第16講 等比數列【秋季講義】（人教A版2019選擇性必修第二冊）（解析版）

第16講等比數列【人教A版2019】·模塊一等比數列的概念·模塊二等比數列的前n項和公式·模塊三課后作業(yè)模塊一模塊一等比數列的概念1．等比數列的概念文字

語言一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數，那么這個數列叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)符號

語言在數列{}中，如果（或）(q≠0)成立，則稱數列{}為等比數列，常數q稱為等比數列的公比遞推

關系或2．等比中項如果在a與b中間插入一個數G(G≠0)，使a,G,b成等比數列，那么G叫做a與b的等比中項.

若G是a與b的等比中項，則，所以=ab，即G=.3．等比數列的通項公式若等比數列{}的首項為，公比為q，則這個等比數列的通項公式是=(,q≠0).4．等比數列的單調性已知等比數列{}的首項為，公比為q，則

(1)當或時，等比數列{}為遞增數列；

(2)當或時，等比數列{}為遞減數列；

(3)當q=1時，等比數列{}為常數列(這個常數列中各項均不等于0)；

(4)當q<0時，等比數列{}為擺動數列(它所有的奇數項同號，所有的偶數項也同號，但是奇數項與偶數項異號).5．等比數列的性質設{}為等比數列，公比為q，則

(1)若m+n=p+q，m,n,p,q，則.

(2)若m,n,p(m,n,p)成等差數列，則成等比數列.

(3)數列{}(為不等于零的常數)仍是公比為q的等比數列；

數列{}是公比為的等比數列；

數列{}是公比為的等比數列；

若數列{}是公比為q'的等比數列，則數列{}是公比為q·q'的等比數列.

(4)在數列{}中，每隔k(k)項取出一項，按原來的順序排列，所得數列仍為等比數列，且公比為.

(5)在數列{}中，連續(xù)相鄰k項的和(或積)構成公比為(或)的等比數列.

(6)若數列{}是各項都為正數的等比數列，則數列{}(c>0且c≠1)是公差為的等差數列.【考點1等比數列的基本量的求解】【例1.1】（2023春·黑龍江哈爾濱·高二?？计谥校┰诘缺葦盗衋n中，2a1+a2=2A．3 B．2 C．12 D．【解題思路】設等比數列an的公比為q，根據題意和等比數列的通項公式，即可求解【解答過程】已知等比數列an中，2a1則q3=2故選：A.【例1.2】（2023春·陜西西安·高二統(tǒng)考期末）設an是等比數列，且a1-a2=1，A．8 B．-8 C．4 D．-4【解題思路】根據條件，求首項和公比，再代入等比數列的通項公式，即可求解.【解答過程】設等比數列an的公比為qa1-a1q=1所以a5故選：A.【變式1.1】（2023秋·浙江寧波·高二?？奸_學考試）設等比數列{an}的首項為1，公比為q，前n項和為Sn．令bn=SA．12 B．32 C．52【解題思路】由{bn}是等比數列，得b【解答過程】由題意可知，a1=1，a2若{an}若q≠1，則Sn∵bn=Sn+2，若{b即q2解得q=32或故選：B．【變式1.2】（2023·江蘇·高二專題練習）已知等比數列an的前n項和為Sn，且2S3,3S5A．1或-12 B．-1C．-1或2 D．1或-2【解題思路】根據等差中項的性質，結合等比數列基本量之間的關系化簡求解即可.【解答過程】2S3=2∴6∴q=1或-1故選：A.【考點2等比數列的通項公式的求解】【例2.1】（2023·全國·高二專題練習）已知數列an滿足a1=2，an+1=anA．2n-1 B．2n-1 C．22n-1【解題思路】將an+1=an2兩邊同時取常用對數，即可得數列l(wèi)gan是以lg【解答過程】易知an>0，且an≠1，在故lgan+1lgan=2，所以數列所以lgan=故選:C．【例2.2】（2023·全國·高二專題練習）已知數列an的前n項和Sn=13anA．an=-C．an=-【解題思路】令n=1，解得a1=3，當n≥2時，【解答過程】令n=1，則a1=1當n≥2時，Sn-1則an=Sn-所以數列an是以1為首項，-所以an故選：C．【變式2.1】（2023·全國·高二專題練習）已知Sn是數列an的前n項和，且滿足a1=1，an+1=2A．2×32021 B．32021 C．3【解題思路】求出a2的值，由n≥2可得出an+1=3an，分析可知數列an【解答過程】由已知可得a2當n≥2時，由an+1=2Sn可得an=2S所以，數列an是從第二項開始以3則a2023故選：A.【變式2.2】（2023·全國·高二專題練習）已知數列an是等差數列，且a6=0,a1+a4+A．22-n B．2n+2 C．23-n【解題思路】根據給定條件，利用等差數列性質求出公差及通項公式，再確定等比數列bn的前三項作答【解答過程】在等差數列an中，3a4=a1+等差數列an的通項an=a4a2,a4,a5所以bn故選：C.【考點3等比數列性質的應用】【例3.1】（2023春·全國·高二期中）等比數列an中，a2a4=16A．-4 B．2 C．4 D．±4【解題思路】利用等比數列的性質直接求解.【解答過程】等比數列an中，a2a又a1+a5=17因為a22=因為a32=故選：C.【例3.2】（2023秋·甘肅金昌·高二?？茧A段練習）在等比數列an中，a2+a3+aA．323 B．643 C．32 D【解題思路】利用等比數列的性質求解即可.【解答過程】設等比數列an的公比為q則a5即243q3=72所以a7故選：C．【變式3.1】（2023春·廣東廣州·高二校考期中）在等比數列an中，如果a1+a2=16，A．72 B．81 C．36 D．54【解題思路】依題意設等比數列an的公比為q，由等比數列的通項公式求出q2，最后根據【解答過程】解：設等比數列an的公比為q，因為a1+所以q2=a故選：D.【變式3.2】（2023·全國·高三專題練習）已知函數f(x)=|lnx|，各項互不相等的等比數列an滿足fa6A．an≥a1 B．an≤【解題思路】由題可得a6a10=1【解答過程】由已知lna6=得a6故a8=1，又∴a4=4，公比q=±2當q=22時，a1=82當q=-22時，a1=-82，a當q=-22時，∴an偶數項均正，奇數項均負，此時T9<0,T8由an=4q當n<8時，an>1，當n=8時，a8=1，當∴當q=22時，an各項均正，滿足Tn≤T8；當q=-22時，故選：D.【考點4等比數列的判定與證明】【例4.1】（2023春·江西萍鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期中）在數列an中，a1=3(1)證明：an-2(2)設bn=4n+-1【解題思路】（1）根據題意構造等比數列即可證明；（2）根據（1）中條件得到bn通項公式，結合遞增數列的定義求解參數范圍即可【解答過程】（1）因為an+1=4a因為a1-2=1≠0，所以則an+1則an-2是以1為首項，4（2）由（1）可得，an-2=4bn=4故b=3×4因為bn是遞增數列，所以bn+1-當n為奇數時，3×4n+t由于-3×4n5×4當n為偶數時，3×4n-t由于3×4n5×4n-1綜上，t的取值范圍為-4【例4.2】（2023·全國·高三專題練習）數列an的前n項和為Sn，a1(1)設bn=a(2)設cn=an【解題思路】（1）根據數列遞推式可得當n≥2時，an+1（2）由（1）結論可得bn=3×2n-1，即可求得a【解答過程】（1）證明：由Sn+1=4an+2(n∈a1=1，則當n≥2時，an+1即an+1=4a即bn=2bn-1，由故bnbn-1（2）由（1）可得bn=3×2所以an+12n+1-an所以an2n所以cn=a故cn是等比數列【變式4.1】（2023·全國·高三專題練習）已知數列an的前n項和為Sn，數列bn滿足bn=an+an+1（n∈N*），再從下面的條件①與②中任選一個作為已知條件，證明：bn是等比數列.①a【解題思路】選條件①，利用數列前n項和與第n項的關系及給定條件，求出bn的通項公式即可判斷作答.選條件②，利用給定條件，構造常數列求出bn【解答過程】選條件①：當n=1時，4S1+2a2=3又n∈N*，4Sn+2因此bn+1=3n+1，即當n≥2時，bn=3n，顯然所以數列bn是首項、公比均為3的等比數列選條件②：由n∈N*，an而bn=an+an+1由a1=a2=32，得b所以數列bn是首項、公比均為3的等比數列【變式4.2】（2023·全國·高三專題練習）已知數列an滿足a1(1)判斷數列a2n-1(2)若數列an的前10項和為361，記bn=1(log2a2n+1【解題思路】（1）由題意求出數列a2n-1的遞推關系式a2n+1（2）由條件S10=361，得341a1+5log2a1+20=361，再由函數fx=341x+5【解答過程】（1）數列a2n-1成等比數列根據a得a2n+1∵a1>0，∴即數列a2n-1成等比數列（2）由（1）得，a2n-1=a故S由S10=361，得顯然，fx=341x+5log2x+20故a1=1，a2n+1∴bn=1(當n≥3時，bn∴Tn=模塊二模塊二等比數列的前n項和公式1．等比數列的前n項和公式若等比數列{}的首項為，公比為q，則等比數列{}的前n項和公式為

=.2．等比數列前n項和的性質已知等比數列{}的公比為q，前n項和為，則有如下性質：

(1).

(2)若(k)均不為0，則成等比數列，且公比為.

(3)若{}共有2n(n)項，則=q；

若{}共有(2n+1)(n)項，則=q.【考點5等比數列前n項和的性質】【例5.1】（2023秋·江西宜春·高三校考階段練習）記Sn為等比數列an的前n項和，若S4=-5，S6A．120 B．85 C．-85 D．-120【解題思路】方法一：根據等比數列的前n項和公式求出公比，再根據S4方法二：根據等比數列的前n項和的性質求解．【解答過程】方法一：設等比數列an的公比為q，首項為a若q=-1，則S4=0≠-5，與題意不符，所以若q=1，則S6=6a由S4=-5，S6=21S2由①可得，1+q2+所以S8=故選：C．方法二：設等比數列an的公比為q因為S4=-5，S6=21S從而，S2所以有，-5-S22=S當S2=-1時，S2易知，S8+21=-64，即當S2=5與S4故選：C．【例5.2】（2023·全國·高二專題練習）一個項數為偶數的等比數列，它的偶數項和是奇數項和的2倍，又它的首項為1，且中間兩項的和為24，則此等比數列的項數為（

）A．6 B．8 C．10 D．12【解題思路】設等比數列項數為2n項,先根據奇數項的和與偶數相的和求得數列的公比,可得通項公式，進而根據中間兩項的和為24求得n.【解答過程】設等比數列項數為2n項,所有奇數項之和為S奇,所有偶數項之和為S則q=S偶:S奇=2中間兩項的和為an+an+1=故選B.【變式5.1】（2023春·高二課時練習）公比q≠-1的等比數列的前3項，前6項，前9項的和分別為S3，S6，S9A．S3+SC．S3+S【解題思路】由等比數列的性質可知，S3，S6-S【解答過程】由等比數列的性質可知，S3，S6-所以S6-S故選：D.【變式5.2】（2023·全國·高二專題練習）設等比數列an的公比為q，其前n項和為Sn，前n項積為Tn，并滿足條件a1>1，a2019A．S2019<S2020

C．T2020是數列Tn中的最大值

D．數列【解題思路】根據a1>1，a2019a2020>1，a2019-1a【解答過程】根據題意，等比數列an中，a2019a2020>1，則有又由a2019-1a2020-1＜0，即a2019對于A，S2020-S2019=a2020對于B，等比數列an中，a1>1，0<q<1，則S2021>S2019>1，則對于C，a2020<1<a2019，則T2019是數列對于D，由C的結論，D錯誤；故選：A.【考點6求等比數列的前n項和】【例6.1】（2023秋·福建寧德·高二校考階段練習）記Sn為等比數列anan>0的前n項和，且aA．126 B．128 C．254 D．256【解題思路】根據可得a1a3=a2【解答過程】設等比數列an的公比為q，則a由題意可得a1a3整理得a2=4a3=2所以S6故選：A.【例6.2】（2023春·河南駐馬店·高二統(tǒng)考期中）已知數列an滿足a1=1,an+1?an=A．22023-1 B．21013-3 C．【解題思路】根據遞推關系可得n=2k-1、n=2k且k∈N*時都是公比為2的等比數列，再應用分組求和及等比數列前n項和公式求【解答過程】由題設a2a1所以an+2?a當n=2k-1且k∈N*時，an是首項為1，公比為2當n=2k且k∈N*時，an是首項為2，公比為2S2023=(a故選：B.【變式6.1】（2023春·江西贛州·高二統(tǒng)考期末）已知數列an的前n項和為Sn，且a3=2，A．數列an為等比數列 B．數列SC．S100=32【解題思路】由anan+1=2n，得an+1an+2=【解答過程】由anan+1兩式相除得an+2所以數列an的奇數項和偶數項都是以2又a3=2，則a2因為a3a2=1≠2，所以數列由a3=2，anan+1則S2=a而等比數列中不能出現為0的項，所以數列Sn-3不為等比數列，故由AB選項可得，當n為奇數時，an當n為偶數時，an則a2024=2S====3250-1，故故選：C.【變式6.2】（2023春·上海松江·高三?？茧A段練習）已知an是公比不為1的等比數列，Sn為其前n項和，滿足2aA．S2022S2023C．S2021S2023【解題思路】根據已知先求公比q，然后由等比數列求和公式直接驗證可得.【解答過程】設等比數列an的公比為qq≠1，又即a2019因為a2019≠0，所以q2+q-2=0，解得則S2021=a1[1-顯然S2022S2023<0，所以S2022+SS2021S20222=S2021+S2023故選：B.【考點7等差、等比數列的綜合應用】【例7.1】（2023秋·天津和平·高三?？茧A段練習）數列an是等差數列，數列bn是等比數列，且a1=1，b1(1)求數列an的公差以及數列b(2)求數列an+b(3)求數列(-1)nan【解題思路】（1）等差數列an的公差為d，等比數列bn的公比為（2）由（1）可得：an（3）由（2）可得：(-1)na【解答過程】（1）設等差數列an的公差為d，等比數列bn的公比為由題意可得b2=a2+2所以數列an的公差為1，數列bn（2）由（1）可得：an=1+n-1=n,b設數列an+bn前則S=n所以Sn（3）由（2）可知(-1)n當n為奇數，則(-1)n設數列(-1)nan?b則T2n可得T2n=3×2+5×2兩式相減得-3=6+16所以T2n【例7.2】（2023秋·江蘇南通·高三校考階段練習）在數列an中，a1=0，且對任意k∈N*，a2k-1，(1)若對任意k∈N*，a2k，a2k+1，a2k+2成等比數列，其公比為q(2)若dk=2k，證明：a2k，a2k+1，【解題思路】（1）應用等差中項和基本量即可;（2）應用疊加法，求出通項，再用等比中項進行解題.【解答過程】（1）因為a2k-1，a2k，所以2a因為n≥2，an所以2=a因為a2k，a2k+1，a2k+2所以1q所以qk因為q1≠1，所以所以1qk-1所以1qk-1（2）因為a2k-1，a2k，a2k+1成公差為所以a2k+1所以a=4k+4k-1即a2k+1故a2k=a所以a2k+12=4k2故a2k，a2k+1，【變式7.1】（2023秋·天津寧河·高三?？计谀┮阎獢盗衋n是公差為1的等差數列，且a1+a2(1)求an和b(2)令dn=b(3)記cn=1a2n-1a2n+3,n=2k-1(2【解題思路】（1）結合等差數列與等比數列的通項公式及題目條件，用基本量表達條件中的式子，即可求得兩數列的首項與公差公比，代入通項公式即可；（2）根據第一問寫出dn（3）將前2n項和分成奇數項之和加上偶數項之和，分別求解奇數項和偶數項再相加即可.【解答過程】（1）∵數列an是公差為1的等差數列，且a∴a1+(a∴an∴數列an的通項公式為：a數列bn是等比數列，且b設數列bn的公比為q∴b1?(b∴bn∴數列bn的通項公式為：b（2）由（1）知bn∴d=2×[(∴d=2(1∵n∈N∴12∴1-1∴2(1-∴d（3）由（1）可知an∴cn∴S2n令An=c∴A==1Bn∴22∴-3=-=-=-4+4×=1∴Bn∴S2n∴數列cn的前2n項和S【變式7.2】（2023秋·天津北辰·高三校考階段練習）已知等差數列an與等比數列bn滿足a1=1，a3=5，b2(1)求數列an和b(2)記cn=1anan+2,n=2k-1a(3)記dn=32-1n-1bn-1，其前n項和為【解題思路】（1）由已知條件，列方程組求出等差數列an的公差和等比數列b（2）根據數列的特征，運用分組求和法求前2n項和；（3）利用函數思想，求出A的最大值和B的最小值，可得B-A的最小值．【解答過程】（1）設等差數列an的公差為d，等比數列bn的公比為a1=1，a3=5，所以a1a2既是a1+得2a2=解得b3=8b所以an=a（2）∵cn∴S2n又∵c=1∵c2+∴22c①減②得：-3=3?∴c2∴S2n（3）dn=32-1n-1bn-1=-3-1Tn=3令fn=1--當n為奇數時，fn=1+1可得fn的最大值為f當n為偶數時，fn=1-1可得fn的最小值為f所以fn的最小值為-712，最大值為56，因為A≤T所以B-A≥56+712【考點8數列求和】【例8.1】（2023秋·江西宜春·高三校考開學考試）已知在正項數列an中，a1=13(1)求數列an(2)已知數列bn滿足bn=an,n為偶數2log【解題思路】（1）對已知等式分解因式結合各項都為正數，可得anan-1=13n≥2，從而可得a（2）由（1）可得bn=【解答過程】（1）解：由3a得3a∵an的各項都為正數，故an是首項為13，公比為∴a（2）證明：由2log∴b∴==1-因為n∈N*，所以所以98所以S2n【例8.2】（2023·全國·高三專題練習）已知函數fx=12x2+12x，數列an(1)求數列an(2)求gx(3)令bn=gan2021n∈N【解題思路】（1）由題意可得：Sn=1（2）求出g1-x（3）結合（2）的結論，利用倒序相加法即可求解.【解答過程】（1）因為點n,Snn∈所以Sn當n≥2時，an當n=1時，a1=S（2）因為gx=4所以gx（3）由（1）知an=n，可得所以T2020=又因為T2020=因為gx所以①+②，得2T所以T2020【變式8.1】（2023秋·湖南常德·高三?？茧A段練習）已知數列an為等差數列，數列bn為等比數列，且a4=7，a1(1)求an，b(2)已知cn=anbn,n(3)求證：i=1n【解題思路】（1）根據等差數列的項求公差，即可求數列an的通項公式，代入條件求等比數列b（2）分n為奇數和偶數，求數列cn（3）1log2【解答過程】（1）設等差數列an的公差為d，等比數列bn的公比為由a4=7，a1=1得由a1+b3=a所以b3=8，b2=4，故（2）當n是奇數時，cn當n是偶數時，cn則k=1n4k=1①-②得：-3即-3=2+4×化簡得：k=1nk=1=所以T2n（3）1log當n≥2時，i=1n因為12n+1>0，所以當n=1時，13<23也成立【變式8.2】（2023秋·江西宜春·高三?？奸_學考試）在①Sn=an+1已知數列an的前n項和為Sn，a(1)證明:數列an是等差數列，并求a(2)設bn=2n-32nanan+1（i）求Tn（ii）判斷是否存在互不相等的正整數p，q，r使得p，q，r成等差數列且Tp+2,Tq+2,Tr+2成等比數列，若存在，求出滿足條件的所有p【解題思路】（1）若選①，由題可得Sn+1=an+1+12(n+1)，與Sn=an+12n相減并整理可得n-1an+1=man-1，na（2）（i）由（1）可得bn=2n+12n+1-【解答過程】（1）證明:若選①，由Sn=a兩式相減得an+1整理得n-1an+1=n兩式相減得nan+nan+2=2n由Sn=an+12n得a1=則an若選②.由Sn=ana兩式相減得4an+1=an+1an+2因為a2=3，Sn=ana所以a2n-1a2n綜上an=2n-1，所以an是等差數列，a（2）（i）由（1）得an所以bn所以Tn（ii）假設存在互不相等的正整數p，q，r，使得p，q，r成等差數列且Tp則p+r=2q，且2p+12p+1?所以2p+12r+1所以p=r，這與p，q，r互不相等矛盾，所以不存在互不相等的正整數p，q，r，使得p，q，r成等差數列且T0+2T模塊三模塊三課后作業(yè)1．（2023春·廣東佛山·高二校聯(lián)考階段練習）在正項等比數列an中，a2+a6=10，a4A．2 B．2 C．2或12 D．2或【解題思路】由題意可得a3?a5=a42=16【解答過程】∵在正項等比數列an中，a∴a2?a6=16，又當a2=2,a6=8時，q當a2=8,a6=2時，q故選：D.2．（2023秋·江西南昌·高三校考階段練習）已知正項等差數列an和正項等比數列bn，a1=b1=1，b3是A．a2<b2 B．a1024=【解題思路】根據條件建立方程組，求解基本量公差、公比，再根據通項公式依次判斷選項即可.【解答過程】設等差數列公差為d(d≥0)，等比數列公比為q(q>0)，且a1由b3是a2,則有1+d+1+5d=2q2，化簡得1+3d=由a8是b3,又已知正項等差數列an和正項等比數列b所以a8=b4聯(lián)立①②解方程組得，d=-527q=-23故an=n，bn當an=bn=1當an=n，a100=100,b10=2又a1024=1024,b故選：B.3．（2023春·遼寧·高二校聯(lián)考期末）設等比數列an的公比為q，其前n項和為Sn，前n項積為Tn，且滿足條件a1>1，aA．an為遞減數列 B．C．T2022是數列Tn中的最大項 D【解題思路】根據已知條件求得q的范圍，再根據等比數列的性質，對選項逐一判斷即可.【解答過程】因為數列an為等比數列，且a1>1，a2022?當q≥1時，則an=a所以0<q<1，即數列an為單調遞減數列，A由a2022-1?a2023所以S2023-S2022=因為數列an單調遞減，且a2022>1，a2023<1，所以T由等比中項可知T4045=a故選：B.4．（2023·上海閔行·上海市七寶中學?？级＃┮阎獢盗衋n為等比數列，首項a1>0，公比q∈A．數列an的最大項為a1 B．數列aC．數列anan+1為嚴格遞增數列 D【解題思路】分別在n為偶數和n為奇數的情況下，根據項的正負和an+2-an的正負得到最大項和最小項，知AB正誤；利用an+1a【解答過程】對于A，由題意知：當n為偶數時，an當n為奇數時，an>0，an+2綜上所述：數列an的最大項為a1，對于B，當n為偶數時，an<0，an+2當n為奇數時，an綜上所述：數列an的最小項為a2，對于C，∵ana∴a∵-1<q<0，∴q2-1<0∴數列anan+1對于D，∵a2n-1+∴a∵-1<q<0，∴1+q>0，q2-1<0，又∴a2n+1+a2n+2-a2n-1故選：D.5．（2023·全國·高三專題練習）已知等差數列an的公差不為0，設bi=anii∈N*，若n2=2A．a81 B．a121 C．a122【解題思路】根據題意計算得到d=2a1，an=2【解答過程】根據題意知：b2=a2，b3=a故a1+4d2故an=2aa81a121a122=243a1a123故選：C.6．（2023春·河南洛陽·高二校聯(lián)考階段練習）設等比數列an的前n項和為Sn，若S10S5A．32 B．154 C．215【解題思路】根據等比數列的求和公式或者等比數列的性質解析即可；【解答過程】法一：設等比數列的公比為q，若q=1，則S10S5由S10S5=5，得a1解得q5=4，則故選：C.法二：設等比數列的公比為q，若q=1，則S10S5由等比數列的性質知S5,S10-S5,S15-所以S15=21t，所以故選：C.7．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考模擬預測）如圖，在一個單位正方形中，首先將它等分成4個邊長為12的小正方形，保留一組不相鄰的2個小正方形，記這2個小正方形的面積之和為S1；然后將剩余的2個小正方形分別繼續(xù)四等分，各自保留一組不相鄰的2個小正方形，記這4個小正方形的面積之和為S2．以此類推，操作n次，若S1+

A．9 B．10 C．11 D．12【解題思路】由題意可知操作n次時有2n個邊長為12n的小正方形，即Sn【解答過程】由題意可知操作1次時有21=2個邊長為12操作2次時有22=4個邊長為12操作3次時有23=8個邊長為12以此類推可知操作n次時有2n個邊長為12n由等比數列前n項和公式有S1從而問題轉換成了求1-1將不等式變形為12n≤12024，注意到1210所以n的最小值是11.故選：C.8．（2023秋·江西宜春·高三?？茧A段練習）已知定義數列an+1-an為數列an的“差數列”，若a1=2,an的“差數列”的第n項為2A．22022-1 B．22022 C．2【解題思路】根據給定條件可得an+1-an=2【解答過程】依題意，an+1-an=2+2+22+?+2n-1所以S2023故選：D.9．（2023秋·浙江·高三校聯(lián)考階段練習）定義maxa,b=a,a≥bb,a<b．若數列an的前n項和為Sn=λn2+20+λnλ∈A．-4,-3 B．-3,-2 C．-23,-【解題思路】根據題意，求得an=2λn+20，bn=2n，結合cn=maxa【解答過程】由數列an的前n項和為S當n≥2時，可得an又由當n=1時，a1所以數列an通項公式為a由數列bn滿足b1=2且2即1b各式相加可得1b又由1b1=12因為cn=max則滿足a2≥b3且b4即實數λ的取值范圍為-3,-2故選：D.10．（2023·全國·高三專題練習）已知數列{an}滿足：a1=0，an+1=ln(eaA．{a2n-1}B．aC．SD．a【解題思路】令bn=ean，將遞推公式轉化為bn+1=1+1bn，作函數圖象，結合不動點可判斷A；由bn∈[1,2]【解答過程】由an+1=ln∴ean+1=1+1ean，令bn=作圖如下，由圖可得：

A：{a2n-1}是單調遞增數列，{B：∵bn∈[1,2]∴b∴an+1+C：∴an+1+anD：由不動點(5+12，5+12)，得1≤b故選：C．11．（2023·全國·高三專題練習）已知數列an滿足a1=1，且a(1)證明：bn(2)求an【解題思路】（1）利用條件變形化簡得到bn（2）利用（1）中的條件，求出bn=【解答過程】（1）由題意知bn所以bn為等比數列．其首項b1=（2）由