人教版八年級數(shù)學下冊尖子生培優(yōu)必刷題 專題18.6矩形的判定專項提升訓練（重難點培優(yōu)）（原卷版+解析）

專題18.6矩形的判定專項提升訓練（重難點培優(yōu)）班級：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事項：本試卷滿分120分，試題共24題，其中選擇10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．(2023春?東莞市校級期中）如圖，要使平行四邊形ABCD為矩形，則可添加下列哪個條件（）A．BO＝DO B．AC⊥BD C．AB＝BC D．AO＝DO2．(2023春?同安區(qū)期中）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，添加下列條件，能判定這個四邊形是矩形的是（）A．∠BAD＝∠ABC B．AB⊥BD C．AC⊥BD D．AB＝BC3．(2023?宜興市校級二模）添加下列一個條件，能使平行四邊形ABCD成為矩形的是（）A．AB＝CD B．AC⊥BD C．∠BAD＝90° D．AB＝BC4．(2023?南京模擬）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，延長AD到E，使DE＝AD，連接EB，EC，DB，添加一個條件，不能使四邊形DBCE成為矩形的是（）A．AB＝BE B．CE⊥DE C．∠ADB＝90° D．BE⊥AB5．(2023春?德城區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，點D、E、F分別在邊AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四種說法，其中正確的有（）個①四邊形AEDF是平行四邊形：②如果∠BAC＝90°，則四邊形AEDF是矩形：③如果AD平分∠BAC，則四邊形AEDF是菱形：④如果AD⊥BC且AB＝AC，則四邊形AEDF是菱形，A．1 B．2 C．3 D．46．(2023?路南區(qū)三模）問題背景：如圖，AD是△ABC的中線，四邊形ADCE是平行四邊形．討論交流：小明說：“若AB＝AC，則四邊形ADCE是矩形．”小強說：“若∠BAC＝90°，則四邊形ADCE是菱形．”下列說法中正確的是（）A．小明不對，小強對 B．小明對，小強不對 C．小明和小強都對 D．小明和小強都不對7．(2023春?宜陽縣期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，AE平分∠DAB，DF平分∠ADC，則（）A．AE＝DF B．四邊形AFED是菱形 C．四邊形FBCE是菱形 D．四邊形AFED是矩形8．(2023春?新羅區(qū)期末）在平行四邊形ABCD中，AC，BD交于點O，設∠DBC＝θ，∠BOC＝β，若β關于θ的函數(shù)解析式是β＝180°﹣2θ（0°＜θ＜90°），則下列說法正確的是（）A．BO＝BC B．OC＝BC C．四邊形ABCD是菱形 D．四邊形ABCD是矩形二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）請把答案直接填寫在橫線上9．(2023秋?碭山縣校級月考）如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，AC＝BD，請?zhí)砑右粋€條件，使四邊形ABCD是矩形．10．(2023春?鐵東區(qū)期末）一個木匠要制作矩形的踏板．他在一個對邊平行的長木板上分別沿與長邊垂直的方向鋸兩次，就能得到矩形踏板．理由是．11．(2023春?北京期末）如圖，?ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，再添加一個條件，使得四邊形ABCD是矩形，可添加的條件是．（寫出一個條件即可）12．(2023春?朝陽區(qū)期末）如圖，在?ABCD中，AE⊥BC與點E，點F在BC邊的延長線上，只需再添加一個條件即可證明四邊形AEFD是矩形，這個條件可以是（寫出一個即可）．13．(2023春?丹陽市校級月考）將兩塊全等的含30°角的三角尺如圖1擺放在一起，設較短直角邊為，如圖2，將Rt△BCD沿射線BD方向平移，在平移的過程中，當點B的移動距離為時，四邊形ABC1D1為矩形．14．(2023秋?二七區(qū)校級月考）如圖，線段AB⊥BC，以C為圓心，BA為半徑畫弧，然后再以A為圓心，BC為半徑畫弧，兩弧交于點D，則四邊形ABCD是矩形，其依據(jù)是．15．(2023春?平谷區(qū)期末）如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點，點F，G在邊BC上，且DF∥EG．只需添加一個條件即可證明四邊形DFGE是矩形，這個條件可以是．（寫出一個即可）16．(2023春?貴港期末）過△ABC的頂點C畫線段CD，使得線段CD與AB邊平行且相等，則下列說法：①若∠BAC＝90°，則以A，B，C，D為頂點的四邊形是矩形；②若以A，B，C，D為頂點的四邊形是矩形，則∠BAC＝90°；③若AB＝AC＝BC，則以A，B，C，D為頂點的四邊形是菱形；④若以A，B，C，D為頂點的四邊形是菱形，則AB＝AC．其中正確的說法有個．17．(2023春?金東區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標系中，有點A（3，0），點B（3，5），射線AO上的動點C，y軸上的動點D，平面上的一個動點E，若∠CBA＝∠CBD，以點B，C，D，E為頂點的四邊形是矩形，則AC的長為．三、解答題（本大題共6小題，共66分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）18．(2023春?邢臺期末）如圖，DB∥AC，DE∥BC，DE與AB交于點F，E是AC的中點．（1）求證：F是AB的中點；（2）若要使DBEA是矩形，則需給△ABC添加什么條件？并說明理由．19．(2023秋?天府新區(qū)期末）已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分線，AN是△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為點E．求證：四邊形ADCE為矩形；20．(2023秋?奉賢區(qū)月考）如圖，已知四邊形ABCD和四邊形ABEF都是平行四邊形，分別聯(lián)結FD、EC．（1）求證：四邊形CDFE是平行四邊形；（2）設AB與EC交于點G，如果EG＝CG，∠AFD＝∠ADF，求證：四邊形CDFE是矩形．21．(2023春?相城區(qū)校級期中）已知：如圖，在?ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，點G、H分別是AD、BC的中點，點E、O、F分別是對角線BD上的四等分點，順次連接G、E、H、F．（1）求證：四邊形GEHF是平行四邊形；（2）當AB與BD滿足條件時，四邊形GEHF是矩形．22．(2023春?隆回縣期末）如圖，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，E，P分別在AD，BC上，且DE＝BP＝1．（1）求BE和EC的長，并判斷△BEC的形狀；（2）判斷四邊形EFPH是什么特殊四邊形？并說明理由．（3）求四邊形EFPH的面積．23．如圖，?ABCD中，AC＝12cm，BD＝16cm，在對角線BD上，E，F(xiàn)兩點分別從B，D點往終點D，B運動，它們的速度都是每秒1cm/s，且同時出發(fā)，同時停止，若它們運動時間為t．（1）當t≠8時，判斷四邊形AECF的形狀，并說明你的結論．（2）當運動時間t為多少時，四邊形AECF為矩形？24．(2023春?河北區(qū)校級月考）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，點D從點C出發(fā)沿CA方向以4cm/s的速度向點A勻速運動，同時點E從點A出發(fā)沿AB方向以2cm/s的速度向點B勻速運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動．設點D，E運動的時間是ts（0＜t≤15）．過點D作DF⊥BC于點F，連接DE，EF．（1）求證：四邊形AEFD為平行四邊形；（2）①當t＝s時，四邊形AEFD為菱形；②當t＝s時，四邊形DEBF為矩形；專題18.6矩形的判定專項提升訓練（重難點培優(yōu)）班級：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事項：本試卷滿分120分，試題共24題，其中選擇10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．(2023春?東莞市校級期中）如圖，要使平行四邊形ABCD為矩形，則可添加下列哪個條件（）A．BO＝DO B．AC⊥BD C．AB＝BC D．AO＝DO【分析】根據(jù)矩形的判定方法即可得出結論．【解答】解：需要添加的條件是AO＝DO，理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO＝OC，BO＝OD，∵AO＝DO，∴AC＝BD，∴平行四邊形ABCD是矩形（對角線相等的平行四邊形是矩形）；故選：D．2．(2023春?同安區(qū)期中）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，添加下列條件，能判定這個四邊形是矩形的是（）A．∠BAD＝∠ABC B．AB⊥BD C．AC⊥BD D．AB＝BC【分析】由矩形的判定和菱形的判定分別對各個選項進行判斷即可．【解答】解：A、∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC＝180°，∵∠BAD＝∠ABC，∴∠BAD＝∠ABC＝90°，∴平行四邊形ABCD是矩形，故選項A符合題意；B、∵AB⊥BD，∴∠ABD＝90°，不能判定平行四邊形ABCD是矩形，故選項B不符合題意；C、∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC⊥BD，∴平行四邊形ABCD是菱形，故選項C不符合題意；D、∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB＝BC，∴平行四邊形ABCD是菱形，故選項D不符合題意；故選：A．3．(2023?宜興市校級二模）添加下列一個條件，能使平行四邊形ABCD成為矩形的是（）A．AB＝CD B．AC⊥BD C．∠BAD＝90° D．AB＝BC【分析】由矩形的判定即可得出結論．【解答】解：∵有一個角是直角的平行四邊形是矩形，∴當∠BAD＝90°，平行四邊形ABCD是矩形，故選：C．4．(2023?南京模擬）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，延長AD到E，使DE＝AD，連接EB，EC，DB，添加一個條件，不能使四邊形DBCE成為矩形的是（）A．AB＝BE B．CE⊥DE C．∠ADB＝90° D．BE⊥AB【分析】先證四邊形DBCE為平行四邊形，再由矩形的判定和菱形的判定分別對各個選項進行判斷即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB＝CD，BC＝AD，BC∥AD，AB∥CD，∵DE＝AD，∴BC＝DE，∵BC∥AD，∴BC∥DE，∴四邊形DBCE是平行四邊形A、∵AB＝BE時，AB＝CD，∴BE＝CD，∴平行四邊形DBCE是矩形，故選項A不符合題意；B、∵CE⊥DE，∴∠CED＝90°時，∴平行四邊形DBCE是矩形，故選項B不符合題意；C、∵∠ADB＝90°，∴∠BDE＝180°﹣∠ADB＝90°，∴平行四邊形DBCE是矩形，故選項C不符合題意；D、∵BE⊥AB，AB∥CD，∴BE⊥CD，∴平行四邊形DBCE是菱形，故選項D符合題意．故選：D．5．(2023春?德城區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，點D、E、F分別在邊AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四種說法，其中正確的有（）個①四邊形AEDF是平行四邊形：②如果∠BAC＝90°，則四邊形AEDF是矩形：③如果AD平分∠BAC，則四邊形AEDF是菱形：④如果AD⊥BC且AB＝AC，則四邊形AEDF是菱形，A．1 B．2 C．3 D．4【分析】先由兩組對邊分別平行的四邊形為平行四邊形，根據(jù)DE∥CA，DF∥BA，得出AEDF為平行四邊形，得出①正確；當∠BAC＝90°，根據(jù)推出的平行四邊形AEDF，利用有一個角為直角的平行四邊形為矩形可得出②正確；若AD平分∠BAC，得到一對角相等，再根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等又得到一對角相等，等量代換可得∠EAD＝∠EDA，利用等角對等邊可得一組鄰邊相等，根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形為菱形可得出③正確；由AB＝AC，AD⊥BC，根據(jù)等腰三角形的三線合一可得AD平分∠BAC，同理可得四邊形AEDF是菱形，④正確，進而得到正確說法的個數(shù)．【解答】解：∵DE∥CA，DF∥BA，∴四邊形AEDF是平行四邊形，選項①正確；若∠BAC＝90°，∴平行四邊形AEDF為矩形，選項②正確；若AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠FAD，又∵DE∥CA，∴∠EDA＝∠FAD，∴∠EAD＝∠EDA，∴AE＝DE，∴平行四邊形AEDF為菱形，選項③正確；若AB＝AC，AD⊥BC，∴AD平分∠BAC，同理可得平行四邊形AEDF為菱形，選項④正確，則其中正確的個數(shù)有4個．故選：D．6．(2023?路南區(qū)三模）問題背景：如圖，AD是△ABC的中線，四邊形ADCE是平行四邊形．討論交流：小明說：“若AB＝AC，則四邊形ADCE是矩形．”小強說：“若∠BAC＝90°，則四邊形ADCE是菱形．”下列說法中正確的是（）A．小明不對，小強對 B．小明對，小強不對 C．小明和小強都對 D．小明和小強都不對【分析】利用矩形的判定和菱形的判定可直接判斷．【解答】解：若AB＝AC，AD是△ABC的中線，∴AD⊥BC，∴平行四邊形ADCE是矩形，若∠BAC＝90°，AD是△ABC的中線，∴AD＝CD，∴平行四邊形ADCE是菱形，故小明和小強的說法都對，故選：C．7．(2023春?宜陽縣期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，AE平分∠DAB，DF平分∠ADC，則（）A．AE＝DF B．四邊形AFED是菱形 C．四邊形FBCE是菱形 D．四邊形AFED是矩形【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出DC∥AB，AD∥BC，AD＝BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠DEA＝∠BAE，∠EDF＝∠AFD，根據(jù)角平分線的定義得出∠BAE＝∠DAE，∠EDF＝∠ADF，求出∠DAE＝∠DEA，∠ADF＝∠AFD，根據(jù)等腰三角形的判定得出AD＝DE，AF＝AD，求出DE＝AF，再逐個判斷即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC∥AB（即DE∥AF），∴∠DEA＝∠BAE，∠EDF＝∠AFD，∵AE平分∠DAB，DF平分∠ADC，∴∠BAE＝∠DAE，∠EDF＝∠ADF，∴∠DAE＝∠DEA，∠ADF＝∠AFD，∴AD＝DE，AF＝AD，∴DE＝AF，∴四邊形AFED是菱形，∴AD∥EF，AD＝EF，AE⊥DF（AE不一定等于DF）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴EF∥BC，EF＝BC，∴四邊形FBCE是平行四邊形，不能推出四邊形FBCE是菱形，所以只有選項B符合題意，選項A、選項C、選項D都不符合題意；故選：B．8．(2023春?新羅區(qū)期末）在平行四邊形ABCD中，AC，BD交于點O，設∠DBC＝θ，∠BOC＝β，若β關于θ的函數(shù)解析式是β＝180°﹣2θ（0°＜θ＜90°），則下列說法正確的是（）A．BO＝BC B．OC＝BC C．四邊形ABCD是菱形 D．四邊形ABCD是矩形【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得OA＝OC，OB＝OD，再證∠OCB＝θ，則∠DBC＝∠OCB，得OB＝OC，然后得AC＝BD，即可得出結論．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵∠DBC＝θ，∠BOC＝β，β＝180°﹣2θ，∴2θ+β＝180°，∵∠DBC+∠BOC+∠OCB＝180°，即θ+β+∠OCB＝180°，∴∠OCB＝θ，∴∠DBC＝∠OCB，∴OB＝OC，∴AC＝BD，∴?ABCD是矩形，故選：D．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）請把答案直接填寫在橫線上9．(2023秋?碭山縣校級月考）如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，AC＝BD，請?zhí)砑右粋€條件AB＝CD（答案不唯一），使四邊形ABCD是矩形．【分析】先證四邊形ABCD是平行四邊形，再由矩形的判定定理即可得到結論．【解答】解：添加一個條件為：AB＝CD，使四邊形ABCD是矩形．理由如下：∵AB＝CD，AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AC＝BD，∴平行四邊形ABCD是矩形，故答案為：AB＝CD（答案不唯一）．10．(2023春?鐵東區(qū)期末）一個木匠要制作矩形的踏板．他在一個對邊平行的長木板上分別沿與長邊垂直的方向鋸兩次，就能得到矩形踏板．理由是有一個角為直角的平行四邊形是矩形．．【分析】根據(jù)“有一個角是直角的平行四邊形是矩形”進行判斷即可．【解答】解：∵在一邊平行的長木板上分別沿與長邊垂直的方向鋸了兩次得到的兩條邊平行，∴得到了一個平行四邊形，∵與兩邊分別垂直，∴就能得到矩形踏板，故答案為：有一個角為直角的平行四邊形是矩形．11．(2023春?北京期末）如圖，?ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，再添加一個條件，使得四邊形ABCD是矩形，可添加的條件是AC＝BD（答案不唯一）．（寫出一個條件即可）【分析】由矩形的判定定理即可得出結論．【解答】解：可添加的條件是：AC＝BD，理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC＝BD，∴?ABCD是矩形，故答案為：AC＝BD（答案不唯一）．12．(2023春?朝陽區(qū)期末）如圖，在?ABCD中，AE⊥BC與點E，點F在BC邊的延長線上，只需再添加一個條件即可證明四邊形AEFD是矩形，這個條件可以是BE＝CF（答案不唯一）（寫出一個即可）．【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得AD∥BC，AD＝BC，再證AD＝EF，得四邊形AEFD是平行四邊形，然后證∠AEF＝90°，即可得出結論．【解答】解：添加條件為：BE＝CF，理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵BE＝CF，∴BE+CE＝CF+CE，即BC＝EF，∴AD＝EF，∴四邊形AEFD是平行四邊形，又∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°，∴平行四邊形AEFD是矩形，故答案為：BE＝CF（答案不唯一）．13．(2023春?丹陽市校級月考）將兩塊全等的含30°角的三角尺如圖1擺放在一起，設較短直角邊為，如圖2，將Rt△BCD沿射線BD方向平移，在平移的過程中，當點B的移動距離為1時，四邊形ABC1D1為矩形．【分析】當點B的移動距離為時，∠C1BB1＝60°，則∠ABC1＝90°，根據(jù)有一直角的平行四邊形是矩形，可判定四邊形ABC1D1為矩形．【解答】解：如圖：當四邊形ABC1D是矩形時，∠B1BC1＝90°﹣30°＝60°，∵B1C1＝，∴BB1＝，當點B的移動距離為1時，四邊形ABC1D1為矩形，故答案為：1．14．(2023秋?二七區(qū)校級月考）如圖，線段AB⊥BC，以C為圓心，BA為半徑畫弧，然后再以A為圓心，BC為半徑畫弧，兩弧交于點D，則四邊形ABCD是矩形，其依據(jù)是有一個角是直角的平行四邊形是矩形．【分析】根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，由有一個角是直角的平行四邊形是矩形可得結論．【解答】解：∵AB＝CD，CB＝AD，∴四邊形ABCD為平行四邊形（兩組對邊相等的四邊形是平行四邊形），又∵∠ABC＝90°，∴平行四邊形ABCD為矩形（有一個角是直角的平行四邊形是矩形），故答案為：有一個角是直角的平行四邊形是矩形．15．(2023春?平谷區(qū)期末）如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點，點F，G在邊BC上，且DF∥EG．只需添加一個條件即可證明四邊形DFGE是矩形，這個條件可以是∠DFG＝90°（答案不唯一）．（寫出一個即可）【分析】由三角形中位線定理得DE∥BC，再由DF∥EG，得四邊形DFGE是平行四邊形，然后由矩形的判定即可得出結論．【解答】解：添加條件為：∠DFG＝90°，理由如下：∵D，E分別是AB，AC的中點，∴DE是△ABC的中位線，∴DE∥BC，∵DF∥EG，∴四邊形DFGE是平行四邊形，又∵∠DFG＝90°，∴平行四邊形DFGE是矩形，故答案為：∠DFG＝90°（答案不唯一）．16．(2023春?貴港期末）過△ABC的頂點C畫線段CD，使得線段CD與AB邊平行且相等，則下列說法：①若∠BAC＝90°，則以A，B，C，D為頂點的四邊形是矩形；②若以A，B，C，D為頂點的四邊形是矩形，則∠BAC＝90°；③若AB＝AC＝BC，則以A，B，C，D為頂點的四邊形是菱形；④若以A，B，C，D為頂點的四邊形是菱形，則AB＝AC．其中正確的說法有1個．【分析】根據(jù)矩形的判定和菱形的判定解答即可．【解答】解：∵CD∥AB，CD＝AB，∴以A，B，C，D為頂點的四邊形是平行四邊形，①若∠BAC＝90°，則以A，B，C，D為頂點的四邊形不是矩形，故①錯誤；②若以A，B，C，D為頂點的四邊形是矩形，則∠ABC＝90°，故②錯誤；③若AB＝AC＝BC，則以A，B，C，D為頂點的四邊形是菱形，故③正確；④若以A，B，C，D為頂點的四邊形是菱形，則AB＝BC，故④錯誤；正確的說法有1個，故答案為：1．17．(2023春?金東區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標系中，有點A（3，0），點B（3，5），射線AO上的動點C，y軸上的動點D，平面上的一個動點E，若∠CBA＝∠CBD，以點B，C，D，E為頂點的四邊形是矩形，則AC的長為或或15．【分析】存在三種情況：①作輔助線，構建等腰△BDF，先根據(jù)三角形內(nèi)角和得∠BDC＝∠F，再由等腰三角形三線合一的性質(zhì)得CD＝CF，最后證明△DCO≌△FCA（AAS），可得結論．②如圖2，同理構建直角三角形，利用勾股定理可得結論；③如圖3，同理可得結論．【解答】解：存在三種情況：①如圖1，延長BA和DC交于點F，∵點A（3，0），點B（3，5），∴AB⊥x軸，OA＝3，∵四邊形DCBE是矩形，∴∠DCB＝90°，∴∠BCF＝∠DCB＝90°，∵∠CBD＝∠CBF，∴∠BDC＝∠BFC，∴BD＝BF，∴CD＝CF，在△DCO和△FCA中，，∴△DCO≌△FCA（AAS），∴OC＝AC，∵AC＝OA＝．②如圖2，過點B作BM⊥y軸于M，則∠BMD＝90°，∵四邊形CDBE是矩形，∴∠CDB＝90°，∵∠CBA＝∠CBD，∠CAB＝90°，∴BD＝BA＝5，AC＝CD，∵BM＝3，∴DM＝4，∴CD＝5﹣4＝1，設AC＝x，則OC＝3﹣x，CD＝x，由勾股定理得：CD2＝OD2+OC2，即x2＝12+（3﹣x）2，解得：x＝，∴AC＝；③如圖3，過點D作NL∥x軸，交AB的延長線于L，過C作CN⊥NL于N，則∠N＝∠L＝90°，∵∠CDB＝∠CBA＝90°，∠CBA＝∠CBD，∴CD＝AC，設AC＝b，則CD＝b，OC＝DN＝b﹣3，∵AB＝BD＝5，∵DL＝3，∴BL＝4，∴CN＝AL＝5+4＝9，由勾股定理得：CN2+DN2＝CD2，即92+（b﹣3）2＝b2，解得：b＝15，綜上，AC的長為或或15；故答案為：或或15．三、解答題（本大題共6小題，共66分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）18．(2023春?邢臺期末）如圖，DB∥AC，DE∥BC，DE與AB交于點F，E是AC的中點．（1）求證：F是AB的中點；（2）若要使DBEA是矩形，則需給△ABC添加什么條件？并說明理由．【分析】（1）由題意可證四邊形DBCE是平行四邊形，可得DB＝EC，且E是AC中點，可證四邊形DBEA是平行四邊形，可得結論．（2）添AB＝BC，且AE＝EC可證BE⊥AC，即可得四邊形DBEA是矩形．【解答】證明：（1）∵DE∥BC，BD∥AC∴四邊形DBCE是平行四邊形∴DB＝EC，∵E是AC中點∴AE＝EC∵AE＝EC＝DB，AC∥DB∴四邊形ADBE是平行四邊形∴AF＝BF，即F是AB中點．（2）添加AB＝BC∵AB＝BC，AE＝EC∴BE⊥AC∴平行四邊形DBEA是矩形．19．(2023秋?天府新區(qū)期末）已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分線，AN是△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為點E．求證：四邊形ADCE為矩形；【分析】根據(jù)三個角是直角是四邊形是矩形即可證明；【解答】證明：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分線，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD．∴∠ADC＝90°，∵AN為△ABC的外角∠CAM的平分線，∴∠MAN＝∠CAN．∴∠DAE＝90°，∵CE⊥AN，∴∠AEC＝90°．∴四邊形ADCE為矩形．20．(2023秋?奉賢區(qū)月考）如圖，已知四邊形ABCD和四邊形ABEF都是平行四邊形，分別聯(lián)結FD、EC．（1）求證：四邊形CDFE是平行四邊形；（2）設AB與EC交于點G，如果EG＝CG，∠AFD＝∠ADF，求證：四邊形CDFE是矩形．【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得AB∥CD，AB＝CD，AB∥EF，AB＝EF，則CD∥EF，CD＝EF，即可得出結論；（2）先證AF＝AD，再由平行四邊形的性質(zhì)證出BC＝BE，然后由等腰三角形的性質(zhì)得AB⊥CE，則EF⊥CE，即可解決問題．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵四邊形ABEF是平行四邊形，∴AB∥EF，AB＝EF，∴CD∥EF，CD＝EF，∴四邊形CDFE是平行四邊形；（2）∵∠AFD＝∠ADF，∴AF＝AD，∵四邊形ABCD平行四邊形，∴AD＝BC，∵四邊形ABEF是平行四邊形，∴AF＝BE，∴BC＝BE，∵EG＝CG，∴AB⊥CE，由（1）得：AB∥EF，∴EF⊥CE，∴∠CEF＝90°，又∵四邊形CDFE是平行四邊形，∴平行四邊形CDFE是矩形．21．(2023春?相城區(qū)校級期中）已知：如圖，在?ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，點G、H分別是AD、BC的中點，點E、O、F分別是對角線BD上的四等分點，順次連接G、E、H、F．（1）求證：四邊形GEHF是平行四邊形；（2）當AB與BD滿足條件BD＝2AB時，四邊形GEHF是矩形．【分析】（1）由三角形中位線定理得GF∥OA，GF＝OA，同理EH∥OC，EH＝OC，再由平行四邊形的性質(zhì)得OA＝OC，則EH∥GF，EH＝GF，即可得出結論；（2）連接GH，由平行四邊形的性質(zhì)得AD∥BC，AD＝BC，OB＝OD，再證四邊形ABHG是平行四邊形，得AB＝GH，然后證GH＝EF，即可得出結論．【解答】（1）證明：∵G，F(xiàn)分別為AD，DO的中點，∴GF為△AOD的中位線，∴GF∥OA，GF＝OA，同理可得：EH∥OC，EH＝OC，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，∴EH∥GF，EH＝GF，∴四邊形GEHF是平行四邊形；（2）解：當BD＝2AB時，四邊形GEHF是矩形．理由：如圖，連接GH，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，OB＝OD，∵G，H分別是AD，BC的中點，∴AG＝BH，AG∥BH，∴四邊形ABHG是平行四邊形，∴AB＝GH，∵E，F(xiàn)分別是BO，DO的中點，∴BE＝OE＝OF＝DF，∴BD＝2EF，∵BD＝2AB，∴EF＝AB，∴GH＝EF，∴平行四邊形GEHF是矩形．22．(2023春?隆回縣期末）如圖，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，E，P分別在AD，BC上，且DE＝BP＝1．（1）求BE和EC的長，并判斷△BEC的形狀；（2）判斷四邊形EFPH是什么特殊四邊形？并說明理由．（3）求四邊形EFPH的面積．【分析】（1）由勾股定理求出BE和EC的長，再由勾股定理的逆定理可得∠BEC＝90°，即可得出結論；（2）證四邊形APCE、四邊形DEBP均為平行四邊形，得AP∥CE，BE∥PD，再證四邊形EFPH為平行四邊形，即可得出結論；（3）利用勾股定理分別求解EP，PH的長，即可求出矩形EFPH的面積．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC＝5，CD＝AB＝2，∠BAD＝∠ADC＝90°，∵DE＝BP＝1，∴AE＝5﹣1＝4，在Rt△ABE和Rt△DEC中，由勾股定理得：BE＝＝＝2，EC＝＝＝，△BEC為直角三角形，理由如下：∵BE2＝AB2+AE2＝22+42＝20，CE2＝CD2+DE2＝22+12＝5，BC＝5，∴BE2+CE2＝25＝BC2，∴∠BEC＝90°，∴△BEC為直角三角形；（2）四邊形EFPH為矩形，理由如下：∵AD∥BC，AD＝BC，ED＝BP＝1，∴AE＝PC，∴四邊形APCE、四邊形DEBP均為平行四邊形，∴AP∥CE，BE∥PD，∴四邊形EFPH為平行四邊形，由（1）可知，∠BEC＝90°，∴平行四邊形EFPH為矩形；（3）由（2）可知，四邊形EFP