新版高中數(shù)學(xué)人教A版必修5習(xí)題第三章不等式3.4.2

第2課時(shí)基本不等式的應(yīng)用課時(shí)過(guò)關(guān)·能力提升基礎(chǔ)鞏固1已知p,q∈R,若pq=100,則p2+q2的最小值是().A.200 B.100 C.50 D.20解析:p2+q2≥2pq=200,當(dāng)且僅當(dāng)p=q=10或p=q=10時(shí),等號(hào)成立.答案:A2在下列函數(shù)中,最小值為2的是().A.y=x+B.y=3x+3xC.y=lgx+D.y=sinx+解析:選項(xiàng)A中,由于x可能為負(fù),因此y=x+1x最小值不是2;選項(xiàng)B中,3x,3x都大于零,且3x+3x≥23x·3-x=2,當(dāng)且僅當(dāng)3x=3x,即x=0時(shí),等號(hào)成立,故B正確;選項(xiàng)C中,lgx<0,因此最小值不是2;選項(xiàng)D中,由于sinx答案:B3若a≥0,b≥0,且a+b=2,則().A.ab≤1C.a2+b2≥2 D.a2+b2≤3解析:取a=1,b=1,則ab=1,排除A項(xiàng);取a=0,b=2,則ab=0,a2+b2=4,排除B,D兩項(xiàng),故選C.答案:C4將一根鐵絲切割成三段做一個(gè)面積為2m2、形狀為直角三角形的框架,在下列四種長(zhǎng)度的鐵絲中,選用最合理(夠用且浪費(fèi)最少)的是().A.6.5m B.6.8m C.7m D.7.2m解析:設(shè)直角三角形框架的兩直角邊分別為am,bm,則ab=4.所用鐵絲長(zhǎng)度l=a+b+=4+22≈6.828當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)取等號(hào).答案:C5兩直角邊之和為4的直角三角形面積的最大值等于.

答案:26如圖,有一張單欄的豎向張貼的海報(bào),若它的印刷面積為72dm2(圖中陰影部分),上、下空白各寬2dm,左、右空白各寬1dm,則四周空白部分面積的最小值是dm2.

答案:567有一塊半徑為2m的半圓形鋼板,若裁成矩形的鋼板,則矩形鋼板的最大面積為m2.

解析:設(shè)垂直于直徑的邊長(zhǎng)為xm,則另一邊長(zhǎng)為24則S=2x4-x2,S2=4x2(4-x2)故當(dāng)x=2時(shí),S=4,即S的最大值為答案:48已知a,b,c都是實(shí)數(shù),求證:a2+b2+c2≥13證明因?yàn)閍,b,c∈R,所以a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac.將以上三式兩邊分別相加,得2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ca),在上式兩邊同時(shí)加上a2+b2+c2,得3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2,即a2+b2+c2≥19某單位用木料制作如圖所示的框架,框架的下部是邊長(zhǎng)分別為x,y(單位:m)的矩形,上部是等腰直角三角形,如果要求框架圍成的總面積為8m2,那么x,y分別為多少時(shí)用料最省?解由題意得則y=則框架用料長(zhǎng)度為l=2x+2y+2×22x=32+2x因此,當(dāng)x=84210若a>0,b>0,且1(1)求a3+b3的最小值;(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并說(shuō)明理由.解(1)由ab=1a+1b≥2ab故a3+b3≥2a3b3≥4所以a3+b3的最小值為(2)由(1)知,2a+3b≥2由于43>6,從而不存在a,b,使得2能力提升1若a,b是實(shí)數(shù),且a+b=3,則2a+2b的最小值是().A.6 B.4解析:2a+2b≥22a·2b=22a+b=答案:B2在三棱錐OABC中,OA,OB,OC兩兩垂直,若OC=1,OA=x,OB=y,x+y=4,則三棱錐OABC體積的最大值是().A.解析:V=13·OA·S△OBC=13·OA·12·OB·OC=13·x因?yàn)閤+y=4,x>0,y>0,所以4=x+y≥2xy,所以xy所以V=16xy≤23答案:A3某公司租地建倉(cāng)庫(kù),每月租金y1與倉(cāng)庫(kù)到車站的距離成反比,而每月庫(kù)存貨物的運(yùn)費(fèi)y2與到車站的距離成正比.如果在距離車站10千米處建倉(cāng)庫(kù),這兩項(xiàng)費(fèi)用y1與y2分別為2萬(wàn)元和8萬(wàn)元,那么,要使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小,倉(cāng)庫(kù)應(yīng)建在離車站千米處.

解析:設(shè)倉(cāng)庫(kù)建在離車站d千米處,設(shè)y1=由y1=2=k110,得k1=20由y2=8=10k2,得k2=∴y1+y2=當(dāng)且僅當(dāng)20d=4d5答案:54一批貨物隨17列貨車從A市以v千米/時(shí)勻速直達(dá)B市,已知兩地鐵路線長(zhǎng)400千米,為了安全,兩列貨車的間距不得小于v解析:設(shè)這批貨物從A市全部運(yùn)到B市的時(shí)間為t,則t=≥2400當(dāng)且僅當(dāng)400v=16此時(shí)t=8小時(shí).答案:8★5某種汽車的購(gòu)車費(fèi)用為10萬(wàn)元,每年的保險(xiǎn)費(fèi)、養(yǎng)路費(fèi)、汽油費(fèi)約為0.9萬(wàn)元,年維修費(fèi)第一年是0.2萬(wàn)元,以后逐年遞增0.2萬(wàn)元.求這種汽車使用多少年時(shí),它的年平均費(fèi)用最少.解設(shè)汽車使用x年時(shí),它的年平均費(fèi)用最少.由年維修費(fèi)第一年是0.2萬(wàn)元,以后逐年遞增0.2萬(wàn)元,可知汽車每年維修費(fèi)構(gòu)成以0.2萬(wàn)元為首項(xiàng),0.2萬(wàn)元為公差的等差數(shù)列,因此,汽車使用x年時(shí)總的維修費(fèi)用為x設(shè)汽車的年平均費(fèi)用為y萬(wàn)元,則y==1+10x+x當(dāng)且僅當(dāng)10x=x10,即故這種汽車使用10年時(shí),它的年平均費(fèi)用最少.★6(1)已知a,b,c>0,求證:a2b+(2)已知a>0,b>0,a+b=1,求證:1a+證明(1)∵a,b,c,a2∴a2bb2c+c2a+以上三式相加得a2b+b+b2當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立.∴a2b(2)∵a+b=1,a>0,b>0,∴1a+1b=a∴7如圖,公園想建一塊面積為144平方米的矩形草地,一邊靠墻,另外三邊用鐵絲網(wǎng)圍住,現(xiàn)有44米鐵絲網(wǎng)可供使用(鐵絲網(wǎng)可以剩余),若利用x米墻,(1)求x的取值范圍;(2)求最少需要多少米鐵絲網(wǎng).(精確到0.1米)解(1)由于矩形草地的面積是144平方米,一邊長(zhǎng)是x米,則另一邊長(zhǎng)為144則矩形草地所