2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)真題精練第七章立體幾何第24練空間中的平行與垂直關(guān)系課件

第24練空間中的平行與垂直關(guān)系1[2022全國(guó)乙卷·7,5分,難度★★☆☆☆]在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為AB,BC的中點(diǎn),則A.平面B1EF⊥平面BDD1B.平面B1EF⊥平面A1BDC.平面B1EF∥平面A1AC

D.平面B1EF∥平面A1C1D【解析】如圖,對(duì)于選項(xiàng)A,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,因?yàn)镋,F分別為AB,BC的中點(diǎn),所以EF∥AC,又AC⊥BD,所以EF⊥BD,又易知DD1⊥EF,BD∩DD1=D,從而EF⊥平面BDD1,又EF?平面B1EF,所以平面B1EF⊥平面BDD1,故選項(xiàng)A正確;對(duì)于選項(xiàng)B,因?yàn)槠矫鍭1BD∩平面BDD1=BD,所以由選項(xiàng)A知,平面B1EF⊥平面A1BD不成立,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)C,由題意知直線AA1與直線B1E必相交,故平面B1EF與平面A1AC不平行,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)D,連接AB1,B1C,易知平面AB1C∥平面A1C1D,又平面AB1C與平面B1EF有公共點(diǎn)B1,所以平面A1C1D與平面B1EF不平行,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選A.2[2021浙江卷·6,4分,難度★★☆☆☆]如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1,M,N分別是A1D,D1B的中點(diǎn),則A.直線A1D與直線D1B垂直,直線MN∥平面ABCDB.直線A1D與直線D1B平行,直線MN⊥平面BDD1B1C.直線A1D與直線D1B相交,直線MN∥平面ABCDD.直線A1D與直線D1B異面,直線MN⊥平面BDD1B1

3[2019全國(guó)Ⅲ卷·8,5分,難度★★☆☆☆]如圖,點(diǎn)N為正方形ABCD的中心,△ECD為正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是線段ED的中點(diǎn),則A.BM=EN,且直線BM,EN是相交直線B.BM≠EN,且直線BM,EN是相交直線C.BM=EN,且直線BM,EN是異面直線

D.BM≠EN,且直線BM,EN是異面直線

5[多選][2021新高考Ⅱ卷·10,5分,難度★★☆☆☆]如圖,下列各正方體中,O為下底面的中心,M,N為頂點(diǎn),P為所在棱的中點(diǎn),則滿足MN⊥OP的是

ADBC

圖1圖2

圖37[2019北京卷·13,5分,難度★★☆☆☆]已知l,m是平面α外的兩條不同直線.給出下列三個(gè)論斷:①l⊥m;②m∥α;③l⊥α. 以其中的兩個(gè)論斷作為條件,余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論,寫出一個(gè)正確的命題:

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【解析】7.若l⊥m,l⊥α,則m∥α(或若m∥α,l⊥α,則l⊥m,答案不唯一)

其中兩個(gè)論斷作為條件,一個(gè)論斷作為結(jié)論,可組成3個(gè)命題.命題(1):若l⊥m,m∥α,則l⊥α,此命題不成立,可以舉一個(gè)反例,例如在正方體ABCD-A1B1C1D1中,設(shè)平面ABCD為平面α,A1D1和A1B1分別為l和m,滿足條件,但結(jié)論不成立.命題(2):若l⊥m,l⊥α,則m∥α,此命題正確.證明:作直線m1∥m,且與l相交,故l與m1確定一個(gè)平面β,且l⊥m1,因?yàn)閘⊥α,所以平面α與平面β相交,設(shè)α∩β=n,則l⊥n,又m1,n?β,所以m1∥n,又m1∥m,所以m∥n,又m在平面α外,n?α,故m∥α.命題(3):若m∥α,l⊥α,則l⊥m,此命題正確.證明:過(guò)直線m作一平面,且與平面α相交,交線為a,因?yàn)閙∥α,所以m∥a.因?yàn)閘⊥α,a?α,所以l⊥a,又m∥a,所以l⊥m.8[2020全國(guó)Ⅲ卷·19,12分,難度★★★☆☆]如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E,F分別在棱DD1,BB1上,且2DE=ED1,BF=2FB1.證明:(1)當(dāng)AB=BC時(shí),EF⊥AC; (2)點(diǎn)C1在平面AEF內(nèi).

9[2023全國(guó)甲卷·18,12分,難度★★★☆☆]如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C⊥平面ABC,∠ACB=90°.(1)證明:平面ACC1A1⊥平面BB1C1C;(2)設(shè)AB=A1B,AA1=2,求四棱錐A1-BB1C1C的高.【解析】9.【參考答案】

(1)第1步:根據(jù)直線與平面垂直得到直線與直線垂直因?yàn)锳1C⊥平面ABC,BC?平面ABC,所以A1C⊥BC,第2步:利用直線與平面垂直的判定定理證明直線與平面垂直因?yàn)椤螦CB=90°,所以BC⊥AC,又A1C∩AC=C,A1C,AC?平面ACC1A1,所以BC⊥平面ACC1A1, 第3步:根據(jù)平面與平面垂直的判定定理證明平面與平面垂直又BC?平面BB1C1C,所以平面ACC1A1⊥平面BB1C1C.(2)第1步:作輔助線得到直線與平面垂直,進(jìn)而找到四棱錐A1-BB1C1C的高如圖,過(guò)點(diǎn)A1作A1H⊥CC1,交CC1于點(diǎn)H,由(1)知平面ACC1A1⊥平面BB1C1C,又平面ACC1A1∩平面BB1C1C=CC1,A1H?平面ACC1A1,所以A1H⊥平面BB1C1C,即四棱錐A1-BB1C1C的高為A1H.第2步:利用三角形全等的性質(zhì)得到CA=CA1

10[2022全國(guó)甲卷·19,12分,難度★★★☆☆]小明同學(xué)參加綜合實(shí)踐活動(dòng),設(shè)計(jì)了一個(gè)封閉的包裝盒.包裝盒如