第15講　變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算（原卷版）

第15講變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算基礎(chǔ)知識1.變化率與導(dǎo)數(shù)(1)平均變化率:概念對于函數(shù)y=f(x),稱ΔyΔx=y2-y1x2-x1或ΔfΔx幾何意義這個區(qū)間端點(diǎn)對應(yīng)的函數(shù)圖象上兩點(diǎn)連線的

物理意義若物體運(yùn)動的位移xm與時間ts的關(guān)系為x=h(t),則物體在某段時間內(nèi)的等于x=h(t)在該段時間內(nèi)的平均變化率

(2)導(dǎo)數(shù):概念在x0處limΔx→0ΔfΔx=lim幾何意義f'(x0)就是曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處(也稱在x=x0處)的切線的,其切線方程是

物理意義函數(shù)y=f(x)表示變速運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程,則函數(shù)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)就是質(zhì)點(diǎn)在x=x0時的速度,在(a,b)內(nèi)的導(dǎo)數(shù)就是質(zhì)點(diǎn)在(a,b)內(nèi)的方程

2.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算常用導(dǎo)數(shù)公式原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)特例或推廣常數(shù)函數(shù)C'=0(C為常數(shù))冪函數(shù)(xα)'=(α∈R,α≠0)1x'=-1x三角函數(shù)(sinx)'=,(cosx)'=偶(奇)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇(偶)函數(shù),周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是周期函數(shù)指數(shù)函數(shù)(ax)'=(a>0,且a≠1)(ex)'=ex對數(shù)函數(shù)(logax)'=(a>0,且a≠1)(lnx)'=1x,(ln|x|)'=四則運(yùn)算法則加減[f(x)±g(x)]'=∑i=1nfi(x)'=∑i=1n乘法[f(x)·g(x)]'=[Cf(x)]'=Cf'(x)除法f(x)g(1g(x)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)h'(x)與f'(u),g'(x)之間的關(guān)系為:h'(x)={f[g(x)]}'==,這一結(jié)論也可以表示為

分類訓(xùn)練探究點(diǎn)一平均變化率與瞬時變化率例1(1)若函數(shù)f(x)=x2+x,則函數(shù)f(x)在[-1,2]上的平均變化率為 ()A.0 B.2 C.3 D.6(2)放射性元素由于不斷有原子放射出微粒子而變成其他元素,其含量不斷減少,這種現(xiàn)象稱為衰變.假設(shè)在放射性同位素銫-137衰變過程中,其含量M(單位:太貝克)與時間t(單位:年)滿足函數(shù)關(guān)系M=f(t),且f(t)=600×2-tA.-10ln2太貝克/年B.300ln2太貝克/年C.-300ln2太貝克/年D.300太貝克/年[總結(jié)反思](1)平均變化率的計算,先計算Δf=f(x+Δx)-f(x)與Δx=(x+Δx)-x,再計算ΔfΔx=f(x+Δx)-f(x變式題(1)(多選題)若物體的運(yùn)動規(guī)律是s=f(t),則物體在時刻t0的瞬時速度可以表示為 ()A.limΔtB.limC.f'(t0) D.f'(t)(2)若f'(x0)=3,則limΔx→A.3 B.9 C.19 探究點(diǎn)二導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算例2(1)(多選題)下列求導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的是 ()A.[ln(1-2x)]'=2B.(log3x)'=1C.(x2sinx)'=2xcosxD.exx'=e(2)已知函數(shù)f(x)=sinx-cosx,f'(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù),若f'(x0)=2f(x0),則1+sin2A.-195 B.C.113 D.-(3)已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),且滿足f(x)=3xf'(1)+2lnx,則f'(1)= ()A.-e B.-1 C.1 D.e(4)已知f(x)=x·(a+lnx),若f'(e)=1,則a=.

[總結(jié)反思](1)對于復(fù)雜函數(shù)的求導(dǎo),首先應(yīng)利用代數(shù)、三角恒等變換等變形規(guī)則對函數(shù)解析式進(jìn)行化簡,之后再求導(dǎo),這樣可以減少運(yùn)算量,提高運(yùn)算速度.(2)利用公式求導(dǎo)時要特別注意除法公式中分子的符號,不要與求導(dǎo)的乘法公式混淆.探究點(diǎn)三導(dǎo)數(shù)的幾何意義角度1求切線方程例3曲線y=12x2-ln(2x)在某點(diǎn)處的切線的斜率為-32A.3x+2y-1=0 B.3x+2y+1=0C.6x+4y-5=0 D.12x+8y-7=0[總結(jié)反思](1)曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線方程為y-f(x0)=f'(x0)(x-x0);(2)求解曲線切線問題的關(guān)鍵是求切點(diǎn)的橫坐標(biāo),在使用切點(diǎn)橫坐標(biāo)求切線方程時應(yīng)注意其取值范圍;(3)注意曲線過某點(diǎn)的切線和曲線在某點(diǎn)處的切線的區(qū)別.變式題[2020·山東濰坊五縣聯(lián)考]已知函數(shù)f(x)=lnx+2x2-3x,則函數(shù)f(x)的圖象在x=1處的切線方程為.

角度2求切點(diǎn)坐標(biāo)例4已知曲線y=12x2+x的一條切線的斜率是3,則該切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為[總結(jié)反思](1)f'(x)=k(k為切線斜率)的解即為切點(diǎn)的橫坐標(biāo);(2)切點(diǎn)既在曲線上也在切線上,這個點(diǎn)對于與切點(diǎn)有關(guān)的問題非常重要.變式題若曲線y=2x在x=t處的切線為y=ax,則t所在的區(qū)間為 ()A.0,12 B.12,1C.1,32 D.32,2角度3求參數(shù)的值或范圍例5(1)函數(shù)f(x)=x2+alnx的圖象在x=1處的切線過點(diǎn)(0,2),則a= ()A.2 B.-2 C.3 D.-3(2)已知方程3x2-15ax+a2=0的兩實(shí)根為x1,x2,若函數(shù)f(x)=x(x-1)(x+1)的圖象在x=x1與x=x2處的切線互相垂直,則滿足條件的a的個數(shù)為 ()A.1 B.2 C.3 D.4[總結(jié)反思](1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求參數(shù)的基本方法:利用切點(diǎn)的坐標(biāo)、切線的斜率、切線方程等得到關(guān)于參數(shù)的方程(組)或者參數(shù)滿足的不等式(組),進(jìn)而求出參數(shù)的值或取值范圍.(2)注意曲線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍.變式題若點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)是函數(shù)f(x)=-ex+1,x≤1角度4兩曲線的公切線例6若函數(shù)f(x)=ln(x+2)的圖象在點(diǎn)P(x0,y0)處的切線l與函數(shù)g(x)=ex的圖象也相切,則滿足條件的切點(diǎn)P的個數(shù)為.

[總結(jié)反思]既與曲線y=f(x)相切又與曲線y=g(x)相切的直線叫兩曲線的公切線,這類問題的解法步驟是:(1)設(shè)直線與曲線y=f(x)相切于點(diǎn)P(x1,f(x1)),與曲線y=g(x)相切于點(diǎn)Q(x2,g(x2));(2)切線方程為y-f(x1)=f'(x1)(x-x1),即y=f'(x1)x-f'(x1)x1+f(x1),同理切線方程也為y-g(x2)=g'(x2)(x-x2),即y=g'(x2)x-g'(x2)x2+g(x2);(3)由f'(x1)=變式題已知直線y=kx+b與函數(shù)y=ex的圖象相切于點(diǎn)P(x1,y1),與函數(shù)y=lnx的圖象相切于點(diǎn)Q(x2,y2),若x2>1,且x2∈(n,n+1),n∈Z,則n=.

同步作業(yè)1.將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品時,需要對原油進(jìn)行冷卻和加熱.如果第xh時,原油的溫度(單位:℃)為f(x)=x2-7x+15(0≤x≤8),則第4h時,原油溫度的瞬時變化率為 ()A.-1 B.1 C.3 D.52.函數(shù)y=lnx的圖象在x=e(e為自然對數(shù)的底數(shù))處的切線方程為 ()A.x+ey-1+e=0 B.x-ey+1-e=0C.x+ey=0 D.x-ey=03.函數(shù)f(x)=x+ax的圖象在x=1處的切線方程為2x-y+b=0,則a+b=A.-3 B.-1 C.0 D.14.已知函數(shù)f(x)=x3+2x2f'(1)+2,則函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(2,f(2))處的切線斜率為 ()A.4 B.12 C.16 D.185.已知函數(shù)f(x)=(x2-a)lnx,f'(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),若f'(1)=-2,則a的值為.

6.日常生活中的飲用水通常都是經(jīng)過凈化的,隨著水純凈度的提高,所需凈化費(fèi)用不斷增加.已知1噸水凈化到純凈度為x%時所需費(fèi)用(單位:元)為c(x)=4015100-x7.曲線y=x3+x+3上任意一點(diǎn)處的切線的傾斜角的取值范圍是.

8.已知f(x)為偶函數(shù),當(dāng)x>0時,f(x)=x+sin(2x-2),則曲線y=f(x)在點(diǎn)(-1,f(-1))處的切線的斜率為 ()A.-3 B.-2C.2 D.39.函數(shù)f(x)=3sinx+4cosx的圖象在點(diǎn)T(0,f(0))處的切線l與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積等于 ()A.43 B.5C.73 D.10.過點(diǎn)P(-1,0)作曲線C:y=ex-1(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))的切線,切點(diǎn)為T1,設(shè)T1在x軸上的射影是點(diǎn)H1,過點(diǎn)H1再作曲線C的切線,切點(diǎn)為T2,設(shè)T2在x軸上的射影是點(diǎn)H2,依次下去,得到第n+1(n∈N*)個切點(diǎn)Tn+1,則點(diǎn)T2020的坐標(biāo)是 ()A.(2019,e2018) B.(2019,e2019)C.(2020,e2019) D.(2021,e2020)11.已知f(x)=23x3-x2+ax-1的圖象上存在兩條斜率為3的不同切線,且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)都大于零,則實(shí)數(shù)a的取值可能為A.196 B.3C.103 D.12.(多選題)若函數(shù)y=f(x)的圖象上存在兩點(diǎn),使得函數(shù)的圖象在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直,則稱y=f(x)具有T性質(zhì),下列函數(shù)中具有T性質(zhì)的是 ()A.f(x)=cosx B.f(x)=lnxC.f(x)=ex D.f(x)=x213.已知曲線y=aex-1繞原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)θ角后與x軸相切,若tanθ=2,則a=.

14.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若曲線y=ax+bx2(a,b為常數(shù))過點(diǎn)P(1,4),且該曲線在點(diǎn)P處的切線與直線x+