預習04平面向量基本定理及加減數(shù)乘運算的坐標表示（八大考點）（原卷版）

預習04平面向量基本定理及加減、數(shù)乘運算的坐標表示一、平面向量基本定理1.平面向量基本定理:如果是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量，有且只有一對實數(shù)，使.2.基底:我們把不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個基底,記作3.對平面向量基本定理的理解（1）基底不唯一，只要是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量都可以作為基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的．（2）基底給定時，分解形式唯一．是被唯一確定的數(shù)值．二、平面向量的坐標表示（1）平面向量的正交分解:把一個平面向量分解為兩個互相垂直的向量.（2）基底:在平面直角坐標系中,分別取與軸、y軸方向相同的兩個單位向量作為基底.（3）坐標:對于平面內(nèi)的任意一個向量,有且僅有一對實數(shù)x,y,使得，則有序數(shù)對叫做向量的坐標.（4）坐標表示.（5）特殊向量的坐標:三、平面向量加減運算、數(shù)乘運算的坐標表示設(shè)向量則有下表文字描述符號表示加法兩個向量和的坐標等于這兩個向量相應坐標的和減法兩個向量差的坐標等于這兩個向量相應坐標的差數(shù)乘實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應坐標向量的坐標一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標已知,則四、平面向量共線的坐標表示（1）條件:,其中；（2）結(jié)論:當且僅當時,向量共線.考點01基底的概念及辨析【方法點撥】（1）兩個向量能否作為一組基底,關(guān)鍵是看這兩個向量是否共線.若共線,則不能作基底,反之,則可作基底；（2）一個平面的基底一旦確定,那么平面上任意一個向量都可以由這組基底唯一線性表示出來.【例1】下列說法錯誤的是（

）A．一條直線上的所有向量均可以用與其共線的某個非零向量表示B．平面內(nèi)的所有向量均可以用此平面內(nèi)的任意兩個向量表示C．平面上向量的基底不唯一D．平面內(nèi)的任意向量在給定基底下的分解式唯一【例2】已知，是不共線的非零向量，則以下向量可以作為基底的是（

）A．， B．，C．， D．，【變式11】（多選）下列命題中是假命題的為（

）A．已知向量，則，可以作為某一平面內(nèi)所有向量的一個基底B．若，共線，則C．已知是平面的一個基底，若，則也是該平面的一個基底D．若，，三點共線，則【變式12】設(shè)是平面內(nèi)所有向量的一個基底，則下列不能作為基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和【變式13】（多選）如圖所示，設(shè)是平行四邊形的兩條對角線的交點，給出下列向量組，其中可作為該平面內(nèi)所有向量的基底的是（

）A．與 B．與 C．與 D．與考點02用基底表示向量【方法點撥】用基底表示向量的兩種方法：（1）運用向量的線性運算法則對待求向量不斷進行轉(zhuǎn)化,直至用基底表示為止；（2）通過列向量方程或方程組的形式,利用基底表示向量的唯一性求解.【例3】在中，點D，E分別是，的中點，記，，則（

）A． B． C． D．【例4】在中，點為邊中點，點在線段上，且，若，，則為（

）A． B． C． D．【變式21】已知D，E分別為的邊BC，AC的中點，且，，則為（

）A． B． C． D．【變式22】如圖，在直角梯形中，為上靠近的三等分點，交于．(1)用和表示；(2)求證：．【變式23】已知為等邊三角形，分別以CA，CB為邊作正六邊形，如圖所示，則（

）A． B．C． D．考點03平面向量基本定理的應用【例5】如圖，與的面積之比為2，點P是區(qū)域內(nèi)任意一點（含邊界），且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【例6】如圖，是等邊三角形，D在線段BC上，且，E為線段AD上一點，若與的面積相等，則（

）A． B． C． D．【變式31】如圖，在中，，過點的直線分別交直線于不同的兩點，記，用表示；設(shè)，若，則的最小值為．【變式32】已知P是內(nèi)部一點，且，則面積之比為（

）A．1：3：5 B．5：3：1 C．1：9：25 D．25：9：1【變式33】在中，已知在線段上，且，設(shè)．(1)用向量表示；(2)若，求．考點04求點或向量的坐標【方法點撥】（1）求一個點的坐標,可以轉(zhuǎn)化為求該點相對于坐標原點的位置的坐標；（2）求一個向量的坐標時,可以首先求出這個向量的始點坐標和終點坐標,再運用終點坐標減去始點坐標得到該向量的坐標.【例7】已知，，平面向量的坐標是（

）A． B． C． D．【例8】若，點的坐標為，則點的坐標為（

）A． B． C． D．【變式41】已知向量，將向量繞原點O沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)到的位置，則點的橫坐標為（

）A． B． C．0 D．1【變式42】設(shè)為一組標準正交基，已知，，．若，求在基下的坐標．【變式43】如圖，已知，，，，求向量，，，的坐標．考點05向量線性運算的坐標表示【方法點撥】（1）若已知向量的坐標,則直接應用兩個向量和、差及向量數(shù)乘的運算法則進行；（2）若已知有向線段兩端點的坐標,則必須先求出向量的坐標,然后再進行向量的坐標運算；（3）向量的線性坐標運算可類比數(shù)的運算進行.【例9】（多選）已知，，下列選項中關(guān)于，的坐標運算正確的是（

）A． B．C．若且，則 D．【例10】已知點，向量，，點是線段的三等分點，則點的坐標是（

）A． B． C．或 D．或【變式51】若，求【變式52】已知P，Q分別為的邊，的中點，若，，則點C的坐標為（

）A． B． C． D．【變式53】已知點，若點是線段中點，則點的坐標為.考點06利用線性運算的坐標表示解決幾何問題【例11】已如點，，，則以，，為頂點的平行四邊形的第四個頂點的一個坐標可以是.【例12】（多選）已知在平面直角坐標系中，點，.當是線段的一個三等分點時，點的坐標為（

）A． B． C． D．【變式61】已知在平行四邊形中，對角線與相交于點則【變式62】在中，頂點的坐標為，邊的中點的坐標為，則的重心坐標為．【變式63】?？计谀┮阎?，點在線段的延長線上，且，則點的坐標為.考點07向量共線的坐標表示【方法點撥】利用向量共線的坐標表達式直接求解.【例13】已知向量，，則與向量共線的向量的坐標可以是（

）A． B． C． D．【例14】已知向量，，若，則（

）A．8 B． C． D．【變式71】設(shè)向量，若，則實數(shù)m的值為（

）A． B．2 C． D．【變式72】（多選）下列向量組中，能作為平面內(nèi)所有向量基底的是（

）A． B．C． D．【變式73】已知向量，，.若與平行，則的值為.考點08由坐標解決三點共線問題【方法點撥】（1）三點共線問題的實質(zhì)是向量共線問題.兩個向量共線只需滿足方向相同或相反,兩個向量共線與兩個向量平行是一致的；（2）利用向量平行證明三點共線需分兩步完成:①證明向量平行;②證明兩個向量有公共點【例15】已知，，三點共線，則.【例16】設(shè)，，，其中，，為坐標原點，若，，三點共線，則，的最小值為.【變式81】判斷下列各組三點是否共線：(1)，，；(2)，，；(3)，，.【變式82】在中，已知點，，與交于點，則點的坐標為.【變式83】已知點A(x，0)，B(2x，1)，C(2，x)，D(6，2x).（1）求實數(shù)x的值，使向量共線;（2）當向量共線時，點A，B，C，D是否在一條直線上?一、單選題1．在中，，點為的中點，設(shè)，，則（

）A． B． C． D．2．下列各組向量中，可以作為基底的是（

）A．， B．，C．， D．，3．若向量，，，則可用向量，表示為（）A． B．C． D．4．設(shè)向量，，，其中O為坐標原點，，，若A，B，C三點共線，則的最小值為（

）A．4 B．6 C．8 D．95．若是平面內(nèi)兩個不共線的向量，則下列說法中正確的是（

）A．不可以表示平面內(nèi)的所有向量；B．對于平面中的任一向量，使的實數(shù)有無數(shù)多對；C．若均為實數(shù)，且向量與共線，則有且只有一個實數(shù)，使；D．若存在實數(shù)使，則.6．在中，若，則（

）A． B． C． D．二、多選題7．下列結(jié)論正確的是（

）A．一個平面內(nèi)只有一對不共線的向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底B．若，是單位向量)，則C．向量與共線存在不全為零的實數(shù)使D．已知A，B，P三點共線，O為直線外任意一點，若則8．下列條件中可以證明三點共線的是（

）A． B．C． D．9．已知向量，，若向量，則可使成立的可能是（

）A． B． C． D．三、填空題10．已知點，O為坐標原點，則AC與OB的交點P的坐標為.11．已知點，若向量與的方向相反，則．12．已知中，D，E分別為線段AB，