河南省部分重點(diǎn)中學(xué)2024屆高三下學(xué)期2月質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省部分重點(diǎn)中學(xué)2024屆高三下學(xué)期2月質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知集合，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由，可得，故選：B.2.復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，可得復(fù)數(shù)的虛部為.故選：A．3.已知，則的最小值為（）A.6 B.5 C.4 D.3〖答案〗D〖解析〗由于，所以，由,（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），可得的最小值為3，故選：D．4.紫砂壺是中國(guó)特有的手工陶土工藝品，經(jīng)典的有西施壺、石瓢壺、潘壺，其中石瓢壺的壺體可以近似看成一個(gè)圓臺(tái)（其他因素忽略不計(jì)），如圖給出了一個(gè)石瓢壺的相關(guān)數(shù)據(jù)（單位：），那么該壺裝滿水的體積約為（）A.0.182升 B.0.205升 C.0.218升 D.0.235升〖答案〗B〖解析〗根據(jù)題意，石瓢壺的壺體可以近似看成一個(gè)圓臺(tái)，其中圓臺(tái)的上底面半徑為，下底面半徑為，高為所以該壺裝滿水的體積約為升.故選：B．5.已知是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且，則點(diǎn)到軸的距離為（）A. B. C.2 D.〖答案〗D〖解析〗由可得，如圖，作軸，交軸于點(diǎn)，作，交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到軸的距離為，則有，可得，故D正確.故選：D.6.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足對(duì)任意的正整數(shù)都有，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)檎龜?shù)的數(shù)列滿足對(duì)任意的正整數(shù)都有，取，可得，即，可得數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，又因?yàn)?，可得，則.故選：A．7已知，則（）A. B. C.2 D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)椋?，所以．故選：D．8.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn)作雙曲線的一條漸近線的平行線，與雙曲線的另一條漸近線相交于點(diǎn)，直線與雙曲線相交于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗令，由對(duì)稱性，不妨設(shè)直線的方程為，由，解得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為，由為的中點(diǎn)，，得為的中點(diǎn)，則有點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入雙曲線的方程，有，解得，所以雙曲線的離心率為.故選：C.二、選擇題9.已知變量之間的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，且變量的數(shù)據(jù)如下表所示：5681214108651則下列說(shuō)法正確的是（）A.變量之間負(fù)相關(guān) B.C.當(dāng)時(shí)，可估計(jì)的值為11 D.當(dāng)時(shí)，殘差為〖答案〗AC〖解析〗對(duì)于A選項(xiàng)，由，可得變量之間負(fù)相關(guān)，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，，將代入經(jīng)驗(yàn)回歸方程，有，可得，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，由上知，當(dāng)時(shí)，，故C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，殘差為，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：AC．10.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.函數(shù)在上單調(diào)遞增C.函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)D.對(duì)于任意的恒成立的充要條件是〖答案〗BCD〖解析〗對(duì)于A選項(xiàng)，由函數(shù)為奇函數(shù)，有，可得，可得，經(jīng)檢驗(yàn)，可得函數(shù)為奇函數(shù)，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，由，可得函數(shù)單調(diào)遞增，故B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，由函數(shù)單調(diào)遞增且為奇函數(shù)，故只有，若，必有，可得0，故C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，由，有，有，有，當(dāng)時(shí)不等式恒成立，可得，由上知當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，故D選項(xiàng)正確．故選：BCD．11.如圖，在三棱錐中，底面為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，二面角的平面角為，則（）A.當(dāng)平面時(shí)，三棱錐為正三棱錐B.當(dāng)時(shí)，平面平面C.當(dāng)三棱錐的體積為時(shí)，或D.當(dāng)時(shí)，三棱錐的外接球的表面積的取值范圍為〖答案〗ABD〖解析〗由，可得．對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)平面時(shí)，平面,故，由，可得，又由，可得三棱錐為正三棱錐，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，如圖，取的中點(diǎn)，連接，由，可得，所以為二面角的平面角，又由，可得，可得為直角，即平面平面，故B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，有，可得，由B選項(xiàng)可知此時(shí)，當(dāng)為銳角時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，由于，平面，所以平面，平面，可得，又由，平面可得平面，可得，又由，可得；當(dāng)為鈍角時(shí)，同理可得，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，如圖，在上取一點(diǎn)，使得，在中，過(guò)點(diǎn)作平面的垂線，過(guò)點(diǎn)作平面的垂線，相交于點(diǎn)，由為等邊三角形，為等腰直角三角形，可得為三棱錐的外接球的半徑，又由，有，，又由，有，有，有，有，可得三棱錐的外接球的表面積的取值范圍為，故D選項(xiàng)正確．故選:ABD．三、填空題12.已知隨機(jī)變量，若，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_____．〖答案〗1〖解析〗由正態(tài)分布的性質(zhì)可知，解得．故〖答案〗為：1.13.若函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗由函數(shù)的最大值為，最小值為，可得或，由故有，解得．故〖答案〗為：.14.從坐標(biāo)原點(diǎn)向圓作兩條切線，切點(diǎn)分別為，切線斜率的乘積為，則點(diǎn)到圓的圓心的距離的最大值為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗設(shè)過(guò)點(diǎn)的切線方程為，由已知可得，平方后整理為，因?yàn)榍芯€斜率的乘積為，所以，整理為，有，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，經(jīng)檢驗(yàn)適合題意．故〖答案〗為：.四、解答題15.在中,內(nèi)角所對(duì)的邊分別為,且滿足．（1）求；（2）若邊上的高為，求．解：（1）由正弦定理有，有，又由余弦定理有；（2）由得，又由余弦定理和，有，，又由邊上的高為2，有，有，可得，有，可得，聯(lián)立方程組，解得或.16.如圖，在直四棱柱中，底面為菱形，與相交于點(diǎn)平面．（1）求；（2）求平面與平面的夾角的余弦值．解：（1）如圖，連接與相交于點(diǎn)，底面為菱形，，直四棱柱底面，底面底面，平面平面，，為直角三角形，，，；（2）連接，取的中點(diǎn)，連接，由為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，有，又由底面，有底面，由兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量方向分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，各點(diǎn)坐標(biāo)如下：，由平面，可得平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的法向量為，由，有取，可得平面的一個(gè)法向量為，由，有，故平面與平面的夾角的余弦值為．17.為喜迎新春營(yíng)造節(jié)日氣氛，某市醫(yī)保局工會(huì)組織全體職工開(kāi)展了“迎新春促和諧”象棋比賽、猜謎語(yǔ)、寫新年寄語(yǔ)活動(dòng)，參與人員熱情高漲，場(chǎng)面氣氛活躍，充分展示了該市醫(yī)保局干部團(tuán)結(jié)、拼搏、積極向上的精神風(fēng)貌．此次活動(dòng)不僅弘揚(yáng)了中華傳統(tǒng)，也豐富了職工節(jié)日文化生活，增強(qiáng)了醫(yī)保隊(duì)伍的凝聚力、向心力、戰(zhàn)斗力．甲、乙兩位職工進(jìn)行猜謎語(yǔ)比賽，比賽規(guī)則如下：“若甲猜對(duì)謎語(yǔ)，由甲繼續(xù)猜下一道謎語(yǔ)；若甲猜錯(cuò)謎語(yǔ)，由乙接著猜下一道謎語(yǔ)；反之亦然．”已知甲、乙猜對(duì)每一道謎語(yǔ)的概率都為，且甲、乙猜每一道謎語(yǔ)之間互相獨(dú)立．（1）若第1道謎語(yǔ)由甲、乙猜的概率分別是和，求第3道謎語(yǔ)由甲猜的概率；（2）假設(shè)謎語(yǔ)的數(shù)量足夠多，若第1道謎語(yǔ)由乙先猜，求第30道謎語(yǔ)由乙猜的概率．解：（1）第3道謎語(yǔ)由甲猜分如下四種情況：①甲猜對(duì)第一道謎語(yǔ)，甲猜對(duì)第二道謎語(yǔ)，有；②甲猜錯(cuò)第一道謎語(yǔ)，乙猜錯(cuò)第二道謎語(yǔ)，有；③乙猜對(duì)第一道謎語(yǔ)，乙猜錯(cuò)第二道謎語(yǔ)，有；④乙猜錯(cuò)第一道謎語(yǔ)，甲猜對(duì)第二道謎語(yǔ)，有，故第3道謎語(yǔ)由甲猜的概率為；（2）記第道謎語(yǔ)由乙猜的概率為，第道謎語(yǔ)由乙猜的概率為，由甲猜的概率為，時(shí)，有，整理為，可化為，可得數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，又由，有，可得．18.已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，若且，證明：．（1）解：由函數(shù)，可得的定義域?yàn)?，且，①?dāng)時(shí)，由，可得，令，可得；令，可得，所以函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為；②當(dāng)時(shí)，由，則，且，（i）當(dāng)時(shí)，，可得函數(shù)單調(diào)遞減，減區(qū)間為，沒(méi)有增區(qū)間；（ii）當(dāng)時(shí)，有，可得，令，可得；令，可得或，所以函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為；（iii）當(dāng)時(shí)，有，可得，令，有；令，可得或，所以函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）證明：由（1）知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，若且，不妨設(shè)，①當(dāng)時(shí)，，不等式成立；②當(dāng)時(shí)，，令（其中，可得，所以函數(shù)單調(diào)遞增，又由（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），可得當(dāng)時(shí)，，由，可得，即，有，又由，可得，由，可得，又由，函數(shù)在上單調(diào)遞減，由，有，可得，故不等式得證．19.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線（為正整數(shù)）的焦點(diǎn)為，拋物線上一點(diǎn)在第四象限，且滿足．（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)在拋物線上，是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形，的面積為，求直線的方程．解：（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中，焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，由拋物線的幾何性質(zhì)及，有，有，由，有，可化為，又由，有，代入，有，整理為，解得或，當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，與為正整數(shù)矛盾，不合題意，舍去．由上知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，