4.2和、差、倍角的三角函數(shù)

.:PAGE:;4.2和、差、倍角的三角函數(shù)一、明確復(fù)習(xí)目的1.掌握和、差、倍角的正弦、余弦、正切公式；2.能正確運(yùn)用三角公式，進(jìn)展簡單三角函數(shù)式的化簡、求值和證明。二．建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)1.兩角和與差公式所在的象限由a,b的符號而定)2.倍角公式3.想想這些公式的推導(dǎo)與聯(lián)絡(luò)；解題時(shí)要會“正用〞，“逆用〞，“變形使用〞,特別是余弦的二倍角公式,要純熟掌握——正用(化單角),逆用(降次)和變形運(yùn)用〔因式而宜〕.4．解三角函數(shù)問題看兩個(gè)焦點(diǎn):一是角的變化,二是函數(shù)名稱的聯(lián)絡(luò),這是合理選用公式的重要根據(jù).5.其它公式及變形:；(降次公式)由此可得半角公式:；；萬能公式:；；三、雙基題目練練手1.〔2005北京〕對任意的銳角α，β，以下不等關(guān)系中正確的選項(xiàng)是()A．sin(α+β)>sinα+sinβB.sin(α+β)>cosα+cosβC.cos(α+β)<sinα＋sinβD.cos(α+β)<cosα＋cosβ2.〔2005江蘇〕假設(shè)，那么=〔〕A．B．C．D．3.在中，，給出以下四個(gè)論斷：① ②③ ④其中正確的選項(xiàng)是()A.①③ B.②④ C.①④ D.②③4.〔2005江西〕在△OAB中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，那么當(dāng)△OAB的面積達(dá)最大值時(shí)， 〔〕A． B． C． D．5.(2006江蘇)＝6.〔2006重慶〕，，，那么。簡答:1-4.DABD;2.,.3.…4.畫圖知,時(shí)最大.5.原式=,答案：26.利用…答案:四、經(jīng)典例題做一做【例1】求值；解(1):(2)【例2】(1)設(shè)(2)且求解：(1)因?yàn)樗运裕?，所以?2)原式=又所以為第三象限角，所以◆思路方法:1.三角函數(shù)變形著眼于兩點(diǎn)：一是尋找角的變換,二是分析函數(shù)式的構(gòu)造與聯(lián)絡(luò)，合理利用公式。2.涉及α+β、α及β的正切和差與積，通常用正切公式的變形公式?！纠?】α、β、γ∈〔0，〕，sinα+sinγ=sinβ，cosβ+cosγ=cosα，求β－α的值.解：由，得sinγ=sinβ－sinα，cosγ=cosα－cosβ.平方相加得〔sinβ－sinα〕2+〔cosα－cosβ〕2=1.∴－2cos〔β－α〕=－1.∴cos〔β－α〕=.∴β－α=±.∵sinγ=sinβ－sinα＞0，∴β＞α.∴β－α=.◆解法點(diǎn)粹：1.求角一般要先求出它的一個(gè)三角函數(shù)值;2.解題關(guān)鍵有二:一是消元γ,二是湊差角余弦公式,倒用.3.注意隱含條件sinγ＞0，否那么產(chǎn)生增根.【例4】α為第二象限角，cos+sin=－，求sin－cos和sin2α+cos2α的值.解：由cos+sin=－平方得1+2sincos=，即sinα=，cosα=－.此時(shí)kπ+＜＜kπ+.∵cos+sin=－＜0，sincos=＞0，∴cos＜0，sin＜0.∴為第三象限角.∴2kπ+＜＜2kπ+，k∈Z.∴sin＜cos，即sin－cos＜0.∴sin－cos=－=－，sin2α+cos2α=2sinαcosα+1－2sin2α=.【研討.欣賞】〔2005湖南〕在△ABC中，sinA〔sinB＋cosB〕－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角A、B、C的大小.解法一由得所以即因?yàn)樗?，從而由知從而由即由此得所以解法二：由由、，所以即由得所以?因?yàn)?，所以由從而，知B+2C=不合要求.再由，得所以五．提煉總結(jié)以為師1.要純熟推證公式理清公式間的推導(dǎo)線索〔建議本人推證一遍所有公式〕、熟悉公式的正用逆用和變形應(yīng)用,公式應(yīng)用講究一個(gè)“活〞字.2.熟悉角的變換技巧，注意倍角的相對性,時(shí)時(shí)注意角的范圍的討論.3.掌握利用和、差、倍角公式化簡、求值和證明三角恒等式方法和技巧。同步練習(xí)4.2和、差、倍角的三角函數(shù)【選擇題】1.滿足cosαcosβ=+sinαsinβ的一組α、β的值是()A.α=，β= B.α=，β=C.α=，β= D.α=，β=2.化簡=()(A)(B)(C)1(D)3.〔全國卷Ⅲ〕設(shè),且,那么()A.B.C.D.【填空題】4.(2006陜西)cos43°cos77°+sin43°cos167°的值為5.〔2005春上?！臣僭O(shè)cosα=，且α∈〔0，〕，那么tan=_______6.tan(45°+θ)=3,那么sin2θ-2cos2θ=_______簡答.提示：1-3.ABC；4.－eq\f(1,2)5.由得sinα==，tan==.法二：tan===.6.由得,sin2θ-2cos2θ==法二：sin2θ-2cos2θ=sin2θ-cos2θ-1=-cos()-sin()-1=【解答題】7.=2，求〔I〕的值；〔=2\*ROMANII〕sin2α+sin2α+cos2α的值.解：〔I〕∵tan=2,∴;所以=；〔=2\*ROMANII〕sin2α+sin2α+cos2α=sin2α+sin2α+cos2α－sin2α=2sinαcosα+cos2α====1.8.求。解:原式=注：在化簡三角函數(shù)式過程中，除利用三角變換公式，還需用到代數(shù)變形公式，如此題平方差公式。9.求證:證法1:左邊=證法2:右邊=由合比定理得10.(2006全國Ⅰ)的三個(gè)內(nèi)角為，求當(dāng)A為何值時(shí)，獲得最大值，并求出這個(gè)最大值解:由A+B+C=π,得eq\f(B+C,2)=eq\f(π,2)－eq\f(A,2),所以有coseq\f(B+C,2)=sineq\f(A,2)cosA+2coseq\f(B+C,2)=cosA+2sineq\f(A,2)=1－2sin2eq\f(A,2)+2sineq\f(A,2)=－2(sineq\f(A,2)－eq\f(1,2))2+eq\f(3,2)當(dāng)sineq\f(A,2)=eq\f(1,2),即A=eq\f(π,3)時(shí),cosA+2coseq\