2022-2023學(xué)年福建省漳州市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年福建省漳州市高一(下)期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng))

1.已知向量方=(4,2),b=(x,3).且五〃b，則X等于()

A.9B.6C.5D.3

2.如果直線α和b沒有公共點(diǎn)，那么ɑ與伙)

A.共面B.平行

C.可能平行，也可能是異面直線D.是異面直線

3.已知Z］=α+i,Z2=l+i,aER,若］是純虛數(shù),則］+(2)?+(含＞+…+

(3產(chǎn)23=()

A.1B.—1C.iD.—i

4.福建省第七次人口普查統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，漳州市11個(gè)縣(市、區(qū))常住人口數(shù)據(jù)如下表所示,

則這11個(gè)縣(市、區(qū))人口數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是()

地區(qū)苔城區(qū)龍文區(qū)龍海市「云霄縣漳浦縣詔安縣

常住人口638060301883952000411558847535560969

地區(qū)長(zhǎng)泰縣東山縣南靖縣平和縣華安縣

常住人口228235219511305259455042134276

A.638060B,560969C.455042D,411558

5.已知直線m,H與平面Q,β,y,則能使α/?的充分條件是()

A.a1y,B.m1n,aC?β=m,naβ

C.m∕∕α,m∕∕βD.m//a,m1β

6.利用公式cos(α+∕?)=cosacosβ—sinasinβ,cos(α—∕?)=cosacosβ+SirlaS沅夕可得

cosacosβ=?[cos(α+∕?)+cos(α—/?)].則COSl.0°CoS500+Sin20。CoS70。=()

3C1D1

A.4-2-4-

7.己知向量行與石垂直，若五=(6,—8),∣B∣=5，且b與向量(LO)的夾角是銳角，則B=()

A.(4,3)B.(-4,-3)C.(3,4)D.(-3,-4)

8.仇章算術(shù)少卷五僭功》中描述幾何體“陽馬”為“底面為矩形，一棱垂直于底面的

四棱錐”,在陽馬P-HBCD中，PA_L平面48CD,PA=1,ABAD=2,點(diǎn)E,F分別在棱AB,

BC上，則空間四邊形PEFZ)的周長(zhǎng)的最小值為()

A.3+√^5B.4+ΛΓ5C.5+?Γ5D.6+√T

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求)

9.在以下調(diào)查中，適合用抽樣調(diào)查的有()

A.調(diào)查某品牌的冰箱的使用壽命

B.調(diào)查某個(gè)班級(jí)10名學(xué)生每周的體育鍛煉時(shí)間

C.調(diào)查一批炮彈的殺傷半徑

D.調(diào)查一個(gè)水庫所有魚中草魚所占的比例

10.正方體ABCe-&BiCiA中，Oi為底面AIBIClCl的中心，則()

A.直線Bal與CG所成的角等于30。B.直線Bal與AC所成的角等于60。

C.直線AOl與CCl是異面直線D.直線Aol與BD所成的角等于90。

11.設(shè)4B為兩個(gè)隨機(jī)事件，以下命題正確的為()

A.若A,B是互斥事件，P(A)=IP(B)=T,貝IJPOIUB)

B.若A,B是對(duì)立事件，貝IJP(AUB)=I

C.若4,B是獨(dú)立事件，P(A)=M(B)=|,則P(而哥

D.若P(4)=Q(B)=：,且P(AB)=；,則4,B是獨(dú)立事件

12.已知AABC的重心為G,外心為0,內(nèi)心為/,垂心為“，則下列說法正確的是()

A.若M是BC中點(diǎn)，則4G：GM=2：1

B.若I荏I=1，則荏?布=：

c?而與l?+i?不共線

D.若I同I=1,|而I=2,?BAC=lπ,AI=λAB+μAC(λ,μ∈R),則；I+〃=TC

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.一名射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊測(cè)試中射擊10次，每次命中的環(huán)數(shù)如下：

5667777889

則其射擊成績(jī)的方差S?=.

14.△4BC的內(nèi)角4,B,C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為α,b,c,若α=4,A=30°,試寫出一個(gè)b值,

使該三角形有兩解，則滿足題意的b的值可以是

15.龍文塔位于漳州市龍文區(qū)步文鎮(zhèn)鶴鳴山，是漳州古城的標(biāo)志

性建筑，某研究性學(xué)習(xí)小組想利用正弦定理測(cè)量龍文塔的高度，

他們?cè)谒譈點(diǎn)的正西處的C點(diǎn)測(cè)得塔頂4點(diǎn)的仰角為30。，然后沿

著東偏南67。的方向行進(jìn)了64τn后到達(dá)。點(diǎn)(B,C,D三點(diǎn)位于同一

水平面內(nèi))，且B點(diǎn)在。點(diǎn)北偏東37。方向上，由此可得龍文塔的高

度為m.(參考數(shù)據(jù)：取Sin53。=0.8)

16.已知正四棱錐S-4BCD的底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為2,則該正四棱錐相鄰兩個(gè)側(cè)面所

成二面角的余弦值為;該正四棱錐的外接球的體積為

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

如圖，在△4BC中，ZD=^AB,點(diǎn)E是C。的中點(diǎn)，設(shè)荏=乙方=正

(1)用五是表示而,荏;

(2)如果I磯=3∣BCD,AE有什么位置關(guān)系？用向量方法證明你的結(jié)論.

A

18.(本小題12.0分)

某調(diào)研機(jī)構(gòu)從某校2023屆高三年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取60名學(xué)生，將其某次質(zhì)檢的化學(xué)科賦分后

的成績(jī)分成七段：[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],并制

作了相應(yīng)的頻率分布直方圖.

頻率

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)該校高三年級(jí)學(xué)生在這次質(zhì)檢考試中化學(xué)科賦分后成績(jī)的眾數(shù)、

平均數(shù)、中位數(shù)(小數(shù)點(diǎn)后保留一位有效數(shù)字)；

(2)用分層隨機(jī)抽樣的方法在各分?jǐn)?shù)段的學(xué)生中抽取一個(gè)容量為20的樣本，則［70,80)分?jǐn)?shù)段

抽取的人數(shù)是多少？

19.(本小題12.0分)

下圖是函數(shù)f(x)=Asin(?ωx+(P)G4>0,ω>0,0<<p<Tr)的部分圖象.

(1)求/(X)的解析式；

(2)解不等式/(%)>

20.(本小題12.0分)

如圖，由X到y(tǒng)的電路中有4個(gè)元件，分別為4,B,C,D,每個(gè)元件可能正常(用1表示元件的

“正?！睜顟B(tài)),也可能失效(用0表示元件的“失效”狀態(tài)).分別用修,犯，久3和%表示元件4

B,C和。的可能狀態(tài)，則這個(gè)電路的工作狀態(tài)可用Q1,X2,X3,X4)表示.

(1)記M="恰有兩個(gè)元件正?！?，用集合表示M；

(2)若4B,C,。能正常工作的概率都是:，記N="X到丫的電路是通路”，求P(N).

X一?d?p一γ

D

21.(本小題12.0分)

△ABC的內(nèi)角4,B,C所對(duì)的邊分別為α,b,c.若b=√^?,且α=√^3cosC+csinB.

(1)求B；

(2)求2α+c的最大值.

22.(本小題12.0分)

如圖，正方體ABCD-AlBleICl中，44ι=l,點(diǎn)M,N分別為棱AD,DDl上的點(diǎn)(不與端點(diǎn)

重合)，且4M=DN.

(1)求證：4M_L平面4BN；

(2)求三棱錐B-MoN的體積的最大值；

⑶點(diǎn)P在平面4BCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)(含邊界)，當(dāng)AlPIBC時(shí)，求直線AlP與直線Bcl所成角的余弦值

的最大值.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：???五〃a???2x-12=0,解得％=6.

故選B.

利用向量共線定理即可得出.

熟練掌握向量共線定理是解題的關(guān)鍵.

2.【答案】C

【解析】解：???直線α和b沒有公共點(diǎn)，.??直線α與b不是相交直線.

.?.直線α與b可能是相交直線或異面直線.

故選C

根據(jù)直線a和b沒有公共點(diǎn)，結(jié)合空間直線的位置關(guān)系進(jìn)行判斷.

本題主要考查空間直線的位置關(guān)系，空間直線平行和異面都沒有公共點(diǎn).

3.【答案】B

【解析】解：z1=a+i,z2=1+i,

AJ

Z2(1+0(1-02T2

咤是純虛數(shù),

竽=0

解得α=-1,

手≠0

-S=i>

?S+?2+?3+'"+?)20z3=i+i2+i3+…+i2023=505×0+i+i2+i3=-l.

故選:B.

根據(jù)已知條件，結(jié)合純虛數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，即可求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及純虛數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】A

【解析】解:將11個(gè)數(shù)從小到大排列可得：134276,219511,228235,301883,30525,411558,

455042,560969,638060,847535,952000,

由11X80%=8.8,

根據(jù)百分位數(shù)的定義可知，第80百分位數(shù)是第9個(gè)數(shù)：638060.

故選：A.

將11個(gè)數(shù)從小到大排列后，根據(jù)百分位數(shù)的定義，計(jì)算即可.

本題考查百分位數(shù)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】。

【解析】

【分析】

本題考查了四個(gè)條件的應(yīng)用，涉及到空間中直線與平面的位置關(guān)系以及面面垂直的判定定理，考

查了學(xué)生的理解能力，屬于中檔題.

根據(jù)空間中直線與平面的位置關(guān)系以及面面垂直的判定定理對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)判斷即可求解.

【解答】

解：選項(xiàng)A：由已知可得α〃/?或者al￡,故A錯(cuò)誤，

選項(xiàng)B：由Tnln,aC?β—m,nu夕可得：a,/?相交，故B錯(cuò)誤，

選項(xiàng)C：由m〃a,zn〃0可得：a〃￡或者α,S相交，故C錯(cuò)誤，

選項(xiàng)。：由m〃a,mJ■口可得：aVβ,故。正確.

故選

6.【答案】B

【解析】解：由于COS(α+￡)=COSaCos。-SinaSin0,COS(α—￡)=CoSaCOS(+sinashι∕?可得

cosacosβ=?[cos(α+∕?)+cos(α—β}].

故COSl0。CoS50。=?[cos60o+cos40°],sin200cos70°=cos70°cos70°=?[cosl40o+1]=

?(-cos40o+1),

故CoSlo°cos50°+sin200cos70°=gcos60°+gcos40°—gCOS40°+；=*

故選：B.

直接利用三角函數(shù)的關(guān)系式的變換求出三角函數(shù)的值.

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)的關(guān)系式的變換，三角函數(shù)的值，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)

算能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】A

【解析】解：設(shè)b=(x,y)>"a1b'則：a-b=6x—8y=0'

???y=爐，且|9|=5,

.2I?,2一2I_2_?2-25γ2一Or

??Xv-VV—Xv-V~rτXv—ττX—43,

J1616

?.?3與向量(LO)的夾角是銳角，

?%>0,

%=4,y=3,

???b=(4,3).

故選：A.

可設(shè)3=(x.y)，根據(jù)方1石可得出y=TX,根據(jù)方與向量(1,0)的夾角是銳角得出X>0,而根據(jù)I=

5即可求出X,y的值，從而得出向量方的坐標(biāo).

本題考查了向量垂直的充要條件，向量坐標(biāo)的數(shù)量積運(yùn)算，根據(jù)向量的坐標(biāo)求向量長(zhǎng)度的方法，

向量數(shù)量積的計(jì)算公式，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意，在棱錐P-ABCD中，PD=l,1

√4+1=為定值，E

若空間四邊形PEFD的周長(zhǎng)取得最小值，只需PE+

EF+FD取得最小值，'丁..

如圖，將4P、PB展開，使得△PAB與矩形ABCD在

同一個(gè)平面內(nèi)，

延長(zhǎng)DC到M,使得CM=DC,則有FD=FM,

當(dāng)四點(diǎn)P、E、F、M在同一條直線上時(shí)，PE+EF+FO取得最小值，且其最小值為PM,

在展開圖中：PO=2+1=3,DM=2+2=4,則PM=√16+9=5,即PE+EF+FO的最

小值為5,

故空間四邊形PEF。的周長(zhǎng)的最小值5+仁.

故選：C.

根據(jù)題意，分析可得PD為定值，由此將AP、PB展開，使得APAB與矩形ZBCD在同一個(gè)平面內(nèi),

再延長(zhǎng)DC到M,使得CM=DC,利用平面圖形分析PE+EF+F。的最小值，將其最小值和P。的

值相加即可得答案.

本題考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征，涉及幾何體表面距離最值的計(jì)算，屬于中檔題.

9.【答案】ACD

【解析】解：對(duì)于B,樣本數(shù)量較小，適宜全面調(diào)查，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于4CD,由于調(diào)查的范圍較廣，經(jīng)濟(jì)成本會(huì)較高，不適宜全面調(diào)查，適宜抽樣調(diào)查.

故選：ACD.

根據(jù)已知條件，結(jié)合抽樣調(diào)查、全面調(diào)查的定義，即可求解.

本題主要考查抽樣調(diào)查、全面調(diào)查的定義，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】BD

【解析】解：如圖，設(shè)正方體4BC。一&B1QD1的棱長(zhǎng)為L(zhǎng)

對(duì)于選項(xiàng)A.在正方體力BCD-aBIClDl中，有CCJ∕BB?,

所以4A∕Bι（或其補(bǔ)角）為直線與CCl所成的角，

在RtZkABBI中，A1B1=BB1,A1B11BB1,所以乙41BBi=45。，選項(xiàng)A錯(cuò).

對(duì)于選項(xiàng)A連接8G，在正方體ABCo-&BIGDl中，有

所以NB&G(或其補(bǔ)角)為直線BA1與4C所成的角，

又BCl=AlCI=AlB=S,即△Cl為正三角形，/.BA1C1=60%

選項(xiàng)B對(duì).

對(duì)于選項(xiàng)C在正方體ABCD-&BlClDl中，設(shè)4CnBO=。，連接。道，

則。10〃CIC〃4力，即ACCiO遇1共面，

又ACllAIC1，所以直線A。1與CG是相交直線，選項(xiàng)C錯(cuò).

對(duì)于選項(xiàng)。在正方體ABCn-&BIGDl中，BD1AC,AA11BD,

所以8。1平面4CCi4,所以8。14。1，選項(xiàng)。對(duì).

故選:BD.

以正方體為模型，考查平面內(nèi)直線與直線所成的角，需要把直線平移到同一個(gè)三角形中解決，直

線與直線垂直可以運(yùn)用線面垂直的性質(zhì)定理求解.

本題以正方體為模型，考查平面內(nèi)直線與直線所成的角，是基礎(chǔ)題.

11.【答案】BC

【解析】解：對(duì)于4若A，B是互斥事件，P(A)=3，P(B)=%則POIUB)=3+：=焉，故4

錯(cuò)誤；

對(duì)于C：若A,B是獨(dú)立事件，P(A)=g,P(B)=|,則4方也是獨(dú)立事件P(5)=g,則P(∕15)=

P(A)P(B)=；X=為，故C正確；

對(duì)于B：若4,B是對(duì)立事件，則P(AUB)=P(4)+P(B)=I,故B正確；

對(duì)于D：若P(A)=M(B)=；,則P(AB)=HgXT=P(A)P(B),則］,B不是獨(dú)立事件，故A,

B也不是獨(dú)立事件，故。錯(cuò)誤.

故選：BC.

利用互斥事件與相互獨(dú)立事件的性質(zhì)逐一判斷即可.

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：互斥事件和對(duì)立事件的定義，必然事件的定義及關(guān)系式的應(yīng)用，屬于中檔

題.

12.【答案】ABD

【解析】解：對(duì)于4連接CG交AB于。點(diǎn)，則點(diǎn)。是AB的中點(diǎn)，M是BC中點(diǎn)，連接DM,

.-.DM//AC,.-.DM=^AC,?.AG:GM=ACtDM=2：1,故A正確;

對(duì)于8,取AB中點(diǎn)N,連接AO,N0,

???。為△ABC的外心，??.NOLAB,

■.?A0?cos∕.NA0=∣√1∕V∣,,.?∣Aβ|=1.?∣AN?=?,

.?.AB-A0=?AB?-?AδICoSZN40=?AB?-?AN?=γ故B正確;

對(duì)于C,???H是△ABC的垂心，二7771瓦,

"H+-BCAB?^BC?AC

?AB?cosB?AC?cosC

Igzji而ICoS(Tr—8)II沅HzlCOSC

=-?BC?+?BC?=0,

?AB?cosB?AC?cosC

BC1^?AS^osB+∣^∣∞sP,vAHa-bc,二4”與I端:SB+溫ZSC共線'故C錯(cuò)誤;

對(duì)于。，分別作∕FJL4B,/EjLAC,交4B,4C于F,E點(diǎn),

連接4,并延長(zhǎng)交8C于P點(diǎn)，可得NBAP=Na4P=半

設(shè)內(nèi)切圓半徑為r,則|/用=?IE?=r,??AI?sin?BAP=?IF?=r,

AB-AI=AB(λAB+μAC)=λAB-AB+μABAC>

?,?IABI?IJ4∕ICOS=IAC\'—??CoSm==λ×l2+μ×2×，=λ—μ,

.??吉=2一%①，

AC-AI=AC■(λAB+μAC)=AAC-AB+μAC-AC,

IACI?ITl/1COS-=IAC\■—cos==Λ×2×?+〃X2?=—Λ+4〃，

=~λ.+4〃>②,

由①②可得4=篝，μ=?

在△ABC中，由余弦定理可得：

?BC?=J?AB?2+?AC?2-2?AB?×∣ΛC∣cosy=J1+4+2×1×2×?=/7>

???SAABC=抑Bl×MClSi吟=XlABl+?AC?+?BC?)r,

解得r=3+AΓ7,；?，+〃=+=V-3r=V^^3■故。正確?

故選：ABD.

連接CG交AB于C,^DM//AC,DM=?AC,根據(jù)三角形相似可判斷4取4B的中點(diǎn)N得No1AB,

從而|4。ICoSNM4。=∣4N∣,再由荏?而=|9|?|布ICoSNM4?？膳袛郆；點(diǎn)H為垂心得777_L

bc'利用BC-^?Aβ?cosB+/ZSC)=3得BCl(溫ZsB+I/LCb可得4H與溫ZSB+

,二°,共線可判斷C分別做∕F14B,IELAB,交4B,AC于F,E點(diǎn)，設(shè)內(nèi)切圓半徑為r,得

?AC?cosC

?AI?sin?BAP=?IF?=r,利用四?國=2通?屈+〃布?而，得者=4一〃，ACAl=XAC-

^AB+μAC-AC>得信=一4+4〃，從而求出4=篝，μ=^=,再由余弦定理可得IBCl=，7，

再利用SMBC=Tl4BIXIACISi吟=XMBl+MC∣+?BC?)r,求出r可判斷D.

本題考查三角形五心、平面向量基本定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是難題.

13.【答案】1.2

【解析】解：命中環(huán)數(shù)的平均數(shù)為：x=?×(5+6×2+7×4+8×2+9)=7,

其射擊成績(jī)的方差S?=m[(5-7)2+2X(6-7)2+4X(7-7)2+2X(8-7)2+(9-7)2]=

1.2.

故答案為：1.2.

根據(jù)已知條件，結(jié)合平均數(shù)和方差的公式，即可求解.

本題主要考查平均數(shù)和方差的公式，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】5（答案不唯一）

【解析】解：由正弦定理有：???,

SinASinB

.CbsinAb

???SinB=----=

a8

???△4BC有兩解，.??B>4

-{2∕<r即棋：

.?.4<h<8.

二滿足題意的b的取值范圍為：（4,8）.

故答案為：5（答案不唯一）.

利用正弦定理求出SinB,然后根據(jù)三角形有兩解得到b>α,s譏B<1即可求得.

本題考查正弦定理和三角形的解的個(gè)數(shù)問題，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】40

【解析】解：設(shè)龍文塔的高度為∕ιm,

在直角△48C中，?ACB=30°,所以BC=Ch,

在ABCC中，乙BCD=670乙CBD=90°—37°=53°,

所以NCDB=180°-67°-53°=60°,

BCCD

由正弦定理?

SinzCDFSinzCfiZ)1

xΓ3∕ι64

即.T，解得h=40m.

sin60osin53

故答案為：40.

設(shè)龍文塔的高度為厲n,根據(jù)題意分別求得BC=Hh/CBD=53。,4CDB=60°.在4BC。中,

利用正弦定理，即可求解.

本題主要考查了正弦定理在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】T爭(zhēng)

【解析】解：如圖所示，連接AC,BD,相交于點(diǎn)。，連接。S.

???四棱錐S-ABCD是正四棱錐，

.??0S_1底面48。。.作8后15。，同理DE_LSC,連接DE,

??.NBEO是相鄰兩個(gè)側(cè)面所成二面角的平面角，

BD=2,?BC-SP=^SC-BE,可得RP?_CXFI_C,

22BE-------2---------~T

12

sin"BED=擊,

COSZ-BED=1—2×^=-?.

SO=√SC2-OC2=√4-1=設(shè)外接球的半徑為R,

可得JR2_(C-R)2=1，解得R=殍，

正四棱錐的外接球的體積為：亨X(殍)3=%票!.

故答案為：一;；斗黑.

作出二面角的平面角，通過求解三角形.推出結(jié)果；求解外接球的半徑，然后求解體積即可.

本題考查了正四棱錐的性質(zhì)，二面角的求法，幾何體的外接球的體積的求法.考查了推理能力與

計(jì)算能力.

17.【答案】解：(I)由題意，CD=AD-AC=^AB-AC=^a-b,

因?yàn)辄c(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，

所以荏=H而+硝=*荏+T前=/+/;

(2)由(1)可得:

CD?ΛE=dα-K)?(?+?)=-?α2-?2,

?OZIoL

X∣α∣=3∣K∣.所以而?荏=0，

即CDLAE.

【解析】(1)由題設(shè)條件，根據(jù)向量的線性運(yùn)算即得；

(2)根據(jù)條件可證而?荏=0，BPCP1AE.

本題考查向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.

18.【答案】解：(1)由圖可知眾數(shù)為小羅=75,

因?yàn)?.05+0.05+0.1+0.2+IOa+0.25+0.05=1,解得α=0.030,

平均數(shù)為35X0.05+45×0.05+55×0.1+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71,

因?yàn)?.05+0.05+0.1+0.2=0.4<0.5,0.05+0.05+0.1+0.2+0.3=0.7>0.5,

所以中位數(shù)居第5組，設(shè)中位數(shù)為X,則0.05+0.05+0.1+0.2+0.03(x-70)=0.5,

解得X≈73.3,所以中位數(shù)約為73.3；

(2)因?yàn)榭側(cè)藬?shù)為60人，抽取20人，所以抽取比例為意=5

因?yàn)?0人中［70,80)分?jǐn)?shù)段人數(shù)為60X0.03×10=18人,

所以［70,80)分?jǐn)?shù)段應(yīng)抽取人數(shù)為18X；=6.

【解析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖中所有小矩形的面積之和為1得到方程,求出ɑ的值,再根據(jù)眾數(shù)、

平均數(shù)及中位數(shù)計(jì)算規(guī)則計(jì)算可得；

(2)求出抽樣比與［70,80)中的人數(shù)，即可得解.

本題主要考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查了眾數(shù)、平均數(shù)和中位數(shù)的計(jì)算，屬于中檔題.

19.【答案】解:(1)由圖可知,A=3,

周期T=4x(4.5-1.5)=12,

則3=普=%

IZO

f(x)圖象過點(diǎn)(1.5,3),

故3sin∕xl.5+0)=3,即*+@+2∕OT,∕C6Z,解得9=*+2∕OT,∕C∈Z,

V0<φ<π,

π

???(P=%，

故/(x)=3sin(≡x+^)；

(2W)>∣,

則3sin償X+》>1,即Sin償X+：)>；，

?1?F+2kτt<］x+J<+2fcττ>keZ,解得一［+12k<x<(+12k,/c∈Z,

664622

???原不等式的解集為(―；+12k,(+12k),kEZ.

【解析】(1)根據(jù)已知條件，結(jié)合圖象，依次求出43,φ,即可求解；

(2)結(jié)合(1)的結(jié)論，令"x)>∣,即可求解.

本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

20.【答案】解：(1)“恰有兩個(gè)元件正?！钡葍r(jià)于(X1,x2,x3,x4)eθ,且打，刀2,與，M中恰有兩

個(gè)為1,

所以M={(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1).(0,1,1,0),(0,1,0,1),(0,0,1,1))；

(2)設(shè)Nl="D正常工作”,電=“。沒有正常工作,4正常工作,且B,C中至少有一個(gè)正常工作”，

由于“X到y(tǒng)的電路是通路”等價(jià)于“D正常工作”或“。沒有正常工作，4正常工作，且B,C中

至少有一個(gè)正常工作”，

即N=N1UN2,

乂因?yàn)镻(NI)=；,P(∕V2)=(1—?)×?×(1—?X?)=?,且事件N],N?互斥,

所以根據(jù)互斥事件的概率加法公式，可得P(N)=P(NlUW2)=∣+?=?.

【解析】(1)根據(jù)題意，利用列舉法，即可求解；

(2)由相互獨(dú)立事件的概率公式，結(jié)合互斥事件的概率加法公式，即可求解.

本題主要考查了相互獨(dú)立事件的概率公式，考查了互斥事件的概率加法公式，屬于中檔題.

21.【答案】解：(1)因?yàn)閎=√~?,所以α=V^^無。sC+三csiτιB=bcosC+?csinB，

由正弦定理可得sin4=SinBcosC+SinCsinB>

而Siw4=Sin(B+C)=SinBcosC+CosBsinC,

所以CoSBSiTlC=SinCsinBy又因?yàn)镾iTlC≠0,

所以tmι8=C，B∈(O,"),

解得B=

(2)由正弦定理可得急=?==?=

2

所以α=2sinA,c=2sinC,

所以2Q+c=4sinA+2sinC=4sinA+2sin(^+/)=5sinA+yJ~3cosA=2√~^sin(Λ+0),且

tanφ=?,

則sirup=tf?<?，即W<p

14L?

因?yàn)锳∈(0,∣π),

所以sin(力+w)≤1,

所以2α+c的最大值為：2口.

【解析】(1)由題意可得α=bcosC+?CS譏B，再由正弦定理及三角形中角之間的關(guān)系整理可得

tcmB的值，進(jìn)而求出B角的大??；

(2)由(1)和正弦定理可得2α+c的表達(dá)式，再由4角的范圍，可得2α+c的最大值.

本題考查正弦定理的