理論力學(xué)9課件

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第3章

復(fù)合運(yùn)動(dòng)3.1絕對運(yùn)動(dòng)、相對運(yùn)動(dòng)、牽連運(yùn)動(dòng)

3.2變矢量的絕對導(dǎo)數(shù)與相對導(dǎo)數(shù)3.3點(diǎn)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)的分析解法（不要求）

3.3.1動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程

3.3.2動(dòng)點(diǎn)的速度和加速度合成的解析表達(dá)式3.4點(diǎn)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)的矢量解法

3.4.1速度合成定理

3.4.2加速度合成定理

3.5剛體的復(fù)合運(yùn)動(dòng)（不作為重點(diǎn)內(nèi)容，簡單介紹）

3.5.1剛體平面運(yùn)動(dòng)的角速度合成定理

3.5.2剛體平面運(yùn)動(dòng)可分解為平移和轉(zhuǎn)動(dòng)

3.5.3某類剛體的平面運(yùn)動(dòng)分解為兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)作業(yè)

3.63.73.83.93.11

3.153.183.193.213.22

9學(xué)時(shí)速度分析加速度分析理論力學(xué)92

本章主要內(nèi)容：

第3章

復(fù)合運(yùn)動(dòng)物體的運(yùn)動(dòng)具有相對性。對于同一物體，若選取的參考空間不同，則其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)也就不同。學(xué)習(xí)本章的意義：

在前面的章節(jié)中，對物體運(yùn)動(dòng)的研究都是在同一個(gè)參考空間中進(jìn)行的。本章將在兩個(gè)不同的參考空間中討論同一物體的運(yùn)動(dòng)，并給出物體在這兩個(gè)參考空間中的運(yùn)動(dòng)量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系式。物體相對于甲空間的運(yùn)動(dòng)可視為其相對于乙空間的運(yùn)動(dòng)和乙空間相對于甲空間運(yùn)動(dòng)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)。本章介紹復(fù)合運(yùn)動(dòng)的基本知識(shí)。復(fù)合運(yùn)動(dòng)是研究剛體復(fù)雜運(yùn)動(dòng)的重要基礎(chǔ)。理論力學(xué)93

第3章復(fù)合運(yùn)動(dòng)

§3.1

絕對運(yùn)動(dòng)相對運(yùn)動(dòng)牽連運(yùn)動(dòng)

1.基本概念

定參考系（定系）

動(dòng)參考系（動(dòng)系）

絕對運(yùn)動(dòng)

相對運(yùn)動(dòng)

牽連運(yùn)動(dòng)

2.舉例說明

直升飛機(jī)車輪運(yùn)動(dòng)吊車飛機(jī)螺旋槳偏心凸輪車輪上的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)理論力學(xué)94

3.復(fù)合運(yùn)動(dòng)

研究對象在不同的參考空間中的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是不同的。這種差別是由于動(dòng)系相對于定系有運(yùn)動(dòng)，即存在牽連運(yùn)動(dòng)所導(dǎo)致的。如果沒有牽連運(yùn)動(dòng)，研究對象的絕對運(yùn)動(dòng)和相對運(yùn)動(dòng)就沒有任何差別。如果物體作相對運(yùn)動(dòng)的同時(shí)還存在牽連運(yùn)動(dòng)，兩種運(yùn)動(dòng)的結(jié)果就是在定系中所看到的運(yùn)動(dòng)。換言之，當(dāng)已知研究對象的相對運(yùn)動(dòng)及牽連運(yùn)動(dòng)，則研究對象的絕對運(yùn)動(dòng)必為某一確定的運(yùn)動(dòng)。這說明研究對象的絕對運(yùn)動(dòng)可視為其相對運(yùn)動(dòng)和牽連運(yùn)動(dòng)的合成運(yùn)動(dòng)，通常將這種合成運(yùn)動(dòng)稱為復(fù)合運(yùn)動(dòng)。理論力學(xué)95

結(jié)論：

物體（點(diǎn)或剛體）的相對運(yùn)動(dòng)與其隨同動(dòng)系的牽連運(yùn)動(dòng)合成為物體的絕對運(yùn)動(dòng)，或者說，物體的絕對運(yùn)動(dòng)可分解為物體的相對運(yùn)動(dòng)和其隨同動(dòng)系的牽連運(yùn)動(dòng)。注意：物體運(yùn)動(dòng)的合成與分解是在兩個(gè)有相對運(yùn)動(dòng)的不同的參考空間中進(jìn)行的，因此，必須明確研究對象、動(dòng)參考系和定參考系。4.運(yùn)動(dòng)合成與分解的應(yīng)用

（1）某些工程機(jī)構(gòu)，只有用上述方法才能求出機(jī)構(gòu)中各構(gòu)件的運(yùn)動(dòng)關(guān)系；（2）實(shí)際問題需要在不同的參考空間研究物體的運(yùn)動(dòng)。這種利用動(dòng)系和定系來分析運(yùn)動(dòng)的方法（或運(yùn)動(dòng)的合成與分解），不僅在工程技術(shù)上有廣泛應(yīng)用，而且還是在非慣性參考系中研究動(dòng)力學(xué)問題的基礎(chǔ)。理論力學(xué)96

§3.2

變矢量的絕對導(dǎo)數(shù)與相對導(dǎo)數(shù)

目的：

為了給出絕對與相對速度、加速度的關(guān)系，需要在兩個(gè)相對運(yùn)動(dòng)著的參考空間中考察同一個(gè)變矢量的變化率。為此，本節(jié)引入矢量的絕對導(dǎo)數(shù)和相對導(dǎo)數(shù)的概念，并研究它們之間的關(guān)系。變矢量其變化依賴于所選取的參考空間。定義其中一個(gè)空間為定系，另一個(gè)空間為動(dòng)系。定系動(dòng)系規(guī)定：絕對增量：相對增量：遷移增量：變矢量相對定系的增量。變矢量相對動(dòng)系的增量。動(dòng)系相對于定系發(fā)生方位的改變，的方位改變而產(chǎn)生的增量。理論力學(xué)97

絕對導(dǎo)數(shù)：相對導(dǎo)數(shù)：推導(dǎo)絕對導(dǎo)數(shù)和相對導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系：限于所學(xué)知識(shí)，僅討論動(dòng)系相對定系作平面運(yùn)動(dòng)情形，對于更復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)，所得結(jié)論依然正確。絕對增量相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)為絕對導(dǎo)數(shù)。相對增量相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)為相對導(dǎo)數(shù)。其中

是由于動(dòng)系相對定系發(fā)生方位改變，造成的方向改變而產(chǎn)生的增量。在這一變化過程中，矢量的大小保持時(shí)刻t的值不發(fā)生變化，因此，當(dāng)足夠小，即動(dòng)系作平面運(yùn)動(dòng)的角位移足夠小時(shí)，由附錄I.1知?jiǎng)t理論力學(xué)98

動(dòng)系相對定系在t時(shí)刻的角速度矢量。(3.1)變矢量的絕對導(dǎo)數(shù)與相對導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式上式表明：同一變矢量相對不同的參考空間其變化率一般不同，這種差別是由動(dòng)系方位變化所引起的。動(dòng)系作平移的特殊情況：當(dāng)動(dòng)系作平移時(shí)，由于動(dòng)系無方位改變，其角速度，因此在這一特殊情況下，變矢量的絕對導(dǎo)數(shù)與相對導(dǎo)數(shù)相等，即(3.2)理論力學(xué)99

§3.4

點(diǎn)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)的矢量解法

3.4.1動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程

(1)確定參考點(diǎn)：定系中任一確定點(diǎn)動(dòng)系中任一確定點(diǎn)(2)動(dòng)點(diǎn)M的變化規(guī)律：絕對運(yùn)動(dòng)方程相對運(yùn)動(dòng)方程牽連運(yùn)動(dòng)方程點(diǎn)相對點(diǎn)的矢徑在任意時(shí)刻t

(3.3)給出了動(dòng)點(diǎn)的絕對運(yùn)動(dòng)方程、相對運(yùn)動(dòng)方程以及牽連運(yùn)動(dòng)為平面運(yùn)動(dòng)時(shí)的牽連運(yùn)動(dòng)方程。根據(jù)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)，由此完全可求出該點(diǎn)相對于定系或動(dòng)系的軌跡、速度、加速度及其在這兩個(gè)參考系中這些量之間存在的關(guān)系。理論力學(xué)910

3.4.2動(dòng)點(diǎn)的速度和加速度

絕對速度：動(dòng)點(diǎn)M相對于定系的速度(3.18)絕對加速度：動(dòng)點(diǎn)M相對于定系的加速度(3.19)相對速度：動(dòng)點(diǎn)M相對于動(dòng)系的速度(3.20)相對加速度：動(dòng)點(diǎn)M相對于動(dòng)系的加速度(3.21)絕對導(dǎo)數(shù)絕對導(dǎo)數(shù)在動(dòng)系中的相對導(dǎo)數(shù)在動(dòng)系中的相對導(dǎo)數(shù)矢量解法的優(yōu)點(diǎn)：與第二章相類似，對于能構(gòu)成復(fù)合運(yùn)動(dòng)的機(jī)構(gòu)，如果需要求系統(tǒng)在某一瞬時(shí)的運(yùn)動(dòng)學(xué)量，這時(shí)用分析法求解則比較麻煩，如果用點(diǎn)的速度合成定理和加速度合成定理所給出的矢量公式進(jìn)行求解則很方便。理論力學(xué)911

3.4.3速度合成定理

已知：動(dòng)點(diǎn)M

動(dòng)點(diǎn)M相對定系的絕對矢徑為動(dòng)點(diǎn)M相對動(dòng)系的相對矢徑為動(dòng)空間參考點(diǎn)的絕對矢徑為則(3.3)對時(shí)間t求絕對導(dǎo)數(shù)，得其中動(dòng)點(diǎn)M的絕對速度動(dòng)系參考點(diǎn)相對定系的絕對速度（相對矢徑的絕對速度）動(dòng)系的角速度理論力學(xué)912

(3.32)定義牽連速度：

在動(dòng)空間中對動(dòng)點(diǎn)M的絕對運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生直接影響的是此瞬時(shí)動(dòng)系上與動(dòng)點(diǎn)相重合的點(diǎn)N。定義重合點(diǎn)N相對定系的絕對速度為牽連速度，記作。則重合點(diǎn)N的絕對速度為當(dāng)牽連運(yùn)動(dòng)為平面運(yùn)動(dòng)時(shí)，其角速度為，(3.33)(3.34)于是速度合成定理

（矢量方程式，在任意瞬時(shí)均成立）速度合成定理：在任一瞬時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的絕對速度等于其相對速度與牽連速度的矢量和。速度合成定理的適用范圍：速度合成定理雖然是在牽連運(yùn)動(dòng)為平面運(yùn)動(dòng)時(shí)推導(dǎo)所得，但當(dāng)牽連運(yùn)動(dòng)為其他形式的剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，依然成立。理論力學(xué)913

3.4.4加速度合成定理

加速度合成關(guān)系的推導(dǎo)：

定義牽連加速度：當(dāng)動(dòng)系作平面運(yùn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)系上與動(dòng)點(diǎn)重合點(diǎn)N的絕對加速度，定義為牽連加速度。(3.35)則(3.36)牽連速度的絕對導(dǎo)數(shù)并不等于牽連加速度。理論力學(xué)914

(3.37)相對速度的絕對導(dǎo)數(shù)并不等于相對加速度。的產(chǎn)生原因：的產(chǎn)生時(shí)由于相對運(yùn)動(dòng)和牽連運(yùn)動(dòng)同時(shí)存在的結(jié)果。在式(3.36)中，由于相對運(yùn)動(dòng)的存在，在定系中看到的重合點(diǎn)不是動(dòng)系中的固定不變點(diǎn)，由于重合點(diǎn)的改變而產(chǎn)生了該項(xiàng)附加加速度。在式(3.37)中，由于牽連運(yùn)動(dòng)使得相對速度的方向在定系中發(fā)生變化而產(chǎn)生的附加加速度。定義科氏加速度：

法國人科里奧利（G.G.Coriolis1792~1843）在1835年提出，(3.38)加速度合成定理：

(3.39)加速度合成定理的矢量公式，在任意瞬時(shí)均成立。理論力學(xué)915

加速度合成定理：

任一瞬時(shí)動(dòng)點(diǎn)的絕對加速度等于其相對加速度、牽連加速度與科氏加速度的矢量和。適用于任何形式的牽連運(yùn)動(dòng)?？剖霞铀俣?/p>

的大小和方向：

(1)大小、方向：為的正向與正向的夾角；沿和組成平面的法向，指向由右手法則決定(如圖所示)。(2)特殊情況：當(dāng)時(shí)，方向由順的轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)得到。理論力學(xué)916

當(dāng)或時(shí)，一般情況下，得到，，將正交分解，(3)綜合上述：大小其方向?yàn)轫樀霓D(zhuǎn)向轉(zhuǎn)過(如圖所示)時(shí)所指方向。理論力學(xué)917

思考以作勻速定軸轉(zhuǎn)動(dòng)水管中的水滴M為動(dòng)點(diǎn)，請分析對應(yīng)于式(3.39)中每一項(xiàng)的物理含義。動(dòng)點(diǎn)：水管中的水滴M，動(dòng)系：與水管固連。絕對運(yùn)動(dòng)：未知曲線運(yùn)動(dòng)，相對運(yùn)動(dòng)：直線運(yùn)動(dòng)，牽連運(yùn)動(dòng)：隨水管的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的圓周運(yùn)動(dòng)。大小方向理論力學(xué)918

例3.7

圖a所示機(jī)構(gòu)中，曲柄OA以勻角速度作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，帶動(dòng)桿AC在套筒B內(nèi)滑動(dòng)，套筒B和與其剛性連接的桿BD又可繞B軸轉(zhuǎn)動(dòng)。已知OA=BD=r，圖示瞬時(shí)桿OA處于鉛垂位置，桿AC與水平線的夾角，試求此時(shí)點(diǎn)D的速度和加速度。解

(1)運(yùn)動(dòng)分析：動(dòng)點(diǎn)：桿AC上的點(diǎn)B；動(dòng)系：與BD固連。(2)速度分析：大小方向沿軸方向投影：動(dòng)系：動(dòng)點(diǎn)：桿AC上的點(diǎn)A；與BD固連。教材中改變動(dòng)點(diǎn)和動(dòng)系，如何？理論力學(xué)919

方向沿軸方向投影：(3)加速度分析：大小方向理論力學(xué)920

沿軸方向投影：方向方向理論力學(xué)921

§3.5

剛體的復(fù)合運(yùn)動(dòng)

3.5.1剛體平面運(yùn)動(dòng)的角速度合成公式

設(shè)剛體相對于地面固連的空間作平面運(yùn)動(dòng)，以剛體的平面圖形S代表剛體。，定系：動(dòng)系：。動(dòng)系相對于定系作平面運(yùn)動(dòng)，圖形S相對于動(dòng)系作平面運(yùn)動(dòng)。平面運(yùn)動(dòng)方位角隨時(shí)間的變化規(guī)律為任一瞬時(shí)各方位角之間有如下關(guān)系(3.40)對時(shí)間求導(dǎo)數(shù)(3.41)角速度轉(zhuǎn)向如圖所示絕對角速度相對角速度牽連角速度理論力學(xué)922

用矢量表示角速度因?yàn)樵谶\(yùn)動(dòng)過程中(3.42)稱為剛體平面運(yùn)動(dòng)的角速度合成定理。對式(3.42)求導(dǎo)(3.43)得到角加速度的關(guān)系理論力學(xué)923

3.5.2剛體平面運(yùn)動(dòng)可分解為平移和轉(zhuǎn)動(dòng)

動(dòng)系原點(diǎn)與圖形S上的點(diǎn)A鉸接，使動(dòng)系與點(diǎn)A以相同的規(guī)律作平移。圖形S的絕對運(yùn)動(dòng)：平面運(yùn)動(dòng)；圖形S的相對運(yùn)動(dòng)：繞A軸的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)；圖形S的牽連運(yùn)動(dòng)：與A同規(guī)律的平面平移。圖形S的平面運(yùn)動(dòng)繞A軸的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)與A同規(guī)律的平面平移。注意：點(diǎn)A的選取具有任意性。由于牽連運(yùn)動(dòng)為平移，所以，平面圖形S上任一點(diǎn)B的速度、加速度可由復(fù)合運(yùn)動(dòng)方法得到：理論力學(xué)924

點(diǎn)B的相對運(yùn)動(dòng)：以A為圓心，以AB為半徑的圓周運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)B的牽連運(yùn)動(dòng)：以A同規(guī)律的平移。點(diǎn)B的速度為點(diǎn)B的加速度為以上兩式正是在第二章中得到的平面圖形上兩點(diǎn)速度與加速度關(guān)系，這些關(guān)系現(xiàn)在從復(fù)合運(yùn)動(dòng)的途徑得到的。通過上述的推導(dǎo)可進(jìn)一步理解公式(2.21)和(2.24)中各項(xiàng)的物理含義。由于剛體的平面運(yùn)動(dòng)可以由平移和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)合成得到，因此，通常把平移和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)稱作剛體運(yùn)動(dòng)的基本形式。理論力學(xué)925

3.5.3某類剛體的平面運(yùn)動(dòng)可分解為兩個(gè)

轉(zhuǎn)動(dòng)

如果平面圖形S在運(yùn)動(dòng)過程中，其上有一點(diǎn)A到定系中某一固定點(diǎn)O的距離始終保持不變，那么點(diǎn)A在定系中的軌跡是以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓周曲線。對于滿足上述條件的平面運(yùn)動(dòng)，引入動(dòng)系和定系：與O,A兩點(diǎn)連線固連；定系為動(dòng)系：動(dòng)系相對于定系繞O軸作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，圖形S相對