數(shù)學(xué)培優(yōu)競賽新方法(九年級)-第26講-拋物線與直線形(1)-由動點生的特殊斯四邊行問題

§26拋物線與直線形〔2〕——由動點生成的特殊四邊形問題科學(xué)家的好奇心是永遠(yuǎn)滿足不了的，因為隨著每一個進(jìn)展，正如巴普洛夫所說：“我們打到了更高的水平，看到了更廣闊的的天地，見到了原先在視野之外的東西?！薄惛ダ锲嬷R縱橫拋物線與直線形的結(jié)合另一表現(xiàn)形式是以拋物線為載體，探討是否存在一些點，使其能夠成某些特殊四邊形，有以下常見的根本形式：〔1〕拋物線上的點能否構(gòu)成平行四邊形；〔2〕拋物線上的點能否構(gòu)成矩形、菱形、正方形；〔3〕拋物線上的點能否構(gòu)成梯形；特殊四邊形的性質(zhì)與判定是解這類問題的根底，而待定系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合、分類討論是解這類問題的關(guān)鍵。例題求解【例1】如圖，拋物線與軸交兩點〔點在點左側(cè)〕，直線與拋物線交于兩點，其中點的橫坐標(biāo)為．

〔1〕求兩點的坐標(biāo)及直線的函數(shù)表達(dá)式；

〔2〕是線段上的一個動點，過點作軸的平行線交拋物線于點，求線段長度的最大值；

〔3〕點拋物線上的動點，在軸上是否存在點，使這樣的四個點為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出所有滿足條件的點坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．〔義烏市中考題〕思路點撥對于〔3〕，可能為平行四邊形的邊或?qū)蔷€，故四個點能組成四邊形的情況由多種，需全面討論?！纠?】如圖，對稱軸為直線的拋物線經(jīng)過點和．

〔1〕求拋物線解析式及頂點坐標(biāo)；

〔2〕設(shè)點是拋物線上一動點，且位于第四象限，四邊形是以為對角線的平行四邊形，求平行四邊形的面積與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；

①當(dāng)平行四邊形的面積為時，請判斷平行四邊形是否為菱形？

②是否存在點，使平行四邊形為正方形？假設(shè)存在，求出點的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由．〔河南省中考題〕思路點撥對于〔2〕，假設(shè)，那么平行四邊形為菱形；假設(shè)且，那么平行四邊形為正方形。先求出點坐標(biāo)，再看點是否在拋物線上?！纠?】如圖：二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點，且與軸交于點．

〔1〕求該拋物線的解析式，并判斷△ABC的形狀；

〔2〕在軸上方的拋物線上有一點，且四點為頂點的四邊形是等腰梯形，請直接寫出點的坐標(biāo)；

〔3〕在此拋物線上是否存在點，使得以四點為頂點的四邊形是直角梯形？假設(shè)存在，求出點的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，說明理由．〔臨江市中考題〕思路點撥問題〔1〕中已經(jīng)確定了的形狀，只需再構(gòu)造直角就可解決問題〔3〕。點是直線與拋物線的交點，但梯形的另一直角頂點不確定?！纠?】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的兩個頂點在軸上，頂點在軸的負(fù)半軸上．，，的面積，拋物線經(jīng)過三點。(1)求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)設(shè)是軸右側(cè)拋物線上異于點的一個動點，過點作軸的平行線交拋物線于另一點，過點作垂直于軸于點，再過點作垂直于軸于點，得到矩形．那么在點的運動過程中，當(dāng)矩形為正方形時，求出該正方形的邊長；(3)在拋物線上是否存在異于的點，使中邊上的高為？假設(shè)存在，求出點的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由．〔2011年成都市中考題〕分析對于〔2〕，設(shè)出點的坐標(biāo)，由，建立方程；對于〔3〕，假設(shè)存在點，使中邊上的高為，那么點應(yīng)在與直線平行且與直線相距的兩條平行線上。學(xué)力訓(xùn)練1.如圖，拋物線與軸交于點，過點的直線與拋物線交于另一點，過點作軸，垂足為點．

〔1〕求直線的函數(shù)關(guān)系式；

〔2〕動點在線段上，從原點出發(fā)以每秒一個單位的速度向移動，過點作軸的垂線，交直線于點，拋物線于點，設(shè)點移動的時間為秒，線段的長為個單位，求與的函數(shù)關(guān)系式；

〔3〕在〔2〕的條件下〔不考慮點與點、點重合的情況〕，連接，四邊形能否為平行四邊形？假設(shè)能，求出點P的坐標(biāo)；假設(shè)不能，請說明理由．〔2011年廣州市中考題〕2.平面直角坐標(biāo)系〔如圖〕，一次函數(shù)的圖象與軸交于點，點在正比例函數(shù)的圖象上，且．二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點．

〔1〕求線段的長；

〔2〕求這個二次函數(shù)的解析式；

〔3〕如果點在軸上，且位于點下方，點在上述二次函數(shù)的圖象上，點在一次函數(shù)的圖象上，且四邊形是菱形，求點的坐標(biāo)．〔2011年上海市中考題〕3.如圖，拋物線過點，與軸交于另一點．

〔1〕求拋物線的解析式；

〔2〕假設(shè)在第三象限的拋物線上存在點，使為以點為直角頂點的直角三角形，求點的坐標(biāo)；

〔3〕在〔2〕的條件下，在拋物線上是否存在一點，使以為頂點的四邊形為直角梯形？假設(shè)存在，請求出點的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由．〔煙臺市中考題〕4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與拋物線交于兩點，點在軸上，點的橫坐標(biāo)為．

〔1〕求該拋物線的解析式；

〔2〕點是直線上方的拋物線上一動點〔不與點重合〕，過點作軸的垂線，垂足為，交直線于點，作于點．

①設(shè)的周長為，點的橫