（江蘇版）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題11.8 不等式選講（講）理-人教版高三全冊數(shù)學(xué)試題

專題11.8不等式選講【最新考綱解讀】【考點(diǎn)深度剖析】1.江蘇高考中，主要考查解不等式、不等式證明、柯西不等式、排序不等式和均值不等式，尤其關(guān)注不等式的證明.2.注意了解不等式及其證明的幾何意義與背景，提高分析問題、解決問題的能力.注意控制難度，力爭少做或不做無用功.【課前檢測訓(xùn)練】【練一練】1.解不等式|x－1|－|x－5|<2的解集.解①當(dāng)x≤1時，原不等式可化為1－x－(5－x)<2，∴－4<2，不等式恒成立，∴x≤1.②當(dāng)1<x<5時，原不等式可化為x－1－(5－x)<2，∴x<4，∴1<x<4，③當(dāng)x≥5時，原不等式可化為x－1－(x－5)<2，該不等式不成立.綜上，原不等式的解集為(－∞，4).2.若存在實(shí)數(shù)x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|，要使|x－a|＋|x－1|≤3有解，可使|a－1|≤3，∴－3≤a－1≤3，∴－2≤a≤4.3.若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋eq\f(1,2)a＋2對任意實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.4.設(shè)a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，求eq\r(m2＋n2)的最小值.解根據(jù)柯西不等式(ma＋nb)2≤(a2＋b2)(m2＋n2)，得25≤5(m2＋n2)，m2＋n2≥5，eq\r(m2＋n2)的最小值為eq\r(5).5.若a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，求eq\r(a)＋eq\r(b)＋eq\r(c)的最大值.解(eq\r(a)＋eq\r(b)＋eq\r(c))2＝(1×eq\r(a)＋1×eq\r(b)＋1×eq\r(c))2≤(12＋12＋12)(a＋b＋c)＝3.當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝eq\f(1,3)時，等號成立.∴(eq\r(a)＋eq\r(b)＋eq\r(c))2≤3.故eq\r(a)＋eq\r(b)＋eq\r(c)的最大值為eq\r(3).6.設(shè)x>0，y>0，若不等式eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋eq\f(λ,x＋y)≥0恒成立，求實(shí)數(shù)λ的最小值.【題根精選精析】考點(diǎn)1:絕對值不等式【1-1】已知不等式|2x－t|＋t－1<0的解集為(－eq\f(1,2)，eq\f(1,2))，則t＝____________【答案】0【解析】|2x－t|<1－t，t－1<2x－t<1－t，2t－1<2x<1，t－eq\f(1,2)<x<eq\f(1,2)，∴t＝0.【1-2】不等式|x＋1|－|x－2|>k的解集為R，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為______【答案】k<－3【解析】根據(jù)絕對值的幾何意義，設(shè)數(shù)x，－1,2在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)分別為P，A，B，則原不等式等價于|PA|－|PB|>k恒成立．∵|AB|＝3，即|x＋1|－|x－2|≥－3.故當(dāng)k<－3時，原不等式恒成立．【1-3】在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，不等式|2x－1|＋|2x＋1|≤6的解集為____________．【答案】eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(3,2)≤x≤\f(3,2)))【解析】當(dāng)x>eq\f(1,2)時，原不等式轉(zhuǎn)化為4x≤6?x≤eq\f(3,2)；當(dāng)－eq\f(1,2)≤x≤eq\f(1,2)時，原不等式轉(zhuǎn)化為2≤6，恒成立；當(dāng)x<－eq\f(1,2)時，原不等式轉(zhuǎn)化為－4x≤6?x≥－eq\f(3,2).綜上知，原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(3,2)≤x≤\f(3,2))).．【1-4】若存在實(shí)數(shù)x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．【答案】[－2,4]【解析】利用絕對值不等式的性質(zhì)求解．∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|，要使|x－a|＋|x－1|≤3有解，可使|a－1|≤3，∴－3≤a－1≤3，∴－2≤a≤4.【1-5】若關(guān)于x的不等式|x－a|<1的解集為(1,3)，則實(shí)數(shù)a的值為________．【答案】2【解析】原不等式可化為a－1<x<a＋1，又知其解集為(1,3)，所以通過對比可得a＝2.【基礎(chǔ)知識】1．絕對值不等式(1)定理1：如果是實(shí)數(shù)，則,對于，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．(2)定理2：如果是實(shí)數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．2．絕對值不等式的解法(1)含絕對值的不等式與的解集：不等式(2)()和()型不等式的解法：①；②或;(3)()和()型不等式的解法：①利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想；②利用“零點(diǎn)分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；③通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想．【思想方法】.1.解含有絕對值不等式時，去掉絕對值符號的方法主要有：公式法、分段討論法、平方法、幾何法等．這幾種方法應(yīng)用時各有利弊，在解只含有一個絕對值的不等式時，用公式法較為簡便；但是若不等式含有多個絕對值時，則應(yīng)采用分段討論法；應(yīng)用平方法時，要注意只有在不等式兩邊均為正的情況下才能運(yùn)用．因此，在去絕對值符號時，用何種方法需視具體情況而定.2.含絕對值不等式的常用解法(1)基本性質(zhì)法：對，，或.(2)平方法：兩邊平方去掉絕對值符號．這適應(yīng)于兩邊都是正數(shù)的絕對值不等式.(3)零點(diǎn)分區(qū)間法(或叫定義法)：含有兩個或兩個以上絕對值符號的不等式，可用零點(diǎn)分區(qū)間法脫去絕對值符號，將其轉(zhuǎn)化為與之等價的不含絕對值符號的不等式(組)求解．用零點(diǎn)分段法解絕對值不等式的步驟:①求零點(diǎn);②劃區(qū)間,去掉絕對值符號;③分別解去掉絕對值的不等式;④取每個結(jié)果的并集,注意在分段時不要遺漏區(qū)間的端點(diǎn)值.(4)幾何法：利用絕對值的幾何意義，畫出數(shù)軸，將絕對值轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離求解．(5)數(shù)形結(jié)合法：在直角坐標(biāo)系中作出不等式兩邊所對應(yīng)的兩個函數(shù)的圖象，利用函數(shù)圖象求解．3.證明絕對值不等式主要有三種方法(1)利用絕對值的定義去掉絕對值符號，轉(zhuǎn)化為普通不等式再證明；(2)利用三角不等式進(jìn)行證明；(3)轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，數(shù)形結(jié)合進(jìn)行證明．4對于求或型的最值問題利用絕對值三角不等式更方便．形如的函數(shù)只有最小值，形如的函數(shù)既有最大值又有最小值．【溫馨提醒】證明絕對值不等式主要有三種方法(1)利用絕對值的定義去掉絕對值符號，轉(zhuǎn)化為普通不等式再證明；(2)利用三角不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|進(jìn)行證明；(3)轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，數(shù)形結(jié)合進(jìn)行證明．考點(diǎn)2：不等式的證明【2-1】已知x2＋y2＝10，則3x＋4y的最大值為______．【答案】5eq\r(10).【2-2】已知a，b，c∈R＋，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)與eq\f(1,\r(ab))＋eq\f(1,\r(bc))＋eq\f(1,\r(ac))的大小關(guān)系是________．【答案】詳見解析【解析】2eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)＋eq\f(1,c)＋eq\f(1,a)≥eq\f(2,\r(ab))＋eq\f(2,\r(bc))＋eq\f(2,\r(ca)).所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)≥eq\f(1,\r(ab))＋eq\f(1,\r(bc))＋eq\f(1,\r(ac)).【2-3】設(shè)M＝eq\f(1,210)＋eq\f(1,210＋1)＋eq\f(1,210＋2)＋…＋eq\f(1,211－1)，則M與1的大小關(guān)系是__________．【答案】M<1【解析】∵210＋1>210,210＋2>210，…，211－1>210，∴M＝eq\f(1,210)＋eq\f(1,210＋1)＋eq\f(1,210＋2)＋…＋eq\f(1,211－1)<eq\f(1,210)＋eq\f(1,210)＋…＋eq\f(1,210)＝1.210個【2-4】已知c>b>a，求證：a2b＋b2c＋c2a<ab2＋bc2＋ca【答案】詳見解析【2-5】已知a>0，b>0,2c>a＋b，求證：c－eq\r(c2－ab)<a<c＋eq\r(c2－ab).【答案】詳見解析【解析】要證c－eq\r(c2－ab)<a<c＋eq\r(c2－ab)，即證－eq\r(c2－ab)<a－c<eq\r(c2－ab)，即證|a－c|<eq\r(c2－ab)，即證(a－c)2<c2－ab，即證a2－2ac<－ab因?yàn)閍>0，所以只要證a－2c<－b即證a＋b<2c由已知條件知，上式顯然成立，所以原不等式成立．【基礎(chǔ)知識】1．不等式證明的方法(1)比較法：①求差比較法：知道，，因此要證明只要證明即可，這種方法稱為求差比較法．②求商比較法：由且，因此當(dāng)時，要證明，只要證明即可，這種方法稱為求商比較法．(2)綜合法：利用某些已經(jīng)證明過的不等式和不等式的性質(zhì)，推導(dǎo)出所要證明的不等式，這種方法叫綜合法．即“由因?qū)Ч钡姆椒ǎ?3)分析法：證明不等式時，有時可以從求證的不等式出發(fā)，分析使這個不等式成立的充分條件，把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些充分條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些充分條件都已經(jīng)具備，那么就可以判定原不等式成立，這種方法叫作分析法．即“執(zhí)果索因”的方法．(4)反證法和放縮法：①先假設(shè)要證的命題不成立，以此為出發(fā)點(diǎn)，結(jié)合已知條件，應(yīng)用公理、定義、定理、性質(zhì)等，進(jìn)行正確的推理，得到和命題的條件(或已證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實(shí)等)矛盾的結(jié)論，以說明假設(shè)不正確，從而證明原命題成立，這種方法叫作反證法．②證明不等式時，通過把不等式中的某些部分的值放大或縮小，簡化不等式，從而達(dá)到證明的目的，這種方法叫作放縮法．2．幾個常用基本不等式(1)柯西不等式：①柯西不等式的代數(shù)形式：設(shè)均為實(shí)數(shù)，則(當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立)．②柯西不等式的向量形式：設(shè)為平面上的兩個向量，則.③二維形式的三角不等式：設(shè)，那么.④柯西不等式的一般形式：設(shè)為實(shí)數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．(2)平均值不等式：定理：如果為正數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．我們稱為正數(shù)的算術(shù)平均值，為正數(shù)的幾何平均值，定理中的不等式為三個正數(shù)的算術(shù)—幾何平均值不等式，簡稱為平均值不等式．一般形式的算術(shù)—幾何平均值不等式：如果為個正數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．3.易錯點(diǎn)：使用柯西不等式或平均值不等式時易忽視等號成立的條件．易混淆分析法與綜合法，分析法是執(zhí)果索因，綜合法是由因?qū)Ч舅枷敕椒ā?.絕對值不等式的證明：含絕對值不等式的證明題主要分兩類：一類是比較簡單的不等式，往往可通過公式法、平方法、換元法等去掉絕對值轉(zhuǎn)化為常見的不等式證明題，或利用絕對值三角不等式性質(zhì)定理：，通過適當(dāng)?shù)奶?、拆?xiàng)證明；另一類是綜合性較強(qiáng)的函數(shù)型含絕對值的不等式，往往可考慮利用一般情況成立則特殊情況也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法來證明．2.利用柯西不等式證明不等式：使用柯西不等式證明的關(guān)鍵是恰當(dāng)變形，化為符合它的結(jié)構(gòu)形式，當(dāng)一個式子與柯西不等式的左邊或右邊具有一致形式時，就可使用柯西不等式對這個式子進(jìn)行縮小或放大，從而證得問題．利用柯西不等式求最值的一般結(jié)構(gòu)為：，在使用柯西不等式時，要注意右邊為常數(shù)且應(yīng)注意等號成立的條件．3.放縮法證明不等式的技巧(1)放縮法原理簡單，但放縮技巧性強(qiáng)，而且應(yīng)用廣泛，常用的放縮法有增項(xiàng)、減項(xiàng)，利用分式的性質(zhì)、函數(shù)的性質(zhì)、不等式的性質(zhì)等．其理論依據(jù)是不等式的傳遞性，使用此方法時要注意把握放大或縮小的度，既不能放的過小，也不能放過了頭．常見的放縮依據(jù)和技巧是不等式的傳遞性．縮小分母、擴(kuò)大分子，分式值增大；縮小分子、擴(kuò)大分母，分式值減??；每一次縮小其和變小，但需大于所求；每一次擴(kuò)大其和變大，但需小于所求，即不能放縮不夠或放縮過頭．(2)常見的放縮技巧有：①()；②eq\f(2,\r(k－1)＋\r(k))>eq\f(2,2\r(k))>eq\f(2,\r(k)＋\r(k＋1))(k≥2，且k∈N*)．4.對于多項(xiàng)式的大小比較問題通?？梢杂帽容^法，而比較法中最常用的是作差法和作商法．作差法中作差后的關(guān)鍵是對差的符號進(jìn)行判斷，通常運(yùn)用配方、因式分解等方法，作商法要注意兩式的符號．用作商法證明不等式應(yīng)注意：..因此，用作商法必須先判定符號．5.應(yīng)用不等時注意以下幾點(diǎn)：（1）使用均值不等式求最值時，必須滿足“一正、二定、三相等”的條件，且注意變形配湊技巧．（2）基本不等式及其變式中的條件要準(zhǔn)確把握．如()，()等．（3）含絕對值三角不等式：中等號成立的條件應(yīng)注意中，而中等．（4）分析法證明不等式的每一步都是尋求不等式成立的充分條件．（5）換元法證明不等式時要注意換元后新元的取值范圍忽視它會導(dǎo)致錯誤結(jié)論或無法進(jìn)行下去．