（江蘇版）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題7.1 不等關(guān)系與不等式（講）-人教版高三全冊數(shù)學(xué)試題

專題7.1不等關(guān)系與不等式【考綱解讀】內(nèi)容要求備注ABC集合一元二次不等式√對知識的考查要求依次分為了解、理解、掌握三個(gè)層次（在表中分別用A、B、C表示）.了解：要求對所列知識的含義有最基本的認(rèn)識，并能解決相關(guān)的簡單問題.理解：要求對所列知識有較深刻的認(rèn)識，并能解決有一定綜合性的問題.掌握：要求系統(tǒng)地掌握知識的內(nèi)在聯(lián)系，并能解決綜合性較強(qiáng)的或較為困難的問題.線性規(guī)劃√基本不等式√【直擊考點(diǎn)】題組一常識題1．某高速公路要求行駛的車輛的速度v(km/h)的最大值為120km/h，同一車道上的車間距d(m)不得小于10【解析】v(km/h)的最大值為120km/h，即v≤120，車間距d(m)不得小于10m，即d≥10，可得不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0≤v≤120，,d≥10.))2．已知a，b均為實(shí)數(shù)，則(a＋3)2________(a＋2)(a＋4)．(填“＞”“＜”或“＝”)【解析】∵(a＋3)2－(a＋2)(a＋4)＝(a2＋6a＋9)－(a2＋6a＋8)＝1＞0，∴(a＋3)2>(a＋2)(3．若1≤a≤4，－2≤b≤－1，則a－b的取值范圍為_________________．【解析】∵－2≤b≤－1，∴1≤－b≤2，又1≤a≤4，∴2≤a－b≤6.題組二常錯(cuò)題4．有以下四個(gè)命題：(1)a＞b?ac2＞bc2；(2)若a＞b＞0，c＞d＞0，則eq\f(a,d)＞eq\f(b,c)；(3)若ab＞0，則a＞b是eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)的充要條件；(4)若eq\f(a,b)＞1，則a＞b.其中真命題的序號是________.5．若a＞b，b≥c，則a與c的大小關(guān)系是________.【解析】由a＞b，b≥c，得a＞c.6．已知存在實(shí)數(shù)a滿足ab2＞a＞ab，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是________.【解析】∵ab2＞a＞ab，∴a≠0，當(dāng)a＞0時(shí)，b2＞1＞b，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b2＞1，,b＜1，))解得b＜－1；當(dāng)a＜0時(shí)，b2＜1＜b，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b2＜1，,b＞1，))無解．綜上可得b＜－1.題組三?？碱}7．已知a＝2eq\f(4,3)，b＝3eq\f(2,3)，c＝25eq\f(1,3)，則a，b，c的大小關(guān)系為____________．【解析】b＝3eq\f(2,3)<4eq\f(2,3)＝2eq\f(4,3)＝a，c＝5eq\f(2,3)>4eq\f(2,3)＝2eq\f(4,3)＝a，故b<a<c.8．有三個(gè)房間需要粉刷，粉刷方案要求：每個(gè)房間只用一種顏色，且三個(gè)房間顏色各不相同．已知三個(gè)房間的粉刷面積(單位：m2)分別為x，y，z，且x<y<z，三種顏色涂料的粉刷費(fèi)用(單位：元/m2)分別為a，b，c，且a<b<c.有下列不同的方案：①ax＋by＋cz；②az＋by＋cx；③ay＋bz＋cx；④ay＋bx＋cz.其中總費(fèi)用(單位：元)最低的是________(填序號)．【解析】(ax＋by＋cz)－(az＋by＋cx)＝a(x－z)＋c(z－x)＝(a－c)(x－z)>0.故①中的不是最低費(fèi)用；(ay＋bz＋cx)－(az＋by＋cx)＝a(y－z)＋b(z－y)＝(a－b)(y－z)>0，故③中的不是最低費(fèi)用；(ay＋bx＋cz)－(az＋by＋cx)＝a(y－z)＋b(x－y)＋c(z－x)＝a(y－z)＋b(x－y)＋c(z－y＋y－x)＝(a－c)(y－z)＋(b－c)(x－y)>0，④中的不是最低費(fèi)用．綜上所述，②中的為最低費(fèi)用．9．已知x，y∈R，且x>y>0，有下列結(jié)論：①eq\f(1,x)－eq\f(1,y)>0；②sinx－siny>0；③eq\f(1,2)x－eq\f(1,2)y<0；④lnx＋lny>0.其中一定成立的是________(填序號)．【知識清單】考點(diǎn)1應(yīng)用不等式表示不等關(guān)系在日常生產(chǎn)生活中,不等關(guān)系更為普遍,利潤的優(yōu)化、方案的設(shè)計(jì)等方面都蘊(yùn)含著不等關(guān)系，再比如幾何中的兩點(diǎn)之間線段最短，三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊等等，用數(shù)學(xué)中的不等式表示這些不等關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型，利用數(shù)學(xué)知識解決現(xiàn)實(shí)生活的不等關(guān)系.考點(diǎn)2比較兩數(shù)（式）的大小比較大小的常用方法(1)作差法：一般步驟是：①作差；②變形；③定號；④結(jié)論．其中關(guān)鍵是變形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式變成積式或者完全平方式．當(dāng)兩個(gè)式子都為正數(shù)時(shí)，有時(shí)也可以先平方再作差．(2)作商法：一般步驟是：①作商；②變形；③判斷商與1的大?。虎芙Y(jié)論．(3)特值法：若是選擇題、填空題可以用特值法比較大??；若是解答題，可先用特值探究思路，再用作差或作商法判斷．注意：用作商法時(shí)要注意商式中分母的正負(fù)，否則極易得出相反的結(jié)論．考點(diǎn)3不等式的性質(zhì)不等式的基本性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容注意對稱性a>b?b<a?傳遞性a>b，b>c?a>c?可加性a>b?a＋c>b＋c?可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>0))?ac>bcc的符號eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c<0))?ac<bc同向可加性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>d))?a＋c>b＋d?同向同正可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b>0,c>d>0))?ac>bd?可乘方性a>b>0?an>bn(n∈N，n≥2)同正可開方性(n∈N，n≥2)a>b>0?eq\r(n,a)>eq\r(n,b)考點(diǎn)4不等式性質(zhì)的應(yīng)用熟練掌握不等式的五條性質(zhì)和兩個(gè)推論，要注意每個(gè)性質(zhì)的適用范圍，尤其要注意可乘性和可開方性的外延，比如；不需要限制兩邊都是正數(shù).eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b>0,c>d>0))?ac>bda>b>0?an>bn(n∈N，n≥2)a>b>0?eq\r(n,a)>eq\r(n,b)【考點(diǎn)深度剖析】江蘇新高考對不等式知識的考查要求較高，整個(gè)高中共有8個(gè)C能級知識點(diǎn)，本章就占了兩個(gè)，高考中以填空題和解答題的形式進(jìn)行考查，涉及到數(shù)形結(jié)合、分類討論和等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想，著重考查學(xué)生基本概念及基本運(yùn)算能力.經(jīng)常與其它章節(jié)知識結(jié)合考查，如與函數(shù)、方程、數(shù)列、平面解析幾何知識結(jié)合考查.【重點(diǎn)難點(diǎn)突破】考點(diǎn)1應(yīng)用不等式表示不等關(guān)系某廠生產(chǎn)甲產(chǎn)品每件需用A原料2kg、B原料4kg，生產(chǎn)乙產(chǎn)品每件需用A原料3kg、B原料2kg；A原料每日供應(yīng)量限額為60kg，B原料每日供應(yīng)量限額為80kg【答案】【1-2】同學(xué)們都知道，在一次考試后，如果按順序去掉一些高分，那么班級的平均分將降低；反之，如果按順序去掉一些低分，那么班級的平均分將提高．這兩個(gè)事實(shí)可以用數(shù)學(xué)語言描述為：若有限數(shù)列a1，a2，…，an滿足a1≤a2≤…≤an，則______________(結(jié)論用數(shù)學(xué)式子表示)．【解析】設(shè)，如果去掉，則；如果去掉，則[.【1-3】下表為廣州亞運(yùn)會(huì)官方票務(wù)網(wǎng)站公布的幾種球類比賽的門票價(jià)格，某球迷賽前準(zhǔn)備了1200元，預(yù)訂15張下表中球類比賽的門票.比賽項(xiàng)目票價(jià)(元/場)足球籃球乒乓球1008060若在準(zhǔn)備資金允許的范圍內(nèi)和總票數(shù)不變的前提下，該球迷想預(yù)訂上表中三種球類比賽門票，其中籃球比賽門票數(shù)與乒乓球比賽門票數(shù)相同，且籃球比賽門票的費(fèi)用不超過足球比賽門票的費(fèi)用，求可以預(yù)訂的足球比賽門票數(shù)．【解析】設(shè)預(yù)訂籃球比賽門票數(shù)與乒乓球比賽門票數(shù)都是n(n∈N*)張，則足球比賽門票預(yù)訂(15－2n)張，由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(80n＋60n＋100（15－2n）≤1200，,80n≤100（15－2n），,n∈N*，))解得5≤n≤5eq\f(5,14)，由n∈N*，可得n＝5，∴15－2n＝5.∴可以預(yù)訂足球比賽門票5張．【思想方法】區(qū)分不等關(guān)系與不等式的異同，不等關(guān)系強(qiáng)調(diào)的是關(guān)系，可用符號表示，而不等式則是表現(xiàn)兩者的不等關(guān)系，可用等式子表示，不等關(guān)系是通過不等式表現(xiàn)．【溫馨提醒】求解數(shù)學(xué)應(yīng)用題的關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型，只要把模型中的量具體化，就可以得到相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題，然后運(yùn)用數(shù)學(xué)知識、方法、技巧等解決數(shù)學(xué)問題.在解決實(shí)際問題時(shí)，要注意變量的取值范圍.考點(diǎn)2比較兩數(shù)（式）的大小【2-1】,,則與的大小關(guān)系為．【答案】【解析】作差法比較大小，，,,所以p-q,.【2-2】若a、b、c、d均為正實(shí)數(shù)，且，那么四個(gè)數(shù)、、、由小到大的順序是_________?！敬鸢浮?、、、.【2-3】若，則a,b,c的大小關(guān)系是．【答案】b>a>c【解析】根據(jù)式子特點(diǎn)構(gòu)造函數(shù)，則分別看作函數(shù)圖象上的點(diǎn)（2，f（2）），（3，f（3）），（5，f（5））與原點(diǎn)連線的斜率，結(jié)合圖象可知當(dāng)5＞3＞2時(shí)，，∴b>a>c【2-4】已知都是正數(shù)，求證：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號?！窘馕觥繉⑺C的不等式的兩邊相除，得，根據(jù)所要證的不等式的特點(diǎn)（交換的位置，不等式不變），不妨設(shè)，于是，從而，當(dāng)僅當(dāng)時(shí)取等號，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號?！舅枷敕椒ā?、利用比較法比較兩數(shù)（式）的大小時(shí)，關(guān)鍵在于作差或商后的變形，需要分解因式或者通分等運(yùn)算，一定化簡徹底；2、構(gòu)造函數(shù)法比較大小時(shí)，通?？紤]所構(gòu)造的函數(shù)圖象特征或者函數(shù)的性質(zhì)，尤其要注意利用單調(diào)性比較大?。緶剀疤嵝选扛鶕?jù)需要比較大小的兩式的結(jié)構(gòu)特征，選擇相應(yīng)的比較方法，可選用作差比較法、作商比較法，也可以構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的圖象或者研究函數(shù)的性質(zhì)，從而得出兩式大小.考點(diǎn)3不等式的性質(zhì)【3-1】如果，則下列各式正確的是________．A.B.C.D.【答案】D【3-2】已知滿足且,則下列選項(xiàng)中一定成立的是________．A.B.C.D.【答案】A【解析】由題可知,,故A成立；,故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，C不成立，故C不一定成立；,故D錯(cuò)誤.【3-3】根據(jù)條件：滿足，且，有如下推理：（1）（2）(3)(4)其中正確的是________．【答案】(3)(4)【解析】由，因?yàn)?，所以，對于的值可正可?fù)也可為【3-4】設(shè)，則“”是“”成立的________條件．【答案】既不充分也不必要【解析】若p成立，q不一定成立，例如取，反之，若q成立，p也不一定成立，如，所以p是q的既不充分也不必要條件，故選D.【3-5】如果且，那么以下不等式正確的個(gè)數(shù)是________．①②③④【答案】3【解析】特殊值法．根據(jù)且,設(shè),依次判斷可知．①②④正確．【思想方法】1．判斷一個(gè)關(guān)于不等式的命題的真假時(shí)，先把要判斷的命題與不等式性質(zhì)聯(lián)系起來考慮，找到與命題相近的性質(zhì)，并應(yīng)用性質(zhì)判斷命題的真假，當(dāng)然判斷的同時(shí)可能還要用到其他知識，比如對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)．2．特殊值法是判斷命題真假時(shí)常用到的一個(gè)方法，在命題真假未定時(shí)，先用特殊值試試，可以得到一些對命題的感性認(rèn)識，如正好找到一組特殊值使命題不成立，則該命題為假命題．【溫馨提醒】使用不等式性質(zhì)，要注意其適用范圍．考點(diǎn)4不等式性質(zhì)的應(yīng)用【4-1】已知f(x)＝ax2－c，且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，則f(3)的取值范圍是________．【答案】[－1,20]【解析】∵f(1)＝a－c，f(2)＝4a－c，∴a＝[f(2)－f(1)]．c＝－f(1)＋f(2)，∴f(3)＝9a－c＝f(2)－f(1)．∵－1≤f(2)≤5，－≤f(2)≤.又－4≤f(1)≤－1，≤－f(1)≤.∴－1≤f(3)≤20.【4-2】若α、β滿足－<α<β<，則α－β的取值范圍是________．【答案】－π<α－β<0【解析】∵－<α<β<，故－<－β<，則－π<α－β<π且α－β<0，∴－π<α－β<0.【4-3】已知－3<b<a<－1，－2<c<－1，則(a－b)c2的取值范圍是________．【答案】(0,8)【解析】依題意0<a－b<2,1<c2<4，所以0<(a－b)c2<8.【基礎(chǔ)知識】熟練掌握不等式的五條性質(zhì)和兩個(gè)推論，要注意每個(gè)性質(zhì)的適用范圍，尤其要注意可乘性和可開方性的外延，比如；不需要限制兩邊都是正數(shù).eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b>0,c>d>0))?ac>bda>b>0?an>bn(n∈N，n≥2)a>b>0?eq\r(n,a)>eq\r(n,b)【思想方法】利用不等式性質(zhì)可以求某些代數(shù)式的取值范圍，但應(yīng)注意兩點(diǎn)：一是必須嚴(yán)格運(yùn)用不等式的性質(zhì)；二是在多次運(yùn)用不等式的性質(zhì)時(shí)有可能擴(kuò)大了變量的取值范圍．解決的途徑是先建立所求范圍的整體與已知范圍的整體的等量關(guān)系，最后通過“一次性”不等關(guān)系的運(yùn)算求解范圍．【溫馨提醒】求含字母的數(shù)（式）的取值范圍，一是要注意題設(shè)中的條件，充分利用條件，二是在變換過程中要注意利用不等式的基本性質(zhì)以及其他與題目相關(guān)的性質(zhì)等.【易錯(cuò)試題常警惕】 不等式變形中擴(kuò)大變量范圍致誤典例設(shè)f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2,2≤f(1)