2022-2023學(xué)年湖南省衡陽(yáng)市 縣九市中學(xué)高二數(shù)學(xué)理月考試題含解析

2022-2023學(xué)年湖南省衡陽(yáng)市縣九市中學(xué)高二數(shù)學(xué)理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在等差數(shù)列中，已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，則等于（

）A．45

B．50

C．55

D．60參考答案：C2.△ABC的BC邊上的高線為AD，BD=a，CD=b，將△ABC沿AD折成大小為θ的二面角B-AD-C，若，則三棱錐A-BCD的側(cè)面三角形ABC是（

）A、銳角三角形

B、鈍角三角形C、直角三角形

D、形狀與a、b的值有關(guān)的三角形參考答案：C點(diǎn)評(píng)：將平面圖形折成空間圖形后線面位置關(guān)系理不清，易瞎猜。3.設(shè)變量、滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最小值為（

）A．2

B．3

C．4

D．9參考答案：B4.直線3x+4y+2m=0與圓x2+（y﹣）2=1相切，且實(shí)數(shù)m的值為（）A．log23 B．2 C．log25 D．3參考答案：A【考點(diǎn)】圓的切線方程．【專題】方程思想；定義法；直線與圓．【分析】根據(jù)直線與圓相切，圓心到直線的距離d=r，列出方程求出m的值．【解答】解：因?yàn)橹本€3x+4y+2m=0與圓x2+（y﹣）2=1相切，所以圓心到直線的距離為d=r；即=1，化簡(jiǎn)得2+2m=5，即2m=3，解得m=log23．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與圓相切時(shí)圓心到直線的距離d=r的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．5.現(xiàn)有一條零件生產(chǎn)線，每個(gè)零件達(dá)到優(yōu)等品的概率都為p.某檢驗(yàn)員從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽檢50個(gè)零件，設(shè)其中優(yōu)等品零件的個(gè)數(shù)為X.若，，則p=（

）A.0.16 B.0.2 C.0.8 D.0.84參考答案：C【分析】由求出p的范圍，再由方差公式求出p值．【詳解】∵，∴，化簡(jiǎn)得，即，又，解得或，∴，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查概率公式與方差公式，掌握這兩個(gè)公式是解題的關(guān)鍵，本題屬于基礎(chǔ)題．6.（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：D略7.某工廠的三個(gè)車間在12月份共生產(chǎn)了3600雙皮靴，在出廠前要檢查這批產(chǎn)品的質(zhì)量，決定采用分層抽樣的方法進(jìn)行抽取，若從一、二、三車間抽取的產(chǎn)品數(shù)分別為、、，且，則第二車間生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)為（

）A．800

B．1000

C．1200

D．1500參考答案：C8.如圖，在一個(gè)長(zhǎng)為π，寬為2的矩形OABC內(nèi)，曲線y＝sinx(0≤x≤π)與x軸圍成如圖所示的陰影部分，向矩形OABC內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)(該點(diǎn)落在矩形OABC內(nèi)任何一點(diǎn)是等可能的)，則所投的點(diǎn)落在陰影部分的概率是(

)參考答案：A9.對(duì)于散點(diǎn)圖下列說(shuō)法中正確一個(gè)是（

）（A）通過(guò)散點(diǎn)圖一定可以看出變量之間的變化規(guī)律（B）通過(guò)散點(diǎn)圖一定不可以看出變量之間的變化規(guī)律（C）通過(guò)散點(diǎn)圖可以看出正相關(guān)與負(fù)相關(guān)有明顯區(qū)別（D）通過(guò)散點(diǎn)圖看不出正相關(guān)與負(fù)相關(guān)有什么區(qū)別參考答案：C10.已知函數(shù)f（x）=x3﹣3x2﹣m存在2個(gè)零點(diǎn)，則這兩個(gè)零點(diǎn)的和為（）A．1 B．3 C．1或4 D．1或3參考答案：D【考點(diǎn)】52：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理．【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，得出函數(shù)的極值點(diǎn)，根據(jù)題意得出f（2）=0或f（0）=0，求出零點(diǎn)即可．【解答】解：f（x）=x3﹣3x2﹣m，∴f′（x）=3x2﹣6x=0有兩不等根，∴x=0，x=2，∴f（2）=0或f（0）=0，∴零點(diǎn)分別為0，3或2，﹣1，∴這兩個(gè)零點(diǎn)的和為3或1．故先：D．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知200輛汽車通過(guò)某一段公路時(shí)的時(shí)速的頻率分布直方圖如圖所示，利用組中值計(jì)算200輛汽車的平均時(shí)速為▲km/h．

參考答案：67略12.在極坐標(biāo)系中,過(guò)點(diǎn)A（,）引圓的一條切線,則切線長(zhǎng)

.參考答案：13.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），若雙曲線上存在一點(diǎn)P使，則該雙曲線的離心率的取值范圍是．參考答案：（1，）【考點(diǎn)】雙曲線的應(yīng)用；雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】不防設(shè)點(diǎn)P（xo，yo）在右支曲線上并注意到xo＞a．利用正弦定理求得，進(jìn)而根據(jù)雙曲線定義表示出|PF1|和|PF2|代入求得e的范圍．【解答】解：不防設(shè)點(diǎn)P（xo，yo）在右支曲線上并注意到xo＞a．由正弦定理有，由雙曲線第二定義得：|PF1|=a+exo，|PF2|=exo﹣a，則有=，得xo=＞a，分子分母同時(shí)除以a2，易得：＞1，解得1＜e＜+1故答案為（1，）【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了雙曲線的應(yīng)用．考查了學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題能力．14.黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如圖的規(guī)律拼成若干個(gè)圖案：則第個(gè)圖案中有白色地面磚的塊數(shù)是____.________.參考答案：將第n個(gè)圖案先看做是n個(gè)第1個(gè)圖案，則共有6n個(gè)白色圖案，再結(jié)合第n個(gè)圖案，可知共有6n-2(n-1)=4n+2個(gè)白色圖案。15.直線的傾斜角的大小為

．參考答案：16.在R上定義運(yùn)算⊙：⊙，則滿足⊙的實(shí)數(shù)的取值范圍是__________。參考答案：（－2，1）17.用數(shù)字0，1，2，3，4組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，則其中數(shù)字1，2相鄰的偶數(shù)個(gè)（用數(shù)字作答）．參考答案：24三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.如圖，在四面體ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，BD的中點(diǎn)．求證：（1）直線EF∥面ACD；（2）平面EFC⊥面BCD．參考答案：【考點(diǎn)】直線與平面平行的判定；平面與平面垂直的判定．【分析】（1）根據(jù)線面平行關(guān)系的判定定理，在面ACD內(nèi)找一條直線和直線EF平行即可，根據(jù)中位線可知EF∥AD，EF?面ACD，AD?面ACD，滿足定理?xiàng)l件；（2）需在其中一個(gè)平面內(nèi)找一條直線和另一個(gè)面垂直，由線面垂直推出面面垂直，根據(jù)線面垂直的判定定理可知BD⊥面EFC，而B(niǎo)D?面BCD，滿足定理所需條件．【解答】證明：（1）∵E，F(xiàn)分別是AB，BD的中點(diǎn)．∴EF是△ABD的中位線，∴EF∥AD，∵EF?面ACD，AD?面ACD，∴直線EF∥面ACD；（2）∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD，∵CB=CD，F(xiàn)是BD的中點(diǎn)，∴CF⊥BD又EF∩CF=F，∴BD⊥面EFC，∵BD?面BCD，∴面EFC⊥面BCD19.（本小題滿分14分）已知函數(shù)， （1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程； （2）討論函數(shù)的極值； （3）求證：.參考答案：（1）解時(shí)，∴∴又∴在處的切線方程為………………4分（2）若即

則恒成立此時(shí)無(wú)極值若即

則時(shí)時(shí)此時(shí)在處取極小值………8分（3）當(dāng)時(shí)

由（2）知∴ 即

令

則

∴而∴∴∴∴……………14分略20.已知函數(shù).（Ⅰ）求函數(shù)的圖象在處的切線方程；（Ⅱ）若過(guò)點(diǎn)(0,0)的直線l與函數(shù)圖象相切，求l的方程.參考答案：（1）（2）【試題分析】（1）對(duì)函數(shù)解析式求導(dǎo)，再運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，然后運(yùn)用直線的點(diǎn)斜式方程求解；（2）先設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，再對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，然后運(yùn)用直線的點(diǎn)斜式方程求由l過(guò)點(diǎn)，∴，∴，∴，∴，求出方程為：解：（1），時(shí)，，∴這個(gè)圖象在處的切線方程為.（2）設(shè)與這個(gè)圖象的切點(diǎn)為，方程為，由過(guò)點(diǎn)，∴，∴，∴，∴，∴方程為.21.已知直線：，：，它們相交于點(diǎn)A．（1）判斷直線和是否垂直？請(qǐng)給出理由；

（2）求A點(diǎn)的坐標(biāo)及過(guò)點(diǎn)Ａ且與直線：平行的直線方程（請(qǐng)給出一般式）（3）求直線上點(diǎn)P（1，），Q（，1）與B（2，1）構(gòu)成的三角形的面積參考答案：略22.如圖，設(shè)點(diǎn)F1（﹣c，0）、F2（c，0）分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓C上任意一點(diǎn)，且最小值為0．（1）求橢圓C的方程；（2）若動(dòng)直線l1，l2均與橢圓C相切，且l1∥l2，試探究在x軸上是否存在定點(diǎn)B，點(diǎn)B到l1，l2的距離之積恒為1？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)B坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的關(guān)系；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】（1）設(shè)P（x，y），可得向量坐標(biāo)關(guān)于x、y的形式，從而得到，結(jié)合點(diǎn)P為橢圓C上的點(diǎn)，化簡(jiǎn)得，說(shuō)明最小值為1﹣c2=0，從而解出a2=2且b2=1，得到橢圓C的方程．（2）當(dāng)直線l1，l2斜率存在時(shí)，設(shè)它們的方程為y=kx+m與y=kx+n，與橢圓方程聯(lián)解并利用根的判別式列式，化簡(jiǎn)得m2=1+2k2且n2=1+2k2，從而得到m=﹣n．再假設(shè)x軸上存在B（t，0），使點(diǎn)B到直線l1，l2的距離之積為1，由點(diǎn)到直線的距離公式列式，并化簡(jiǎn)去絕對(duì)值整理得k2（t2﹣3）=2或k2（t2﹣1）=0，再經(jīng)討論可得t=±1，得B（1，0）或B（﹣1，0）．最后檢驗(yàn)當(dāng)直線l1，l2斜率不存在時(shí)，（1，0）或（﹣1，0）到直線l1，l2的距離之積與等于1，從而得到存在點(diǎn)B（1，0）或B（﹣1，0），滿足點(diǎn)B到l1，l2的距離之積恒為1．【解答】解：（1）設(shè)P（x，y），則有，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）∴∵點(diǎn)P在橢圓C上，可得，可得y2=x2，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）因此，最小值為1﹣c2=0，解之得c=1，可得a2=2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴橢圓C的方程為．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）①當(dāng)直線l1，l2斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y=kx+m，y=kx+n﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣把l1的方程代入橢圓方程，得（1+2k2）x2+4mkx+2m2﹣2=0∵直線l1與橢圓C相切，∴△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）=0，化簡(jiǎn)得m2=1+2k2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）同理可得n2=1+2k2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∴m2=n2，而若m=n則l1，l2重合，不合題意，因此m=﹣n﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）設(shè)在x軸上存在點(diǎn)B（t，0），點(diǎn)B到直線l1，l2的距離之積為1，則，即|k2t2﹣m2|=k2+1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）把1+2k2=m2代入，并去絕對(duì)值整理，可得k2（t2﹣3）=2或k2（t2﹣1）=0，而前式顯然不能恒成立；因而要使得后式對(duì)任意的k∈R恒成立必須t2﹣1=0，解之得t=±1，得B（1，0）或B（﹣1，0）；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）②當(dāng)直線l1，l2斜率不存在時(shí)，其方程為和，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）定點(diǎn)（