【數(shù)學(xué)】遼寧省名校聯(lián)考2024屆高三上學(xué)期12月聯(lián)合考試試題（解析版）

《創(chuàng)新設(shè)計(jì)》圖書聯(lián)系電話：400-186-9786遼寧省名校聯(lián)考2024屆高三上學(xué)期12月聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.若復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B.5 C. D.20【答案】A【解析】因?yàn)?，所以，所以．故選：A．2.若角終邊上有一點(diǎn)，且，則（）A.4 B. C.-1 D.【答案】C【解析】由已知，得，解得.因?yàn)?，所以，則.故選：C3.設(shè)，都是非零向量，下列四個(gè)條件中，能使一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，故同?對于A:，方向相反,A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于B:，得出,不能得出方向，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于C:,方向向相同,則成立，C選項(xiàng)正確；對于D:,不能確定的方向，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C．4.已知l，m是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是（）A.若，，，則B.若，，則C.若，，，則D.若，且與所成的角和與所成的角相等，則【答案】C【解析】若，，，則與有可能平行，故A錯(cuò)誤；若，，則可能在內(nèi)，故B錯(cuò)誤；若，，則，又，則，故C正確；若，且與所成的角和與所成的角相等，則與有可能相交，故D錯(cuò)誤.故選：C.5.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A.8 B.9 C.16 D.17【答案】A【解析】設(shè)，則，因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，所以仍成等比數(shù)列.易知，所以,故.故選:A.6.點(diǎn)分別在空間四邊形的邊上，若，則下列說法中正確的是（）A.直線與一定平行 B.直線與一定相交C.直線與可能異面 D.直線與一定共面【答案】D【解析】由于，所以四點(diǎn)確定一個(gè)平面，因此直線與一定共面，故D正確，C錯(cuò)誤，只有當(dāng)且時(shí)，此時(shí)四邊形為平行四邊形，此時(shí)，故A不正確，只有當(dāng)?shù)珪r(shí)，此時(shí)四邊形為梯形，此時(shí)相交于點(diǎn)，故B不正確，故選：D7.若，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】在同一直角坐標(biāo)系中作出，，，的圖象，由圖象可知.故選：B.8.已知，且，函數(shù)，若關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是（）A B. C. D.【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，，則，則，即，，可得的大致圖像如圖：由圖可知，此時(shí)的圖像與直線僅有一個(gè)交點(diǎn)，故關(guān)于x的方程僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，，則，又，的大致圖像如圖：因?yàn)殛P(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以的圖像與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象可知，解得．故選：B．二、選擇題9.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)的圖象的一條對稱軸方程為C.函數(shù)的圖象可由的圖象向左平移個(gè)單位長度得到D.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】ABC【解析】，函數(shù)的最小正周期為，故A正確；由，得，當(dāng)時(shí)，，故B正確；由的圖象向左平移個(gè)單位長度，得，故C正確．因?yàn)?，函?shù)在上不單調(diào)，故D錯(cuò)誤．故選：ABC．10.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值，則滿足的最大的正整數(shù)k可能為（）A.22 B.23 C.24 D.25【答案】BC【解析】因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以，公差，且，．所以，，，故時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，則滿足的最大的正整數(shù)為；當(dāng)時(shí)，，則滿足的最大的正整數(shù)為，故滿足的最大的正整數(shù)可能為與．故選：BC．11.已知為定義在上的偶函數(shù)且不是常函數(shù)，，若是奇函數(shù)，則（）A.的圖象關(guān)于對稱 B.C.是奇函數(shù) D.與關(guān)于原點(diǎn)對稱【答案】ABC【解析】對于選項(xiàng)A，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，即，整理得2，所以的圖象關(guān)于對稱，故A正確；對于選項(xiàng)B，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，所以，所以，故B正確；對于選項(xiàng)C，，故C正確；對于選項(xiàng)D，因?yàn)?，所以與關(guān)于軸對稱，不關(guān)于原點(diǎn)對稱，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.12.在中，三個(gè)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，，則（）A.的面積為2 B.外接圓的半徑為C. D.【答案】ABD【解析】設(shè)外接圓的半徑為R，由正弦定理，得，解得，B正確；的面積，A正確；由，得，C錯(cuò)誤；由，得，即，由，得，因此，所以，D正確．故選：ABD.三、填空題13.圓心角為2的扇形的周長為4，則此扇形的面積為______.【答案】1【解析】設(shè)扇形的半徑為，弧長為，則，又，所以，，扇形的面積.故答案為：1.14.已知向量，滿足，，，則的夾角為______．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，由，得，解得，因此，又，所以向量的夾角為.故答案為：15.如圖，在棱長為4的正方體中，E為棱BC的中點(diǎn)，P是底面ABCD內(nèi)的一點(diǎn)（包含邊界），且，則線段的長度的取值范圍是______．【答案】【解析】以D為原點(diǎn)，以DA，DC，所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，設(shè)，則，，又，所以，即，則．當(dāng)時(shí)，，設(shè)，所以點(diǎn)P在底面ABCD內(nèi)的軌跡為一條線段AF，所以，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以線段的長度的取值范圍是．故答案為：16.如圖，在直三棱柱中，，，，為線段上的一點(diǎn)，且二面角的正切值為3，則三棱錐的外接球的體積為__________.【答案】【解析】如圖，作，交于，則，過作交于點(diǎn)，連接.因?yàn)闉橹比庵瑒t平面，且，則平面，且平面，所以，又，，平面，所以平面，平面，所以，則是二面角的平面角，所以，所以，又，，所以，所以，.可把三棱錐補(bǔ)成棱長為，，的長方體，則三棱錐的外接球的半徑為，所以三棱錐的外接球的體積為.故答案為：.四、解答題17.已知為銳角，．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）因?yàn)?，所以，，．?）因?yàn)殇J角，則，而，則，所以，所以，∴.18.在中，內(nèi)角的對邊分別為，且.（1）證明：是鈍角三角形；（2）平分，且交于點(diǎn)，若，求的周長.（1）證明：在中，，由正弦定理得，即，由余弦定理得.因?yàn)椋?，所以是鈍角三角形.（2）解：因?yàn)?，且，所以，由余弦定理得：，解得或（舍去），所以，所以的周長為.19.已知函數(shù)，若函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)Q都在函數(shù)的圖象上．（1）求函數(shù)的解析式；（2）若存在，使成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解：（1）設(shè)為圖象上任意一點(diǎn)，則是點(diǎn)Q關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)，因?yàn)樵诘膱D象上，所以，即，故.（2），即,設(shè)，則，易知，所以在上是增函數(shù)，所以，可得．故實(shí)數(shù)m的取值范圍是．20.已知數(shù)列滿足，且（1）若，證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.（1）證明：因，，所以，，所以數(shù)列是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.（2）解：由（1）知，所以，所以當(dāng)，時(shí)，.當(dāng)，時(shí)，.當(dāng)，時(shí)，.綜上，21.如圖1，在中，D，E分別為的中點(diǎn)；O為的中點(diǎn)，，，將沿折起到的位置，使得平面平面，如圖2，點(diǎn)F是線段上的一點(diǎn)（不包含端點(diǎn)）．（1）求證：；（2）若直線和平面所成角的正弦值為，求三棱錐的體積．（1）證明：由題意可知：，，所以，又O為的中點(diǎn)，所以．因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以．?）解：取的中點(diǎn)G，連接，所以，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，，所以．設(shè)，所以，又，設(shè)平面DEF的一個(gè)法向量為，所以，令，解得，，所以平面DEF的一個(gè)法向量為，又，設(shè)直線EC和平面DEF所成角的大小為θ，所以，解得或（舍），所以．所以，即三棱錐的體積為．22.已知函數(shù)且．（1）討論的單調(diào)性．（2）若有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)且，函數(shù)定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，在上恒成立，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，令，則，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞