2023-2024學年廣東省陽江市高新區(qū)高二年級上冊期末檢測數(shù)學模擬試題（含答案）

2023-2024學年廣東省陽江市高新區(qū)高二上冊期末檢測數(shù)學

模擬試題

一、單選題

68

24

1.數(shù)列彳，7-9-,…的第10項是()

??

18

A16BC22

A.——1-9-D.—

1723

【正確答案】C

【分析】根據(jù)數(shù)列的前幾項，歸納處數(shù)列的通項公式，即可求解數(shù)列的第10項，得到答案.

【詳解】由題意，根據(jù)數(shù)列，可求得數(shù)列的通項公式4=召，

所以數(shù)列的第10項為％,=裊，=乳故選C.

2×10+l21

本題主要考查了歸納數(shù)列的通項公式，其中根據(jù)數(shù)列的前幾項，找出數(shù)列的數(shù)字排布規(guī)律,

得出數(shù)列的通項公式是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力.

2.已知圓C過點A(-2,0),僅0,4),圓心在X軸上，則圓C的方程為()

A.(x+l)2+(y-2)2=5B.(x-l)2+∕=9C.(x-3)2+γ2=25

D.X2+y2=16

【正確答案】C

【分析】設出圓的標準方程，將己知點的坐標代入，解方程組即可.

【詳解】設圓的標準方程為a-")?+:/=/，

將A(-2,0),B(0,4)坐標代入得：|(；+“)，

a2+?6=r2

Ia=3

解得2故圓的方程為。-3)2+丁=25，

［廣=25

故選：C.

3.己知S“是等差數(shù)列｛%｝的前"項和，%+%=8,57=35,則為=

A.5B.6C.7D.8

【正確答案】C

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前n項和公式及等差數(shù)列的性質可求出出,%,即可求出公差，再

根據(jù)通項公式求出生.

【詳解】因為6+%=8=2%,S7=35=Ja4

所以%=4,%=5,

故d=-1,

a2=Ciq-Zd=5+2=7,

故選C.

本題主要考查了等差數(shù)列的前n項和，等差數(shù)列的通項公式，等差數(shù)列的性質，屬于中檔題.

4.若橢圓￡+《=1的右焦點與拋物線V=8x的焦點重合，則橢圓的離心率為()

d12

A.正B.忌C.也D.亞

232

【正確答案】B

【分析】求出拋物線的焦點坐標，可得出。的值，進而可求得橢圓的離心率.

【詳解】拋物線V=8x的焦點坐標為(2,0),由已知可得"一2=22,可得”指，

因此，該橢圓的離心率為e=￡=/==△色.

α√63

故選：B.

5.已知過點P(2,2)的直線與圓丁+()-1)2=5相切，且與直線ox—y+l=0垂直，則α=()

A.—-B.?C.-2D.2

【正確答案】B

【分析】首先由點P的坐標滿足圓的方程來確定點尸在圓上，然后求出過點尸的圓的切線方

程，最后由兩直線的垂直關系轉化為斜率關系求解.

【詳解】由題知,圓f+(y-l)2=5的圓心C(0,1),半徑r=石.

因為22+(2-1)2=5,所以點P(2,2)在圓C上，

所以過點尸的圓C的切線/與直線PC垂直，

設切線/的斜率%,則有無?7=T,

即&?3N=T,解得％=-2?

2—()

因為直線6-y+l=0與切線/垂直，

所以上α=T,解得

故選：B.

6.已知A,B分別為雙曲線r：f-E=I實軸的左右兩個端點，過雙曲線「的左焦點F作直

3

線PQ交雙曲線于P,。兩點(點尸,Q異于AB),則直線AP,BQ的斜率之比原°：&膻=()

123

A.—B.-3C.—D.—

332

【正確答案】B

先根據(jù)雙曲線方程求出α,b,C的值，再直接設直線方程為X=Wy-2,代入雙曲線方程，

消去X,化簡得到關于丫的一元二次方程，得韋達定理，然后將領，：《即借助于尸，。的坐標

表示出來，再將韋達定理看成方程，將m用y,乃表示出來代入前面的比值，化簡即可.

【詳解】解：由已知得雙曲線「:α=l,?=√3,c=2.

故尸(-2,0),A(-l,0),8(1,0).

設直線PQ：x="?y-2,且P(x∣,yl),Q(X2,%).

X=my-2

由,2V2消去X整理得(3.-1))，2-12〃少+9=。，

X*--=1

兩式相比得優(yōu)=3*21①，

.k-L--M、＜&T_Y("，*-3)，孫K-31

..KAp.KBQ——X——⑷，

%+1%%(加弘一Dm)'跖一％

3/、C

7(凹+必)-3,?/-3v)

將①代入②得：上式=?----------=$孫)=-3.

孤+%)f3yf

故L：%=-3.

故選：B.

本題考查雙曲線的性質，以及學生的化簡運算能力，屬于中檔題.

7.已知α=(cosα,l,sin0),?=(sina,l,cosa),則向量〃+人與〃一〃的夾角是()

A.90°B.60°C.30°D.O0

【正確答案】A

【分析】根據(jù)向量的坐標求（。+。）-（“-匕），即可判斷選項.

【詳解】a+b=(cosa+sina,2,sina÷cos?),4一〃=(COSa-Sina,0,Sina-CoSa),

(tz+?jj=(cosαf÷sincr)(cosa-sina)+(sincr+cosαf)(sina-cosσ)

=cos2a-sin2a+sin2a-cos2α=O,

所以向量α+b與的夾角是90.

故選：A

8?已知W=W，求S=??"B?+/(煞)的值()

A.2012B.2013

C.1006D.1007

【正確答案】C

【分析】根據(jù)已知得至IJy（I-X）+/（χ）=ι,進而求解結論.

【詳解】因為〃

4+2

所以

4

??4?v4'-χ4ΛF4A-44Λ2

/(I-%)+f(x}=-------+---------=--------+-??—=---------+-----------=---------+--------

八JJ'J4A+241-Λ?！?4Λ÷244x+24÷2?4Λ4Λ+22+4V

----rZ

4r

2012

所以s=?M+?y+=i×2012=1006,

20132

故選：C.

二、多選題

9.已知數(shù)列｛叫滿足4=3,an+l=l-j-,記數(shù)列｛叫的前"項和為S,,則（）

3I

aB5S=

?.I-2-3Λ+1~3n~2

C.allan+lan+2=-1D.S19=22

【正確答案】CD

【分析】根據(jù)遞推公式求出生、%、4,即可找到規(guī)律得到數(shù)列｛為｝是以3為周期的周期數(shù)

列，即可判斷A、B、D,再根據(jù)遞推公式表示出?！?2,即可得到?！?+得-2,從而判斷C.

【詳解】解：因為q=3,4,+ι=ι-',

a?

,1,12

所以見=1---=1--=-,故A錯誤；

a233

%=1-Z=I-Z="5,2="*=1一]]=3=4,所以數(shù)列也｝是以3為周期的周期數(shù)列,

3~2

所以S3〃+|—$3〃=〃3"+1=4=3,故B錯誤;

1ci—1

因為%x=l1__=----

an?

a—1

所以??l?2=aH,--------7=T,故C正確；

++??a,,~l

S∣9=(4∣+42+43++“is)+”"=6(α∣+α2+%)+α∣9=6x(3H-----]+3=22,

故D正確;

故選：CD

10.已知數(shù)列｛q｝滿足4=1且4“=(1+：)q，數(shù)列也｝滿足N=*"("cN"),下列說法

正確的有()

A.數(shù)列也｝為等比數(shù)列B.當1=2時，數(shù)列｛〃,｝的前”項和為

(n-l)2,,+l+2

C.當fe(0,l)且T匚為整數(shù)時，數(shù)列也｝的最大項有兩項D.當fe(O,<)時，數(shù)列他｝為

遞減數(shù)列

【正確答案】BCD

【分析】A選項，變形為y=&,得到［%］為常數(shù)列，故4=〃，bll=nt?

根據(jù)定義求出｛2｝不是等比數(shù)列，A錯誤；

B選項，錯位相減法求和，B正確；

C選項，作差法得到隨著”的變大，｛"｝先增后減，根據(jù)TL為整數(shù)，得到2M=打且最大,

即數(shù)列也｝的最大項有兩項，C正確；

D選項，作差法結合fw(O,g得到%-a=("+l)d∕-∕7］<O,故D正確.

2VH+1√

【詳解】。向=11+」?！白冃螢椴?"，又?=1,故數(shù)列［組］為常數(shù)為1的數(shù)列，故

VnJπ+ln1［nJ

所以—因為矍=中=?，,

若f=0,則他,｝為常數(shù)為0的常數(shù)列，不是等比數(shù)歹U,

若rθ,則芋="、不是定值，不是等比數(shù)列，綜上A錯誤;

b"n

n

當f=2時,bn=n-2,

設數(shù)列出｝的前〃項和為小

2,

Tn=2+2×2+3×2++n-2",①

貝IJ27；=22+2x23+3x2,++n?2,'tl,②

②-①得：7；,=-(2+22+23+24++2n)+∕j?2,,+'=(n-l)2,,+'+2,B正確;

當fe(0,l)時，用一h=(〃+1)嚴-+一念)，

因為f∈(0,l),所以當即〃>一-時,?-bπ<0,即心心“

n+?I-Z〃〃

Y]t

當r≥—-,即∕2≤^—時，?+1-?>0,即勿+]≥d,

H+l}-t

故隨著〃的變大，｛2｝先增后減,

因為為整數(shù)，故仇出="且最大，即數(shù)列｛d｝的最大項有兩項，C正確;

l-t

當f€(0,；)時，N+1_a=(〃+1)產「山"=(〃+1)n

/7+1

Yl1>?i

因為〃所以商d商單調遞增，故商

因為te(0,},所以%%=5+1?"[-Wf)<0,

數(shù)列也｝為遞減數(shù)列，D正確;

故選：BCD

11.已知雙曲線C過點（1,夜）且漸近線為y=±gx,點P在雙曲線C的一條漸近線上，。為

坐標原點，P為雙曲線的右焦點，則下列結論正確的是（）

A.雙曲線C的離心率為2B.雙曲線C的方程是3χ2-y2=]

C.IPFI的最小值為2D.直線瓜-y-l=()與C有兩個公共點

【正確答案】AB

【分析】設雙曲線的方程為3/一9=Z(ZlW0),由雙曲線C過點(l,√∑)求出/1,判斷B；

再由離心率公式判斷A：聯(lián)立直線和雙曲線方程判斷D.

【詳解】設雙曲線的方程為3χ2-y2=Z(4H()),由雙曲線C過點(l,√∑)可得

2=3×I2_(V2)=1＞即雙曲線C的方程是3丁-)產=1,故B正確;

c2?∣33_

e=-=----×-r==2,故

03√3

A正確;

由題意可得F當直線PF與漸近線y=JK垂直時，IPFl取最小值，且最小值

島H亍273-。

故C錯誤;

~1Γ=1

由仁二:二：°，解得X=等,y=0,即直線瓜-y-ι=o與C只有一個交點，故D錯誤;

故選：AB

12.如圖，平行六面體ABCo-AAGA，其中，以頂點A為端點的三條棱長均為6,且它

們彼此的夾角都是60,下列說法中正確的是()

A.∣ACl∣=6>∕6

B.AC11BD

C.向量BC與AA的夾角是60.

D-異面直線即與AC所成的角的余弓玄值為《

【正確答案】AB

【分析】根據(jù)題意，引入基向量，分別用基向量表示AG,%>，4CA41,3D∣,AC,利用向量

求長度的計算公式，計算可得A正確：利用向量證垂直的結論，計算可得B正確；利用向

量求夾角公式，計算可得CD錯誤.

【詳解】設A5=4,AD=b,A4l=c,因為各條棱長均為6,且它們彼此的夾角都是60,

所以α/=b?c=c?α=6χ6xcos60=18，

因為AC；=〃+〃+3,所以，

2222

∣ACI∣=J(<2+?+C)=?∣a+b+c+2a-b+2h-c+2c-a=√3×36+3×2×18=6√6，故A正

確；

由BD=b-a，所以AClBD=^a+b+c^b-a^=b2-Λ2+c??-c?tz=36-36+18-18=0,

所以故B正確;

因為3∣C=Z?-c,且,4=6,所以

(h-c^?c

b?c-c2j≡=J,所以其夾角為⑵,故C錯誤;

cosBC,AA=

11?^-c[?c?MTlCl

因為BDl=c~cι+b,AC=d+b，

36+36+36-2x18-2x18+2x18=6&，

BDl?AC=c—iZ+?j?f<7+?)=?2-6!2+c?α+c,??=36-36+18+l8=36,

[c-a+b]?a+b?36√6

所以CoSBR,AC=---------,∣?故D錯誤.

∣c-o+?∣?∣α+?∣6√2×6√36

故選：AB.

三、填空題

13.拋物線y=21的焦點到準線的距離等于.

【正確答案】?

【分析】先將拋物線方程y=2∕,轉化為標準方程，求得焦點坐標，準線方程即可.

【詳解】因為拋物線方程是y=2W,

轉化為標準方程得：χ2=gy,

所以拋物線開口方向向右，焦點坐標為尸（，。）準線方程為：X=-",

所以焦點到準線的距離等于I.

故！

4

本題主要考查拋物線的標準方程，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎題.

14.已知數(shù)列｛4｝的前"項和是5“，若q=l,%+%+∣=",貝IJE51-Shi的值為.

【正確答案】27

由??+%="得％+限=〃+1相減后得數(shù)列的奇數(shù)項與偶數(shù)項分別成等差數(shù)列，由此可

得通項，從而求得結論.

【詳解】；卬,+。0+1=〃，,4+1+。“+2="+1，相減得4+2-%=1，

又4=1,4+%=1,a2=0,a2-al=-?,所以數(shù)列｛/｝的奇數(shù)項與偶數(shù)項分別成等差數(shù)列，

公差為1,

n

?∏-ι=.aln≈n-?,

S19-S16=?17+αlg+0l9=9+8+10=27.

故27.

易錯點睛：本題考查等差數(shù)列的通項公式，解題時由已知等式中“改寫為〃+1,兩相減后得

?+2-aπ≈l,這里再計算如果4-6=g（=巧巴9,則可說明｛《J是等差數(shù)列，

象本題只能說明奇數(shù)項與偶數(shù)項分別成等差數(shù)列.不能混淆，誤以為｛q｝是等差數(shù)列.這是

易錯的地方.

15.已知O為坐標原點，拋物線C：9=2沖5>0）的焦點為尸，P為C上一點,PF與X

軸垂直，Q為X軸上一點，且PQLOP,若IFg=6,則IPFI=.

【正確答案】3

【分析】先求P點坐標，再由已知得Q點坐標，由PQ?LOP列方程得解.

【詳解】拋物線C：y1=2px(P>0)的焦點嗚，())，

=P為C上一點，P尸與X軸垂直，

所以P的橫坐標為與，代入拋物線方程求得P的縱坐標為±P,不妨設P(5,P),

因為Q為X軸上一點，且尸QLOP,所以Q在尸的右側，

.nUiw

又IFQl=6,Q(6+—,0),PQ=(6,—p),

Uiuum

因為尸QLOP,所以尸Q?OP"nχ6-p2=o,

Qp>O,.?.p=3,所以陽=3

故3.

16.如圖：二面角ɑ-/一4等于135,AB是棱/上兩點，AC,8。分別在半平面a、夕內,

ACll,BDll,AB=AC=l,BD=y∕2,則8的長等于.

【正確答案】√6

【分析】由題意，二面角a"一夕等于135,根據(jù)ICq=Ie4+AB+叫，結合向量的運算,

即可求解.

【詳解】由題意，二面角a-/—￡等于135,

可得向量(ACM)=I35,(AaAB)=90,(AB,BC^=90

因為AC_U,BO，/,AB=AC=1,8。=&,可得CD=C4+A8+BO,

所以∣CD∣=∣CA+AB+BD∣=Q(CA+AB+BDf

I?2?2?2

=√CA*^+AB>BD+2C4?ΛB+2CA?BD+2AB?BD

=JF+/+(何+0+2xlx√Lcos45+0=√6.

故指

四、解答題

17.已知雙曲線片=1的左、右焦點分別為6,F,,過尸2作斜率為√7的弦AB.求:

27

(1)弦48的長；

(2)ΔKAB的周長.

【正確答案】(l)16√∑;

⑵36萬

【分析】Q)聯(lián)立直線方程與雙曲線方程，求得交點A8的坐標，再用兩點之間的距離公式

即可求得；

(2)根據(jù)(1)中所求，利用兩點之間的距離公式，即可求得三角形周長.

【詳解】(1)設點AB的坐標分別為(5,yj'(w,%),

由題意知雙曲線的左、右焦點坐標分別為F1(-3,0)F1(3,0),

直線AB的方程y=√7(x-3),

與——=1聯(lián)立得χ2—12%+20=0,解得演=2,x=10,

272

代入AB的方程為y=√7(Λ-3)分別解得X=-√7,y2=7√7.

所以IABI=J(Xl-X2)2+()'|一必

(2)由(1)?∣AB∣=16√2,

∣A∕?∣=^(2+3)2+(-√7-θ)2=4√2,

忸周=^(lO+3)2+(7√7-θ)2=16√2，

所以△耳AB的周長為IA制+∣%∣+M同=36近.

18.已知數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列，也｝是等比數(shù)列，?=3,4=9,α,=?l,at4=b4.

(1)求｛《,｝、｛2｝的通項公式；

(2)設cn=an+bn,求數(shù)歹!)｛%｝的前"項和S”.

【正確答案】b,,=r-'

⑵S“=1+學

【分析】(1)由4=?可求得數(shù)列也“｝的公比，由等比數(shù)列通項公式可得a,進而得到4，陽；

“2

由d=筆幺可求得數(shù)列｛4｝的公差，由等差數(shù)列通項公式可得知;

(2)由(1)可得％,采用分組求和法，結合等差、等比數(shù)列求和公式可得S,,.

2

【詳解】(I)設等比數(shù)列也｝的公比為4,則q=%=3,.?.b,=b2q'-=y-'.

又%=A=I,q4=a=27,設等差數(shù)列｛〃,｝的公差為"，則4=寫幺=2,

/.an=1÷2(H-1)=2Π-1.

(2)由(1)得：c.=(2〃—l)+3〃T；

/.S11=(α∣+a2+???+6rw)+(?l+4+???+/?〃)=(1+3+…+2〃-1)+(1+3+…+3”T)

1+2?-]l-3π23〃-1

=------------n4----------nH---------.

21-32

19.已知圓CX2+y2-2x+2y-7=O,圓。與X軸交于A,B兩點.

⑴求直線y=x被圓C所截得的弦長；

⑵圓M過點A,B,且圓心在直線y=x+l上，求圓M的方程.

【正確答案】(1)2√7;

⑵(X-I)2+(y—2)2=12.

【分析】(1)根據(jù)已知條件，結合垂徑定理，以及點到直線的距離公式，即可求解.

(2)根據(jù)已知圓的方程，令y=0,結合韋達定理，求出圓心的橫坐標，即可求出圓心，再

結合勾股定理，即可求出半徑.

【詳解】⑴圓C：x1+y2-2x+2y-l=0,

Λ(Λ-l)2+(y+l)2=9,即圓心為(一1,1),半徑r=3,

?/直線y=x,BPχ-y=O,

二T=應,

，圓心(―1,1)到直線X—y=0的距離d=22

λ∕l+(-l)

.?.直線y=x被圓C所截得的弦長為2尸方=2√9?2=2√7.

(2)設A(x∣,yι),B(X2,”)，

?；圓Cx2+y2-2x+2y-7=0,圓C與X軸交于A,B兩點，

ΛX2-2Λ?-7=0,

72

則x,+x2=2,XIX2=-，?x∣-x2?=A∕(X1+X2)-4X,X2=4√2，

.?.圓心的橫坐標為X=土芥=1,

：圓心在直線y=x+l上，

圓心為(1,2),

半徑r=卜+(逑)2=2√3，

故圓M的方程為(X-I)2+(y-2y=12.

20.如圖，在四棱錐尸一ABCO中，底面ABC。為菱形，/540=60。，。為AO的中點.

PA=PD,求證：平面PQB，平面BW；

(2)點M在線段PC上，PM=-PC,若平面以。_1_平面ABCD且B4=PO=AO=2,求二

面角M—BQ—C的大小.

【正確答案】(1)證明見解析

(2)60°

【分析】(1)由題設條件推導出PQ_LA。，BQA.AD,從而得到L平面PQ8,由此能夠

證明平面PQ3，平面∕?D

(2)以。為坐標原點，分別以QA,QB,QP為X,y,z軸，建立空間直角坐標系，利用向

量法能求出二面角M—8。一C的大小.

【詳解】(1)因為底面ABC。為菱形，NBAQ=60。，。為AQ的中點，

所以BQJ_AO,

又PA=PD,

所以PQLAD,

因為PQLAD,BQLAD,PQBQ=Q,P。U平面尸QB,BQu平面PQB,

所以AO_L平面尸。8,

又因為45U平面PAD,

所以平面PQ8_L平面PAD.

(2)-JPA=PD=AD,Q為A。的中點，

：.PQ±AD,

：平面抬。J_平面ABCD,平面PADc平面ABCD=AD,

：.PQ_L平面ABCD,

以Q為坐標原點，分別以QA，QB,QP為X,y,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系,

由題意知：Q(0,0,0),A(l,0,0),P(θ,θ,√3),β(θ,√3,θ),c(-2,√3,θ)

21

：.QM=-QP+-QC=

設勺是平面MBQ的一個法向量，則勺?QM=0,"∣?Q8=0,

2√32√3

——x+——y+-----z=n0

333令z=l,

√3y=0

.?.HJ=(G,o,ι),

又；巧=(0,0,1)是平面BQC的一個法向量，.?.COS(4,%)=?,

.?.二面角M—BQ—C的大小是60。.

Z

M

22

21.已知橢圓C/：當"+斗?=l(a>b>O)的右頂點與拋物線C2：y2=2px(p>0)的焦點重合，橢圓C/

ab

的離心率為過橢圓a的右焦點尸且垂直于X軸的直線截拋物線所得弦的長度為4后.

(1)求橢圓。和拋物線C2的方程.

(2)過點4(-4,0)的直線/與橢圓C/交于M,N兩點，點M關于X軸的對稱點為E當直線/

繞點A旋轉時，直線EN是否經(jīng)過一定點?請判斷并證明你的結論.

【正確答案】⑴幡圓C/的方程為:+g=1,拋物線C2的方程為V=8x；

(2)直線EN恒過一定點Q(-1,0),證明見解析.

【分析】(1)根據(jù)橢圓的離心率公式，結合拋物線的焦點坐標進行求解即可；

(2)設出直線/的方程與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關系，結合橢圓的對

稱性、直線斜率公式進行求解即可.

【詳解】(1)設橢圓。的半焦距為C依題意，可得α=日，則C2：)a=4“x,

代入X=C,得γ2=4"c,即γ=±2j兀，所以4J五二40,

CIC=2

c1

則有｛—=-,所以a=2,?=√3,