中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指導(dǎo)：例談與雙曲線有關(guān)的中考題

例談與雙曲線有關(guān)的中考題反比例函數(shù)y＝是中考的一個(gè)熱點(diǎn)．利用雙曲線的對(duì)稱(chēng)性、k的幾何意義是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．現(xiàn)例析近兩年中考題，供教學(xué)參考．一、求坐標(biāo)例1如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，⊙O1過(guò)原點(diǎn)O，且⊙O1與⊙O2相外切，圓心O1與O2在x軸正半軸上，⊙O1的半徑O1P1.⊙O2的半徑O2P2都與x軸垂直，且點(diǎn)P1（x1，y1）、P2(x2，y2)在反比例函數(shù)y＝(x>0)的圖象上，則y1＋y2＝_______．點(diǎn)評(píng)本題是反比例函數(shù)的綜合題，考查了圓的外切、一元二次方程，以及點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上等知識(shí)點(diǎn)，也考查了數(shù)形結(jié)合、函數(shù)、方程思想．例2如圖2，若正方形OABC的頂點(diǎn)B和正方形ADEF的頂點(diǎn)E都在函數(shù)y＝(x>0)的圖象上，則點(diǎn)E的坐標(biāo)是(_______，_______）．解析由點(diǎn)B在y＝圖象上，易求點(diǎn)B(1，1)，設(shè)正方形ADEF的邊長(zhǎng)為m，則E為(1＋m，m)．點(diǎn)評(píng)本題是反比例函數(shù)的綜合題，考查了圓的外切正方形、一元二次方程，以及點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上等知識(shí)點(diǎn)，也考查了數(shù)形結(jié)合、函數(shù)、方程思想．二、求面積例3如圖3，兩個(gè)反比例函數(shù)y＝和y＝―的圖象分別是l1和l2．設(shè)點(diǎn)P在l1上，PC⊥x軸，垂足為C，交l2于點(diǎn)A，PD⊥y軸，垂足為D，交l2于點(diǎn)B，則三角形PAB的面積為() (A)3 (B)4 (C) (D)5 解析可設(shè)P（a，）．因?yàn)镻和A的縱坐標(biāo)相同，又A在l2上，可得A點(diǎn)的縱坐標(biāo)為－，所以PA＝．P點(diǎn)和B點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，同理可得B點(diǎn)橫坐標(biāo)為－2a，即PB＝3a，所以三角形PAB的面積為××3a＝，故選C．點(diǎn)評(píng)本題結(jié)合反比例函數(shù)的圖象表示出點(diǎn)P、A.B的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，然后根據(jù)直角三角形的面積公式求出結(jié)論．例4如圖4，已知雙曲線y1＝（x>0），y2＝(x>0)，點(diǎn)P為雙曲線y2＝(x>0)上的一點(diǎn)，且PA⊥x軸于點(diǎn)A，PB⊥y軸于點(diǎn)B，PA.PB分別交雙曲線y1＝(x>0)于D.C兩點(diǎn)，則△PCD的面積為_(kāi)______．解析作CE⊥AO，DE⊥CE．因?yàn)殡p曲線y1＝（x>0），y2＝(x>0)，且PA⊥x軸于點(diǎn)A，PB⊥y軸于點(diǎn)B，PA.PB分別交雙曲線y1＝于D.C兩點(diǎn)，所以矩形BCEO的面積為xy＝1．點(diǎn)評(píng)此題主要考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，根據(jù)已知，得出BC＝BP，AD＝AP是解決問(wèn)題的關(guān)鍵；同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合、整體代入思想．三、求最值例5如圖5，為反比例函數(shù)y＝在第一象限的圖象，點(diǎn)A為此圖象上的一動(dòng)點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)A分別作AB⊥y軸，垂足分別為B，C．則四邊形OBAC周長(zhǎng)的最小值為（）(A)4 (B)3 (C)2 (D)1解析因?yàn)辄c(diǎn)A在反比例函數(shù)圖象上，所以AC與AB的乘積等于1，再根據(jù)兩個(gè)數(shù)的乘積是一個(gè)常數(shù)，則這2個(gè)乘數(shù)越接近，它們的和越小，當(dāng)它們相等時(shí)，其和最小，當(dāng)AC＋AB最小時(shí)，AC＝AB＝1，所以周長(zhǎng)為4．故選A點(diǎn)評(píng)本題利用反比例函數(shù)的圖象解決問(wèn)題，必須正確理解反比例函數(shù)圖象橫縱坐標(biāo)表示的意義，還要知道兩個(gè)數(shù)的乘積一定時(shí)，這兩個(gè)數(shù)的和的最小值的求法．例6知識(shí)遷移：當(dāng)a>0且x>0時(shí)，因?yàn)椤?，所以x－2＋≥0，從而x＋≥2（當(dāng)x＝時(shí)取等號(hào)）．記函數(shù)（a>0，x>0），由上述結(jié)論可知：當(dāng)x＝時(shí)，該函數(shù)有最小值為2．直接應(yīng)用已知函數(shù)y1＝x(x>0)與函數(shù)y2＝（x>0），則當(dāng)x＝_______時(shí)，y1＋y2取得最小值為_(kāi)______．變形應(yīng)用已知函數(shù)y1＝x＋1（x>－1）與函數(shù)y2＝(x＋1)2＋4(x>－1)，求的最小值，并指出取得該最小值時(shí)相應(yīng)的x值．實(shí)際應(yīng)用已知某汽車(chē)的一次運(yùn)輸成本包含以下三個(gè)部分：一是固定費(fèi)用－，共360元；二是燃油費(fèi)，每千米為1.6元；三是折舊費(fèi)，它與路程的平方成正比，比例系數(shù)為0.001．設(shè)該汽車(chē)一次運(yùn)輸?shù)穆烦虨閤千米，求當(dāng)x為多少時(shí)，該汽車(chē)平均每千米的運(yùn)輸成本最低？最低是多少元？ 解直接應(yīng)用1；2． 點(diǎn)評(píng)本題是閱讀應(yīng)用性問(wèn)題，要求從學(xué)生熟知的乘法公式出發(fā)，歸納出“均值不等式”，并給出取最小值的條件，學(xué)生能否通過(guò)閱讀理解新知識(shí)，成為解決問(wèn)題（探索應(yīng)用）的關(guān)鍵．本題同時(shí)要求學(xué)生利用已有知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)自主證明新結(jié)論，有效地考查了學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)思想、數(shù)學(xué)建模能力，值得一提的是，較好地考查了學(xué)生的閱讀理解、自我解釋、新知識(shí)應(yīng)用與遷移等學(xué)習(xí)能力指標(biāo)．本題中，不等式的應(yīng)用由直接應(yīng)用到變形應(yīng)用再到實(shí)際應(yīng)用，能夠考查學(xué)生對(duì)不等式知識(shí)掌握的深度，以及靈活運(yùn)用的能力，本題關(guān)注對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程的評(píng)價(jià)，考查學(xué)生思維能力和水平，較好地貫徹了“對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的評(píng)價(jià)，既關(guān)注結(jié)果，更關(guān)注他們?cè)趯W(xué)習(xí)過(guò)程中的變化和發(fā)展”這一理念，體現(xiàn)了“用數(shù)學(xué)”的新課標(biāo)的理念．四、求線段長(zhǎng)例7如圖6，定義：若雙曲線y＝（k>0）與它的其中一條對(duì)稱(chēng)軸y＝x相交于A.B兩點(diǎn)，則線段AB的長(zhǎng)度為雙曲線y＝（k>0）的對(duì)徑．(1)求雙曲線y＝的對(duì)徑；(2)若某雙曲線y＝（k>0）的對(duì)徑是10，求k的值；(3)仿照上述定義，定義雙曲線y＝(k<0)的對(duì)徑．分析(1)先解方程組可得到A點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)，B點(diǎn)坐標(biāo)為（－1，－1），即OC＝AC＝1，則△OAC為等腰直角三角形，得到OA＝OC＝，則AB＝2OA＝2，于是得到雙曲線y＝的對(duì)徑；(2)過(guò)A點(diǎn)作AC⊥x軸于點(diǎn)C，根據(jù)雙曲線的對(duì)徑的定義，得到當(dāng)雙曲線的對(duì)徑為10，即AB＝10，OA＝5，根據(jù)OA＝OC＝AC，則OC＝AC＝5，得到點(diǎn)A坐標(biāo)為(5，5)，把A(5，5)代入雙曲線y＝（k>0）即可得到k的值；(3)雙曲線y＝（k<0）的一條對(duì)稱(chēng)軸與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)題目中的定義，易得到雙曲線y＝（k<0）的對(duì)徑．如圖7，過(guò)點(diǎn)A作AC⊥x軸，則△AOC是等腰直角三角形．∴點(diǎn)A坐標(biāo)為(5，5)，則k＝5×5＝25．(3)若