的中點，

點D為BC的中點,

DE=^BF=^(AB-AF)=4-y∕l-

故選B.

【點睛】本題考查解直角三角形，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線定理.通過添

加輔助線，證明三角線全等，是解題的關(guān)鍵.

9.C

【分析】由中線AQ與中線BE得出。E是ABC的中位線，推出」?DEGABG,

YCDE:VCBA,由相似三角形的性質(zhì)即可解決問題.

【詳解】：中線AD與中線BE相交于點G,

OE是：ABC的中位線，

DE//AB,DE=-AB,

2

：.ZDEG=ZABG,ZDGE=ZAGB,ACDE=ZCBA,

DEGSABG,

.DG_DE_\BGAB

/匹丫=LOG=UG,生二

SAGBIABJ42BE3

.SAGB_2

??^?-T,

ljAEBJ

YAE=EC,

??SAEB=3SABC9

,,SAGB=§SABC，

DEHAB,

/.CDE-CBA,

,UCDE_2

S1

，結(jié)論正確的是產(chǎn)

eAGB4

故選：C.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵.

10.C

【分析】連接AC、EC,由平行四邊形的性質(zhì)得出49=BCADHBC,證明四邊形AFCE

AQEQAE1

是平行四邊形，得出AF=CE,由平行線得出W=W=”=彳，設(shè)AQ=&EQ=b,則

cξ√t>?2nCz

CQ=2a,BQ=2b,證明EG是A8的中位線，由三角形中位線定理得出EG//AC,得出

BELAC,由勾股定理得出方程，求出a?=T,得出BQ2=4∕=g,?2=p在RJEQC

中，由勾股定理求出CE,即可得出A尸的長.

【詳解】解：如圖所示：連接AC、EC,

四邊形ABS是平行四邊形，

..AD=BC,ADHBC,

點、E,尸分別是ADBC的中點，

.-.AE=CF,

???四邊形AFCE是平行四邊形，

LAF=CE,

,ADHBC,

AQEQAE_\

"^CQ~^BQ~~BC~2'

設(shè)AQ=a,EQ=b,則CQ=2αBQ=2b,

點EG分別是ADCD的中點，

.?.EG是,ACO的中位線，

.?EG∕∕AC,

BE上EG,

..BElAC9

2222

由勾股定理得：AB-AQ=BC-CQ9

2f2

即9-/=(2λ∕5)-4d,

???3∕=ιι,

..CJ2=—?l,

3

.?.BQ2=4?2=(2√5)2-4×y=y,

,1614

:.b~2=—×-=—,

343

在“EQC中，CE2=EQ2+CQ2=∕√+4∕=I6,

ΛCE=4,

ΛAF=4.

故選：C.

【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定、三角形中位線定理、勾股定理等知識點,

熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)，運用勾股定理進(jìn)行計算是解答本題的關(guān)鍵.

11.A

【分析】證明四邊形EbG”為平行四邊形，作EP_LHF交于點P,HKLBC交于點、K,設(shè)

HP=a,表示出EA∕=2α,EP=上a,PF=?∣3a?EF=HG=?[6a,進(jìn)一步表示出

HK=AB=44a2-4+如-(i2+66),/∕F=(√3+l)a,∕CF=^+3-2=√3+l,利用勾

股定理即可求出a的值，進(jìn)一步可求出邊形EFG〃的周長.

【詳解】解：?.?四邊形ABC。為矩形，

ΛAD=BC,AB=CD,

VAH=CF,AE=CG,

HD=BF,GD=BE,

在△/!即和aCG尸中，

AE=CG

-ZA=ZC

AH=CF

，.AEH金CGF(SAS),

,EH=FG,

同理：BEF迫DGH(SAS),

：.EF=HG,

.?.四邊形EFGH為平行四邊形，

作EPJ_交于點尸，HKLBC交于點、K，

設(shè)“P=4,

VZEHF=ωo,ZGHF=45°,AH=2,ΛD=5+√3,

.^.EH=2a,EP=y∕3a,PF=&,EF=HG=瓜a,

/.AE=√4a2-4，BE=DG=W2+6⑹,

AB=A￡+8E=?∣4a2-4+Jβα2-(12+6√5),

?/HKlBC,

ABKH為矩形，即HK=AB=√4tz2-4+,6/-(12+6?,

V/∕F=(√3+1)<7,K尸=6+3-2=√i+l,

四邊形EFGH的周長為：2(fH+WG)=2(4+2√6)=4(2+√6),

故選：A.

【點睛】本題考查矩形的判定及性質(zhì)，平行四邊形的判定及性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的

判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用HG+K尸=H產(chǎn)求出a的值.

12.C

【分析】如圖所示，過點尸作F交8C于H,連接EH,可證明四邊形O)FH是平行

四邊形，得至IJCH=。尸=8,CD=FH,貝∣J8H=4,從而可證四邊形ABHE是平行四邊形，得到

AB=HE,即可推出當(dāng)心F、”三點共線時，E”+”尸有最小值所即AB+CD有最小值EE

延長AE交PQ于G,過點E作ET?pQ于T,過點A作ALLPQ于L,過點。作。K,PQ

于K,證明四邊形BEGC是平行四邊形，ZEGT=ZBCQ=60o,得到EG=BC=12,然后通過

勾股定理和解直角三角形求出ET和TF的長即可得到答案.

【詳解】解：如圖所示，過點F作切〃CO交BC于"，連接EH,

'：BC//DF,FH//CD,

四邊形COFH是平行四邊形，

：.CH=DF=SfCD=FH,

：.BH=4,

.?BH=AE=4f

又???AE〃5C,

，四邊形ABHE是平行四邊形，

IAB=HE,

?.,EH+FH≥EF,

???當(dāng)E、F、〃三點共線時，E"+HF有最小值Er即A8+CD有最小值ER

延長AE交PQ于G,過點E作ETL尸。于T,過點A作AZAPQ于L過點。作OK，尸Q

于K,

?：MN〃PQ,BC//AE,

???四邊形BEGC是平行四邊形，ZEGT=ZBCQ=60o,

.?.EG=BC=12,

?'?GT=GE?cosNEGT=6,ET=GEsinZEGΓ=6√3，

同理可求得GL=8,AL=8√3,KF=4,3K=4百，

：?TL=2,

,

?ALLPQfDKlPQf

AL//DK,

：.XKLOs/?DK0,

.ALAO?

DKDO

A。=2AO=i6√iOO='AO=8√L

33

?"?OL=y∣AO2-AI:=24,OK=dDO。-DK?=12>

.'.TF=TL+OL+OK+KF=42,

?*?EF=ET2+TF2=12√13，

故選C.

【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，

解直角三角形，正確作出輔助線推出當(dāng)E、F、H三點共線時，E"+"尸有最小值故即AB+CD

有最小值EF是解題的關(guān)鍵.

13.(1)見解析

(2)5

【分析】(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得出NAOB=NC3D,再由￡D_LE>4,FB工BD,

得出NAZ出=NCS/"從而得出全等；

(2)作JDHLAB,垂足為“，由含30度角的直角三角形的性質(zhì)得出4)=2。”，由

NDEB=45。，得出EB=2DH,進(jìn)而得出四邊形石以為平行四邊形，即可得出答案.

【詳解】(1)Y四邊形ABC。是平行四邊形，

：?AD=CB,ZA=ZC,AD//CB1ABCD

：?ZADB=ZCBD9

VEDA-DB,FBlBD,

."EDB=/FBD=90°,

：.ZADE=/CBF,

在AAED和.QfB中，

/ADE=ZCBF

AD=BC,

ZA=ZC

???AEDqCFB(ASA)；

(2)作。HLAB,垂足為"，

在RfAP”中，NA=30。，

???AD=ZDH,

在RtDEB中,ZDEB=45°,

.*.EB=2DH,

???EB=AD,

VEDA-DB,FBLBD.

；?DE〃BF,

,.,ABCD,

???四邊形為平行四邊形,

JFD=EB,

：.DA=DF=5.

【點睛】本題考查平行四邊的判定與性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，正確理解題意

是解題的關(guān)鍵.

14.(1)證明過程見詳解

⑵√7+ι

(3)證明過程見詳解

【分析】⑴根據(jù)矩形的性質(zhì)，AD=2AB,E為A。的中點，BF=CG,可證

△BEF式ACEG(SAS),由此即可求證；

(2)根據(jù)(1)中的結(jié)論可知CG=BF=I,在等腰直角三角形ABE中，設(shè)AF=X,則AE=X+1,

在RlAEF中根據(jù)勾股定理即可求出AB的長，根據(jù)矩形ABC。中，AD=IAB,即可求解；

(3)延長EM至N,使EM=MN,連接NG,CM與EN交于點、O,根據(jù)題意證明

△aAEF經(jīng)AHEG(SAS),得到NAfF=N"EG,然后進(jìn)一步證明AEGN絲AFEC(SAS),最

后根據(jù)同角的余角相等的性質(zhì)即可證明出EMJ_B.

【詳解】(1)證明：矩形ABCD中，AD=2AB,E為AD的中點，

ΛAB=AE=CD=DE,且ZBAE=ZD=90°,BE=CE,

：.ZABE=ZAEB=NEBC=ADEC=NDCE=ZECB=45°,

在ABEF,CEG中，

BF=CG

VNFBE=NECG,

BE=CE

：.ABEF當(dāng)ACEG(SAS),

：.EF=EG.

(2)解：由(1)可知CG=BF=I,等腰直角三角形ABE中，設(shè)AF=X(X>0),則AE=X+1,

在RJAE尸中，AE2+AF2=EF2,B∣Jx2+(x+l)2=4,解方程得，Xl=避二1,χ,=二!二ZZ

2-2

(舍去)，

?.?.,,-Ji-1.-Ji+1

??AB=AcF+cFdB=-----Fl=---------,

22

Y矩形ABCO中，AD=2ABt

萬1

BC=AD=2AB=2×-——=√7+l,

2

/.BC的長√7+ι.

(3)證明：如圖所示，延長EM至N,使EM=MN,連接NG,CF與EN交于點O,

E

D

由(1)可知二ABE和CM:都是等腰直角三角形，則NAEB=NCa=45。，BE=CEf

Y四邊形4?CO是矩形，點E是A。的中點，EHlBC,

???點”是BC的中點，

???四邊形ABHE和四邊形EHCD是正方形，

：?AB=EH=AE=HC,

?：BF=CG,

：.AF=HG,

又???ZA=NG"C,AE=EH,

???AAEFqAHEG(SAS),

：.ZAEF=ZHEGf

：.NFEG=NFEH+ZHEG=NFEH+ZAEF=90。,

???加為BG的中點，

???BM=MG,

?：ZBME=ZNMGf

：.ABEM^AGW(SAS),

：?BE=NG,ZBEM=ZMNG,

JBE//NG,

o

：.ZBEG-hZNGE=?S0f

?：ZCEF=ZFEG+ZGEC=90o+ZGEC,

.*.ZCEF+NBEG=90°+ZGEC+ZBEG=90o+90o=180o,

：?/CEF=NEGN,

?：BE=EC,

：.NG=CE9

又YEF=EG,

：.Z?EGN%AFEC(SAS),

???/CFE=/NEG,

,.?ZFEN÷ZNEG=ZFEG=90o,

:,NFEN+NCFE=90。,

：.NFoE=90°,

：.EMlCF.

【點睛】此題考查了矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理的運

用等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，

勾股定理的運用.

39

15.(1)?=—x~H—x—3

44

(2)13.5

⑶存在，(-3,-3),(N鏟1,3)或(芍亙,3)

【分析】(1)根據(jù)OC=308,B(∣,0),求出C點坐標(biāo)(0,-3),把點B,C的坐標(biāo)代入

y=^2+3ar+c,即可求出函數(shù)解析式；

7O

(2)過點。作。七〃y軸分別交線段AC于點E,設(shè)3),然后求出OE的表

44

達(dá)式，利用S四邊形48CT>=S4ABC+S4ACD,轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值；

(3)①過點C作C<〃X軸交拋物線于點過點［作交X軸于點片,此時四邊

形AClg為平行四邊形；②平移直線AC交X軸于點E，交X軸上方的拋物線于點鳥，6，

由題意可知點E，6的縱坐標(biāo)為3,從而可求得其橫坐標(biāo).

【詳解】(1)解：；B的坐標(biāo)為(1,0),

；?08=1,

?.?OC=3OB=3,點C在X軸下方，

.?.C(0,-3),

?.?將3(1,0),C(O,-3)代入拋物線的解析式,

3

44+c=0a=—

可得一3，解得4,

c=-3

■2Q

???拋物線的解析式為y=7f+：x—3；

44

(2)如圖1所示，過點。作DE〃y,交AC于點E,

??,該拋物線的對稱軸為X=-一?Γ=-∣,3(1,0),

2×-2

4

?,?A(-4,0),

???AB=5,

：.S.=-AB-OC=-×5×3=1.5,

λbκcr22

設(shè)AC的解析式為y=H+∕),

?.?將A(-4,0),C(0,-3)代入，

Γ-4?+?=0k=--

可得，M，解得4,

叫一3卜=-3

3

???直線AC的解析式為y=-4%-3,

4

393

設(shè)。(。,二。~+;。-3),則E1(α,-■-6?-3),

444

3393

β.?DE=一一a-3-(-a2+-a-3)=一一(。+2/+3,

4444

???當(dāng)。=一2時，OE有最大值，最大值為3,

.A8的最大面積=1θE?AO=Jχ3x4=6,

22

=

??SW邊形A"S=SABC+SAco7?5+6=13.5,

四邊形ABCO的面積的最大值為13.5；

(