2023-2024學(xué)年人教版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè) 28.2 解直角三角形及其應(yīng)用同步分層提升題

親愛的同學(xué)加油，給自己實(shí)現(xiàn)夢(mèng)想的一個(gè)機(jī)會(huì)！第頁2023-2024學(xué)年人教版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)28.2解直角三角形及其應(yīng)用同步分層提升題班級(jí)：姓名：親愛的同學(xué)，在做題時(shí)，一定要認(rèn)真審題，完成題目后，記得審查，養(yǎng)成好習(xí)慣！祝你輕松完成本次練習(xí)。一、單選題1．如圖，有一斜坡AB，坡頂B離地面的高度BC為30m，斜坡AB的坡度i＝1：2.5，則此斜坡的水平距離AC為（）A．75m B．50m C．30m D．12m2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4．下列四個(gè)選項(xiàng)，正確的是（）A．tanB=34 B．sinB=43 C．sinB=453．如圖，這是某攔河壩改造前后河床的橫斷面示意圖，AD∥BC，壩高DC=8?m，將原坡度i=1：0.25的迎水坡面AB改為坡角為60°的斜坡EB，此時(shí)，河壩面寬減少的長(zhǎng)度AE等于（）（結(jié)果精確到A．2.2m B．2.6m C．4．如圖所示，是由小正方形構(gòu)成的4×4網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，點(diǎn)O，A，P，C，D均在格點(diǎn)上，則∠AOB和∠COD的大小關(guān)系為（）A．∠AOB>∠COD B．∠AOB=∠CODC．∠AOB<∠COD D．無法確定5．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，點(diǎn)D是AC上一點(diǎn)，連接BD．若tanA=12，tan∠ABD=1A．25 B．3 C．2 D．56．如圖，一塊矩形薄木板ABCD斜靠在墻角MON處（OM⊥ON，點(diǎn)A，B，C，D，O，M，N在同一平面內(nèi)），已知AB=m，AD=n，∠ADO=α，則點(diǎn)B到ON的距離等于（）A．m?cosα+n?cosC．m?cosα+n?sin7．趙爽弦圖由四個(gè)全等的直角三角形所組成，形成一個(gè)大正方形，中間是一個(gè)小正方形（如圖所示）．某次課后服務(wù)拓展學(xué)習(xí)上，小潯繪制了一幅趙爽弦圖，她將EG延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)Ｉ．記小正方形EFGＨ的面積為Ｓ1，大正方形ABCD的面積為Ｓ2，若DＩ＝2，CＩ＝1，Ｓ2＝5Ｓ1，則GＩ的值是（）A．105 B．9202 C．5二、填空題8．小明沿著坡比為1：2的山坡向上走了10m，則他升高了cm。9．如圖，某無人機(jī)興趣小組在操場(chǎng)上開展活動(dòng)，此時(shí)無人機(jī)在離地面203米的D處，無人機(jī)測(cè)得操控者A的俯角為30°，測(cè)得教學(xué)樓頂點(diǎn)C處的俯角為45°．又經(jīng)過人工測(cè)量測(cè)得操控者A和教學(xué)樓BC之間的水平距離為80米，則教學(xué)樓BC的高度為米（注：點(diǎn)A，B，C，D都在同一平面內(nèi)，參考數(shù)據(jù)310．在一張矩形紙片ABCD中AD=10，AB=43，M，N分別為AB，CD的中點(diǎn)，現(xiàn)將這張紙片按如圖所示的方式折疊，使點(diǎn)B落在MN上的點(diǎn)F處，則EF的長(zhǎng)為11．如圖，PA是⊙O的切線，A為切點(diǎn)，PO交⊙O于點(diǎn)B，tanP=34，OB=6，則PB12．如圖是某風(fēng)車示意圖，其相同的四個(gè)葉片均勻分布，水平地而上的點(diǎn)M在旋轉(zhuǎn)中心O的正下方。某一時(shí)刻，太陽光線恰好垂直照射葉片OA、OB，此時(shí)各葉片影子在點(diǎn)M右側(cè)成線段CD，測(cè)得MC=8.5m，CD=13m，垂直于地面的木棒EF與影子FG的比為2∶3，則點(diǎn)O，M之間的距離等于米．轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，葉片外端離地面的最大高度等于米．13．如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)B在y軸的負(fù)半軸上，tan∠ABO=3，以AB為邊向上作正方形ABCD．若圖象經(jīng)過點(diǎn)C的反比例函數(shù)的解析式是y=1x，則圖象經(jīng)過點(diǎn)D的反比例函數(shù)的解析式是三、作圖題14．請(qǐng)用直尺、圓規(guī)作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡.已知：銳角∠O及其一邊上的一點(diǎn)A.求作：在∠O的另一邊上求作點(diǎn)B，使得tan∠OAB=四、解答題15．如圖，在△ABC中，AC=12，∠C=45°，∠B=120°，求BC的長(zhǎng)．16．某地下車庫出口處安裝了“兩段式欄桿”，如圖1，A是欄桿轉(zhuǎn)動(dòng)的支點(diǎn)，E是欄桿兩段的聯(lián)結(jié)點(diǎn)．當(dāng)車輛經(jīng)過時(shí)，欄桿AEF最多只能升起到如圖2所示的位置，其示意圖如圖3所示（欄桿寬度忽略不計(jì)），其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF=143°，AB=AE=1.2m，求此時(shí)桿EF到地面BC的距離．（參考數(shù)據(jù)∶sin37°≈0.6017．如圖是一個(gè)小商場(chǎng)的縱截面圖（矩形ABCD），AD是商場(chǎng)的頂部，BC是商場(chǎng)的地面，地面由邊長(zhǎng)為80cm的正方形瓷磚鋪成，從B到C共有25塊瓷磚，AB和CD是商場(chǎng)的兩面墻壁，MN是頂部正中央的一個(gè)長(zhǎng)方形的燈飾（AM=DN）.小張同學(xué)想通過學(xué)過的幾何知識(shí)來測(cè)量該商場(chǎng)的高度（AB）和燈飾的長(zhǎng)度（MN），于是去商場(chǎng)時(shí)帶了一塊鏡子和一根激光筆，他先把激光筆掛在墻壁CD距地面兩塊磚高度（CG的長(zhǎng)）的G處，鏡子水平放在地面距離C兩塊磚的F處，發(fā)現(xiàn)激光筆的反射光照到了N處；再把激光筆掛在墻壁AB距地面兩塊磚高度（LB的長(zhǎng)）的L處，鏡子水平放在地面距離B三塊磚的P處，發(fā)現(xiàn)激光筆的反射光恰好又照到了N處，請(qǐng)你幫忙計(jì)算AB的高度和MN的長(zhǎng)度.五、綜合題18．如圖，在△ABC中，AB=10，BC=34，cos∠ABC=35（1）如圖1，當(dāng)AD∥EF，求BD的長(zhǎng)；（2）若CE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；（3）如圖2，點(diǎn)G在線段AE上，作∠AGD=∠F，若△DGE與△CDE相似，求BD的長(zhǎng)．

答案解析部分1．答案：A解析：解：∵斜坡AB的坡度i＝1：2.5，∴BC：AC＝1：2.5，∵BC＝30m，∴AC＝30×2.5＝75m，故答案為：A．根據(jù)坡度比可得BC：AC＝1：2.5，再將數(shù)據(jù)代入求出AC的長(zhǎng)即可。2．答案：C解析：解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，

∴BC=AB2?AC2=52?42=33．答案：B解析：解：過點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F，過E作EH⊥BC于點(diǎn)H，∵AF⊥BC，EH⊥BC，AD∥BC，∴AF=EH=DC=8m，∵坡度i=1：∴AF：解得：BF=2，∵tan60°=∴BH=833∴AE=FH=BH?BF=8故答案為：B

過點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F，過E作EH⊥BC于點(diǎn)H，根據(jù)tan60°=EHBH=84．答案：C解析：解：如圖，連接AP，過點(diǎn)A作AN⊥OP于N，∴AP=12+S==3?1?=3又∵S△OPA=∴AN=3∴sin∵sin∵0.6<0.∴∠AOB<∠COD，故答案為：C．

利用正弦的定義可得sin∠AOB=ANOA=35=0.65．答案：D解析：解：過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，

∵tanA=12，tan∠ABD=13，

∴DEAE=12，DEBE=13，

∴AE=2DE，BE=3DE，

∴AE+BE=2DE+3DE=5DE=AB，

∵在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，tanA=12，

∴BCAC=5AC=12，

∴AC=25，

∴根據(jù)題意先求出AE=2DE，BE=3DE，再利用勾股定理求出AB=5，最后計(jì)算求解即可。6．答案：C解析：解：如圖所示，過點(diǎn)B作BH⊥ON于H，BQ⊥OM于Q，∴B到ON的距離是BH，∵OM⊥ON，矩形ABCD，即∠BAD=90°，∴∠BAQ+∠DAO=∠DAO+∠ADO=90°，∴∠ADO=∠BAQ=α，在Rt△ABQ中，AB=m，∴cosα=AQAB在Rt△ADO中，AD=n，∴sinα=AOAD∵BH⊥ON，OM⊥ON，BQ⊥OM，∴四邊形BQOH是矩形，∴BH=QO=QA+AO=m·cos故答案為：C．

利用解直角三角形的方法逐項(xiàng)判斷即可。7．答案：A解析：解：過點(diǎn)I作IM⊥HC于點(diǎn)M，

∵正方形EFGH，

∴∠HGE=∠IGM=45°，

∴IM=GM，

∵DＩ＝2，CＩ＝1，

∴CD=DI+CI=2+1=3

∵記小正方形EFGＨ的面積為Ｓ1，大正方形ABCD的面積為Ｓ2，Ｓ2＝5Ｓ1，

∴5Ｓ1=9

解之：S1=95

∴HG=355

∵趙爽弦圖由四個(gè)全等的直角三角形所組成，

∴DH=CG，

設(shè)DH=CG=x，則HC=355+x，

在Rt△DHC中

DH2+CH2=DC2即x2+355+x2=32

解之：x=355（取正值），

∴CG=355

8．答案：200解析：解：如圖，

∵小明沿著坡比為1：2的山坡向上走了10m，

∴AC=10m=1000cm，BCAB=12，

設(shè)BC=x，則AB=2x，

∴BC2+AB2=AC2

∴x2+4x2=10002

解之：x=2005，

∴他升高了2005cm.

故答案為：9．答案：14解析：解：過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，作CF⊥DE于點(diǎn)F，由題可得：DE=203，∠A=30°，∠DCF=45°在Rt△ADE中，∠AED=90°，∴tan30°=∴AE=3∵AB=80米，∴BE=80?60=20（米），∵∠FEB=∠CBE=∠CFE=90°，∵四邊形BCFE是矩形，∴CF=BE=20米，在Rt△DCF中，∠DFC=90°，∴∠CDF=∠DCF=45°，∴CF=DF=20，∴BC=EF=DE?DF=203故答案為：14．

過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，作CF⊥DE于點(diǎn)F，先求出CF=BE=20，再結(jié)合∠CDF=∠DCF=45°，可得CF=DF=20，最后利用線段的和差求出BC=EF=DE?DF=20310．答案：4解析：解：如圖，過點(diǎn)F作FH⊥BC于點(diǎn)H，得矩形BMFH．∵M(jìn)為AB的中點(diǎn)，∴AM=23，∠AMF=90°∴∠AFM=30°，∴MF=AF?cos∵四邊形BMFH是矩形，∴BH=MF=6．設(shè)EF=x，則EH=6?x，F(xiàn)H=23在Rt△EFH中，EF即x2解得x=4，∴EF=4．

過點(diǎn)F作FH⊥BC于點(diǎn)H，得矩形BMFH，設(shè)EF=x，則EH=6?x，F(xiàn)H=23，利用勾股定理可得x11．答案：4解析：解：∵PA是⊙O的切線，A為切點(diǎn)，∴OA⊥AP，∴∠OAP=90°在Rt△OAP中，∵tanP=OAAP∴6AP∴AP=8，∴OP=O∴PB=OP?OB=10?6=4；故答案為：4．

根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠OAP=90°，再結(jié)合tanP=OAAP=312．答案：10；10+解析：解：設(shè)AC與OM交于點(diǎn)H，過點(diǎn)C作CN⊥BD于N，

∵HC∥EG，

∴∠HCM＝∠EGF，

∵∠CMH＝∠EFG＝90°，

∴△HMC∽△EFG，

∴HMCM＝EFFG＝23，

∴HM8.5＝23

∴HM＝173，

∵BD∥EG，

∴∠BDC＝∠EGF，

∴tan∠BDC＝tan∠EGF，

∴CNDN＝EFFG＝23，

設(shè)CN＝2x，DN＝3x，則CD＝13x=13，

解之：x=13，

∴AB＝CN＝213，

∴OA＝OB＝1213．答案：y=?解析：解：如圖，過點(diǎn)C作CE⊥y軸交于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥x軸交于點(diǎn)F，

∵tan∠ABO=3，

∴AO=3OB，

設(shè)OB=a，則AO=3a，

∵∠ABC=90°，

∴∠ABO+∠OAB=∠ABO+∠CBE，

∴∠OAB=∠CBE，

又∵AB=BC，∠AOB=∠BCE=90°，

∴Rt△AOB≌Rt△BCE（AAS），

∴CE=OB=a，BE=AO=3a，

∴OE=BE-BO=3a-a=2a，

∴點(diǎn)C（a，2a），

∵點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=1x圖象上，

∴2a2=1，解得a1=22，a2=-22（舍去），

∴CE=OB=22，BE=AO=322，

同理可證：Rt△AFD≌Rt△AOB（AAS），

∴DF=AO=322，AF=BO=22，

∴FO=2，

∴D（-2，322），

設(shè)經(jīng)過D點(diǎn)的反比例函數(shù)解析式為y=dx（d≠0），

∴d=-2×322=-3，

∴y=-3x.

如圖，過點(diǎn)C作CE⊥y軸交于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥x軸交于點(diǎn)F，由tan∠ABO=3得AO=3OB，設(shè)OB=a，則AO=3a，由“AAS”定理證出Rt△AOB≌Rt△BCE，從而得CE=OB=a，BE=AO=3a，進(jìn)而得OE=2a，即點(diǎn)C（a，2a），由點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=1x圖象上，列出關(guān)于a的方程，解之得CE=OB=214．答案：解：如圖，作OA的垂直平分線交∠O的另一邊上于點(diǎn)B，B點(diǎn)即為所求∵垂直平分線∴OB=OA∴∠OAB=∠O∴tan∠OAB=解析：根據(jù)等角的同名三角函數(shù)值相等及等角對(duì)等邊可知，作OA的垂直平分線，交∠O的另一邊上于點(diǎn)B，B點(diǎn)即為所求.15．答案：解：過點(diǎn)A作AD⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，則∠ADC=90°，在Rt△ADC中，∠C=45°，∴AD=DC，根據(jù)勾股定理可得：AD即2AD解得AD=DC=62∵∠ABC=120°，∴∠ABD=60°，在Rt△ABD中，設(shè)BD=x，則AB=2x，根據(jù)勾股定理可得：AD即(6解得x=26即BD=26∴BC=DC?DB=62解析：過點(diǎn)A作AD⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，則∠ADC=90°，設(shè)BD=x，則AB=2x，根據(jù)勾股定理可得(62)2+16．答案：解：過點(diǎn)E作EG⊥BC于點(diǎn)G，AH⊥EG于點(diǎn)H．∵EF∥BC，則EF∥AH∥BC，∴∠GEF=∠BGE=90°，∵∠AEF=143°，∴∠EAH=180°?143°=37°．在Rt△EAH中，AE=1.2m，∴sin∠EAH=∴EHAE∴EH≈1.∵AB⊥BC，∴四邊形ABGH為矩形．∵GH=AB=1.∴EG=EH+HG=1.答：此時(shí)桿EF到地面BC的距離為1.解析：過點(diǎn)E作EG⊥BC于點(diǎn)G，AH⊥EG于點(diǎn)H，根據(jù)sin∠EAH=sin37°=EHAE≈017．答案：解：過點(diǎn)P作PE⊥AD于點(diǎn)E，過點(diǎn)N作NO⊥BC于點(diǎn)O，如圖，根據(jù)題意，設(shè)AB=PE=NO=a，CG=CF=2×80=160，∵LB為兩塊磚高度，BP為三塊磚的長(zhǎng)度，∴LBPB由反射的性質(zhì)，AB∥EP∥NO，∴∠BLP=∠LPE=∠EPN=∠PNO，∵∠B=∠PON=90°，∴△BPL∽△OPN，∴NOOP∴OP=3同理可證△ONF∽△CGF，∴NOOF∴OF=NO=a，∵BC=BP+OP+OF+CF，BC=80×25=2000，∴BC=3×80+3解得a=640；∴AB的高度為640厘米；∵CO=OF+CF=640+160=800，又AM=DN=CO=800，∴MN=2000?2×800=400；∴MN的長(zhǎng)度為400厘米；解析：過P作PE⊥AD于點(diǎn)E，過N作NO⊥BC于點(diǎn)O，設(shè)AB=PE=NO=a，CG=CF=2×80=160，由題意得LBPB=218．答案：（1）解：如圖1，作AG⊥BC于G，∴BG=AB?∴AG=1∵EC=EF，（2）解：如圖2，