中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指導(dǎo)：勾股（逆）定理應(yīng)用中的易錯點

勾股（逆）定理應(yīng)用中的易錯點勾股定理的逆定理：若一個三角形的三邊a，b，c滿足a2＋b2＝c2，那么這個三角形就是直角三角形，且∠C＝90°，如果已知一個三角形的三條邊長，則可以利用勾股定理的逆定理來判斷這個三角形是不是直角三角形．由于勾股定理及其逆定理形式上都比較簡單，因而在運(yùn)用這兩個定理時，同學(xué)們往往因不夠重視而出現(xiàn)這樣那樣的錯誤．現(xiàn)將幾種典型錯解列舉如下，并作簡要的剖析，供同學(xué)們參考．一、忽視應(yīng)用的前提例1△ABC中，a，b，c是∠A，∠B，∠C的對邊，a＝3，b＝4，c為質(zhì)數(shù)，求c．錯解由勾股定理得：c2＝a2＋b2＝32＋42＝25，故c＝5．分析不注意定理的成立條件，而盲目使用勾股定理，這樣便出現(xiàn)了錯解．其實，只有在直角三角形中，勾3股4弦5才是成立的，但本題條件中并沒有說△ABC是直角三角形，故只能用一般三角形三邊之間的關(guān)系來解．正解由三角形的三邊關(guān)系知：b－a<c<b＋a，即1<c<7，又c為質(zhì)數(shù)，故c＝2，或c＝3，或c＝5．例2如圖1，在△ABC中，AB＝10，BC＝16，BC邊上的中線AD＝6，試說明AB＝AC．錯解∵AD是BC邊上的中線，∴CD＝BC＝8，又∵AD＝6，∴在△ADC中，由勾股定理，得而AB＝10，故AB＝AC．分析由于受題目題設(shè)、結(jié)論及圖形的影響，在沒有進(jìn)行推證說明的情況下，就先行認(rèn)為△ADC是直角三角形，忽視了運(yùn)用勾股定理的前提，導(dǎo)致解題過程錯誤．正解∵AD是BC邊上的中線，∴BD＝CD＝BC＝8．又∵AB＝10，AD＝6，且有62＋82＝102，即AD2＋BD2＝AB2，則△ADB是直角三角形，且AD⊥BC．∴在Rt△ADC中，由勾股定理得：∴AB＝AC．友情提示：勾股定理揭示了直角三角形三邊的關(guān)系，值得注意的是：只有在直角三角形中才有兩邊（較小的兩邊）的平方和等于第三邊（最長的邊）的平方，在非直角三角形中不具備這種關(guān)系，因此，在非直角三角形中或者是不知道三角形是否是直角三角形的情況下，不能盲目地使用勾股定理．二、忽視直角所對的邊是斜邊例3在△ABC中，已知∠B＝90°，∠A,∠B,∠C的對邊分別是a，b，c，且a＝b，b＝8，求c的長．錯解∵△ABC為直角三角形．由勾股定理得：a2＋b2＝c2，且c＝＝10.分析錯解未抓住題目實質(zhì)，受勾股定理的表達(dá)式：a2＋b2＝c2的影響而理所當(dāng)然的認(rèn)為c是斜邊，其實，由∠B＝90°，知道斜邊應(yīng)該是b（如圖2）．因此，我們在運(yùn)用勾股定理時，首先要正確識別哪個角是直角，從而確定哪條邊是斜邊，然后準(zhǔn)確寫出勾股定理表達(dá)式進(jìn)行解題．正解因為∠B＝90°，則在Rt△ABC中，由勾股定理得：友情提示：在使用勾股定理時，要注意直角所對的邊才是斜邊，而并不一定是我們所習(xí)慣的c為斜邊．三、忽視隱含情形例4已知直角三角形的兩邊長分別為3，4，求第三邊長，錯解第三邊長為：分析同學(xué)們都知道3.4.5是最小的勾股數(shù)，在我國古代就已有“勾三、股四、弦五”的說法，這意味著當(dāng)兩直角邊分別為3和4時，斜邊長為5，部分學(xué)生在解這道題時，由于思考不周全，忽略隱含情形，誤認(rèn)為一邊是3，一邊是4，第三邊長也就是斜邊長為5．實際上，題目中包含著兩種情況：一種是已知的兩邊之長3，4都是直角邊長，這時的第三邊即斜邊長為5；另一種是已知的兩邊中較長的邊（長）4為斜邊長，長為3的邊為直角邊，此時的第三邊（另一條直角邊）長為．正解(1)當(dāng)兩直角邊為3和4時，第三邊長為：；(2)當(dāng)斜邊為4，一直角邊為3時，第三邊長為：∴第三邊的長為5或．友情提示：在給出直角三角形兩條邊長，并且沒有確定它們都是直角邊時，第三邊既可能是斜邊，也可能是直角邊．四、忽視分類討論例5在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC邊上的高AD＝12．求BC的長．錯解如圖3，在Rt△ABD和Rt△ACD中，由勾股定理可得：分析由于題目并沒有給出對應(yīng)的圖形，所以根據(jù)習(xí)慣畫出了圖3，認(rèn)為三角形的高在三角形的內(nèi)部，忽視了三角形的高也可能在三角形的外部（即圖4所示），此時BC＝BD－CD．錯解忽視了分類討論思想的運(yùn)用.正解如圖3，當(dāng)△ABC的高AD在三角形內(nèi)部時，在Rt△ABD和Rt△ACD中，由勾股定理可得：如圖4，當(dāng)△ABC的高AD在三角形外部時，在Rt△ABD和Rt△ACD中，由勾股定理可得：友情提示：在題目沒有給出相應(yīng)圖形時，我們一定要周密思考，根據(jù)題意畫出所有符合條件的圖形進(jìn)行解答．五、忽視區(qū)別應(yīng)用勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理則是直角三角形的判定定理．在已知直角三角形中，需要用到三邊的關(guān)系時用勾股定理；而已知三邊想用直角三角形的性質(zhì)定理進(jìn)行有關(guān)計算或推理時，則需先用勾股定理的逆定理判斷它是否是直角三角形．在使用時要特別注意區(qū)別對待，例6△ABC的三邊長分別為7，24，25，試判斷△ABC的形狀．錯解∵72＋242＝252，∴由勾股定理可知△ABC是直角三角形．分析雖然最終判斷的結(jié)果是對的，但是判斷的根據(jù)是錯誤的．因為勾股定理是直角三形的性質(zhì)定理，故只有在直角三角形中才能使用，而本題需對三角形形狀作出判斷，判斷的依據(jù)是勾股定理的逆定理，錯解的原因在于未能充分理解勾股定理及其逆定理的概念和區(qū)別，導(dǎo)致錯誤運(yùn)用．正解∵72＋242＝252，∴由勾股定理的逆定理可知：△ABC是直角三角形．友情提示：勾股定理是直角三形的性質(zhì)，可以用它來解決直角三角形的三邊的等量關(guān)系．而勾股定理的逆定理是根據(jù)三邊的一個等量關(guān)系來判斷三角形的形狀的.六．忽視定理實質(zhì)例7在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，且(a＋b)（a－b）＝c2，則()(A)∠A為直角(B)∠C為直角(C)∠B為直角(D)不是直角三角形錯解選B．分析因為常見的直角三角形表示時，一般將直角標(biāo)注為∠C，因而有同學(xué)就習(xí)慣性的認(rèn)為∠C就一定表示直角，加之對本題所給條件的分析不縝密，導(dǎo)致錯誤，該題中的條件應(yīng)轉(zhuǎn)化為a2－b2＝c2，即a2＝b2＋c2，應(yīng)根據(jù)這一等式進(jìn)行判斷．正解∵a2－b2＝c2，∴a2＝b2＋c2．故選A．例8下列各組數(shù)據(jù)中的三個數(shù)，可作為三邊長構(gòu)成直角三角形的是()(A)1.2.3(B)32，42，52(C)，，(D)，，錯解選B．分析對勾3股4弦5的形式根深蒂固，對概念的理解流于表面形式，判斷一個三角形是不是直角三角形時，應(yīng)將所給三邊的長進(jìn)行平方看是否滿足a2＋b2＝c2的形式．正解因為，故選C．友情提示：在使用勾股定理及其逆定理時，既要看是否滿足a2＋b2＝c2的形式，更要看這個定理中字母a，b，.c的實質(zhì)．七、忽視最大邊所對的角是直角例9一個三角形的三邊的長分別是a＝，b＝，c＝2．問這個三角形是直角三角形嗎？所以這個三角形不是直角三角形．分析以上解答是錯誤的，因為根據(jù)三角形的邊角關(guān)系可知，最大的角所對的邊最大，而直角三角形中直角是最大的角，直角所對的邊才是它的最大邊即斜邊，直角三角形中最大的邊所對的角是直角．所以要判斷一個三角形是不是直角三角形，先得找到它的最大邊，而錯解中并沒有判斷哪條邊是最大邊，卻受a2＋b2＝c2的影響，認(rèn)為c為最大邊．實際上本題中b才是最大邊．所以應(yīng)判斷a2＋c2與b2之間的關(guān)系．根據(jù)勾股定理逆定理可知由a，b，c為邊組成的三角形為直角三角形．例10已知△ABC的三邊的長分別是BC＝41，AC＝40，AB＝9．試說明△ABC是直角三角形．錯解∵BC＝41，AC＝40，AB＝9，∴BC2＝AC2＋AB2，∴∠C＝90°．∴△ABC是直角三角形．分析以上解題思路是對的，但∠C＝90°是不對的．直角三角形中哪個角是直角，應(yīng)以最大邊所對的角來確定，這里的最大邊為BC，其所對的角為∠A，所以這里的∠A＝90°．而不是∠C＝90°．正解∵BC＝41，AC＝40，AB＝9，∴BC2＝AC2＋AB2，∴∠A＝90