黑龍江省龍東地區(qū)五校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1黑龍江省龍東地區(qū)五校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷考生注意：1.本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫(xiě)清楚.3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將〖答案〗答在答題卡上.選擇題每小題選出〖答案〗后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的〖答案〗無(wú)效，在試題卷?草稿紙上作答無(wú)效.4.本卷命題范圍：選修一直線與圓?圓錐曲線+選修性必修三結(jié)束.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)的直線的方向向量為，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C.1 D.〖答案〗D〖解析〗由題過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)直線的方向向量為，所以.故選：D2.已知拋物線上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為5，則（）A.1 B.2 C.4 D.8〖答案〗C〖解析〗因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線方程的為，由拋物線的定義可得，解得.故選：C3.設(shè)隨機(jī)變量，則（）A.2 B.3 C.6 D.7〖答案〗C〖解析〗由題意得，故.故選：C.4.希臘數(shù)學(xué)家帕普斯在他的著作《數(shù)學(xué)匯篇》中，完善了歐幾里得關(guān)于圓錐曲線的統(tǒng)一定義，并對(duì)這一定義進(jìn)行了證明，他指出，到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線：當(dāng)時(shí)，軌跡為橢圓；當(dāng)時(shí)，軌跡為拋物線；當(dāng)時(shí)，軌跡為雙曲線，則方程表示的圓錐曲線為（）A.橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.以上都不對(duì)〖答案〗A〖解析〗方程，即為方程表示：動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比為且小于1，所以根據(jù)橢圓的定義得出其軌跡為橢圓.故選：A5.在的二項(xiàng)展開(kāi)式中，各二項(xiàng)式系數(shù)之和為，各項(xiàng)系數(shù)之和為，若，則（）A.3 B.4 C.5 D.6〖答案〗B〖解析〗由，令可得各項(xiàng)系數(shù)之和為，又各二項(xiàng)式系數(shù)之和為，因?yàn)?，則，解得或（舍去），所以，故選：B6.某人外出出差，委托鄰居給家里盆栽澆一次水，若不澆水，盆栽枯萎的概率為0.8；若澆水，盆栽枯萎的概率為0.1.若鄰居澆水的概率為，該人回來(lái)盆栽沒(méi)有枯萎的概率為0.83，則實(shí)數(shù)的值為（）A.0.9 B.0.85 C.0.8 D.0.75〖答案〗A〖解析〗記為事件“盆栽沒(méi)有枯萎”，為事件“鄰居給盆栽澆水”，由題意可得，，由對(duì)立事件的概率公式可得.由全概率公式可得，解得.故選：A7.2023杭州亞運(yùn)會(huì)于9月23日至10月8日舉辦，組委會(huì)將6名志愿者隨機(jī)派往黃龍?bào)w育中心?杭州奧體中心?浙江大學(xué)紫金港校區(qū)三座體育館工作，若每名志愿者只去一座體育館工作，每座體育館至少派1名志愿者，其中志愿者甲不去黃龍?bào)w育中心，則不同的分配方案種數(shù)為（）A.180 B.300 C.360 D.380〖答案〗C〖解析〗若甲單獨(dú)一組：由于甲同學(xué)不去黃龍?bào)w育中心，所以先排甲共有種，再將其余5人分成兩組共有種，分配到另外兩個(gè)體育中心共有，所以此類情況共有種；若甲與其他志愿者一組：先安排甲共有種，然后將其余5人分成三組共有種，再將三組分配到三個(gè)體育館共種，所以此類情況共有種.綜上，不同的分配方案共有360種.故選：C.8.已知直線交圓于兩點(diǎn)，則的最小值為（）A.9 B.16 C.27 D.30〖答案〗D〖解析〗由題設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為，設(shè)弦的中點(diǎn)為，連接，則，即，所以，即，所以點(diǎn)的軌跡方程為，即的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，設(shè)直線為，則到的最小距離為，過(guò)分別作直線的垂線，垂足分別為，則四邊形是直角梯形，且是的中點(diǎn)，則是直角梯形的中位線，所以，即，即，所以的最小值為30.故選：D.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.現(xiàn)有男女學(xué)生共10人，若從男生中選取1人，從女生中選取2人，共有36種不同的選法，則女生有（）A.3人 B.4人 C.8人 D.9人〖答案〗BD〖解析〗設(shè)女生有人，則男生有人，由題意得：，即，所以，所以，即，解得或或，由已知，所以或，故女生有4人或9人.故選：BD.10.若，其中為實(shí)數(shù)，則（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗令，則原式轉(zhuǎn)化為，對(duì)A，令，得，故A正確；對(duì)B，由二項(xiàng)式定理得，故B錯(cuò)誤；對(duì)CD，令，得，令，得，所以，所以，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：AC11.已知橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，且它們的離心率之積為，點(diǎn)是與的一個(gè)公共點(diǎn)，則（）A.雙曲線的方程為B.C.為等腰三角形D.上存在一點(diǎn)，使得〖答案〗ACD〖解析〗設(shè)，橢圓的半長(zhǎng)軸為，半短軸為，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為.由橢圓可知：.則，所以，，因?yàn)闄E圓和雙曲線的離心率之積為所以雙曲線的離心率為2，則，解得，所以雙曲線的方程為，故選項(xiàng)A正確；因?yàn)閯t由雙曲線定義可知：，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)在第一象限，由橢圓和雙曲線的定義可得：，解得，即，所以為等腰三角形，故選項(xiàng)正確；假設(shè)上存在一點(diǎn)，使得，則點(diǎn)在以為直徑的圓上，聯(lián)立方程，方程組有解，所以上存在一點(diǎn)，使得，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD.12.已知編號(hào)為的三個(gè)盒子，其中1號(hào)盒子內(nèi)裝有一個(gè)1號(hào)球，一個(gè)2號(hào)球和兩個(gè)3號(hào)球；2號(hào)盒子內(nèi)裝有一個(gè)1號(hào)球，兩個(gè)3號(hào)球；3號(hào)盒子內(nèi)裝有兩個(gè)1號(hào)球，三個(gè)2號(hào)球.若第一次先從1號(hào)盒子內(nèi)隨機(jī)抽取1個(gè)球，將取出的球放入與球同編號(hào)的盒子中，第二次從該盒子中任取一個(gè)球，則下列說(shuō)法正確的是（）A.在第一次抽到3號(hào)球的條件下，第二次抽到2號(hào)球的概率為B.第一次抽到3號(hào)球且第二次抽到2號(hào)球的概率為C.第二次抽到2號(hào)球概率為D.如果第二次抽到的是2號(hào)球，則它來(lái)自1號(hào)盒子的概率最大〖答案〗AB〖解析〗記第一次取得號(hào)球?yàn)槭录?，則，在第一次抽到3號(hào)球的條件下，第二次抽到2號(hào)球的概率為，即正確；第一次抽到3號(hào)球且第二次抽到2號(hào)球的概率為，即B正確；記第二次在第i號(hào)盒子內(nèi)抽到2號(hào)球的事件分別為，而兩兩互斥，和為，且，記第二次抽到2號(hào)球的事件為，則，即C錯(cuò)誤；由于原先2號(hào)盒子沒(méi)有2號(hào)球，如果第二次取到的是2號(hào)球，則它來(lái)自1號(hào)盒子的概率為，它來(lái)自3號(hào)盒子的概率，即如果第二次抽到的是2號(hào)球，則它來(lái)自3號(hào)盒子的概率最大，故D錯(cuò)誤.故選：AB三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為60，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_________.〖答案〗〖解析〗展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，解得，所以常數(shù)項(xiàng)為，解得.故〖答案〗為：14.已知某批產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布，其中的產(chǎn)品為“可用產(chǎn)品”，則在這批產(chǎn)品中任取1件，抽到“可用產(chǎn)品”的概率約為_(kāi)_________.參考數(shù)據(jù)：若，則.〖答案〗0.84〖解析〗由題意知，該產(chǎn)品服從，則，所以，即抽到“可用產(chǎn)品”的概率為0.84，故〖答案〗為：0.8415.2023年10月26日神舟十七號(hào)載人飛船發(fā)射任務(wù)取得圓滿成功，開(kāi)啟了我國(guó)空間站應(yīng)用發(fā)展的新階段.太空站內(nèi)甲，乙?丙三名航天員分別出倉(cāng)進(jìn)行同一試驗(yàn)，已知甲?乙?丙試驗(yàn)成功的概率分別為，若三人能否試驗(yàn)成功相互獨(dú)立，且三人中恰有2人試驗(yàn)成功的概率為，則三人中只有甲?乙兩人試驗(yàn)成功的概率的最大值為_(kāi)_________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)槿四芊裨囼?yàn)成功相互獨(dú)立，且三人中恰有2人試驗(yàn)成功的概率為，所以，所以.所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”），即.解得或，即或，又因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).三人中只有甲?乙兩人試驗(yàn)成功的概率為.故〖答案〗為：16.已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足，點(diǎn)為拋物線E：上的任意一點(diǎn)，在軸上的射影為，則的最小值為_(kāi)_________.〖答案〗〖解析〗設(shè)，已知，，則，化簡(jiǎn)整理得，所以點(diǎn)的軌跡為以為圓心，2為半徑的圓，拋物線E：的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，，當(dāng)且僅當(dāng)A，P，M，F(xiàn)（P，M兩點(diǎn)在A，F(xiàn)兩點(diǎn)之間）四點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17.某商場(chǎng)在迎新春活動(dòng)中進(jìn)行抽卡活動(dòng)，不透明的卡箱中共有“福”“祿”“壽”“喜”卡各兩張，“財(cái)”卡三張.每位顧客從卡箱中隨機(jī)抽取5張卡片，其中抽到“財(cái)”卡獲得3分，抽到其他卡均獲得1分，若抽中“?！薄暗摗薄皦邸薄跋病薄柏?cái)”卡片各一張，則額外獲得4分.（1）求顧客甲最終獲得7分的不同的抽法種數(shù)；（2）求顧客乙最終獲得11分的不同的抽法種數(shù).解：（1）顧客甲最終獲得7分，則需抽中1張“財(cái)”卡和4張其他卡，且不能抽齊“?！薄暗摗薄皦邸薄跋病薄柏?cái)”，則不同的抽法種數(shù)為.（2）顧客乙最終獲得11分的情況有2種：一種是抽中3張“財(cái)”卡和2張其他卡，另一種是抽齊“福”“祿”“壽”“喜”“財(cái)”卡，不同的抽法種數(shù)為.18.隨著科技的發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)已逐漸融入了人們的生活.網(wǎng)購(gòu)是非常方便的購(gòu)物方式，為了了解網(wǎng)購(gòu)在我市的普及情況，某調(diào)查機(jī)構(gòu)進(jìn)行了有關(guān)網(wǎng)購(gòu)的調(diào)查問(wèn)卷，并從參與調(diào)查的市民中隨機(jī)抽取了男?女各100人進(jìn)行分析，從而得到如下列聯(lián)表（單位：人）：偶爾或不網(wǎng)購(gòu)經(jīng)常網(wǎng)購(gòu)合計(jì)男性4060100女性2080100合計(jì)60140200（1）依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為我市市民網(wǎng)購(gòu)的情況與性別有關(guān)聯(lián)？（2）用分層抽樣的方法，從偶爾或不網(wǎng)購(gòu)和經(jīng)常網(wǎng)購(gòu)的市民中隨機(jī)抽取10人，再?gòu)倪@10人中隨機(jī)抽取3人贈(zèng)送禮品，設(shè)其中經(jīng)常網(wǎng)購(gòu)的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：，其中.0.100.010.0012.7066.63510.828解：（1）零假設(shè)：我市市民網(wǎng)購(gòu)情況與性別無(wú)關(guān).則，所以根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，即認(rèn)為我市市民網(wǎng)購(gòu)的情況與性別有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.01.（2）按分層抽樣的方法從偶爾或不網(wǎng)購(gòu)和經(jīng)常網(wǎng)購(gòu)的市民中隨機(jī)抽取10人，則偶爾或不網(wǎng)購(gòu)的人數(shù)為3，經(jīng)常網(wǎng)購(gòu)的人數(shù)為7，故的所有可能取值為，故的分布列為0123則.19.直播帶貨是一種直播和電商相結(jié)合的銷售手段，目前已被廣大消費(fèi)者所接受.針對(duì)這種現(xiàn)狀，某公司決定逐月加大直播帶貨的投入，直播帶貨銷售金額穩(wěn)步提升，以下是該公司2023年前6個(gè)月的帶貨金額：月份123456帶貨金額萬(wàn)元25435445495416542054（1）根據(jù)統(tǒng)計(jì)表中的數(shù)據(jù)，計(jì)算變量與的樣本相關(guān)系數(shù)，并判斷兩個(gè)變量與的相關(guān)程度（若，則認(rèn)為相關(guān)程度較強(qiáng)；否則沒(méi)有較強(qiáng)的相關(guān)程度，精確到0.01）；（2）若與的相關(guān)關(guān)系擬用線性回歸模型表示，試求關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并據(jù)此預(yù)測(cè)2023年10月份該公司的直播帶貨金額（精確到整數(shù)）.附：經(jīng)驗(yàn)回歸方程，其中，樣本相關(guān)系數(shù)；參考數(shù)據(jù)：.解：（1）由已知可得.又，所以，則樣本相關(guān)系數(shù)因?yàn)闃颖鞠嚓P(guān)系數(shù)，所以與相關(guān)程度較強(qiáng)，且正相關(guān).（2）設(shè)關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，其中，，所以關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為.把代入得（萬(wàn)元）.所以預(yù)測(cè)2023年10月份該公司的直播帶貨金額為3443萬(wàn)元.20.已知雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，直線是雙曲線的一條漸近線.（1）求雙曲線的方程；（2）設(shè)圓上一動(dòng)點(diǎn)處的切線交雙曲線于兩點(diǎn)，試判斷是否為定值？若為定值，求出該定值；若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（1）由題意，可設(shè)雙曲線的方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入得，因此雙曲線的方程為.（2）當(dāng)圓在點(diǎn)處切線斜率不存在時(shí)，點(diǎn)或，切線方程為或，由（1）及已知，得，則有，當(dāng)圓在點(diǎn)處切線斜率存在且不等于時(shí)，設(shè)切線方程為，設(shè)點(diǎn)，則有，即，由消去得：，顯然，由韋達(dá)定理可得，而，則，因此，在中，于點(diǎn)，則，又因?yàn)?，所以，，所以，則，綜上得為定值.21.某超市計(jì)劃按天從廠家訂購(gòu)酸奶，每瓶進(jìn)價(jià)為4元，零售價(jià)為6元，若進(jìn)貨不足，則該超市以每瓶5元的價(jià)格進(jìn)行補(bǔ)貨，若銷售有余，則廠家以3元回購(gòu)，為此該超市收集并整理了30天這種酸奶的銷售記錄，得到了如下數(shù)據(jù)：銷售瓶數(shù)2030405060頻數(shù)361263以頻率代替概率，記為這家超市每天銷售該酸奶的瓶數(shù)，表示超市每天購(gòu)進(jìn)該酸奶的瓶數(shù).（1）求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）以銷售該酸奶所得的利潤(rùn)的期望為決策依據(jù)，在和之中選一個(gè)，應(yīng)選用哪個(gè)？解：（1）根據(jù)表格可知的所有可能取值為：，且，，所以分布列為：2030405060010.20.40.20.1.（2）①當(dāng)時(shí)，設(shè)為“超市銷售該酸奶所得的利潤(rùn)”，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以的分布列為：53565951150.10.20.40.20.1，②當(dāng)時(shí)，設(shè)為“超市銷售該酸奶所得的利潤(rùn)”，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以的分布列為：03060901200.10.20.40.20.1，，故應(yīng)選.22.已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別是，，上頂點(diǎn)為，橢圓