數(shù)列的綜合應(yīng)用（解析版）-2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

專題40數(shù)列的綜合應(yīng)用

知考綱要求

識

梳

方法技巧

理

題題型一：數(shù)學(xué)文化與數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用

型

題型二：等差、等比數(shù)列的綜合

歸

類題型三：數(shù)列與其他知識的交匯

訓(xùn)練一：

培

訓(xùn)練二：

優(yōu)

訓(xùn)練三：

訓(xùn)

練訓(xùn)練四：

訓(xùn)練五：

訓(xùn)練六：

強(qiáng)

單選題：共8題

化

多選題：共4題

測

試填空題：共4題

解答題：共6題

一、【知識梳理】

【考綱要求】

1.了解數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，會解決等差、等比數(shù)列的綜合問題.

2.能在具體問題情境中，發(fā)現(xiàn)等差、等比關(guān)系，并解決相應(yīng)的問題.

【方法技巧】

1.數(shù)列應(yīng)用問題常見模型

（1）等差模型：后一個(gè)量比前一個(gè)量增加（或減少）的是同一個(gè)固定值.

（2）等比模型：后一個(gè)量與前一個(gè)量的比是同一個(gè)固定的非零常數(shù).

（3）遞推數(shù)列模型：如果題目中給出的前后兩項(xiàng)之間的關(guān)系不固定，隨項(xiàng)的變化而變化，那么應(yīng)考慮如與小

+1（或者相鄰三項(xiàng)）之間的遞推關(guān)系，或者S,與S,+i（或者相鄰三項(xiàng)）之間的遞推關(guān)系.

2.對等差、等比數(shù)列的綜合問題，應(yīng)重點(diǎn)分析等差、等比數(shù)列項(xiàng)之間的關(guān)系.數(shù)列的求和主要是等差、等比

數(shù)列的求和及裂項(xiàng)相消法求和與錯(cuò)位相減法求和，本題中利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，然后利用"=1,J>0

證明不等式成立.另外本題在探求｛如｝與｛金｝的通項(xiàng)公式時(shí)，考查累加、累乘兩種基本方法.

3.數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題關(guān)鍵在于通過函數(shù)關(guān)系尋找數(shù)列的遞推關(guān)系，求出數(shù)列的通項(xiàng)或前〃項(xiàng)和，

再利用數(shù)列或數(shù)列對應(yīng)的函數(shù)解決最值、范圍問題，通過放縮進(jìn)行不等式的證明.

二、【題型歸類】

【題型一】數(shù)學(xué)文化與數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用

【典例1】北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層.上層中心有一塊圓形石板（稱為天心

石），環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊.下一層的第一環(huán)比上一層的最后

一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形

石板(不含天心石)()

A.3699塊B.3474塊

C.3402塊D.3339塊

【解析】設(shè)每一層有“環(huán)，由題意可知，從內(nèi)到外每環(huán)之間構(gòu)成公差為d=9,首項(xiàng)為G=9的等差數(shù)列.由

等差數(shù)列的性質(zhì)知S",S2,-S?,S3”一S2"成等差數(shù)列，且(S3"—S2”)一(S2〃-s,)=/d,則9/=729,解得n=9,

則三層共有扇面形石板S3“=S27=27X9+王守X9=3402（塊）.

故選C.

【典例2】某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)剪紙時(shí)經(jīng)常會沿紙的某條對稱軸把紙對折.規(guī)格為20

dmX12dm的長方形紙，對折1次共可以得到10dmX12dm,20dmX

6dm兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和Si=240dm2,對折2次共可以得到5dmX12dm,10dmX6dm,

20dmX3dm三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和§2=180dn?,以此類推，則對折4次共可以得到不同規(guī)格

圖形的種數(shù)為;如果對折〃次，那么dm2.

k=\

【解析】依題意得，Si=120X2=240；

52=60X3=180；

,53

當(dāng)〃=3時(shí)，共可以得到5dmX6dm,彳dmX12dm,10dmX3dm,20dmX-dm四種規(guī)格的圖形，且5X6

=30,9x12=30,10X3=30,

3

20X]=30,所以53=30X4=120；

5533

當(dāng)〃=4時(shí)，共可以得到5dm義3dm,]dmX6dm,[dmX12dm,10dmX]dm,20dmX^dm五種規(guī)格的

553

圖形，所以對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數(shù)為5,且5X3=15,]X6=15,-X12=I5,10X^=

3

15,20X^=15,

所以§4=15X5=75；

所以可歸納&=釁義/+1）=咨±D

所以為=24。（1+5+*+…nH+1

,①

A=11

1〃

所以］XfSk

(2?3[4].n.n+1

=240(級----I-^+^+T,②

由①一②得，|xfs,

=24of|刀+3)

2〃」｝

所以f；&=240。一噎）dm?.

【典例3】《周髀算經(jīng)》中有這樣一個(gè)問題：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、

立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣，自冬至日起，其日影長依次成等差數(shù)列，前三個(gè)節(jié)氣日影長之和為28.5

尺，最后三個(gè)節(jié)氣日影長之和為1.5尺，今年3月20日為春分時(shí)節(jié)，其日影長為（）

A.4.5尺B.3.5尺

C.2.5尺D.1.5R

【解析】冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣日

影長構(gòu)成等差數(shù)列{m},設(shè)公差為乩

ci\+〃2+俏=28.5,

由題意得,

aio+au+〃i2=1.5,

0=10.5,

解得

d——I,

所以斯=0+（〃-1）d=11.5—n,

所以677=11.5—7=4.5,

即春分時(shí)節(jié)的日影長為4.5尺.

故選A.

【題型二】等差、等比數(shù)列的綜合

【典例1]設(shè)｛斯｝是等差數(shù)列，且m=ln2,〃2+〃3=51n2.

(1)求｛斯｝的通項(xiàng)公式；

(2)求e〃]+eo2+…+以小

【解析】⑴設(shè)｛%｝的公差為cl.

因?yàn)閟+a3=51n2,

所以2m+34=51n2.又。i=In2,所以4=In2.

所以斯=。1+(〃-l)J=nln2.

(2)因?yàn)閑ai=eln2=2,e?—1=e1"2=2,

ea?-in

所以｛ea,J是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列.

1—2"

所以e“i+ea2+…+ea“=2X^7=2(2"-l)=2"+i-2.

【典例2】設(shè)S"為數(shù)列｛〃“｝的前n項(xiàng)和，己知02=3,??+i=2a?+l.

(1)證明：｛斯+1｝為等比數(shù)列；

(2)求｛斯｝的通項(xiàng)公式，并判斷”，a,?S“是否成等差數(shù)列？說明理由.

【解析】(1)證明：因?yàn)椤?=3,<22=201+1,所以0=1,

因?yàn)閍?+i=2a?+l,所以m+|+1=2(斯+1),

所以｛a“+l｝是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列.

⑵由(1)知，斯+1=2",所以斯=2"-1,

2—2〃+]

所以*=-；--n=2,,+l-n-2,

1—2

所以〃+5"—2斯=〃+2"+|一"一2一2(2"—1)=0,

所以九+5"=2斯,即"，an,S”成等差數(shù)列.

【典例3]己知等差數(shù)列｛斯｝和等比數(shù)列恰“｝滿足0=2,勿=4,〃“=21og2"”〃GN*.

(1)求數(shù)列｛斯｝,｛兒｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)數(shù)列｛斯｝中不在數(shù)列｛為｝中的項(xiàng)按從小到大的順序構(gòu)成數(shù)列記數(shù)列｛c“｝的前〃項(xiàng)和為S,”求510o.

【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列｛飆｝的公差為乩

因?yàn)椤?=4,所以a2=21og2歷=4,

所以d=ci2—“1=2,

所以④=2+(〃-l)X2=2〃.

又“”=21og2瓦，即2w=21og2b“，

所以rt=lOg2*?,

所以瓦=2".

⑵由⑴得"=2"=20-1=dt,

即幾是數(shù)列｛詼｝中的第2nr項(xiàng).

設(shè)數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和為Pn,數(shù)列｛九｝的前n項(xiàng)和為Q?,

因?yàn)閎l—=064.公=%，=028,

所以數(shù)列｛c“｝的前100項(xiàng)是由數(shù)列｛?。那?07項(xiàng)去掉數(shù)列｛d｝的前7項(xiàng)后構(gòu)成的,

所以S100=P|07—。7

107X(2+214)2-28

2--1-211302.

【題型三】數(shù)列與其他知識的交匯

【典例1］已知數(shù)列｛〃”｝是公比不等于1的正項(xiàng)等比數(shù)列，且lgai+lg?2()2i=0，若函數(shù)/(X)

國與，則.*0)+加2)~1------/。2021)=()

A.2020B.4040

C.2021D.4042

【解析】因?yàn)閿?shù)列｛m｝是公比不等于1的正項(xiàng)等比數(shù)列，且lgm+lga2021=0，所以lg(m?。2

2上

2，所“以九~月+,.(/。n=田2+.小2=12+釬Zr=2，所

02i)=0，即S?ai02i=1.因?yàn)楹瘮?shù)人

1+—

廣

以/(。1)+人〃2021)=2.令T=/(4i)+/(a2)H-------1-4。2021).則T=/(a202i)+y(a2020)H-------FyC^O-所以

2T=*。1)+穴〃2021)+式42)+,穴〃2020)+?,,+,/(42021)+./(.1)=2乂2021，所以7=2021.

故選C.

【典例2］已知Sn是數(shù)列｛.〃｝的前n項(xiàng)和，0=1，_aV77eN*?2S〃=(〃+l)z，hn=

(dnJI4〃兀、

S(cos一廠+sin一廠卜則數(shù)列｛仇｝的前2020項(xiàng)之和T202()=.

【解析】因?yàn)?S"=(〃+1)。"①，

所以當(dāng)時(shí)，2sl②，

①一②得，2“"=(〃+1)。”一“ai，

兩邊同時(shí)除以〃(〃一1)，得；-=7刁(〃22),

即數(shù)列｛詈｝為常數(shù)列，

,.ClnCl\.

故—=7=1，a=n)

n1n

<an(〃+l)

于是S.=---2—

n(/?+1)〃?。n

于T是Ba二2—cos~y+sin

2

令Cn=bin-3+Z?4n-2+^4/1-1+/?4n(7?N)，

(4〃-3)(4〃-2)(4〃-2)X(4/z-1)(4〃-1)X4/i

則X(0+1)4X(-l+0)4x(o

Cn—222

4“(4“+l)

X(l+0)=2，

TH2

于是nO2O=C1+。+…+c505=2X505=1010.

1

【典例3]設(shè)數(shù)列｛z｝的通項(xiàng)公式為Z=2〃-1，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn'若對任意的

ClnCln+1

〃WN*，不等式4〃＜。2一。恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為

【解析】因?yàn)閍,,=2n—\'

4

又4Tn<a2—a，

所以2W°2一。?解得aW—1或a22，

即實(shí)數(shù)a的取值范圍為（—8，-]]U[2'+8）.

三、【培優(yōu)訓(xùn)練】

｛4,｝m=lx

【訓(xùn)練一】已知數(shù)列滿足an+am=am+n（m〃GN"）且，若[幻表示不超過的最大整

。2"+3

數(shù)，則數(shù)列的前10項(xiàng)和為（）

5

113

A.12B?亍

C.24D.40

【解析】數(shù)列｛&“｝滿足，〃右N*）且ai=l，

所以令加=1，可得+1，可得Z+1—4"=1，

所以數(shù)列｛Z｝為等差數(shù)列，公差為1，首項(xiàng)為1.

所以=1+〃-1=n9所以。2〃+3=2/1+3.

令詈2=火〃)，則當(dāng)iw〃W3時(shí)，次”)=1:4W/1W5時(shí)，次〃)=2；6W/1W8時(shí)，次〃)=3，〃=9，

10時(shí)，0〃)=4.

所以數(shù)列［詈的前10項(xiàng)和為1X3+2X2+3X3+4X2=24.

故選C.

【訓(xùn)練二】(多選)已知在△A3C中，4，3分別是邊3A，CB的中點(diǎn)，4，&分別是線段AiA，

B\B的中點(diǎn)，…，A”，&分別是線段AiA，B一向〃GN*，〃>1)的中點(diǎn)，設(shè)數(shù)列伍”｝，｛d｝滿

足氏為(〃GN*)，給出下列四個(gè)結(jié)論，其中正確的是()

A.數(shù)列｛?。沁f增數(shù)列，數(shù)列｛加｝是遞減數(shù)列

B.數(shù)列｛小+兒｝是等比數(shù)列

C.數(shù)列｛詈｝(〃GN*,〃>1)既有最小值，又有最大值

On

D.若在△ABC中，C=90°，CA=CB>則|前”|最小時(shí)，an+b,,=\

［解析］由尻=(1_曰或=°_曰(0_函，得麻=￡曲，得而工"=麻+就=/西+

(1T)筋一函=0T)①+貸L1同'所以an=1，如=*-1，則數(shù)列｛加是遞增

數(shù)列，數(shù)列｛仇｝是遞減數(shù)列，故A正確；數(shù)列｛“"+/?"｝中，an+bn—^,'a\+b\=^，即數(shù)列｛a“

十而是首項(xiàng)為:‘公比為:的等比數(shù)列,故B正確；當(dāng)〃>1時(shí),在數(shù)列用中,六三三=一

5所以數(shù)列賁遞增'有最小值'無最大值'故C錯(cuò)誤；若在△A8C中‘C=90°>CA

=CB，則|BZF=(后+易).CA2+2a"0"^X?勘=(屆+硝無2，曷+底=(1一+^^=7—=

5義閨—6X@j+2=5(/一|)+|，當(dāng)〃=1時(shí)，晶+后取得最小值，故當(dāng)工,|最小時(shí)，a,,+

b"=g,故D正確.

故選ABD.

【訓(xùn)練三】某地區(qū)2018年人口總數(shù)為45萬.實(shí)施“二孩”政策后，專家估計(jì)人口總數(shù)將發(fā)生如下變化:

從2019年開始到2028年，每年人口總數(shù)比上一年增加0.5萬人，從2029年開始到2038年，每年人口總數(shù)

為上一年的99%.

(1)求實(shí)施“二孩”政策后第"年的人口總數(shù)?！?單位：萬人)的表達(dá)式(注：2019年為第一年)；

(2)若“二孩”政策實(shí)施后的2019年到2038年人口平均值超過49萬，則需調(diào)整政策，否則繼續(xù)實(shí)施，問到

2038年結(jié)束后是否需要調(diào)整政策？(參考數(shù)據(jù)：0.99'°?0.9)

【解析】(1)由題意知，當(dāng)時(shí)，數(shù)列是首項(xiàng)為45.5,公差為0.5的等差數(shù)列，可得””=45.5+

0.5X(〃-1)=05〃+45,則0o=5O;

當(dāng)11W"W2O時(shí)，數(shù)列｛知｝是公比為0.99的等比數(shù)列，則斯=50X0.99"一2

故實(shí)施“二孩”政策后第〃年的人口總數(shù)”“(單位：萬人)的表達(dá)式為

0.5n+45,IWnWlO,

“"-150乂0.99門°,I1W〃W2O.

⑵設(shè)S,為數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和.從2019年到2038年共20年，由等差數(shù)列及等比數(shù)列的求和公式得S2o=

510+(01+02+…+420)=477.5+4950X(1-0.9嚴(yán)戶9725

所以“二孩”政策實(shí)施后的2019年到2038年人口平均值為呼748.63,則3V49,

故到2038年結(jié)束后不需要調(diào)整政策.

【訓(xùn)練四】已知在等差數(shù)列｛斯｝中，a2=5,a4+?6=22,在數(shù)列仍“｝中，"=3,兒=2b-|+1(心2).

(1)分別求數(shù)列｛斯｝，｛",｝的通項(xiàng)公式；

(2)定義x=[x]+(x),田是x的整數(shù)部分，(x)是x的小數(shù)部分，且0<(x)Vl.記數(shù)列｛金｝滿足c“=(石詈/，求

數(shù)列｛6｝的前〃項(xiàng)和.

【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列｛m｝的公差為d,因?yàn)镚=5,內(nèi)+。6=22,所以。5=色”=11，所以1=f13=

2,所以如="2+2("-2)=5+2(〃-2)=2”+1.又6=3,2+1=2(兒-1+1)(〃》2),所以｛加+1｝是首項(xiàng)為4,

公比為2的等比數(shù)列，所以為+1=2"+】(〃列2),所以兒=2一|一1("列2).易知名=3滿足上式,所以",=2"

+l-l(n6N*).

(2)由二項(xiàng)式定理知，當(dāng)〃》1時(shí)，2n+l=2(l+1)">2(CHC,',)=2(1+,7)>2/?+I,所以c.=(/唔?，

所以S尸宗+宗---卜2；；"①,

；&=—+宗---卜彳"②，

①一②，得?“=(+*+/+這H---

一4十2①2"+2

5_27?+5

2"’2，

52』+5

故Sfl=2-2〃+]'

【訓(xùn)練五】由整數(shù)構(gòu)成的等差數(shù)列｛斯｝滿足43=5,06=2的

(1)求數(shù)列｛“"｝的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列｛兒｝的通項(xiàng)公式為d=2",將數(shù)列｛如｝,｛兒｝的所有項(xiàng)按照“當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，兒放在前面：當(dāng)〃為

偶數(shù)時(shí),斯放在前面”的要求進(jìn)行“交叉排列”，得到一個(gè)新數(shù)列｛c〃｝,bi，a1,a2,歷,b3,a3,a4,仇，???，

求數(shù)列｛如｝的前(4〃+3)項(xiàng)和T4n+3.

【解析】⑴由題意，設(shè)數(shù)列｛”“｝的公差為4,

因?yàn)椤?=5,0102=204.

伍i+2d=5,

可得

[a\\a]+cl)=2(a\+3ct),

整理得(5—2d)(5—J)=2(5+J)，

即2心一174+15=0,解得d=竽或d=l,

因?yàn)椋梗秊檎麛?shù)數(shù)列，所以d=l,

又由4]+2d=5,可得m=3,

所以數(shù)列｛?1｝的通項(xiàng)公式為a?=n+2.

(2)由(1)知，數(shù)列｛詼｝的通項(xiàng)公式為期=〃+2,又由數(shù)列｛d｝的通項(xiàng)公式為d=2"，

根據(jù)題意，得新數(shù)列｛c〃｝,bl,a\9。2,歷,。3,〃3,〃4,。4,…，

則?！?3=bI+aI+〃2+〃2+83++44+〃4H---H岳〃-1+-1+〃2〃+b2n+岳〃+1++。2”+2

=(Z?1+62+63+64+…+b2〃T)+(41+。2+。3+〃4+…+〃2/1十2)

=2X(二廣)+(3+2〃+;)(2〃+2)=心+2,“9〃+5.

【訓(xùn)練六】已知等差數(shù)列｛%｝的公差為2,前〃項(xiàng)和為S”，且S”S2,S4成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；

4，

(2)令兒=(一1)"一1----,求數(shù)列｛4J的前n項(xiàng)和T.

斯斯+1n

【解析】(1；,等差數(shù)列僅“)的公差為2,前〃項(xiàng)和為S”，且S,a成等比數(shù)列，

/.Sn=?+n(n—1),

(2ai+2)2=m(4m+12),

解得a1=1,:?a“=2n—I.

⑵由⑴可得兒=(一1廣1

anan-￥\

=(-1尸1(2〃-1+2"+1)'

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，

7，?=0+3)-(3+5)+(5+7)—?

-2n+l-2n+l:

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，

1+肅=需

2n

〃為偶數(shù),

2〃+1'

2〃+2

〃為奇數(shù).

2n+l'

四、【強(qiáng)化測試】

【單選題】

1.等比數(shù)列｛斯｝中，。5，S是函數(shù)yU)=f-4x+3的兩個(gè)零點(diǎn)，則的等于()

A.-3B.3C.-4D.4

【解析】5,。7是函數(shù)加0=/-4主+3的兩個(gè)零點(diǎn)，，傷，S是方程x2—4主+3=0的兩個(gè)根,&5r7=

3,由等比數(shù)列的性質(zhì)可得〃3,〃9=〃5?S=3.

故選B.

2.已知等差數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和為公差為-2,且〃7是。3與〃9的等比中項(xiàng)，則S10的值為()

A.一110B.-90C.90D.110

【解析】是〃3與。9的等比中項(xiàng)，

*,?屆=。3。9,

又?jǐn)?shù)列｛為｝的公差為一2,

???31—12)2=5I-4)(〃1-16),解得0=20,

?二〃〃=20+(〃—1)X(—2)=22—2〃，

.10(ni+?io).

??Sio=—----5X(20+2)=110.

故選D.

3.若等差數(shù)列｛斯｝的公差”甘0且0,磔，“7成等比數(shù)列，則?等于()

321

A，2BqC，2D.2

【解析】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為0,公差為"，

則〃3=〃l+2d,47=41+6+

因?yàn)?,。3,。7成等比數(shù)列,

所以(m+26/)2=〃](m+6d),

解得0=2d.所以賓=符9=/

故選A.

4.某病毒研究所為了更好地研究“新冠”病毒，計(jì)劃改建十個(gè)實(shí)驗(yàn)室，每個(gè)實(shí)驗(yàn)室的改建費(fèi)用分為裝修費(fèi)

和設(shè)備費(fèi)，每個(gè)實(shí)驗(yàn)室的裝修費(fèi)都一樣，設(shè)備費(fèi)從第一到第十實(shí)驗(yàn)室依次構(gòu)成等比數(shù)列，已知第五實(shí)驗(yàn)室

比第二實(shí)驗(yàn)室的改建費(fèi)用高42萬元，第七實(shí)驗(yàn)室比第四實(shí)驗(yàn)室的改建費(fèi)用高168萬元，并要求每個(gè)實(shí)驗(yàn)室

改建費(fèi)用不能超過1700萬元.則該研究所改建這十個(gè)實(shí)驗(yàn)室投入的總費(fèi)用最多需要()

A.3233萬元B.4706萬元

C.4709萬元D.4808萬元

【解析】設(shè)每個(gè)實(shí)驗(yàn)室的裝修費(fèi)用為X萬元，設(shè)備費(fèi)為小萬元("=1,2,3,…，10),

[的―a2=42,aq=42,

則，所以63/c

[aj—。4=168,聞—〃q=168,

解得1故aio=aq9=i536.

k=2.

依題意x+1536W1700,即xW164.

3(1—2"))

所以總費(fèi)用為lOx+ai+sH——Faio=lOx+^H—尸=1Ox+3069W4709.

故選C.

5.某食品加工廠2019年獲利20萬元，經(jīng)調(diào)整食品結(jié)構(gòu)，開發(fā)新產(chǎn)品，計(jì)劃從2020年開始每年比上一年

獲利增加20%,則從()年開始這家加工廠年獲利超過60萬元，己知愴2y0.3010,也3~0.4771()

A.2024年B.2025年

C.2026年D.2027年

【解析】由題意，設(shè)從2019年開始，第〃年的獲利為小(〃WN*)萬元，

則數(shù)列｛斯｝為等比數(shù)列，其中2019年的獲利為首項(xiàng)，即m=20.

2020年的獲利為。2=20-(1+20%)=20乂,(萬元)，

2021年的獲利為的=20義(1+20%)2=20(1)2(萬元)，

二數(shù)列｛?。耐?xiàng)公式為m(〃eN*),

由題意可得斯=20(!>r>60,

0.4771

!s36Ig3

An-l>10gp--_產(chǎn)6.0316>6,

愴Ig6-lg5..J021g2+lg3-l2X0.3010+0.4771

55lg(2X3)ig2

.?.心8,

...從2026年開始這家加工廠年獲利超過60萬元.

故選C.

6.意大利數(shù)學(xué)家斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…

即F(1)=F(2)=1,F(〃)=F(〃-1)+尸(〃-2)(〃13,〃6N*).此數(shù)列在現(xiàn)代物理、化學(xué)等方面都有著廣泛的應(yīng)

用.若此數(shù)列被2除后的余數(shù)構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列｛斯｝,則數(shù)列｛〃“｝的前2019項(xiàng)的和為()

A.672B.673

C.1346D.2019

【解析】由于｛斯｝是數(shù)列1,I,2,3,5,8,13,21,34,55,…各項(xiàng)除以2的余數(shù)，

故｛%｝為1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,…，

所以｛為｝是周期為3的周期數(shù)列，

且一個(gè)周期中的三項(xiàng)之和為1+1+0=2.

因?yàn)?019=673X3,

所以數(shù)列｛斯｝的前2019項(xiàng)的和為673X2=1346.

故選C.

7.己知等差數(shù)列｛服｝的公差為一2,前"項(xiàng)和為若。2,。3,?4為某三角形的三邊長，且該三角形有一個(gè)

內(nèi)角為120。，則S,的最大值為()

A.5B.11

C.20D.25

【解析】由等差數(shù)列｛為｝的公差為-2可知該數(shù)列為遞減數(shù)列，則42，的，。4中S最大，44最小.又42，

。3，"4為三角形的三邊長，且最大內(nèi)南為120°,由余弦定理得。之=。*+裙+。3田.設(shè)首項(xiàng)為°1，則(0—2)2=(0

22

-4)+(ai-6)+(al-4)(a,-6),整理得(m—4)(m—9)=0,所以m=4或0=9.又出=0—6>0,即0>6,

故0=4舍去，所以0=9.數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和5“=9”+吟―"*(-2)=一(〃-5)2+25.故S,的最大值為S5

=25.

故選D.

8.定義：若數(shù)列｛%｝對任意的正整數(shù)〃，都有|即川+|斯尸四/為常數(shù))，則稱|斯|為“絕對和數(shù)列”，d叫做

“絕對公和”.已知“絕對和數(shù)列”｛網(wǎng)｝中,ai=2,絕對公和為3,則其前2019項(xiàng)的和$2019的最小值為()

A.-2019B.-3010

C.-3025D.-3027

【解析】依題意，要使“絕對和數(shù)列”｛痣｝前2019項(xiàng)的和S20I9的值最小，只需每一項(xiàng)的值都取最小值即

可.因?yàn)?=2,絕對公和4=3,所以。2=—1或。2=1(舍)，所以〃3=—2或43=2(舍)，所以04=—1或

44=1(舍)，…，所以滿足條件的數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式

2,〃=1,

an="-2,〃為大于1的奇數(shù)，所以S1019=+(42+〃3)+(〃4+〃5)+…+(〃2018+“2019)=2+(—1—

、一1,〃為偶數(shù)，

2019-1

2)X-2-=一3025,

故選C.

【多選題】

9.南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法?商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱為“三角垛”.“三角

垛”的最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，…，設(shè)各層球數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列｛?。?貝1()

4^

A.〃4=12

B.〃〃+1=?！?〃+1

C.0oo=5O5O

D.2an+1=cin-an+2

【解析】由題意知，“1=1,。2=3,s=6,…,

故0尸吟U

0t=%-i+n.

L兇產(chǎn)=1。，故A錯(cuò)誤;

an+\=att+n+1,故B正確;

100X(100+1)

〃100=2=5050,故C正確;

2斯+1=(/7+1)(/7+2),

〃(〃+1)(/?+2)(/?+3)

Cln'Cln+2—4，

顯然2斯十|W〃〃?a“+2,故D錯(cuò)誤.

故選BC.

10.已知數(shù)列｛斯｝是公差不為0的等差數(shù)列，前"項(xiàng)和為S.,滿足0+5〃3=S8,下列選項(xiàng)正確的有()

A.aio=OB.Sio最小

C.Si=S\2D.S2O—O

【解析】根據(jù)題意，數(shù)列｛斯｝是等差數(shù)列，若0+543=58,

即a]+5〃i+10d=8ai+28d,變形可得的=-94

又由〃〃=〃]+(〃-l)d=(〃-10)d,

則有mo=O,故A一定正確；

不能確定S和d的符號，不能確定Sio最小，故B不正確；

一,,n(n—1)d,77(77—1Wd。

=

又由Snna\+---2---=-9〃d+-------=]X(〃--19?),

則有S7=S2,故C一定正確；

2Qx19

貝i」S2o=20ai+―一/=-18(W+190d=10d,〈dWO,，52oW0,則D不正確.

故選AC.

11.若數(shù)列｛斯｝滿足：對任意的“GN*且心3,總存在i,六N*,使得小=4+q（*j,Y",/V"）,則稱

數(shù)列｛如｝是“7數(shù)列”.則下列數(shù)列是“T數(shù)列”的為（）

A.[2n]

C.{3"}

【解析】令斯=2〃,則。"=。1+。"-1（"23）,所以數(shù)列｛2〃｝是"T數(shù)列"；令即=1,則0=1,a2—4,03

=9,所以g手ai+s，所以數(shù)列｛/｝不是“7'數(shù)列”；令如=3",則m=3,s=9,必=27,所以《于m+

a2,所以數(shù)列｛3"｝不是“7數(shù)列”

所以數(shù)列是“T數(shù)列”.

故選AD.

2

12.一個(gè)彈性小球從100m高處自由落下，每次著地后又跳回原來的高度的［再落下.設(shè)它第八次著地時(shí),

經(jīng)過的總路程記為S“，則當(dāng)〃22時(shí)，下面說法正確的是（）

A.5?<500B.SW500

C.S.的最小值為怨D.S”的最大值為400

共經(jīng)過了(100+100x|x2

【解析】第一次著地時(shí)，共經(jīng)過了100m,第二次著地時(shí),第三次著地時(shí),

2穹X2.

共經(jīng)過了100+100X4X2+100Xm，以此類推，第”次著地時(shí)，共經(jīng)過了

n-I

10()+l00x|x2+100X停)

IX2+-+100X2(X2m.所以S=100'+100+

n2

,-3

J'JS"是關(guān)于n的增函數(shù)，所以當(dāng)G2時(shí)，S,的最小值為S2，且$2=等.又￡=100+

聞-?n<100+400=500.

故選AC.

【填空題】

121

13.若數(shù)列｛a“｝滿足,一?=0，則稱｛斕為“夢想數(shù)列”.已知正項(xiàng)數(shù)列｛看｝為“夢想數(shù)列”，

Cln+1a，?On

且4+歷+83=1，則。6+歷+加=.

【解析】由六一.=0可得m+1=%“,故｛&”｝是公比為;的等比數(shù)列，故｛*｝是公比為3的等比

數(shù)列，則｛%｝是公比為2的等比數(shù)列，素+歷+岳=(歷+歷+。3)25=32.

14.已知在數(shù)列｛&｝中，出+i=2a“一1，ai=2，設(shè)其前n項(xiàng)和為Sn>若對任意的〃GN*，⑸+

1—幾)&22〃-3恒成立，則k的最小值為

【解析】由。?+1=2?！ㄒ?，可得a〃+]—1=2(0?—1).又因?yàn)?—1=1，所以數(shù)列｛小一1｝是公比

2"-1

為2，首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，所以小=1+2"-1，所以5"=^—7+〃=2"—1+幾因?yàn)閷θ我獾摹ā?gt;1*，

2—1

2〃一3?2n-32n-12n-3

(5〃+1—n)k^2n恒成立，所以攵，==

—32〃I?令bn~~，因?yàn)閎n+\-bn~^+\~一―~

5—2〃

亍廣，所以數(shù)列｛包｝的前3項(xiàng)單調(diào)遞增，從第3項(xiàng)開始單調(diào)遞減.所以〃=3時(shí)，數(shù)列｛瓦｝取

33

得最大值力=不，所以攵

3O2dO.

15.若數(shù)列｛m｝滿足02—51<"3—%2<一<。"一%"一1<一，則稱數(shù)列｛&｝為“差半遞增”數(shù)列.若

數(shù)列｛明為“差半遞增”數(shù)列，且其通項(xiàng)與前〃項(xiàng)和S滿足S“=2a”+2L1(〃WN*)，則實(shí)

數(shù)，的取值范圍是.

【解析】由題意知，S〃=2z+2f—1①?當(dāng)n=1時(shí)，m=2m+2Ll，得m=l—2f;

當(dāng)G2時(shí)，Sn-\=2a?-\+2t-\②，①一②并化簡，得斯=2%i，故數(shù)列｛〃〃｝是以防=1一

2f為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則m=(1一2。21，所以小一%“_1=(1—2。2口一；?(1一202”

-2=(3—6/>2"-3，因?yàn)閿?shù)列｛&“｝為“差半遞增”數(shù)列，所以3—6〉0，解得/<；.

16.已知等差數(shù)列｛?。氖醉?xiàng)m及公差小都是實(shí)數(shù)，且滿足安+曰+2=0,則4的取值范圍是.

【解析】???竽+?+2=0,

.(2“i+")(4，"+6”)(341+34

?,2十9十2U,

...5山+10加|+4心+2=0,

ai,JGR,

，/=100/-20(4加+2)》0,

解得d》色或4W—啦.

【解答題】

17.已知S,為等差數(shù)列｛”“｝的前〃項(xiàng)和，且的=3,57=14.

⑴求斯和S"；

(2)若①=2%,求｛瓦｝的前〃項(xiàng)和乙.

【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)為0,公差為d,由“3=3,57=14,

〃3=〃i+2d=3,

。1=5,

得7X(7-1)解得

S7=7〃I+---2---%=14,(1——\

=

??ana[~^(n-l)d=-〃+6,

(〃]+小)〃(5+6~~〃)〃(11一“加

2=2=-2-,

(2)由(1)知斯=—〃+6,bn—2"",

得6〃=26-〃=26乂(寸，

2，1-(/｝]/)\_

66n6rt

，Tn=-----j-=2-2X^=64-2~.

18.已知斯=/+〃〃一%+?！?2加+~+〃〃-1+6〃3>0,比>0,〃￡N*).

(1)當(dāng)。=2,〃=3時(shí)，求〃〃；

(2)若。=4求數(shù)列｛如｝的前〃項(xiàng)和冬.

【解析】(1)當(dāng)〃=2,6=3時(shí)，蜘=2"+2廠13+2廠2.32+-+2.3〃r+3〃(〃￡N*),

兩邊除以2〃，得

器=1+1+(|>+…+(|卜+。"

所以w?=3n+l-2n+1.

(2)若a=6,則““=(〃+1)#,

,,

所以S,=2a+342+4/H----F(/7+l)aI①

當(dāng)”=1時(shí)，S?=2+3+—+(/7+l)=^y~^

當(dāng)a>0,時(shí)，在①的兩邊同乘以°,得“$"=2/+3/+4〃4+…+（〃+1）/+|,

/](1-〃")

與①式作差，得(l—a)S.=2a+a2+a3_|----F?"-(n+l)a,'J-l=a+-Ly^-2-(n+1^'

訴I、/ca□_"（]一""）（

所以&=廠工+不可——N+W

fn(n+3)

-9-,4=1,

I〃一(〃+l)a”[“(1—a”)

L1~a(1—a)2*t/>0,aWL

19.已知數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和S”滿足m=d§3+l（〃，2,〃eN）,且0=1.

（1）求數(shù)列｛”“｝的通項(xiàng)公式a”；

12

（2）記勿=-------,〃為｛d｝的前〃項(xiàng)和，求使〃2二成立的〃的最小值.

Cln*如+1〃

【解析】（1）由已知有低一小3=1（〃22,"EN）,所以數(shù)列｛低｝為等差數(shù)列，叉炳=的=1,所以低

2

=〃，即Sn=n.

當(dāng)時(shí)，斯=S“一&-]=/一（〃-1）2=2〃-1.

又。1=1也滿足上式，所以a〃=2〃-l.

（2）由（1）知‘仇=（2〃_]；2〃+1）=的上rUr｝

所以7:產(chǎn)氐1_；+孑_舁…+*——）11一古卜鼎.

2

由導(dǎo)〃224〃+2,即(〃-2)226,所以〃25,