廣東省汕頭市2024屆高三第一次模擬考試數(shù)學試題含答案

第1頁/共1頁2024年汕頭市普通高考第一次模擬考試數(shù)學注意事項：1.答題前，考生在答題卡上務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名?準考證號填寫清楚，并貼好條形碼.請認真核準條形碼上的準考證號?姓名和科目.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，寫在試題卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)城內.4.考試結束后，請將本試題卷和答題卡一并上交.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2.在3與15之間插入3個數(shù)，使這5個數(shù)成等差數(shù)列，則插入的3個數(shù)之和為（）A.21 B.24 C.27 D.303.的內角，，的對邊分別為，，，若，，則結合的值，下列解三角形有兩解的為（）A. B. C. D.4.展開式中項的系數(shù)為（）A B. C. D.5.已知函數(shù)是奇函數(shù)，則的最小值為（）A.3 B.5 C. D.6.在復數(shù)范圍內，下列命題是真命題的為（）A.若，則是純虛數(shù)B.若，則是純虛數(shù)C.若，則且D.若、為虛數(shù)，則7.已知圓錐的頂點為，為底面圓心，母線與互相垂直，的面積為，與圓錐底面所成的角為，則（）A.圓錐的高為B.圓錐的體積為C.圓錐側面展開圖的圓心角為D.二面角的大小為8.如圖，設、分別是橢圓的左、右焦點，點是以為直徑的圓與橢圓在第一象限內的一個交點，延長與橢圓交于點，若，則直線的斜率為（）A. B. C. D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.某次數(shù)學考試后，為分析學生的學習情況，某校從某年級中隨機抽取了名學生的成績，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.為進一步分析高分學生的成績分布情況，計算得到這名學生中，成績位于內的學生成績方差為，成績位于內的同學成績方差為.則（）參考公式：樣本劃分為層，各層的容量?平均數(shù)和方差分別為：、、；、、.記樣本平均數(shù)為，樣本方差為，.A.B.估計該年級學生成績的中位數(shù)約為C.估計該年級成績在分及以上的學生成績的平均數(shù)為D.估計該年級成績在分及以上的學生成績的方差為10.已知函數(shù)，則（）A.曲線對稱軸為B.在區(qū)間上單調遞增C.的最大值為D.在區(qū)間上的所有零點之和為11.如圖，是連接河岸與的一座古橋，因保護古跡與發(fā)展的需要，現(xiàn)規(guī)劃建一座新橋，同時設立一個圓形保護區(qū).規(guī)劃要求：①新橋與河岸垂直；②保護區(qū)的邊界為一個圓，該圓與相切，且圓心在線段上；③古橋兩端和到該圓上任意一點的距離均不少于.經測量，點分別位于點正北方向?正東方向處，.根據(jù)圖中所給平面直角坐標系，下列結論中，正確的是（）A.新橋的長為B.圓心可以在點處C.圓心到點的距離至多為D.當長為時，圓形保護區(qū)的面積最大三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.第13?14題第一空2分，第二空3分.12.在一組樣本數(shù)據(jù)（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1，x2，…，xn不全相等）的散點圖中，若所有樣本點（xi，yi）（i＝1，2，…，n）都在直線上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關系數(shù)為___________.13.已知外接圓的半徑為1，圓心為點，且滿足，則__________，__________.14.如圖，在正方體中，是棱中點，記平面與平面的交線為，平面與平面的交線為，若直線分別與所成的角為，則__________，__________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列和，其中，，數(shù)列的前項和為．（1）若，求；（2）若是各項為正的等比數(shù)列，，求數(shù)列和的通項公式．16.已知函數(shù).（1）當時，求曲線在點處切線方程；（2）若既存在極大值，又存在極小值，求實數(shù)的取值范圍.17.如圖，三棱臺中，側面四邊形為等腰梯形，底面三角形為正三角形，且.設為棱上的點.（1）若為的中點，求證：；（2）若三棱臺的體積為，且側面底面，試探究是否存在點，使直線與平面所成角的正弦值為？若存在，確定點的位置；若不存在，說明理由.18.已知點為雙曲線上的動點.（1）判斷直線與雙曲線的公共點個數(shù)，并說明理由；（2）（i）如果把（1）的結論推廣到一般雙曲線，你能得到什么相應的結論？請寫出你的結論，不必證明；（ii）將雙曲線的兩條漸近線稱為“退化的雙曲線”，其方程為，請利用該方程證明如下命題：若為雙曲線上一點，直線：與的兩條漸近線分別交于點，則為線段的中點.19.2023年11月，我國教育部發(fā)布了《中小學實驗教學基本目錄》，內容包括高中數(shù)學在內共有16個學科900多項實驗與實踐活動.我市某學校的數(shù)學老師組織學生到“牛田洋”進行科學實踐活動，在某種植番石榴的果園中，老師建議學生嘗試去摘全園最大的番石榴，規(guī)定只能摘一次，并且只可以向前走，不能回頭.結果，學生小明兩手空空走出果園，因為他不知道前面是否有更大的，所以沒有摘，走到前面時，又發(fā)覺總不及之前見到的，最后什么也沒摘到.假設小明在果園中一共會遇到顆番石榴（不妨設顆番石榴的大小各不相同），最大的那顆番石榴出現(xiàn)在各個位置上的概率相等，為了盡可能在這些番石榴中摘到那顆最大的，小明在老師的指導下采用了如下策略：不摘前顆番石榴，自第顆開始，只要發(fā)現(xiàn)比他前面見過的番石榴大的，就摘這顆番石榴，否則就摘最后一顆.設，記該學生摘到那顆最大番石榴的概率為.（1）若，求；（2）當趨向于無窮大時，從理論的角度，求的最大值及取最大值時的值.（?。?024年汕頭市普通高考第一次模擬考試數(shù)學注意事項：1.答題前，考生在答題卡上務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將自己的姓名?準考證號填寫清楚，并貼好條形碼.請認真核準條形碼上的準考證號?姓名和科目.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，寫在試題卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)城內.4.考試結束后，請將本試題卷和答題卡一并上交.第I卷選擇題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)充分條件、必要條件求解即可.【詳解】因為，而推不出，例如滿足，但不成立，所以“”是“”的充分不必要條件，故選：A2.在3與15之間插入3個數(shù)，使這5個數(shù)成等差數(shù)列，則插入的3個數(shù)之和為（）A.21 B.24 C.27 D.30【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列性質求解即得.【詳解】令插入的3個數(shù)依次為，即成等差數(shù)列，因此，解得，所以插入的3個數(shù)之和為.故選：C3.的內角，，的對邊分別為，，，若，，則結合的值，下列解三角形有兩解的為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，由正弦定理代入計算，即可得到結果.【詳解】由正弦定理可得，，所以，因為三角形有兩解，所以，且，因此由選項知，只有符合.故選：B4.展開式中項的系數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】寫出展開式通項，令的指數(shù)為，求出參數(shù)的值，代入通項后即可得解.【詳解】的展開式通項為，因為，在中，令，可得項的系數(shù)為；在中，令，得，可得項的系數(shù)為.所以，展開式中項的系數(shù)為.故選：A.5.已知函數(shù)是奇函數(shù)，則的最小值為（）A.3 B.5 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性可得，利用基本不等式求最值即可.【詳解】令，得，故函數(shù)的定義域為．因為是奇函數(shù)，則其定義域關于原點對稱，可得，即，此時，可得，可得是奇函數(shù)，即符合題意；故，當且僅當，即，時等號成立，故的最小值為，故選：C．6.在復數(shù)范圍內，下列命題是真命題的為（）A.若，則是純虛數(shù)B.若，則是純虛數(shù)C.若，則且D.若、為虛數(shù)，則【答案】D【解析】【分析】利用特殊值法可判斷ABC選項；利用共軛復數(shù)的定義結合復數(shù)的乘法、復數(shù)的概念可判斷D選項.【詳解】對于A選項，取，則，所以，，此時，不是純虛數(shù)，A錯；對于B選項，取，則成立，但不是純虛數(shù)，B錯；對于C選項，取，，則，但且，C錯；對于D選項，若、為虛數(shù)，設，，則，，所以，，D對.故選：D.7.已知圓錐的頂點為，為底面圓心，母線與互相垂直，的面積為，與圓錐底面所成的角為，則（）A.圓錐的高為B.圓錐的體積為C.圓錐側面展開圖的圓心角為D.二面角的大小為【答案】D【解析】【分析】利用三角形的面積公式求出圓錐的母線長，結合線面角的定義可判斷A選項；利用圓錐的體積公式可判斷B選項；利用扇形的弧長公式可判斷C選項；利用二面角的定義可判斷D選項.【詳解】對于A選項，因為與底面垂直，為底面圓的一條半徑，則，所以，與圓錐底面所成的角為，又因為，所以，的面積為，解得，所以，該圓錐的高為，A錯；對于B選項，該圓錐的底面半徑為，故該圓錐的體積為，B錯；對于C選項，設該圓錐側面展開圖的圓心角為，底面圓周長為，則，C錯；對于D選項，取的中點，連接、，因為，為的中點，則，由垂徑定理可得，所以，二面角的平面角為，因為平面，平面，則，因為，，則為等腰直角三角形，則，所以，，所以，，因為，故，所以，二面角的大小為，D對.故選：D.8.如圖，設、分別是橢圓左、右焦點，點是以為直徑的圓與橢圓在第一象限內的一個交點，延長與橢圓交于點，若，則直線的斜率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由點為圓與橢圓的焦點，可得，，結合條件，應用勾股定理即可得.【詳解】連接、，由在以為直徑的圓上，故，、在橢圓上，故有，，設，則，則有，，即可得，解得，故，則，故.故選：C.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.某次數(shù)學考試后，為分析學生的學習情況，某校從某年級中隨機抽取了名學生的成績，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.為進一步分析高分學生的成績分布情況，計算得到這名學生中，成績位于內的學生成績方差為，成績位于內的同學成績方差為.則（）參考公式：樣本劃分為層，各層的容量?平均數(shù)和方差分別為：、、；、、.記樣本平均數(shù)為，樣本方差為，.A.B.估計該年級學生成績的中位數(shù)約為C.估計該年級成績在分及以上的學生成績的平均數(shù)為D.估計該年級成績在分及以上的學生成績的方差為【答案】BCD【解析】【分析】利用頻率分布直方圖中，所有直方圖的面積之和為，列等式求出實數(shù)的值，可判斷A選項；利用中位數(shù)的定義可判斷B選項；利用總體平均數(shù)公式可判斷C選項；利用方差公式可判斷D選項.【詳解】對于A選項，在頻率分布直方圖中，所有直方圖的面積之和為，則，解得，A錯；對于B選項，前兩個矩形的面積之和為，前三個矩形的面積之和為，設計該年級學生成績的中位數(shù)為，則，根據(jù)中位數(shù)的定義可得，解得，所以，估計該年級學生成績的中位數(shù)約為，B對；對于C選項，估計成績在分以上的同學的成績的平均數(shù)為分，C對；對于D選項，估計該年級成績在分及以上學生成績的方差為，D對.故選：BCD.10.已知函數(shù)，則（）A.曲線的對稱軸為B.在區(qū)間上單調遞增C.的最大值為D.在區(qū)間上的所有零點之和為【答案】BC【解析】【分析】由題意利用三角恒等變換整理可得：，結合余弦函數(shù)性質逐項分析判斷.【詳解】由題意可得：.對于選項A：令，解得，所以曲線的對稱軸為，故A錯誤；對于選項B：因為，則，且在內單調遞增，所以在區(qū)間上單調遞增，故B正確；對于選項C：當，即時，取到最大值為，故C正確；對于選項D：令，解得，可知的零點為，則在區(qū)間上零點為，共8個，結合A可知，這些零點均關于直線，所以在區(qū)間上的所有零點之和為，故D錯誤；故選：BC.11.如圖，是連接河岸與的一座古橋，因保護古跡與發(fā)展的需要，現(xiàn)規(guī)劃建一座新橋，同時設立一個圓形保護區(qū).規(guī)劃要求：①新橋與河岸垂直；②保護區(qū)的邊界為一個圓，該圓與相切，且圓心在線段上；③古橋兩端和到該圓上任意一點的距離均不少于.經測量，點分別位于點正北方向?正東方向處，.根據(jù)圖中所給的平面直角坐標系，下列結論中，正確的是（）A.新橋的長為B.圓心可以在點處C.圓心到點的距離至多為D.當長為時，圓形保護區(qū)的面積最大【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出直線的方程，聯(lián)立求出點的坐標判斷A；設，由題意列出不等式組，再結合代換求得的范圍，判斷BCD.【詳解】如圖，以為軸建立直角坐標系，則，，依題意，直線的斜率，直線方程為：，直線的斜率，則直線方程為，由，解得，即，，A正確；設，即，直線的一般方程為，圓的半徑為，顯然，由，得，則，解得，即長的范圍是，B錯誤，C正確；當，即長為時，圓的半徑最大，圓形保護區(qū)的面積最大，D錯誤.故選：AC【點睛】關鍵點點睛：某些實際應用問題，由題意建立平面直角坐標系，利用坐標法求解是解題的關鍵.第II卷非選擇題三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.第13?14題第一空2分，第二空3分.12.在一組樣本數(shù)據(jù)（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1，x2，…，xn不全相等）的散點圖中，若所有樣本點（xi，yi）（i＝1，2，…，n）都在直線上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關系數(shù)為___________.【答案】【解析】【詳解】試題分析：由已知，這組樣本數(shù)據(jù)的樣本完全正相關，故其相關系數(shù)為.考點：變量的相關性.13.已知外接圓的半徑為1，圓心為點，且滿足，則__________，__________.【答案】①.##②.##【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)量積的運算律及數(shù)量積的定義求出夾角余弦、數(shù)量積.【詳解】由兩邊平方得：，依題意，，所以；.故答案為：；14.如圖，在正方體中，是棱的中點，記平面與平面的交線為，平面與平面的交線為，若直線分別與所成的角為，則__________，__________.【答案】①.##0.5②.##【解析】【分析】利用平面基本事實作出直線，進而求出；利用面面平行的性質結合等角定理，再利用和角的正切計算即得.【詳解】在正方體中，是棱的中點，延長與延長線交于點，連接，則直線即為直線，，由，得，又，于是，由平面平面，平面平面，平面平面，則，又，因此，，所以.故答案為：；【點睛】關鍵點睛：利用平面的基本事實作出直線是求出角的關鍵.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列和，其中，，數(shù)列的前項和為．（1）若，求；（2）若是各項為正的等比數(shù)列，，求數(shù)列和的通項公式．【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）先判定數(shù)列和分別為等差和等比數(shù)列，進而分別得到其通項公式，從而利用分組求和的方法得到數(shù)列的前項和．（2）利用數(shù)列的前項和列出方程組，解之即可求得、、、，進而求得數(shù)列和的通項公式．【小問1詳解】解：當時，，從而是等差數(shù)列，，，所以是等比數(shù)列，又，則，所以．【小問2詳解】解：是各項為正的等比數(shù)列，設其首項為，公比為，由，可得，則，（定值）則數(shù)列為等差數(shù)列，設其首項為，公差為，由數(shù)列的前項和，可得方程組，整理得，解得：，，，且，由，可得，則，則數(shù)列的通項公式為；數(shù)列的通項公式為．【點睛】本題考查數(shù)列的遞推公式，明確遞推公式與通項公式的異同；會根據(jù)數(shù)列的遞推公式求出數(shù)列的通項公式，是難題．16.已知函數(shù).（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）若既存在極大值，又存在極小值，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）把代入，利用導數(shù)的幾何意義求出切線方程.（2）求出函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)探討函數(shù)的單調性，求出的范圍.【小問1詳解】當時，函數(shù)，求導得，則，而，所以曲線在點處的切線方程為，即.【小問2詳解】函數(shù)的定義域為，求導得，當時，，由，得，由，得，則函數(shù)在上遞增，在上遞減，函數(shù)只有極大值，不合題意；當時，由，得或，①若，即，由，得或，由，得，則函數(shù)在上遞增，在上遞減，因此函數(shù)的極大值為，極小值為，符合題意；②若，即，由，得或，由，得，則函數(shù)在上遞增，在上遞減，因此函數(shù)的極大值為，極小值為，符合題意；③若，即，由在上恒成立，得在上遞增，函數(shù)無極值，不合題意，所以的取值范圍為.17.如圖，三棱臺中，側面四邊形為等腰梯形，底面三角形為正三角形，且.設為棱上的點.（1）若為中點，求證：；（2）若三棱臺的體積為，且側面底面，試探究是否存在點，使直線與平面所成角的正弦值為？若存在，確定點的位置；若不存在，說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）存在，與重合，理由見解析.【解析】【分析】（1）取中點，利用線面垂直的判定、性質推理即得.（2）以為原點建立空間直角坐標系，利用線面角的向量求法求解即得.【小問1詳解】取中點，連結、，則，由平面，得平面，又平面，所以.【小問2詳解】取中點，連結，由（1）得為二面角平面的平面角，由平面平面得：，即，以為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，設該棱臺的高為，由，得，則，，設平面的法向量為，則，取，得，設，則，于是，解得或(舍去)，所以存在點滿足條件，此時與重合.18.已知點為雙曲線上的動點.（1）判斷直線與雙曲線的公共點個數(shù)，并說明理由；（2）（i）如果把（1）的結論推廣到一般雙曲線，你能得到什么相應的結論？請寫出你的結論，不必證明；（ii）將雙曲線的兩條漸近線稱為“退化的雙曲線”，其方程為，請利用該方程證明如下命題：若為雙曲線上一點，直線：與的兩條漸近線分別交于點，則為線段的中點.【答案】（1）1個，理由見解析；（2）（i）過雙曲線上一點的切線方程為；（ii）證明見解析.【解析】【分析】（1）聯(lián)立直線與雙曲線方程，借助判別式求解即得.（2）（i）寫出結論；（ii）分討論，直線與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達定理求解即得.小問1詳解】由點在雙曲線上，得，即由消去y得：，則，顯然，所以該直線與雙曲線有且只有1個公共點.【小問2詳解】（i）由（1）知，直線與雙曲線相切于點，所以過雙曲線上一點的切線方程為.證明如下：顯然，即，由消去y得：，于是，因此直線與雙曲線相切于點，所以過雙曲線上一點的切線方程為.（ii）當時，直線的斜率不存在，由對稱性知，點為線段的中點；當時，設，線段的中點，由消去y得：，由，得，則，又，于是，即點與點重合，所以點為線段的中點.【點睛】結論點睛：