經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)題與答案

./單項(xiàng)選擇題1.=〔〕A.0B.1C.-1D.2．設(shè)函數(shù)f<x>的定義域?yàn)閇0,4],則函數(shù)f<x2>的定義域?yàn)椤病矨.[0,2] B.[0,16]C.[-16,16] D.[-2,2]3．設(shè)且函數(shù)在處可導(dǎo),則必有〔〕A．B．C． D．4．設(shè)f<x>為可微函數(shù),且n為自然數(shù),則=〔〕A.0B.C.-D.不存在5．要使無(wú)窮級(jí)〔a為常數(shù),a≠0〕收斂,則q=〔〕A.0.5 B.1C.1.5 D.26．設(shè)f<x>是連續(xù)函數(shù),且f<0>=1,則〔〕A.0B.C.1 D.27．函數(shù)在x=1處的導(dǎo)數(shù)為〔〕A.1B.2C.3 D.8．函數(shù)y=x2-ln<1+x2>的極小值為〔〕A.3B.2C.1 D.9．已知某商品的產(chǎn)量為x時(shí),邊際成本為,則使成本最小的產(chǎn)量是〔〕A.23B.24C.25D.10．下列反常積分收斂的是〔〕A. B.C. D.1.A2.C3.A4.B5.A6.C7.C8.D9.B10.A11.極限〔〕A．0B．C．D．312．下列區(qū)間中,函數(shù)f<x>=ln<5x+1>為有界的區(qū)間是〔〕A.<-1,>B.<-,5>C.<0,>D.<,+>13．函數(shù)f<x>=lnx-ln<x-1>的定義域是〔〕A．<-1,+∞>B．<0,+∞>C．<1,+∞> D．<0,1>14．設(shè)函數(shù)g<x>在x=a連續(xù)而f<x>=<x-a>g<x>,則<a>=〔〕A.０B.<a>C.f<a> D.g<a>15．x=0是函數(shù)f<x>=的〔〕A．零點(diǎn)B．駐點(diǎn)C．極值點(diǎn) D．非極值點(diǎn)16．設(shè)函數(shù)f<x>定義在開(kāi)區(qū)間Ｉ上,I,且點(diǎn)<x0,f<x0>>是曲線y=f<x>的拐點(diǎn),則必有〔〕A.在點(diǎn)<x0,f<x0>>兩側(cè),曲線y=f<x>均為凹弧或均為凸弧.B.當(dāng)x<x0時(shí),曲線y=f<x>是凹弧<或凸弧>,則x>x0時(shí),曲線y=f<x>是凸弧<或凹弧>.C.x<x0時(shí),f<x><f<x0>而x>x0時(shí),f<x>>f<x0>.D.x<x0時(shí),f<x>>f<x0>而x>x0時(shí),f<x><f<x0>.17．設(shè)f<x>=arccos<x2>,則f＇<x>=〔〕A．B．C． D．18．設(shè)某商品的需求函數(shù)為D<P>=475-10P-P2,則當(dāng)P=5時(shí)的需求價(jià)格彈性為〔〕A.0.25B.-0.25C.100 19．無(wú)窮限積分=〔〕A.-1B.1C.- D.20．初值問(wèn)題的隱式特解為〔〕A．x2+y2=13 B．x2+y2=6C．x2-y2=-5 D．x2-y2=1011.B12.C13.C14.D15.D16.B17.D18.A19.B20.A21.設(shè),則〔〕A.0B.1C.不存在 22．已知f<x>的定義域是[0,3a],則f<x+a>+f<x-a>的定義域是〔〕A．[a,3a]B．[a,2a]C．[-a,4a] D．[0,2a]23．〔〕A．1B．C．不存在 D．024．函數(shù)y=1-cosx的值域是〔〕A.[-1,1]B.[0,1]C.[0,2] D.<-∞,+∞>25．下列各式中,正確的是〔〕A.B.C.D.26．〔〕A．0B．1C．-1 D．27．下列廣義積分中,發(fā)散的是〔〕A.B.C.D.28．設(shè)D=D〔p〕是市場(chǎng)對(duì)某一商品的需求函數(shù),其中p是商品價(jià)格,D是市場(chǎng)需求量,則需求價(jià)格彈性是〔〕A．B．C．D．29．〔〕A．πB．4C．2π D．230．已知邊際成本為,且固定成本為50,則成本函數(shù)是〔〕A.100x+B.100x++50C.100+D.100++5021.D22.B23.D24.C25.D26.C27.A28.B29.C30.B31.設(shè),則x=0是f<x>的〔〕A．可去間斷點(diǎn)B．跳躍間斷點(diǎn)C．無(wú)窮間斷點(diǎn) D．連續(xù)點(diǎn)32．如果,則=〔〕A．B．C．D．33．已知某商品的成本函數(shù)為,則當(dāng)產(chǎn)量Q=100時(shí)的邊際成本為〔〕A．5B．3C．3.5D．1.534．在區(qū)間<-1,0>內(nèi),下列函數(shù)中單調(diào)增加的是〔〕A．B．C． D．35．函數(shù)f<x>在點(diǎn)x=x0處連續(xù)是f<x>在x=x0處可導(dǎo)的〔〕A．必要條件 B．充分條件C．充分必要條件 D．既非充分條件又非必要條件36．設(shè)函數(shù)y=f<x>在點(diǎn)x0的鄰域V<x0>內(nèi)可導(dǎo),如果x∈V<x0>有f<x>≥f<x0>,則有〔〕A．B．C．D．37．微分方程的通解是〔〕A． B．C．D．38．無(wú)窮限積分〔〕A．1B．0C． D．39．下列廣義積分中,收斂的是〔〕A． B．C．D．40．函數(shù)y=的定義域是〔〕A． B．C．<0,1] D．<0,1>31.A32.C33.C34.B35.A36.C37.B38.D39.C40.D41.函數(shù)f<x>=arcsin<2x-1>的定義域是〔〕A.<-1,1> B.[-1,1]C.[-1,0] D.[0,1]42.設(shè)f<t>=t2+1,則f<t2+1>=〔〕A.t2+1B.t4+2C.t4+t2+1 D.t4+2t243．函數(shù)y=2+ln<+3>的反函數(shù)是〔〕A．y=e+3-2B．y=e+3+2C．y=e-2-3 D．y=e-2+344．函數(shù)在點(diǎn)x=0處〔〕A．有定義但無(wú)極限B．有定義且有極限C．既無(wú)定義又無(wú)極限 D．無(wú)定義但有極限45．設(shè)函數(shù)f<x>可導(dǎo),又y=f<-x>,則=〔〕A.B.C.-D.-46．設(shè)函數(shù)f<x>可導(dǎo),且,則<>A．0B．C．1 D．447．設(shè)I=,則I=<>A.-cosx2B.cosx2C.-cosx2D.cosx248．?dāng)?shù)列0,,,,,…的極限是〔〕A.0B.C.1 D.不存在49．廣義積分〔〕A.B.C.D.050．若cos2x是g<x>的一個(gè)原函數(shù),則〔〕A． B．C． D．41.D42.D43.C44.D45.D46.B47.C48.C49.B50.A51.極限=〔〕A.e-3B.e-2C.e-1 D.e52．函數(shù)y=ln<>的定義域是〔〕A．|x|≤1 B．|x|<1C．0<|x|≤1 D．0<|x|<153．若f<x>為奇函數(shù),且對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒有f<x+3>-f<x-1>=0,則f<2>=〔〕A.-1B.0C.1 D.254．設(shè)△y=f<x0+△x>-f<x0>且函數(shù)f<x>在x=x0處可導(dǎo),則必有〔〕A．△y=0 B．△y=0C．dy=0 D．△y=dy55．若曲線y=f<x>在x=x0處有切線,則導(dǎo)數(shù)f＇<x0>〔〕A.等于0 B.存在C.不存在 D.不一定存在56．設(shè)函數(shù)y=<sinx4>2,則導(dǎo)數(shù)=〔〕A.4x3cos<2x4> B.4x3sin<2x4>C.2x3cos<2x4> D.2x3sin<2x4>57．x2sin=〔〕A．0B．1C．-1 D．不存在58．若f＇<x2>=<x>0>,則f<x>=〔〕A.2x+C B.+CC.2+C D.x2+C59．設(shè),則f<x>=〔〕A． B．-C． D．-60．設(shè)產(chǎn)品的利潤(rùn)函數(shù)為L(zhǎng)〔x〕,則生產(chǎn)xo個(gè)單位時(shí)的邊際利潤(rùn)為〔〕A．B．C． D．51.A52.C53.B54.A55.D56.B57.A58.C59.D60.C61.函數(shù)f<x>=-x的極大值點(diǎn)為〔〕A.x=-3B.x=-1C.x=1D.x=362．設(shè),則〔〕A. B. C.x2x D.22x63．函數(shù)f<x>=是〔〕A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.有界函數(shù) D.周期函數(shù)64．設(shè)函數(shù)y=2x2,已知其在點(diǎn)x0處自變量增量時(shí),對(duì)應(yīng)函數(shù)增量的線性主部為-0.6,則x0=〔〕A.0B.1C.-0.5 D.-465．設(shè)函數(shù)f<x>在點(diǎn)a可導(dǎo),且,則〔〕A.B.5 C.2 D.66．下列反常積分收斂的是〔〕A. B.C. D.67．下列無(wú)窮限積分中,發(fā)散的是〔〕A.B.C.D.68．設(shè)f<x>=2x,則f″<x>=〔〕A.2x·ln22 B.2x·ln4C.2x·2 D.2x·469．設(shè)某商品的需求函數(shù)為Q=a-bp,其中p表示商品價(jià)格,Q為需求量,a、b為正常數(shù),則需求量對(duì)價(jià)格的彈性〔〕A.B.C.D.70．正弦曲線的一段y=sinxπ>與x軸所圍平面圖形的面積為〔〕A.1B.2C.361.B62.D63.C64.C65.A66.D67.B68.A69.D70.B71.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?lt;1,2>,則的定義域是<>A.B.C.D.72.設(shè)f<x>=ln4,則〔〕A．4B．C．0 D．73．設(shè),則<>A.1B.-1C.0D.74．設(shè)函數(shù),則f<x>=〔〕A．B．C． D．75．下列極限中不能應(yīng)用洛必達(dá)法則的是<>A.B.C.D.76．設(shè),則〔〕A．16!B．15!C．14! D．077．設(shè)f<x>是連續(xù)函數(shù),且,則f<x>=<>A.B.C.D.78．〔〕A.B.C. D.79．設(shè)某商品的需求函數(shù)為Q=a-bp,其中p表示商品價(jià)格,Q為需求量,a、b為正常數(shù),則需求量對(duì)價(jià)格的彈性〔〕A.B.C.D.80．已知生產(chǎn)某商品x個(gè)的邊際收益為30-2x,則總收益函數(shù)為〔〕A．B．C． D．71.B72.C73.C74.B75.B76.D77.A78.B79.D80.D填空題1．=_______。2．=_______。3．設(shè),則_____________。4．曲線在點(diǎn)〔0,1〕處的切線方程是。5．設(shè),則=。6．設(shè)函數(shù)在[1,e]上滿足羅爾定理的條件,則k=_______。7．設(shè),則_________________。8．___________。9．曲線的豎直漸近線為_(kāi)______________。10．微分方程的通解是______________。1.12.03.4.5.26.1-e7.8.9.x=010.11．_______。12．無(wú)窮級(jí)數(shù)的和為_(kāi)________。13．設(shè)y=cos,則=_____。14．函數(shù)y=1+ln<x+2>的反函數(shù)是______。15．。16．曲線y=xe-x的拐點(diǎn)是________。17．已知某產(chǎn)品的產(chǎn)量為g時(shí),總成本是C<g>=9+,則生產(chǎn)100件產(chǎn)品時(shí)的邊際成本MC|g=100=________。18．微分方程y〃+x<y＇>3+siny=0的階數(shù)為_(kāi)________。19．設(shè)f<x>=,則<1>=_____。20．微分方程〔xlnx〕=y的通解是________________。11.012.13.14.15.16.17.0.2518.219.-220.21．函數(shù)的定義域是。22．___________。23．___________。24．函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間為。25．若的一個(gè)原函數(shù)為lnx,則。26．設(shè)直線l與x軸平行,且與曲線y=x-lnx相切,則切點(diǎn)是___________。27．已知某工廠生產(chǎn)x個(gè)單位產(chǎn)品的總成本函數(shù)C<x>=1100+,則生產(chǎn)900個(gè)單位產(chǎn)品時(shí)的邊際成本是___________。28．___________。29．微分方程=2x<1+y>的通解是___________。30．設(shè)z=2x2+3xy-y2,則=___________。21.<2,3>∪<3,+∞>22.23.024.<-∞,+∞>25.26.27.28.29.30.331．極限=______________。32．函數(shù)y=的定義域是________________。33．極限=__________。34．拋物線y=x2上點(diǎn)<2,4>處的切線方程是___________。35．已知某商品的成本函數(shù)為C<q>=20-10q+q2<萬(wàn)元>,則q=15

時(shí)的邊際成本為_(kāi)________。36．設(shè)z=arctan<xy>,則=_______________。37．不定積分____________。38．定積分=_______________。39．=_______________。40．微分方程=0的通解是_______________。31.32.[-1,1>33.234.35.20<萬(wàn)元>36.37.38.39.40.41．n[ln<n+2>-lnn]=_______________。42．設(shè),g<x>=x2+1,則f[g<x>]=_______________。43．函數(shù)在x=1處連續(xù),則k=_______________。44．=_______________。45．曲線的水平漸近線為_(kāi)______________。46．設(shè)函數(shù)y=lnsinx,則y″=_______________。47．設(shè)函數(shù)y=x2e-x,則其彈性函數(shù)=_______________。48．設(shè)z=,則=_______________。49．不定積分=_______________。50．微分方程〔1+x2〕dy-<1+y2>dx=0的通解是_______________。41.242.143.144.045.46.47.48.49.50.51．極限=________________。52．設(shè)函數(shù)f<x>的定義域是[-2,2],則函數(shù)f<x+1>+f<x-1>的定義域是___________。53．函數(shù)f<x>=間斷點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_(kāi)______________。54．不定積分=__________________。55．函數(shù)f<x>在點(diǎn)x0處左、右導(dǎo)數(shù)存在且相等是函數(shù)f<x>在x0可導(dǎo)的___________條件。56．設(shè)f<x>連續(xù)且,則f<x>=________________。57．函數(shù)y=lnx在[1,2]上滿足拉格朗日中值定理的點(diǎn)ξ是___________。58．微分方程xdy-ydx=2dy的通解為_(kāi)___________________。59．曲線y=x+lnx在點(diǎn)〔1,1〕處的切線方程為_(kāi)_______________。60．設(shè)z=xexy,則=______________________。51.52.[-1,1]53.154.55.充要56.57.58.59.60.61．____________。62．設(shè)z=。63．若f<x+1>=x+cosx則f<1>=__________。64．曲線y=x3-5x2+3x+5的拐點(diǎn)是__________。65．若f<x>在x=x0處可導(dǎo),且。66．曲線的水平漸近線為_(kāi)__________。67．。68．。69．。70．微分方程的通解是______________。61.-162.63.164.65.66.67.68.69.570.71．微分方程的通解是y=______________。72．已知極限存在且有限,則a=______________。73．設(shè)______________。74．不定積分______________。75．設(shè)y=,則<0>=。76．極限=______________。77．設(shè),則______________。78．設(shè)某商品的供給函數(shù)為,則供給價(jià)格彈性函數(shù)______________。79．設(shè)f<x>=,則。80．______________。71.72.473.74.75.276.77.78.79.380.6計(jì)算題〔每小題5分,共40分〕1.求極限解：原式2.設(shè)解：3.求曲線y=x-2arctanx的凹凸區(qū)間解：令得0-+<為凸區(qū)間,為凹區(qū)間。4.計(jì)算定積分解：原式5.已知函數(shù)f<x>滿足,求解：得：6.方程xyz-ln<xyz>=1確定了隱函數(shù)z=z<x,y>,求解：設(shè),,所以：7.計(jì)算定積分I=解：8.計(jì)算二重積分I=,其中D是由y=,x=1,x=2與x軸所圍成的閉區(qū)域.解：9.求極限解：原式===210.求a的值,使得函數(shù)f<x>=在x=1處連續(xù)解：=311.計(jì)算定積分I=解：12.求曲線y=x4-6x3+12x2+4x-1的凹凸區(qū)間解：令=0,得：<-∞,1><1,2><2,+∞>+_+凹凸凹所以<-∞,1>,<2,+∞>為凹區(qū)間,<1,2>為凸區(qū)間。13.設(shè)z=z<x,y>是由方程x2-z2+ln=0確定的函數(shù),求dz解：設(shè),,所以：所以14.求不定積分解：15.設(shè)y=x2x,求解：設(shè)16.計(jì)算二重積分I=,其中D是由直線x=2,y=x和雙曲線xy=1圍城的區(qū)域。解：17.求極限解：原式18.設(shè)解：19.設(shè)z=f<解：設(shè),則故20.設(shè)y=〔〕求解：等式兩端取對(duì)數(shù)得：兩端求導(dǎo)得故21.計(jì)算不定積分解：原式22.計(jì)算定積分解：原式23.設(shè)y=x2<lnx-1>-<1-x2>lnx,求解：則24.設(shè)D是由x軸,y=x-4和y=解：平面如右圖原式〔1分〕〔2分〕25.求極限解：原式====26.計(jì)算定積分解：27.設(shè)y=,求解：28.設(shè)z=z<x,y>是由方程xyz=a3所確定的隱函數(shù),求dz解：設(shè),則故29.求不定積分解：原式30.計(jì)算定積分解：31.設(shè),求解：32.計(jì)算定積分解：33.求極限解：原式=34.設(shè)y=y<x>是由方程ex-ey=sin<xy>所確定的隱函數(shù),求微分dy解：方程兩邊對(duì)求導(dǎo)得：35.設(shè)y=arctanex-ln解：原式36.計(jì)算無(wú)窮限反常積分解：37.設(shè)z=x2arctan解：38.設(shè)f<x>的一個(gè)原函數(shù)為,求不定積分xf＇<x>dx解：令39.計(jì)算定積分解：40.設(shè)D是xoy平面上由曲線y=x2,直線y=x和x=所圍成的區(qū)域,求解：原式41.求極限解：原式====42.求函數(shù)f<x>=+xarctan的導(dǎo)數(shù)解：43.設(shè)y=x5x,求dy解：兩端微分故44.求不定積分dx解：原式45.設(shè)函數(shù)f<x>=在x=0處連續(xù),試求常數(shù)k解：因?yàn)橛衷谔庍B續(xù),所以故,即46.設(shè)方程x2+y2+z2=yez確定隱函數(shù)z=z<x,y>,求z′,zy′解：令47.計(jì)算定積分解：原式48.計(jì)算二重積分,其中D是由直線y=x,x=1以與x軸所圍的區(qū)域解：原式<3分>49.求極限解：原式=50.設(shè)z=arctan,求dz解：51.設(shè),求y′解：52.設(shè),求y′解：53.求不定積分解：54.求的值原式=55.計(jì)算二重積分,其中D是由x=0,y=1與y=x所圍成的區(qū)域解：原式=====56.設(shè)D是xoy平面上由曲線xy=1,直線y=2,x=1和x=2所圍成的區(qū)域,試求解：原式57.求極限解：原式=58.設(shè)函數(shù),試確定常數(shù)a和b的值,使得在x=0處連續(xù)解：從而：即：59.設(shè)求解：60.設(shè),求解：61.求不定積分解：原式=62.設(shè)函數(shù)z=z<x,y>是由方程x+y+z=ez所確定的隱函數(shù),求解：方程兩邊分別對(duì)x求導(dǎo)得：63.計(jì)算二重積分,其中D是由直線y=x,y=5x,x=1所圍成的平面區(qū)域解：64.求定積分。解：原式應(yīng)用題〔每小題5分,共10分〕1.已知某產(chǎn)品的產(chǎn)量為件時(shí)總成本為：〔百元〕。求件時(shí)的邊際成本。解：故即,當(dāng)從900件變化1件時(shí)成本要變化150元。2.設(shè)D為xoy平面上由x=0,所圍成的平面區(qū)域,試求解：3.某石油公司所經(jīng)營(yíng)的一塊油田的邊際收益為R′<t>=<百萬(wàn)元/年>,邊際成本為〔百萬(wàn)元/年〕,且固定成本為4百萬(wàn)元,求該油田的最佳經(jīng)營(yíng)時(shí)間？解：設(shè)為總利潤(rùn)函數(shù),則令,解得〔年〕,又因,故該油田的最佳經(jīng)營(yíng)時(shí)間為8年。4.將一長(zhǎng)為l的鐵絲截成兩段,并將其中一段圍成正方形,另一段圍成圓形,為使正方形與圓形面積之和最小,問(wèn)這兩段鐵絲的長(zhǎng)應(yīng)各為多少？解：設(shè)正方形邊長(zhǎng)為x,圓形半徑為r；則令正方形與圓形面積和為S<2分>則令得,且時(shí)獲得極小值。所以兩端鐵絲分別長(zhǎng)和〔注：先消去x,用圓形半徑r帶入同樣得分〕5.設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品x〔百臺(tái)〕時(shí)的邊際成本〔萬(wàn)元/百臺(tái)〕,邊際收益〔萬(wàn)元/百臺(tái)〕,試求：產(chǎn)量為多大時(shí),利潤(rùn)最大？解：邊際利潤(rùn)令,解得；又因,故產(chǎn)量為3.2百臺(tái)〔320臺(tái)〕時(shí)利潤(rùn)最大。6.將邊長(zhǎng)為a的一塊正方形鐵皮的四角各截去一個(gè)大小相同的小正方形,然后將四邊折起做成一個(gè)無(wú)蓋的方盒,問(wèn)截去的小正方形邊長(zhǎng)為多大時(shí)所得方盒的容積最大？解：設(shè)小正方形邊長(zhǎng)為x,則方盒的容積為<1分>,令<2分>即解得<3分>因?yàn)橹挥悬c(diǎn)在內(nèi),切實(shí)際問(wèn)題必有最大值,所以在處取最大值,故截掉的小正方向邊長(zhǎng)為時(shí)容積最大。7.欲做一個(gè)容積100的無(wú)蓋圓柱形容器,問(wèn)此圓柱形的底面半徑r和高h(yuǎn)解：設(shè)所用材料面積為A,則,得唯一實(shí)駐點(diǎn)故當(dāng)〔米〕,〔米〕時(shí)所用材料最省。此時(shí)〔米2〕8.求曲線y=ex,y=e-x和直線x=1所圍成平面圖形的面積A以與其繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積Vx。解：平面圖形如右圖故<1分><2分>9.欲做一個(gè)底面為長(zhǎng)方形的帶蓋長(zhǎng)方體盒子,其底邊長(zhǎng)成1∶2的關(guān)系且體積為72cm3,問(wèn)其長(zhǎng)、寬、高各為多少時(shí),才能使此長(zhǎng)方體盒子的表面積最??？解：設(shè)底邊長(zhǎng)分別為x和2x則方盒的表面積為：令得駐點(diǎn)：因?yàn)閷?shí)際問(wèn)題必有最小值,且駐點(diǎn)唯一,故當(dāng)是取得最小值。此時(shí)方盒長(zhǎng)、寬、高分別為10.設(shè)某產(chǎn)品總產(chǎn)量的變化率是t的函數(shù)〔件/天〕,求從第3天到第7天的產(chǎn)量。解：11.設(shè)某產(chǎn)品的需求函數(shù)為,求時(shí)的邊際收入。解：收益函數(shù)所以當(dāng)Q=10時(shí)的邊際收益為12.由與所圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn),計(jì)算該旋轉(zhuǎn)體的體積。解：13.求由拋物線和所圍成圖形的面積。解：29.求由拋物線和所圍成圖形的面積。14.欲做一個(gè)容積100的無(wú)蓋圓柱形容器,問(wèn)此圓柱形的底面半徑r和高h(yuǎn)分別為多少時(shí),所用材料最?。坎⑶蟠藭r(shí)所用材料的面積解：因?yàn)?所以,設(shè)所用材料面積為A,則得唯一實(shí)駐點(diǎn),故〔米〕,〔米〕時(shí)所用材料最省。此時(shí)〔米2〕15.設(shè)區(qū)域D由曲線y=ex,y=x2與直線x=0,x=1圍成.求D的面積A；解：16.求內(nèi)接于半徑為R的半圓且周長(zhǎng)最大的矩形的各邊邊長(zhǎng)解：設(shè)A點(diǎn)位內(nèi)接矩形的頂點(diǎn),坐標(biāo)為〔x,y〕,則周長(zhǎng)令：得駐點(diǎn)實(shí)際問(wèn)題必有最大值,且駐點(diǎn)唯一,所以在處取最大值,此時(shí)矩形的各邊長(zhǎng)均為。綜合題1.經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線y=lnx的切線,該切線與曲線y=lnx與x軸圍成平面圖形D；求：D的面積。解：設(shè)切點(diǎn)為由題意知：解得：2.設(shè)f<x>在[0,1]上連續(xù),且當(dāng)x[0,1]時(shí),恒有f<x><1.證明方程在〔0,1〕內(nèi)至少存在一個(gè)根。證：設(shè),又,由介值定理在〔0,1〕內(nèi)至少存在一個(gè)根3.設(shè)函數(shù)在上連