第39講　直線、平面平行的判定與性質(zhì)（解析版）

第39講直線、平面平行的判定與性質(zhì)基礎(chǔ)知識1.直線與平面平行的判定與性質(zhì)類別語言表述圖形表示符號表示應(yīng)用判定一條直線與一個平面,

則稱這條直線與這個平面平行l(wèi)∩α=??l∥α證明直線與平面平行如果平面外的平行,那么這條直線與這個平面平行

l?α,m?α且l∥m?l∥α性質(zhì)如果一條直線與一個平面平行,且經(jīng)過這條直線的平面與這個平面,那么這條直線就與兩平面的交線

l∥α,l?β,α∩β=m?l∥m證明直線與直線平行2.平面與平面平行的判定與性質(zhì)類別語言表述圖形表示符號表示應(yīng)用判定如果一個平面內(nèi)有兩條分別平行于另一個平面,那么這兩個平面平行

l?α,m?α,l∩m=P,l∥β,m∥β?α∥β證明平面與平面平行如果一個平面內(nèi)有兩條分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條,那么這兩個平面平行

a?α,b?α,a∩b=P,a∥a',b∥b',a'?β,b'?β,a'∩b'=P'?α∥β垂直于的兩個平面平行

a⊥α,a⊥β?α∥β性質(zhì)兩個平面平行,則其中一個平面內(nèi)的直線必于另一個平面

α∥β,a?α?a∥β證明直線與平面平行如果兩個平行平面同時和第三個平面相交,那么它們的平行

α∥β,α∩γ=l,β∩γ=m?l∥m證明直線與直線平行1.沒有公共點一條直線與平面內(nèi)的一條直線相交平行2.相交直線相交直線相交直線同一條直線平行交線常用結(jié)論1.垂直于同一個平面的兩條直線平行,即若a⊥α,b⊥α,則a∥b.2.平行于同一個平面的兩個平面平行,即若α∥β,β∥γ,則α∥γ.3.三種平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化:線線平行、線面平行、面面平行的相互轉(zhuǎn)化是解決與平行有關(guān)的證明題的指導(dǎo)思想,解題中既要注意一般的轉(zhuǎn)化規(guī)律,又要看清題目的具體條件,選擇正確的轉(zhuǎn)化方向.分類探究探究點一平行關(guān)系的基本問題例1(1)α,β是兩個不同的平面,則α∥β的一個充分條件是 ()A.存在一條直線a,a∥α,a∥βB.存在一條直線a,a?α,a∥βC.存在兩條平行直線a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥αD.存在兩條異面直線a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α(2)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,H分別為DD1,AB的中點,點F,G分別在棱BC,CC1上,且CF=CG=14BC,則在F,G,H這三點中任取兩點確定的直線中,與平面ACE平行的直線的條數(shù)為 (A.0 B.1 C.2 D.3例1[思路點撥](1)根據(jù)平行的相關(guān)定理和結(jié)論逐項分析;(2)由題意作出圖形,取CE的中點I,連接AI,證出AI∥GH,利用線面平行的判定定理可知GH∥平面ACE,又HF,GF均不與平面ACE平行,即可得解.(1)D(2)B[解析](1)對于選項A,若存在一條直線a,a∥α,a∥β,則α∥β或α與β相交,故A錯誤;對于選項B,若存在一條直線a,a?α,a∥β,則α∥β或α與β相交,故B錯誤;對于選項C,若存在兩條平行直線a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α,則α∥β或α與β相交,故C錯誤.故選D.(2)如圖,取CE的中點I,CC1的中點K,連接AI,IG,EK,因為CI=IE,CG=GK,所以IG∥EK,且IG=12EK,又AB∥EK,AB=EK,AH=12AB,所以IGAH,所以四邊形AHGI為平行四邊形,則AI∥又GH?平面ACE,AI?平面ACE,所以GH∥平面ACE.易知HF,GF均不與平面ACE平行,故選B.[總結(jié)反思]解決空間中線面、面面平行的基本問題要注意以下幾個方面:(1)判定定理與性質(zhì)定理中易忽視定理成立的條件;(2)結(jié)合題意構(gòu)造或繪制圖形,結(jié)合圖形作出判斷;(3)舉反例否定結(jié)論.變式題(1)在長方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分別為棱A1B1,BB1,CC1,C1D1的中點,則下列結(jié)論中正確的是 ()A.AD1∥平面EFGH B.BD1∥GHC.BD∥EF D.平面EFGH∥平面A1BCD1(2)下列三個命題在“()”處都缺少同一個條件,補上這個條件使其構(gòu)成真命題(其中l(wèi),m為直線,α,β為平面),則此條件是.

①l∥m,m∥α,()?l∥α;②m?變式題(1)D(2)l?α[解析](1)在長方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分別為棱A1B1,BB1,CC1,C1D1的中點,所以EF∥A1B,FG∥BC,又A1B∩BC=B,EF∩FG=F,所以平面EFGH∥平面A1BCD1.故選D.(2)①l∥m,m∥α?l∥α或l?α,由l?α?l∥α;②l?α,m?α,l∥m?l∥α;③l⊥m,m⊥α?l∥α或l?α,由l?α?l∥α.故答案為l?α.探究點二線面平行的判定與性質(zhì)角度1直線與平面平行的判定例2將正方體ABCD-A1B1C1D1截去三棱錐D1-ACD后得到如圖7-39-3所示的幾何體,已知O為A1C1的中點,求證:OB∥平面ACD1.圖7-39-3

例2[思路點撥]取AC的中點O1,連接BO1,B1D1,O1D1,推導(dǎo)出四邊形O1BOD1為平行四邊形,可得出BO∥O1D1,再由線面平行的判定定理可得OB∥平面ACD1.證明:取AC的中點O1,連接BO1,B1D1,O1D1.在正方形A1B1C1D1中,∵O為A1C1的中點,∴O為B1D1的中點.由正方體ABCD-A1B1C1D1的性質(zhì)知,OD1∥O1B且OD1=O1B,∴四邊形O1BOD1為平行四邊形,∴OB∥O1D1,又OB?平面ACD1,O1D1?平面ACD1,∴OB∥平面ACD1.

[總結(jié)反思]證明直線與平面平行的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線,解題的思路是利用幾何體的特征,合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.變式題如圖7-39-4,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,點D,E分別為AC,B1C1的中點.證明:DE∥平面ABB1A1.圖7-39-4

變式題證明:方法一:如圖,取BC的中點F,連接DF,EF,因為F是BC的中點,D是AC的中點,所以DF∥AB,又E是B1C1的中點,所以EF∥B1B,因為DF∩EF=F,AB∩B1B=B,所以平面DEF∥平面ABB1A1,因為DE?平面DEF,所以DE∥平面ABB1A1.方法二:如圖,取A1B1的中點F,連接EF,AF,因為E,F分別是B1C1,A1B1的中點,所以EF∥A1C1,且EF=12A1C1,又AC∥A1C1,AC=A1C1,所以EF∥AC,且EF=12AC.因為D為AC的中點,所以EF∥AD且EF=AD,所以四邊形ADEF為平行四邊形,所以DE∥AF,因為DE?平面ABB1A1,AF?平面ABB1A1,所以DE∥平面ABB1A

角度2直線與平面平行的性質(zhì)例3(1)如圖7-39-5,已知圓O的直徑AB長為2,上半圓圓弧上有一點C,∠COB=60°,點P是劣弧AC上的動點,點D是下半圓弧的中點,現(xiàn)以AB為折線,將下半圓折起,形成直二面角,連接PO,PD,CD.當AB∥平面PCD時,PC的長為.

圖7-39-5(2)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為棱CD上一點,且CE=2DE,F為棱AA1的中點,平面BEF與DD1交于點G,與AC1交于點H,則DGDD1=,AH例3[思路點撥](1)根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理證得AB∥PC,然后證得三角形OCP為正三角形,從而求出結(jié)果.(2)先證出BF∥GE,再由CE=2DE求出DGDD1的值;連接AC,交BE于M,過M作MN∥CC1,交AC1于N,連接FM,由AMMC=ABCE=32得到HNAH=(1)1(2)1638[解析](1)由題知AB∥平面PCD,AB?平面OCP,平面OCP∩平面PCD=PC,由線面平行的性質(zhì)定理得AB∥PC.由∠COB=60°,可得∠OCP=60°,又OC=OP,所以△OCP為正三角形,所以PC=(2)由題知平面A1B1BA∥平面C1D1DC,因為BF?平面A1B1BA,所以BF∥平面CDD1C1,因為平面BFGE∩平面C1D1DC=GE,所以BF∥GE,則AFAB=DGDE,即DGDE=12,又CE=2DE,所以連接AC,交BE于M,過M作MN∥CC1,交AC1于N,連接FM,則H為FM與AC1的交點,因為AB∥CE,所以AMMC=ABCE=32,則ANNC1=AMMC=32,所以MNCC1=35,[總結(jié)反思]應(yīng)用線面平行性質(zhì)定理的關(guān)鍵是確定交線的位置,有時需要經(jīng)過已知直線作輔助平面來確定交線.變式題如圖7-39-6所示,已知四邊形ABCD是正方形,四邊形ACEF是矩形,AB=2,AF=1,M是EF的中點.(1)求證:AM∥平面BDE;(2)若平面ADM∩平面BDE=l,平面ABM∩平面BDE=m,試分析l與m的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.圖7-39-6

變式題解:(1)證明:記AC與BD的交點為O,連接OE(圖略).因為O,M分別是AC,EF的中點,四邊形ACEF是矩形,所以四邊形AOEM是平行四邊形,所以AM∥OE.因為OE?平面BDE,AM?平面BDE,所以AM∥平面BDE.(2)l∥m,證明如下:由(1)知,AM∥平面BDE.因為AM?平面ADM,平面ADM∩平面BDE=l,所以l∥AM.因為AM?平面ABM,平面ABM∩平面BDE=m,所以m∥AM,所以l∥m.

探究點三面面平行的判定與性質(zhì)例4如圖7-39-7所示,四邊形ABCD與ADEF均為平行四邊形,M,N,G分別是AB,AD,EF的中點.求證:(1)BE∥平面DMF;(2)平面BDE∥平面MNG.圖7-39-7

例4[思路點撥](1)由面面平行推出線面平行即可;(2)由線線平行推出面面平行即可.證明:(1)如圖,取DC的中點P,連接PE,PB,PM,因為四邊形ABCD與ADEF均為平行四邊形,M,N,G分別是AB,AD,EF的中點,所以PB∥DM,PMAD,又ADFE,所以PMFE,所以四邊形FEPM為平行四邊形,所以FM∥PE,因為FM∩MD=M,PB∩PE=P,所以平面DMF∥平面BPE,又BE?平面BPE,所以BE∥平面DMF.(2)由題可知MN∥BD,GN∥DE,且MN∩GN=N,DE∩DB=D,所以平面BDE∥平面MNG.

[總結(jié)反思]證明面面平行的常用方法:(1)利用面面平行的判定定理;(2)利用垂直于同一條直線的兩個平面平行(l⊥α,l⊥β?α∥β);(3)利用平面平行的傳遞性,即兩個平面同時平行于第三個平面,則這兩個平面平行(α∥β,β∥γ?α∥γ).變式題如圖7-39-8所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分別是AB,AC,A1B1,A1C1的中點,求證:(1)B,C,H,G四點共面;(2)平面EFA1∥平面BCHG.圖7-39-8變式題證明:(1)∵G,H分別是A1B1,A1C1的中點,∴GH∥B1C1.∵B1C1∥BC,∴GH∥BC,∴B,C,H,G四點共面.(2)∵E,F分別是AB,AC的中點,∴EF∥BC,又EF?平面BCHG,BC?平面BCHG,∴EF∥平面BCHG.∵G,E分別為A1B1,AB的中點,A1B1∥AB且A1B1=AB,∴A1G∥EB且A1G=EB,∴四邊形A1EBG是平行四邊形,∴A1E∥GB,又A1E?平面BCHG,GB?平面BCHG,∴A1E∥平面BCHG.又A1E∩EF=E,A1E,EF?平面EFA1,∴平面EFA1∥平面BCHG.同步作業(yè)1.下列說法正確的是 ()A.一條直線與一個平面平行,它就和這個平面內(nèi)的任意一條直線平行B.平行于同一個平面的兩條直線平行C.與兩個相交平面的交線平行的直線,必平行于這兩個平面D.平面外兩條平行直線中的一條與這個平面平行,則另一條也與這個平面平行1.D[解析]對于A,平面內(nèi)還存在直線與這條直線異面,故A錯誤;對于B,這兩條直線還可以相交、異面,故B錯誤;對于C,這條直線還可能在其中一個平面內(nèi),故C錯誤.故選D.2.如圖K39-1,在四棱錐P-ABCD中,M,N分別為AC,PC上的點,圖K39-1且MN∥平面PAD,則 ()A.MN∥PD B.MN∥PAC.MN∥AD D.以上均有可能2.B[解析]因為MN∥平面PAD,MN?平面PAC,平面PAC∩平面PAD=PA,由直線與平面平行的性質(zhì)定理可得MN∥PA.3.已知直線m,n,平面α,β,則m∥α的充分條件是 ()A.n?α,m∥n B.α⊥β,m⊥βC.n∥α,m∥n D.α∥β,m?β3.D[解析]若n?α,m∥n,則m?α或m∥α,選項A錯誤;若α⊥β,m⊥β,則m?α或m∥α,選項B錯誤;若n∥α,m∥n,則m∥α或m?α,選項C錯誤.故選D.4.過長方體ABCD-A1B1C1D1的任意兩條棱的中點作直線,其中與平面DBB1D1平行的直線共有 ()A.4條 B.6條 C.8條 D.12條4.D[解析]如圖,分別取A1D1,A1B1,AB,AD的中點E,F,G,H,連接EF,FG,GH,HE,EG,FH,由長方體的性質(zhì)知,EF,FG,GH,HE,EG,HF六條直線均與平面BB1D1D平行.同理,在平面BB1D1D的另一側(cè)還有6條直線與平面BB1D1D平行.故選D.5.如圖K39-2,在三棱柱ABC-A1B1C1中,點D1是A1C1上的一點,若BC1∥平面AB1D1,則A1D1DA.12 B.1 C.2 D.圖K39-25.B[解析]連接A1B,交AB1于點E,連接D1E.因為BC1∥平面AB1D1,平面A1BC1∩平面AB1D1=D1E,所以BC1∥D1E.由題知E為A1B的中點,所以D1為A1C1的中點,則A1D16.過正方體ABCD-A1B1C1D1的三個頂點A1,C1,B的平面與底面ABCD所在平面的交線為l,則l與A1C1的位置關(guān)系是.

6.平行[解析]因為過A1,C1,B三點的平面與底面A1B1C1D1的交線為A1C1,與底面ABCD的交線為l,且正方體的兩底面互相平行,則由面面平行的性質(zhì)定理知l∥A1C1.7.圖K39-3是長方體被一平面所截得的幾何體,四邊形EFGH為截面,則四邊形EFGH的形狀為.

圖K39-37.平行四邊形[解析]因為平面ABFE∥平面CDHG,平面EFGH∩平面ABFE=EF,平面EFGH∩平面CDHG=HG,所以EF∥HG.同理EH∥FG,所以四邊形EFGH是平行四邊形.8.在正方體EFGH-E1F1G1H1中,下列四對截面所在的平面相互平行的是 ()A.平面E1FG1與平面EGH1B.平面FHG1與平面F1H1GC.平面F1H1H與平面FHE1D.平面E1HG1與平面EH1G8.A[解析]如圖,由正方體的性質(zhì)易知EG∥E1G1,EH1∥FG1,又EG∩EH1=E,E1G1∩FG1=G1,所以平面E1FG1∥平面EGH1,故選A.9.如圖K39-4,點A,B,C,M,N為正方體的頂點或所在棱的中點,則下列各圖中,不滿足直線MN∥平面ABC的是 ()圖K39-49.D[解析]選項A中,MN∥AC,且MN?平面ABC,所以MN∥平面ABC;選項B和選項C中,設(shè)AC的中點為E,連接BE,則MN∥BE,且MN?平面ABC,所以MN∥平面ABC;選項D中,MN?平面ABC.故選D.10.已知m,n為兩條不同的直線,α,β為兩個不同的平面,給出下列說法:①若m∥α,α∥β,則m∥β;②若m∥α,m∥β,則α∥β;③若m⊥α,n⊥β,α∥β,則m∥n;④若m⊥α,n⊥β,α⊥β,則m⊥n.其中正確說法的個數(shù)為 ()A.1 B.2 C.3 D.410.B[解析]對于①,若m∥α,α∥β,則m∥β或m?β,故①錯誤;對于②,若m∥α,m∥β,則α∥β或α與β相交,故②錯誤;對于③,若m⊥α,α∥β,則m⊥β,又n⊥β,∴m∥n,故③正確;對于④,若m⊥α,n⊥β,α⊥β,則m⊥n,故④正確.故選B.11.(多選題)如圖K39-5,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分別是A1B1,B1C1,BB1的中點,下列四個推斷中正確的是 ()圖K39-5A.FG∥平面AA1D1DB.EF∥平面BC1D1C.FG∥平面BC1D1D.平面EFG∥平面BC1D111.AC[解析]連接AD1,A1C1(圖略),∵在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分別是A1B1,B1C1,BB1的中點,∴FG∥BC1,又BC1∥AD1,∴FG∥AD1,又FG?平面AA1D1D,AD1?平面AA1D1D,∴FG∥平面AA1D1D,故A正確;∵EF∥A1C1,A1C1與平面BC1D1相交,∴EF與平面BC1D1相交,故B錯誤;∵E,F,G分別是A1B1,B1C1,BB1的中點,∴FG∥BC1,又FG?平面BC1D1,BC1?平面BC1D1,∴FG∥平面BC1D1,故C正確;∵EF與平面BC1D1相交,∴平面EFG與平面BC1D1相交,故D錯誤.故選AC.12.若平面α截三棱錐所得截面為平行四邊形,則該三棱錐的棱中,與平面α平行的棱有條.

12.2[解析]如圖所示,四邊形EFGH為平行四邊形,則EF∥GH,∵EF?平面BCD,GH?平面BCD,∴EF∥平面BCD,∵EF?平面ACD,平面BCD∩平面ACD=CD,∴EF∥CD,又CD?平面EFGH,∴CD∥平面EFGH,同理可得AB∥平面EFGH.故填2.13.如圖K39-6,在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是棱A1B1,B1C1的中點,P是棱AD上一點,AP=a3,過P,M,N的平面與棱CD交于點Q,則PQ=圖K39-613.223a[解析]連接AC,A1C1(圖略),由面面平行的性質(zhì)定理知MN∥PQ,又M,N分別為A1B1,B1C1的中點,所以MN∥A1C1,因為AC∥A1C1,所以MN∥AC,所以PQ∥AC,所以PQAC=23,又AC=2a,14.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,AA1=4,M是BB1的中點,點P在長方體內(nèi)部或表面上,且MP∥平面AB1D1,則動點P的軌跡所形成的區(qū)域面積是.

14.9[解析]如圖所示,設(shè)E,F,G,H,N分別為B1C1,C1D1,DD1,DA,AB的中點,連接EF,FG,GH,HN,NM,ME,則EF∥B1D1∥NH,MN∥B1A∥FG,又NH?平面AB1D1,MN?平面AB1D1,所以NH∥平面AB1D1,MN∥平面AB1D1,又NH∩MN=N,所以平面MEFGHN∥平面AB1D1,所以動點P的軌跡是六邊形MEFGHN及其內(nèi)部.連接GM,因為AB=AD=2,AA1=4,所以EF=HN=2,EM=MN=FG=GH=5,GM=22,E到GM的距離為5-(22)

2=322,所以六邊形MEFGHN的面積S=2S梯形EFGM=215.如圖K39-7,在四棱錐P-ABCD中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面ABCD,PA=2,AB=1.設(shè)M,N分別為PD,AD的中點.(1)求證:平面CMN∥平面PAB;(2)求三棱錐P-ABM的體積.圖K39-715.解:(1)證明:∵M,N分別為PD,AD的中點,∴MN∥PA,又MN?平面PAB,PA?平面PAB,∴MN∥平面PAB.在Rt△ACD中,∠CAD=60°,CN=AN,∴∠ACN=60°.又∠BAC=60°,∴CN∥AB,又CN?平面PAB,AB?平面PAB,∴CN∥平面PAB.∵CN∩MN=N,CN?平面CMN,MN?平面CMN,∴平面CMN∥平面PAB.(2)由(1