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2022-2023學(xué)年湖南省邵陽(yáng)市城天堂中學(xué)高二數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)m,n為兩條不同的直線,α,β為兩個(gè)不同的平面,下列命題中為真命題的是(
)A.若m∥α,n∥α,則m∥n B.若m⊥α,α⊥β,則m∥βC.若m⊥α,α⊥β,則m⊥β D.若m⊥α,m∥β,則α⊥β參考答案:D【考點(diǎn)】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系;平面與平面之間的位置關(guān)系.【專題】空間位置關(guān)系與距離.【分析】利用線面平行、線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理對(duì)選項(xiàng)分別分析選擇.【解答】解:對(duì)于A,若m∥α,n∥α,則m與n平行、相交或者異面;故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,若m⊥α,α⊥β,則m∥β或者m?β;故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,若m⊥α,α⊥β,則m與β平行或者在平面β內(nèi);故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,若m⊥α,m∥β,則利用線面垂直的性質(zhì)和線面平行的性質(zhì)可以判斷α⊥β;故D正確;故選:D.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線面平行、線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理;注意定理成立的條件.2.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,斜率不為0的直線l過(guò)點(diǎn)F1,且交橢圓于A,B兩點(diǎn),則△ABF2的周長(zhǎng)為(
).A.10 B.16 C.20 D.25參考答案:C解:由題意可得,周長(zhǎng):,故選.3.如果執(zhí)行右邊的框圖,輸入N=5,則輸出的數(shù)等于(
)A.
B.
C.D.
參考答案:D略4.,下列各式中與相等的是A. B. C. D.參考答案:D【分析】由誘導(dǎo)公式,可得答案。【詳解】因?yàn)?,所以與相等的是。【點(diǎn)睛】誘導(dǎo)公式的口訣是“奇變偶不變,符號(hào)看象限”。
5.若直線與平面相交與一點(diǎn)A,則下列結(jié)論正確的是()A.內(nèi)的所有直線與異面
B.內(nèi)不存在與平行的直線C.內(nèi)存在唯一的直線與平行
D.內(nèi)的直線與都相交參考答案:B6.一批產(chǎn)品的合格率為90%,檢驗(yàn)員抽檢時(shí)出錯(cuò)率為10%,則檢驗(yàn)員抽取一件產(chǎn)品,檢驗(yàn)為合格品的概率為(
)A.0.81
B.0.82
C.0.90
D.0.91參考答案:B7.在數(shù)列1,1,2,3,5,8,x,21,34,55中,x等于(
)A.11 B.12 C.13 D.14參考答案:C【考點(diǎn)】數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法.【專題】計(jì)算題.【分析】從已知數(shù)列觀察出特點(diǎn):從第三項(xiàng)開(kāi)始每一項(xiàng)是前兩項(xiàng)的和即可求解【解答】解:∵數(shù)列1,1,2,3,5,8,x,21,34,55
設(shè)數(shù)列為{an}∴an=an﹣1+an﹣2(n>3)∴x=a7=a5+a6=5+8=13故選C【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法,是斐波那契數(shù)列,屬于基礎(chǔ)題.8.設(shè)函數(shù),下列結(jié)論中正確的是(
)A.是函數(shù)的極小值點(diǎn),是極大值點(diǎn)
B.及均是的極大值點(diǎn)C.是函數(shù)的極小值點(diǎn),函數(shù)無(wú)極大值
D.函數(shù)無(wú)極值參考答案:C9.一有段“三段論”,推理是這樣的:對(duì)于可導(dǎo)函數(shù),如果,那么是函數(shù)的極值點(diǎn).因?yàn)樵谔幍膶?dǎo)數(shù)值,所以是函數(shù)的極值點(diǎn).以上推理中()A小前提錯(cuò)誤
B大前提錯(cuò)誤
C推理形式錯(cuò)誤
D結(jié)論正確參考答案:B10.從狼堡去青青草原的道路有6條,從青青草原去羊村的道路有20條,狼堡與羊村被青青草原隔開(kāi),則狼去羊村的不同走法有()A.120 B.26 C.20 D.6參考答案:A【考點(diǎn)】D8:排列、組合的實(shí)際應(yīng)用.【分析】根據(jù)題意,分析可得從狼堡去青青草原有6種選擇,從青青草原去羊村有20種選擇,由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案.【解答】解:根據(jù)題意,從狼堡去青青草原的道路有6條,即從狼堡去青青草原有6種選擇,從青青草原去羊村的道路有20條,從青青草原去羊村有20種選擇,則狼去羊村的不同走法有6×20=120種;故選:A.【點(diǎn)評(píng)】本題考查分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用,關(guān)鍵分析題意,將問(wèn)題進(jìn)行分步分析.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知A(2,﹣5,1),B(2,﹣2,4),C(1,﹣4,1),則向量與的夾角等于.參考答案:【考點(diǎn)】數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角.【專題】計(jì)算題.【分析】利用兩個(gè)向量數(shù)量積公式求出=3,再由兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義求出=6cosθ,故有3=6cosθ,解出cosθ的值,再由0≤θ≤π,可得θ的值.【解答】解:=(2,﹣2,4)﹣(2,﹣5,1)=(0,3,3),=(1,﹣4,1)﹣(2,﹣5,1)=(﹣1,1,0),∴=(0,3,3)?(﹣1,1,0)=0+3+0=3.再由||=3,||=,設(shè)向量與的夾角θ,則有=||?||cosθ=3?cosθ=6cosθ.故有3=6cosθ,∴cosθ=.再由0≤θ≤π,可得θ=.故答案為.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義,兩個(gè)向量數(shù)量積公式的應(yīng)用,根據(jù)三角函數(shù)的值求角,屬于基礎(chǔ)題.12.一只螞蟻從棱長(zhǎng)為1的正方體的表面上某一點(diǎn)P處出發(fā),走遍正方體的每個(gè)面的中心的最短距離d=f(P),那么d的最大值是
.參考答案:【考點(diǎn)】多面體和旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問(wèn)題.【分析】欲求d的最大值,先將起始點(diǎn)定在正方體的一個(gè)頂點(diǎn)A點(diǎn),再將正方體展開(kāi),找到6個(gè)面的中心點(diǎn),經(jīng)觀察可知螞蟻爬行最短程為6個(gè)正方體的棱長(zhǎng)+展開(kāi)圖形中半個(gè)正方形對(duì)角線的長(zhǎng).【解答】解:欲求d的最大值,先將起始點(diǎn)定在正方體的一個(gè)頂點(diǎn)A點(diǎn),正方體展開(kāi)圖形為:則螞蟻爬行最短程的最大值S=5+=.故答案為:..【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面展開(kāi)﹣?zhàn)疃搪窂絾?wèn)題,解題關(guān)鍵是找到A點(diǎn)在正方體展開(kāi)圖形中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)及6個(gè)面的中心點(diǎn),有一定的難度.13.已知集合,B={x|log4(x+a)<1},若x∈A是x∈B的必要不充分條件,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.參考答案:答案:(-∞,-3]∪[6,+∞)
解析:由x2-x-6<1,即x2-x-6>0,解得x<-2或x>3,故A={x|x<-2,或x>3};由log4(x+a)<1,即0<x+a<4,解得-a<x<4-a,故B={x|-a<x<4-a},由題意,可知BA,所以4-a≤-2或-a≥3,解得a≥6或a≤-3.略14.如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗實(shí)線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖,則該幾何體的表面積為_(kāi)_.參考答案:由三視圖可幾何體是三個(gè)半正方體構(gòu)成,其表面積有15個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形,1個(gè)邊長(zhǎng)為2、的矩形構(gòu)成,∴幾何體的表面積.
15.=____________.參考答案:
16.甲,乙,丙三人獨(dú)立破譯同一份密碼.已知甲乙丙各自獨(dú)立破譯出密碼的概率分別為,,,且他們是否破譯出密碼互不影響,則至少有1人破譯出密碼的概率是______.參考答案:【分析】設(shè)表示至少有1人破譯出密碼,可得,計(jì)算可得答案.【詳解】解:依題意,設(shè)表示至少有1人破譯出密碼,則的對(duì)立事件表示三人都沒(méi)有破譯密碼,則.故填:.【點(diǎn)睛】本題主要考察對(duì)立事件的概率和獨(dú)立事件的乘法公式,相對(duì)簡(jiǎn)單.17.已知,則
參考答案:略三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟18.已知正項(xiàng)的等比數(shù)列中,首項(xiàng),公比為,前項(xiàng)和為,求參考答案:解:=略19.(本小題滿分14分)設(shè)p:實(shí)數(shù)x滿足,其中,命題實(shí)數(shù)滿足.(1)若且為真,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)若是的充分不必要條件,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.參考答案:(1)由得,又,所以,
………………2分當(dāng)時(shí),1<,即為真時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍是1<.
………………3分
由,得,
………………5分即為真時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍是.
………………6分若為真,則真且真,所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
………………7分
(2)是的充分不必要條件,即,且,
………………9分設(shè)A=,B=,則,又A==,
………………10分B==},
………………11分則0<,且
………………12分所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
………………14分略20.已知四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=1,AB=3,F(xiàn)是PD的中點(diǎn),E是線段AB上的點(diǎn).(1)當(dāng)E是AB的中點(diǎn)時(shí),求證:AF∥平面PEC.(2)當(dāng)AE:BE=2:1時(shí),求二面角E﹣PC﹣D的余弦值.參考答案:【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法;直線與平面平行的判定.【分析】(1)取PC中點(diǎn)G,連結(jié)FG,EG,推導(dǎo)出四邊形AEGF是平行四邊形,從而AF∥EG,由此能證明AF∥平面PEC.(2)以A為原點(diǎn),AB為x軸,AD為y軸,AP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角E﹣PC﹣D的余弦值.【解答】證明:(1)取PC中點(diǎn)G,連結(jié)FG,EG,∵四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,F(xiàn)是PD的中點(diǎn),E是線段AB的中點(diǎn),∴FGDC,AEDC,∴FGAE,∴四邊形AEGF是平行四邊形,∴AF∥EG,∵EG?平面PEC,AF?平面PEC,∴AF∥平面PEC.
解:(2)以A為原點(diǎn),AB為x軸,AD為y軸,AP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,由題意得E(2,0,0),P(0,0,1),C(3,1,0),D(0,1,0),=(3,1,﹣1),=(0,1,﹣1),=(2,0,﹣1),設(shè)平面PCD的法向量=(x,y,z),則,取y=1,得=(0,1,1),設(shè)平面PCE的法向量=(a,b,c),則,取a=1,得=(1,﹣1,2),設(shè)二面角E﹣PC﹣D的平面角為θ,則cosθ===.∴二面角E﹣PC﹣D的余弦值為.21.如圖,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1C1C是邊長(zhǎng)為的正方形,平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.(1)求證:AA1⊥平面ABC;(2)求二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值;(3)在線段BC1上是否存在點(diǎn)D,使得AD⊥A1B?若存在,求出的值,若不存在,說(shuō)明理由.參考答案:【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法;直線與平面垂直的判定;直線與平面垂直的性質(zhì).【分析】(1)證明AA1⊥AC.利用平面ABC⊥平面AA1C1C,且AA1垂直于這兩個(gè)平面的交線AC,推出結(jié)果.(2)以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz,求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),求出平面A1BC1的法向量,平面BB1C1的法向量,利用向量的數(shù)量積求解二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值.(3)設(shè)D(x,y,z)是直線BC1上一點(diǎn),且=.求出=(4λ,3﹣3λ,4λ).通過(guò),求出.推出結(jié)果.【解答】解:(1)因?yàn)锳A1C1C為正方形,所以AA1⊥AC.因?yàn)槠矫鍭BC⊥平面AA1C1C,且AA1垂直于這兩個(gè)平面的交線AC,所以AA1⊥平面ABC.….(2)由(I)知AA1⊥AC,AA1⊥AB.由題知AB=3,BC=5,AC=4,所以AB⊥AC.如圖,以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz,則B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4),=(0,3,﹣4),=(4,0,0)設(shè)平面A1BC1的法向量為=(x,y,z),則,即,令z=3,則x=0,y=4,所以=(0,4,3).同理可得,平面BB1C1的法向量為=(3,4,0),所以cos==.由題知二面角A1﹣BC1﹣B1為銳角,所以二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值為.…(3)設(shè)D(x,y,z)是直線BC1上一點(diǎn),且=.所以(x,y﹣3,z)=λ(4,﹣3,4).解得x=4λ,y=3﹣3λ,z=4λ.所以=(4λ,3﹣3λ,4λ).由,即9﹣25λ=0.解得.因?yàn)椤剩?,1),所以在線段BC1上存在點(diǎn)D,使得AD⊥A1B.此時(shí),=λ=.…22.(本小題滿分14分)如圖,曲線是以原點(diǎn)為中心,為焦點(diǎn)的橢圓的一部分.曲線是以原點(diǎn)為頂點(diǎn),為
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