正多邊形、弧長和扇形面積-2023年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（全國通用）

考向29正多邊形弧長和扇形面積

【真題再現(xiàn)】

1.（2022.湖北黃石.統(tǒng)考中考真題）我國魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)割圓術(shù)：割之彌細，所失彌少，割之又割，以

至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣"，即通過圓內(nèi)接正多邊形割圓，從正六邊形開始，每次邊數(shù)成倍增加，

依次可得圓內(nèi)接正十二邊形，內(nèi)接正二十四邊形，……邊數(shù)越多割得越細，正多邊形的周長就越接近圓的周長.再

根據(jù)“圓周率等于圓周長與該圓直徑的比'’來計算圓周率.設(shè)圓的半徑為七圖1中圓內(nèi)接正六邊形的周長4=6R,

則乃B士=3?再利用圓的內(nèi)接正十二邊形來計算圓周率則圓周率約為（）

A.12sinl5oB.12cosl5oC.12sin30oD.12cos30°

2.（2022?四川內(nèi)江?統(tǒng)考中考真題）如圖，正六邊形ABCoE/內(nèi)接于。。，半徑為6,則這個正六邊形的邊心距。M

和BC的長分別為（）

FV~y

B.3√3,πD.3√3,2π

3.（2022?貴州黔東南?統(tǒng)考中考真題）如圖，己知正六邊形ABCD,內(nèi)接于半徑為一的隨機地往。內(nèi)投一

粒米，落在正六邊形內(nèi)的概率為（）

√3√3

Lr?----D.以上答案都不對

4.（2022?寧夏?中考真題）把量角器和含30。角的三角板按如圖方式擺放：零刻度線與長直角邊重合，移動量角器使

外圓弧與斜邊相切時,發(fā)現(xiàn)中心恰好在刻度2處,短直角邊過量角器外沿刻度120處（即OC=2cm,ZBOF=120°）.則

陰影部分的面積為（）

5.（2022?四川資陽?中考真題）如圖.將扇形AOB翻折,使點A與圓心O重合，展開后折痕所在直線/與AB交于

點C,連接AC?若。4=2,則圖中陰影部分的面積是（）

A.生一BB.女-6C.工一立D.上

323323

6.（2022?貴州安順?統(tǒng)考中考真題）如圖，邊長為正的正方形ASCD內(nèi)接于O,PA,PO分別與，。相切于點A

和點。，PD的延長線與BC的延長線交于點E,則圖中陰影部分的面積為（）

B

5π

D.

2^7

7.（2022?甘肅蘭州?統(tǒng)考中考真題）如圖1是一塊弘揚“社會主義核心價值觀'’的扇面宣傳展板，該展板的部分示意

圖如圖2所示，它是以。為圓心，OA,OB長分別為半徑，圓心角No=I20。形成的扇面，若。4=3m,OB=1.5m,

則陰影部分的面積為（）

圖1

圖2

A.4.25;Tm2B.3.254π?C.3;Tm2D.2.25πm2

8.(2022?貴州遵義?統(tǒng)考中考真題)如圖，在正方形ABCO中，AC和3。交于點。，過點。的直線E廠交A3于點E

(E不與A,8重合)，交CO于點廠.以點。為圓心，OC為半徑的圓交直線屏于點"，N.若AB=1,則圖中

?π1?

C.------

4284

【考點梳理】

知識點1：圓、扇形面積計算

(1)半徑為R的圓面積S=砒2

1”R2

(2)半徑為R的圓中,圓心角為"。的扇形面積為SB=UR或Sti尸------.

236

知識點2：圓柱、圓錐的有關(guān)計算

(1)圓柱的側(cè)面展開圖是長方形,圓柱側(cè)面積S=2τr∕W?,全面積S=2應(yīng)?∕7+2τrK(R表示底面圓的半徑,/z表示圓柱的高).

(2)圓錐的側(cè)面展開圖是扇形,圓錐側(cè)面積S=τr∕",全面積S=πRI+πR?R表示底面圓的半徑,/表示圓錐的母線).

(3)圓柱的體積=底面積x∣?,即V=Sh=πR2h.圓錐的體積=LX底面積X高,即V-?πR2h.

33

知識點3：正多邊形與圓

(1)正多邊形:各邊相等,各角相等的多邊形叫做正多邊形.

(2)圓與正多邊形的有關(guān)概念:一個正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心,外接圓的半徑叫做正多邊形

的半徑;正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角,中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距.

(3)正多邊形的內(nèi)角和=(〃-2>180。；

正多邊形的每個內(nèi)角=（”2）180；

n

正多邊形的周長=邊長X邊數(shù)；

正多邊形的面積=LX周長X邊心距.

2

【題型探究】

題型一：正多邊形的中心角

9.（2022?河北唐山?統(tǒng)考一模）如圖，已知點。是正六邊形ABCQE尸的中心，弧AE的長是8π,則該正六邊形的邊

3√2C.2√3D.12

10.（2022?四川廣安?統(tǒng)考二模）如圖,五邊形ABCDE是。的內(nèi)接正五邊形，則正五邊形的中心角NC8的度數(shù)是

()

A.720B.60°C.480D.36°

11.（2021?浙江舟山?統(tǒng)考一模）如圖，六邊形AB8E尸是正六邊形，點P是邊AF的中點,PC,PD分別與BE交

于點M,N,則SAPBM:S&P8的值為（）.

CD

題型二：弧長公式的應(yīng)用

12.（2023?湖北咸寧?校聯(lián)考一模）如圖，正五邊形ABeDE內(nèi)接于O,其半徑為I,作O了，BC交。于點尸，則

FA的長為（）

13.（2022.河北保定.校考一模）已知，如圖，。。的半徑為6,正六邊形ABCDE產(chǎn)與。。相切于點C、F,則CF的

C.4πD.5π

14.（2022?貴州遵義?統(tǒng)考二模）如圖，扇形OBA中，點C在弧A8上，連接BC,尸為BC中點.若。4=6,408=120。,

則點C沿弧從點8運動到點A的過程中，點尸所經(jīng)過的路徑長為（）

A.4π-B.2πC.3√3D.6

15.（2023?山西晉中?統(tǒng)考一模）如圖，在邊長為4的正六邊形ABa）E中，先以點B為圓心，AB的長為半徑作AC，

再以點A為圓心，AB的長為半徑作BP交4C于點P，則圖中陰影部分的面積為（）

E

D

A.4>∕3B.4√3C.4?∣3~^D.2y∣3

題型三：扇形面積的計算

16.（2023?安徽合肥??？家荒＃┤鐖D，以邊長為4的等邊,ABC頂點A為圓心，一定的長為半徑畫弧，恰好與BC邊

相切，分別交AB,AC于點O,E,則圖中陰影部分的面積是（）

C

中?4

17.（2023?山東棗莊.?？家荒＃┤鐖D，將半徑為4,圓心角為90。的扇形BAC繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中,

點8落在扇形BAC的弧AC的點距處，點C的對應(yīng)點為點C',則陰影部分的面積為（）

?ΛQ

A.-7t+2√3B.—Tt+4??∕3C.?∣3+πD.—?！拢?/p>

332

18.（2023?安徽淮北?淮北一中校聯(lián)考一模）如圖，在矩形ABC。中，以點A為圓心，以AO長為半徑畫弧交BC于

點E,將扇形AoE剪下來做成圓錐，若AB=BE=3,則該圓錐底面半徑為（）

C.3D.3√2

48

題型四：圓錐的側(cè)面積的計算

19?（2021?貴州遵義.?？寄M預(yù)測）已知圓錐的母線長為6,將其側(cè)面沿著一條母線展開后所得扇形的圓心角為120。,

則該圓錐的底面半徑是（）

23

A.?B.-C.2D.-

32

20.（2022?廣東?模擬預(yù)測）如圖，。是.,ABC的外接圓，ZABO=NAeO=22.5。,BC=8,若扇形OBC（圖中陰影

部分）正好是一個圓錐的側(cè)面展開圖，則該圓錐的高為（）

A.√6B.2√6C.√L5D.同

題型五：正多邊形和圓的綜合問題

21.（2022?福建寧德?統(tǒng)考二模）如圖，邊長為1的正五邊形ABCOE內(nèi)接于O,延長AB,DC交于點F,過點C

作O的切線CG交AF于點G.

(1)求證：CG//BDi

（2）求答的值.

Gr

22.（2023?廣東佛山?校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在ASC中，點。是AB邊上的一點，。與AC、BC分別相切于點

4、E,AB與O相交于點D,作ACEF,點尸恰好為：O上一點.

（1）連接AE,求證：∕?ACE是等邊三角形;

（2）若AC=√^,求圖中陰影部分面積.

23.（2023?廣東云浮??？家荒＃┤鐖D，。是.ABC的外接圓，AB為直徑，點。為。上一點，連接08,過點C

作CE,OB交DB的延長線于點E,交AB的延長線于點F.己知/ABO=2NfiAC.

（1）求證：CF為：。的切線；

（2）若CF=2也，sinZAFC=p求陰影部分的面積.

【必刷好題】

一、單選題

24.（2023?天津和平?統(tǒng)考一模）如圖，一個大的正六邊形，它的一個頂點與一個邊長為2的小正六邊形ABCDEF的

中心。重合，且與邊AB,CD相交于點G,H.圖中陰影部分的面積記為S,三條線段GB,BC,CH的長度之和

記為/,在大正六邊形繞點。旋轉(zhuǎn)過程中，S和/的值分別是（）

A.2√3,4B.G，6C.4,√3D.S和/的值不能確定

25.（2023?安徽安慶?統(tǒng)考一模）如圖，五邊形ABcDE是二。的內(nèi)接正五邊形，AF是。的直徑，則NS廠的度數(shù)

是（）

B.36oC.54oD.72o

26.（2022?安徽合肥?合肥市第四十五中學(xué)?？既＃┤鐖D，。。的半徑為5,邊長為4的正六邊形ABCZ）Eb的中心

與O重合，M、N分別是A3、項的延長線與。。交點，則圖中陰影部分的面積是（）

C.—π--4√3D.巨”史

664

27.（2023?河南安陽?統(tǒng)考一模）一個扇形的弧長是2萬，半徑是4,則該扇形的圓心角的度數(shù)是（）

A.45°B.90°C.120°D.180°

28.（2023?山西晉城?統(tǒng)考一模）如圖，正六邊形"CO）的邊長為2,以點4為圓心，AC長為半徑畫EC,連接

ΛC,AE9則圖中陰影部分的面積為（）

B.2"唯6

A.2%?+2C.3^-+3√3D.兀-晅

22

29.（2023?山西呂梁?統(tǒng)考一模）如圖所示的網(wǎng)格中小正方形的邊長均為1,點A,8均在格點上，點C是以AB為直

徑的圓與網(wǎng)格線的交點，O為圓心，點。是AC的中點，NA=α,則圖中陰影部分的的面積為（）（用含。的式

5aπ?25aπ

A.------B.------C.-----D.-------

360720360180

30.（2023?山東淄博??？家荒＃┤鐖D，正方形OABG的邊長為1,以點。為圓心，。4為半徑作扇形OAG,弧AG

與。片相交于點B2,設(shè)正方形OABIG與扇形OAG之間的陰影部分的面積為Sl；然后以。4為對角線作正方形

OA2B2C2,又以點。為圓心，。&為半徑作扇形。&。2,弧4G與。相交于點Bj,設(shè)正方形OA/zCz與扇形O&G

之間的陰影部分面積為打；按此規(guī)律繼續(xù)作下去，設(shè)正方形O4s°B2⑼C2°2O與扇形04MGO2。之間的陰影部分面積為

1?

J___J—

vr?2201922021D?2202022022

二、填空題

31.（2023?新疆烏魯木齊?烏市八中?？家荒＃┤鐖D，正五邊形ABCZ）E內(nèi)接于＜O,則/D4C的度數(shù)為.

32.（2023?湖南株洲?統(tǒng)考一模）如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于O,點尸在劣弧AB上，則NCFE的度數(shù)為'

33.（2022.內(nèi)蒙古包頭.包頭市第三十五中學(xué)?？既＃┤鐖D，正六邊形A88E尸的邊長為2,以4為圓心，AC的

長為半徑畫弧，得弧EC,連結(jié)AC,AE,則圖中陰影部分的面積為

34.（2022?江蘇蘇州?模擬預(yù)測）如圖，在圓中內(nèi)接一個正五邊形，有一個大小為α的銳角NCOD頂點在圓心。上,

3

這個角繞點。任意轉(zhuǎn)動，在轉(zhuǎn)動過程中，扇形與扇形AOB有重疊的概率為二，求α=.

35.（2023.河南安陽.統(tǒng)考一模）如圖，扇形紙片AOB的半徑為2,沿48折疊扇形紙片，點。恰好落在4B上的點

C處，圖中陰影部分的面積為.

36.（2023?河南南陽?校聯(lián)考一模）如圖，在RtaABC中，ZBΛC=90o,BC=2AB=4,將4?C繞點8逆時針旋轉(zhuǎn)

37.（2023?河北滄州?校考模擬預(yù)測）如圖，直角三角形ABC中，ZA=30。，ZC=90o,將三角形的斜邊A8放在定

直線刀上，將點A按順時針方向在乙上轉(zhuǎn)動兩次，轉(zhuǎn)動到，4B'C'的位置，設(shè)8C=1,AC=BAB=2,則點A所

經(jīng)過的路線長是

38.（2023?安徽合肥?校考模擬預(yù)測）如圖，以AB為直徑作半圓。，C為AB的中點，連接8C,以。B為直徑作半

圓尸，交BC于點D.若AB=4,則圖中陰影部分的面積為.

三、解答題

39.（2022?河北邢臺?統(tǒng)考一模）圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于O,。的半徑為6

C

（1）求正六邊形ABCoE尸的邊心距；

（2）過產(chǎn)作FGlAB交BA的延長線于點G,求證：FG是。的切線；

（3）若點”是BC中點，連接MA，求弓形MA的面積.

40.（2023?廣東佛山??？家荒＃┤鐖D，在ABC中,AB=AC,以AB為直徑的。與BC交于點。，連接A3.

（1）用無刻度的直尺和圓規(guī)作出劣弧AO的中點E.（不寫作法，保留作圖痕跡），連接BE交AO于尸點，并證明：

AF×DF=BF×EF；

（2）若。的半徑等于4,且.。與AC相切于A點，求劣弧A。的長度和陰影部分的面積（結(jié)果保留萬）.

41.（2023?廣東佛山?模擬預(yù)測）如圖，四邊形ABC。中，連接AC,AC=AD,以AC為直徑的。過點8,交CD

于點E,過點E作防IAD于點F.

B

⑴求證：E尸是。的切線;

（2）若NSAC=NZMC=30。，BC=2,求BCE的長.（結(jié)果保留乃）

42.（2023?廣東佛山?統(tǒng)考一模）如圖所示，CE是.。的直徑，AC為O的切線，D為）0上的一點，ZOCE=g∕A,

連接CQ.若BE=OE=6.

（2）求圖中陰影部分的面積.

43.（2022?江西萍鄉(xiāng)??？寄M預(yù)測）如圖，已知以8C為直徑的O與銳角ABC的邊AB交于點。，與邊AC交于

點尸，過點。作。E4AC,垂足為點E,連接。F,DC.

(1)求證：ADEFs∕?CDB；

(2)若BC=AC.

①求證：OE是〈。的切線;

②若OE=6，CosB=I,求BC,CO和弧8。圍成的陰影部分的面積.

44.（2021?廣東佛山?統(tǒng)考一模）（1）小迪同學(xué)在學(xué)習(xí)圓的內(nèi)接正多邊形時，發(fā)現(xiàn)：如圖1,若P是圓內(nèi)接正三角形43C

的外接圓的BC上任一點，則NAPB=60。，在R4上截取PA/=PC,連接MC,可證明ΔMCP是（填”等腰”、

“等邊”或"直角”）三角形，從而得到PC=MC,再進一步證明PBC三,得至“3=M4,可證得：.

(2)小迪同學(xué)對以上推理進行類比研究，發(fā)現(xiàn)：如圖2,若尸是圓內(nèi)接正四邊形ABC。的外接圓的BC上任一點,

則/4P8=NAPD=分別過點反。作物0，AP于M、DNLAP于■N.

(3)寫出P8,P。與抬之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

圖2

參考答案：

1.A

【分析】求出正十二邊形的中心角，利用十二邊形周長公式求解即可.

【詳解】解：???十二邊形A4%是正十二邊形，

o

.?.ΛAbOA1=^^=30,

于”，又o?,=。4，

...AA6OH=15°,

圓內(nèi)接正十二邊形的周長Z12=12×2∕?sin150=24RSin15°,

π≈-=12sinl5o

2R

故選：A.

【點睛】本題考查的是正多邊形和圓、等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形，求出正十二邊形

的周長是解題的關(guān)鍵.

2.D

【分析】連接OC、OB,證出ABOC是等邊三角形，根據(jù)勾股定理求出QM,再由弧長公

式求出弧SC的長即可.

【詳解】解：連接OC、OB,

六邊形ABCDEF為正六邊形,

360°

二.NBOC=江-=6()。，

6

OB=OC,

.?.MOC為等邊三角形,

.?.BC=OB=6,

OM工BC,

:.BM=-BC=3,

2

:.OM=y∣OB2-BM2=√62-32=36

,,,>?,60?×6.

BC的長為=■,.=2%.

1oil

故選：D.

【點睛】本題考查的是正六邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理,熟練掌握正

六邊形的性質(zhì)，由勾股定理求出。M是解決問題的關(guān)犍.

3.A

【分析】連接。B，過點。作AB于點H,由正六邊形的特點可證得△OAB是等邊三角

形，由特殊角的三角函數(shù)值可求出OH的長,利用三角形的面積公式即可求出△OAB的面積,

進而可得出正六邊形ABCDEF的面積，即可得出結(jié)果.

【詳解】解：如圖：連接。2,過點。作OHLAB于點H,

?.?六邊形ABCDEF是正六邊形，

.?.ZAOB=60o,

"：OA=OB=r,

是等邊三角形，

.'.AB=OA=OB=r,NoAB=60°,

在HZVM//中，OH=OA?sinNOAB=rX3■=3~r,

22

?cl4βr,w1下＞√32

,*S^OAti=-ABOH=~,'X—r'=-r'

???正六邊形的面積=6X立產(chǎn)=地產(chǎn)，

42

?.?。。的面積=萬戶，

3√3，

.?.米粒落在正六邊形內(nèi)的概率為：3后,

πr22π

故選：A.

【點睛】本題考查了正多邊形和圓、正六邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、解直角三

角形；熟練掌握正六邊形的性質(zhì)，通過作輔助線求出AOAB的面積是解決問題的關(guān)鍵.

4.C

【分析】先求出/C0F,進而求出OE=OF=4cm,再求出。8,進而求出BE,最后用三角

形的面積減去扇形的面積，即可求出答案.

【詳解】在心Ob中，NCoF=I80°-NBOF=60。，

AOFC=90o-ZCOF=30°,

OC=2cm,

：.OF=20C=4cm,

連接。E,則OE=OF=4cm,

?/外圓弧與斜邊相切，

，NBEO=90。,

在用Z?50E中，4=30。，

.?ZDOE=60°,OB=2OE=8cm,

根據(jù)勾股定理得，BE=4OB--OE1=4√3-

??島影=SMEFwE=；的0￡=；x4^x4-9=（8G-9卜n√,

ZJOU2?V?/

故選：C.

【點睛】此題主要考查了切線的性質(zhì)，含30。角的直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積公式和

扇形的面積公式，求出圓的半徑是解本題的關(guān)鍵.

5.B

【分析】連接C。，且直線/與Ao交于點。，解直角三角形求出NCo￡）=60。，即可求出扇

形4。C的面積，再算出；AOC的面積，即可求出陰影部分面積.

【詳解】連接C。，且直線/與A。交于點Q,如圖所示，

扇形AoB中，OA=2,

：.OC=OA=I,

：點4與圓心。重合，

ΛAD=OD=?,CDYAO,

.?.CoSNCw=空=L

OC2

.?.NcW=60°,

由勾股定理得：CD=Joc？-Ob2=6，

smΛ0c=--x7rx22=?π'S2=WAoCD=：x2X6=6'

2

?*?S陰影=S扇形AoC-SAAoC=-^-?/?,

故選：B.

【點睛】此題考查求不規(guī)則圖形的面積，扇形面積公式，添加輔助線是本題的關(guān)鍵.

6.C

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)以及切線的性質(zhì)，求得ED。P的長，勾股定理求得AC的長,

進而根據(jù)5陰影=S樣捌C￡P(guān)-；S。即可求解?

【詳解】如圖，連接AC,BD,

邊長為√Σ的正方形ABCQ內(nèi)接于Of即CQ=

.?.AC=2,AC,BD為二。的直徑,ZECD=90o,

PA,PD分別與。相切于點A和點。，

.?.EP工BD,

四邊形ABCO是正方形，

ZEBD=45°,

:.BED是等腰直角三角形，

..ED=BD=AC=2,

AClBD,PA1AO.PD1.ODf

???四邊形OAPD是矩形，

OA=ODf

四邊形OAPO是正方形，

?PP=OA=I,

.?.EP=ED+PD=2+1=3,

?'?S陰賬=S梯形ACEP_5SO

=g(2+3)xl-g乃x/

5π

??■■—?—

22,

故選C.

【點睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，

掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

7.D

【分析】根據(jù)S*S用形AoQ-S煙形BOC求解即可.

【詳解】解：S陰歸S^AODS羸形BoC

*122

-120^?OA120^?Qg

360360-

22

=120^-(OA-OB)

360

22

=^-(3-1.5)

3-

=2.25ττ(m2)

故選：D.

【點睛】本題考查扇形面積，不規(guī)則圖形面積，熟練掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵.

8.B

【分析】根據(jù)題意可得四邊形EBb的面積等于正方形面積的一半，根據(jù)陰影部分面積等于

半圓減去四邊形EBCF的面積和弓形的面積即可求解.

【詳解】解：?在正方形ABC。中，AB=I,

二.。的半徑為：OB=^^~AB=

22

E尸過點。，根據(jù)中心對稱可得四邊形￡BCF的面積等于正方形面積的一半，

又SOBC~WS正方形A8S

；?陰影部分面積為：-∕X5正方形"C"-(s扁影OBC-SO8C)

1119011

=—IX--------------7?！?--1——

22236024

π?π\(zhòng)

^7^2^^?4

π1

=———

84

故選：B.

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，求扇形面積，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

9.D

【分析】連接OR根據(jù)中心角的定義求出NAoE=I20。，ZkAO尸是等邊三角形，設(shè)該正六

邊形的邊長為廠，根據(jù)弧長公式得到關(guān)于〃的方程，即可求解.

360°

【詳解】解：如圖，連接。尺則NAoF=NEoF=—=60。，AF=OA=OFt

B

：.NAoE=2NAOF=120。，

設(shè)該正六邊形的邊長為r,

120"

則=8乃,

180

ΛAF=12,

故選：D

【點睛】本題考查正多邊形中心角、弧長公式等知識，添加輔助線，求出NAoE是解題關(guān)

鍵.

10.A

【分析】根據(jù)正多邊形的中心角的計算公式："36計0°算即可.

n

【詳解】解：Y五邊形43CDE是。。的內(nèi)接正五邊形，

???五邊形ABCDE的中心角NCoD的度數(shù)為學(xué)=72°,

故選：A.

【點睛】本題考查的是正多邊形和圓，掌握正多邊形的中心角的計算公式：型360°■是解題的

n

關(guān)鍵.

11.D

【分析】設(shè)正六邊形的邊長為mMN是APCO的中位線，求出APBM和APCQ的面積即

可.

【詳解】解：設(shè)正六邊形的邊長為“，連接4C交BE于“點，如下圖所示:

正六邊形六邊均相等，且每個內(nèi)角為120。，

,△ABC為30。，30°,120。等腰三角形,

J.BEVAC,S.AC^2AH=2?—√30,S.BH^-a,AH=—,

222

?JAF^CD,P為AF上一點,

SIyCD==CDlAC—倉∣3cι=—cι~,

??I-FI..IJSD1ΛUCDM-22?z?2

MN為4PCC的中位線，

：.MN=-CD=-a,

22

由正六邊形的對稱性可知：BE=2BH+CD=21-aa=2a,

2

13

：.BM=EN=(BE-MN)?2(Ia--Ci)I2-a,

SmiM=；BM?AH

-C?s-雪Z3

,.*jDPβΛ∕?oDPCD-]6?8

故選：D.

【點睛】本題考查正多邊形與圓，三角形的面積，三角形的中位線定理，等邊三角形的性質(zhì)

等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于?？碱}型.

12.C

【分析】求出弧所對圓心角的度數(shù)，代入弧長公式即可求得.

【詳解】解：多邊形ABeDE為正五邊形，

???B4,3C的度數(shù)相等=M-72。，

OFLBC,

?,?FB的度數(shù)=—=36。,

???E4的度數(shù)=108。,

108o×?×l3

FA的長度二=—71

180。5

故選C

【點睛】本題考查了弧長的計算，熟記弧長公式是解題關(guān)鍵.

13.C

【分析】連接OGOF,根據(jù)。O與正六邊形ABCQE/相切于點C,F,得到

ZOFE=ZOCD=90°,求出NCO廠的度數(shù)，根據(jù)弧長公式計算可得答案.

【詳解】解：連接。。、OF,

???。。與正六邊形ABCoE/相切于點C,F,

,o

..ZOFE=ZOCD=90f

'：ZE=ZD=UOo,

ΛZCOF=540o-90o×2-120o×2=120o,

120?×6

CF的長二=4;T,

180

故選：C.

【點睛】此題考查了切線的性質(zhì)定理，正六邊形的性質(zhì)，弧長計算公式，熟練掌握切線的性

質(zhì)定理得到/OFE=ZOCD=90。是解題的關(guān)鍵.

14.B

【分析】連接oc、OP,易得∕OP8=90。，點P是在以O(shè)B的中點。為圓心，Bz）為半徑的

圓上運動，求BP'即可.

【詳解】連接OC、OP,

'：OB=OC,

...△BOC為等腰三角形，

：尸為BC中點，

ΛOPVBC（三線合一），

即∕OP8=90°,

.?.點P是在以O(shè)B的中點。為圓心，8。為半徑的圓上運動，如圖所示,

當(dāng)點C運動到點A時-，點P到達P'位置,

點P所經(jīng)過的路徑長為BPL

連接。P,；。為。B中點，戶為AB中點,

.?.DP'//OA,

：.ABDP,=ZAOB=120°,BD=?。4=3,

即點尸所經(jīng)過的路徑長為27，

【點睛】本題考查動點的運動軌跡問題，根據(jù)定弦定角確定圓的所在位置，以及等腰三角形

的性質(zhì)、中位線的性質(zhì)、弧長公式，熟練掌握這些性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

15.B

【詳解】解：如圖，連接AP、PB,過點尸作PGLAS,在BP上任取一點M,

由題意可知：P4=P3=ΛB=4,

.二∕?β是等邊三角形，NPBA=60。,

PGlAB,

PC

???在RfPGB中,sin60°=一

PB

.?.PG=PBsin60o=4×-=2√3,

2

Spab=?×4×2Λ∕3=4^3,

ZPBA=ZPAB=60°,

.cC60°284

扇形扇形尸=石

,SE48=S48=3600X7X4

?,?S弓形BWP=S扇形PAB-SPAB=~4ΛQ,

「六邊形ABCDEF是正六邊形,

.?.ZABC=120o,

120o,16萬

.?.Sc..p.-=-------×π×4^zl=--,

mlabncr360°3

?'S陰影=Sla形ABC-^mABP_S弓形BMP>

???陰影部分的面積為46,

故選：B.

【點睛】本題考查了扇形的面積、等邊三角形的性質(zhì)和判定、三角函數(shù)值和正多邊形的內(nèi)角

和，熟練運用扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵.

16.D

【分析】作AF_LBC,再根據(jù)勾股定理求出A尸，然后根據(jù)陰影部分的面積=為攸-S扇形理

得出答案.

【詳解】解：如圖所示，過點A作AFLBC,交BC于點、F.

在RtACF中，AF=√AC2-CF2=2√3.

2

.1r.60π×(2√3)L

?°S陰影=SAHc~S扁卻DE=孑X4X2√3—7=4√3-2π'

ZJoU

故選：D.

【點睛】本題主要考查了求陰影部分的面積，涉及等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理及扇形面積

計算等知識，將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為三角形的面積-扇形的面積是解題的關(guān)鍵.

17.B

【分析】連接BB',過A作AFJ.所于凡根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出扇形ABC和扇形ABe’的面

積相等，AB=AB1=BC=BBI=A,求出一AB夕是等邊三角形，求出/4BE=60。，解直角三

角形求出BF和AF,再根據(jù)陰影部分的面積S=S晶附HC-（S易物ZMr-S,府）求出答案即可.

【詳解】解：連接BB'，過A作AF?L的于F,則N/FB=90。，如圖，

將半徑為2,圓心角為90。的扇形8AC繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)，使點B落在扇形BAC的弧上

的點8'處，點C的對應(yīng)點為點C',

扇形ABC和扇形ABC的面積相等，AB=AB'=BC=BB'=A,

；?/38'是等邊三角形，

.-.ZABF=60°,

.-.ZBAF=30°,

.?.BF=-AB=2,

2

由勾股定理得：ΛF=√42-22=2上＞

r

陰影部分的面積S=S則MeC-（S扇形ABB，—SABB）

90π×42曙-R叫

360

=—?+4Λ∕3

3

故選：B.

【點睛】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形的性質(zhì)，扇形的面

積計算等知識點，能把求不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化成求規(guī)則圖形的面積是解此題的關(guān)鍵,注意:

2

如果扇形的圓心角為心，扇形的半徑為八那么扇形的面積S=".

360

18.B

【分析】首先得到..ABE是等腰直角三角形，進而得到/D4E=45。，然后由勾股定理求出

AE=3√2，然后根據(jù)扇形的弧長等于圍成的圓錐的底面圓的周長列方程求解即可.

【詳解】；在矩形HBCO中,

：.ZBAD=ZB=90°,

,/AB^BE=3,

是等腰直角三角形，

二ZSAE=45°，AE=√ΛB2+BE2=3√2，

二ZDAE=45°,

?；扇形的弧長等于圍成的圓錐的底面圓的周長

，設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r

.45o×zr×3√2C

??-----------------------=2TT7"，

180°

.?.解得r="

8

故選：B.

【點睛】此題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，圓錐的底面圓周長和

扇形的弧長的關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點.

19.C

【分析】根據(jù)弧長等于底面圓的周長列方程解答.

【詳解】解：設(shè)底面圓的半徑是r,

解得r=2,

故選：C.

【點睛】此題考查了利用扇形求底面圓的半徑，熟記扇形的弧長公式是解題的關(guān)鍵.

20.D

【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)，勾股定理求出圓的半徑。5,再根據(jù)扇形的弧長公式即可求解;

【詳解】解：根據(jù)圓的性質(zhì)，ABOC=IZA

;ZA+ZABO÷/OBC+ZACO+NOCB=180o,NoBC+ZBOC+ZOCB=180°

???ZA+ZABO+ZACO=ZBOC

VZBOC=2ZA,ZABO=ZACO=22.5°

.?.NBOC=90。

VOB=OC,BC=8

：.OB=OC=J;BC2=4√2

.?.6c=L?2%?4√5=2√5;T

4

??.圓錐底面圓的半徑為：r=^^=√2

1π

；?圓錐的高/z=?/OB2—r2——>/2-?/?θ

故選：D

【點睛】本題主要考查圓的性質(zhì)、勾股定理、弧長公式的應(yīng)用，掌握相關(guān)知識并靈活應(yīng)用是

解題的關(guān)鍵.

21.(1)見解析

6BF一非+1

GF2

【分析】(1)根據(jù)切線的性質(zhì)得到OCJ_CG,根據(jù)CD=CB得至IJOeLL瓦),即可得到CG〃30；

(2)通過求角度得到CG=CB=GF=1,再證明48CGS尸C計算即可.

【詳解】(1)連接Oe

:正五邊形ABCoE

ICD=CB.

'CD=CB?

：.OC.LBD

??,CG是。。的切線，

JOCLCG.

：.CG//BD.

360°o

(2)???在正五邊形ABCDE中，CD=CB,ZCBG=-=729

o

：.ZBDC=ZDBC=36fADBF=ZDBC+ZCBG=108°.

：?NF=I80。一/DBF-/BDC=36。.

?：CG//BD9

o

：.ZGCF=ZBDC=36fZBGC=180°-ZDBG=72°.

：.AGCF=AF,ZCBG=ZBGC.

：.CG=GF,CG=CB.

：,CG=CB=GF=L

?：NCBG=NCBF,ZBCF=ZCGBf

???4BCGs∕?BFC.

.BGBC

'*BC^BF*

：?BF(BF-GF)=BC2.

GPBF2-BF=I.

解得8尸=且土?.

2

?BF√5+l

??---=-----?

GF2

【點睛】本題考查圓與正多邊形、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟記圓相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

22.⑴見解析

⑵Gj

【分析】(1)先證明：ACEF是菱形，得AF=EF,ZC=ZF,利用圓的切線性質(zhì)可得

ZCAB=ZOEC=9(JP,從而可得NC+NAOE=180。，進而可得NF+ZAOE=I80°,然后由圓周

角定理得NF=；4QE,繼而求出/尸=60。，即可由等邊三角形的判定定理得出結(jié)論；

(2)利用菱形的性質(zhì)可得CE=AC=指，然后由⑴知NF=60o,即可求ZAQE=120。，

從而求出N3O￡=60。，ZB=30o,ZJC=2√6,BE=娓,再在RIaBOE中，利用銳角三

角函數(shù)的定義求出OE的長，最后根據(jù)后慘=SR,齷-SfiWa)班，求解即可.

【詳解】(1)解：：。與AC、BC分別相切于點A、E,

CA=CE,NCAB=NOEC=90P,

.?.NC+ZAOE=180。，

：,ACEF,

.?.ACEF是菱形，

?AF=EF,NC=NF,

ZF+Z4OE=180o,

,.?ZF=-ZAOE

2

：.ZF=60°,

ZkACE是等邊三角形；

(2)解：由(1)知：ACEF是菱形，，

??CE=AC='J(＞，

?.?ZF=60o,

/.ZAOE=2ZF=120o,

.,./DOE=60。，

?'NCAB=/OEC=9(T,

.,.ZB=30。，

，BC=2AC=2√6,BE=BC-CE=>∕6,

CF

在RtBoE中,tanB=——,

BE

OE

即tan30。曦,

OE=近，

°爐

.C_CCICLDir6°〃X

,??明影-JRlBOE一玉形DoE-2"-

，出96?！本W(wǎng)三

23603

【點睛】本題考查菱形的判定與性質(zhì)，切線的性質(zhì)，等邊三角形的判定，圓周角定理，解直

角三角形，扇形的面積，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)、切線的性質(zhì)、等邊三角形的判定定理,

扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵.

23.(1)證明見解析

(2)2√3--Λ-

【分析】(1)如圖所示，連接0C，由圓周角定理得到N8OC=2ZBAC,即可得到

ZABD=ZBOC,進而證明。E〃OC,再由CE,OB即可證明CELOC,則C尸為O的切

線；

(2)先解RtQB得到々=30°,OC=2,求出ZFOC=60°,再根據(jù)S陰影=S^κτ-Smc

進行求解即可.

【詳解】(1)證明：如圖所示，連接OC,

NBOC=2ZBAC,

'：ZABD=IABAC,

.?.ZABD=NBOC,

:.DE//OC,

'：CElDB,

：.CELoC,

；?CF為。的切線;

￡

?A

O

o

(2)解：在RtOCF中，ZOCF=90,CF=2λ^,sinF??,

2

∠F=30o,OC=CF?tanF=2,

.?.ZFOC=60°,

??S陰影=S40CF—S闞形50。

JOC加60x3

2360

4×