2023年高考數(shù)學(xué)解析幾何模型練習(xí) 解析版匯編

突破圓錐曲線壓軸小題

思路引導(dǎo)

圓錐曲線的壓軸小題往往與圓的方程、平面向量、解析幾何等知識交回，與實際生活密切相關(guān)，提升

數(shù)學(xué)運(yùn)算，邏輯推理，數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。

母題呈現(xiàn)

類型一圓錐曲線與向量、圓等知識的交匯問題

【例1】（1）（2022?濟(jì)南聯(lián)考）已知橢圓C：宗+，=1（心6>0）的左、右焦點分別是Q（—c,0）,B（G0）,點尸是

橢圓C上一點，滿足IPFl+PFi∣=∣PFl-PFi|,若以點尸為圓心，r為半徑的圓與圓α+c>+

2*2

y=4a,圓（χ-c）2+y2=02都內(nèi)切，其中0vr<α,則橢圓C的離心率為（）

?13√10√15

A.-RB.-rC.----nD.---

2444

【答案】C

【解析】由I*√+PF2'|=|PFι'-PF21兩邊平方,

可得PF；?PB'=0,則PFUPF；,

由已知得毒場：二：即時L叫=α,

∣P∕7ι∣=y.

由IPFll+∣PF2∣=20,得

FF2∣=*

?乙

在aPQ乃中，由IPEI2+∣PBF=IQBF

得肥+且=402,即e2=g=f,所以e=遮.

44a184

⑵（2022?廣州模擬）已知N,8分別為橢圓C：?+產(chǎn)=1的左、右頂點，尸為橢圓C上一動點，PA,PB與直

線x=3交于Al,N兩點，APMN與ARlB的外接圓的周長分別為∕∣,/2,則F的最小值為（）

/2

A?

c.-

4°.；

【答案】A

【解析】由已知得，(一2,0),5(2,0),設(shè)橢圓C上動點P(x,歷,

則利用兩點連線的斜率公式可知始=曰，kPB=g,

x+2χ-2

1_

...J-OLO.一Fy2^_1

2

x÷2x~2(x÷2)(χ-2)%—4χ2-44

設(shè)直線RI的方程為y=Z(x+2),

則直線尸8的方程為尸一~?x—2),

4k

根據(jù)對稱性設(shè)心0,

令x=3,得yu=5k,yκ=——,

l4k

即M3,54),m-?),貝∣J∣Λ^=5%+L?

4k4k

設(shè)APMN與∕?PAB的外接圓的半徑分別為n，r2,

由正弦定理得2n

SinNMPN'SinN/PB'

?/NMPN+NAPB=180°,：.smZMPN=sinZAPB,

：&=迎=Ugk+匕巾￡更.

h2πr2r2?AB?444

當(dāng)且僅當(dāng)%=3,即A=彎時，等號成立，

4k10

即乙的最小值為立.

h4

【方法總結(jié)】

高考對圓錐曲線的考查，經(jīng)常出現(xiàn)一些與其他知識交匯的題目，如與平面向量交匯、與三角函數(shù)交匯、與

不等式交匯、與導(dǎo)教交匯等等，這些問題的實質(zhì)是圓錐曲線問題.

【針對訓(xùn)練】(1)(2022?深圳模擬)F∣,乃分別為雙曲線C：X2—?=1的左、右焦點，過Q的直線/與C的左、

右兩支曲線分別交于Z,8兩點，若則或?不等于()

A.4-2√3B.4+√3C.6~2√5D.6+2√5

【答案】C

【解析】在雙曲線C中，a=?,6=也，c=3,

則尸∣(-N5,0),F2(√3,0),

因為直線/過點Q,由圖知，直線/的斜率存在且不為零，

因為∕±F25,則AFiBFz為直角三角形，

可得”評+∣3B∣2=內(nèi)尸2?=12,

由雙曲線的定義可得|2尸1|一|8/囹=2,

22

所以4=(∣8FII-IBBI)?=∣B*∣+?BF2?-2?BF↑∣?∣5F2∣=12-2∣5Fι∣??BF2?,

可得BHBF2∣=4,

∫∣防LlM2∣=2,

聯(lián)立,

UBBl?∣8B∣=4,

解得|8/囹=班一1,

因此或?奇=(&+∑T)?疫=用2+次?疫

=(√5-l)2=6-2√5.

(2)(多選)(2022?德州模擬)已知橢圓C：(+捻=1(0<*貼)的左、右焦點分別為Q,F2,點P在橢圓上，點。

是圓χ2+g-4)2=l關(guān)于直線χ-y=O對稱的曲線E上任意一點，若|P。LIPF2∣的最小值為5—2#,則下列

說法正確的是()

A.橢圓C的焦距為2

B.曲線E過點￡的切線斜率為Q后

3

C.若48為橢圓C上關(guān)于原點對稱的異于頂點和點P的兩點，則直線刃與P8斜率之積為一:

D.∣P0∣+『乃|的最小值為2

【答案】BC

【解析】圓》2+8-4)2=1關(guān)于直線工一卜=0對稱的曲線為以(7(4,())為圓心，1為半徑的圓，

即曲線E的方程為(x—4)2+/=1,

由橢圓定義有IP尸ι∣+∣PBI=20=24,

?PQ?-?PFι?=?PQ?-(2yf5—∣PQI)

=|尸Q∣+∣PB∣—F,∣-2√5.

由圖知。'（3,0）,

?Q'F∣∣-2√5=3+c-2√5=5-2√5,

解得c=2,6=1,

橢圓方程為（+V=I.

故焦距IaBI=2c=4,A錯誤；

I尸01+1尸尸2|冽0'F2∣=3-C=1,D錯誤；

設(shè)曲線E過點乃的切線斜率為k,

則切線方程為kχ-2k-y=0,

由圓心到切線方程的距離等于半徑得也答二5=1,

√1+Λ2

設(shè)P（X0,yd）9A（xι9?i）,5（—Xi,~?i）,

則如如亭田，

Xl-XO-Xl-XOXT-Xo

又點尸，A,8都在橢圓上，即個+兄=1,

F+y=ι=牛W=TC正確.

5XT-XO5

類型2圓錐曲線與三角形“四心”問題

【例2】⑴（2022?蘇州聯(lián)考）已知雙曲線C：4~?=l（α>0,6>0）的左、右焦點分別是尸ι,F2,點尸是雙曲

azD1

線C右支上異于頂點的點，點，在直線x=α上,且滿足麗=2（空+萼）"∈R.若5壽+4HF；+3HF；

I困圈

=0,則雙曲線C的離心率為（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【解析】由麗=入”_+”），λ∈R,

固同

則點4在NFIPF2的角平分線上，

由點H在直線x=α上，則點，是aPAF2的內(nèi)心，

由5HP+4HFz+3HF；=0,

由奔馳定理（已知P為AABC內(nèi)一點，則有SgBC?眉+品用c?兩+SA*1=0）知,

S△附與?SAHFpSAHFF-5.4.3,

即為/國卜廠：^PF??-r:^∣PF2∣T=5：4：3,

則IaBl：IPaI：IPBI=5：4：3,

設(shè)IaF2∣=52,?PFi?=4λ,?PF2?=3λ,

則IaF2∣=2C=54,

即c=y,?PFι?-?PF2?=2a=λ,

即a--,則e=~=5.

2a

2

(2)(2022?江蘇百師聯(lián)盟聯(lián)考)過拋物線C：x=2py(p>0)上點”作拋物線。：_/=4x的兩條切線∕ι,I2,切點

分別為P，。，若AMPO的重心為Gq,3),則P=.

【答案】?

【解析】設(shè)Λ∕(χo,≡2-),P(x?,yι),Q(X2,yι),

設(shè)過點M的直線方程為x=∕(%t-%-)+xo,①

2

與y=4x聯(lián)立得y2=4?y-%!_)+4x0,

即爐一4)+緲一以0=0,②

P

由題意知/=16及一4(型1_4XO)=O

P

即2pt2—xit~?~2pxo=O,

則小+上=型，力72=XO(介,力分別表不/1,，2斜率的倒數(shù)),

2P

由于方程②/=0,則其根為y=2r,

當(dāng)E=El時，y?=2t?,當(dāng)z=∕2時，玖=2勿，

■：/XMPQ的重心為G(l,∣),

...漁+y]Jt-y2=—+2(∕∣+∕2)

2p2。

=總+2X員=MA③

2p2p2p2

而x\+x2=t\(y]——2-)÷XO+∕2(J∕2-+祀

=2(g+6)-獨(fi+f2)+2xo

2。

=2[(Λ+t2)2—2t?t2]-----(∕ι÷/2)÷2xo

2p

=2(粉FL■+為=居-2xo?

.*.Xθ+xi÷X2≈^~~XO-3,④

4p~

聯(lián)立③④得P=&.

16

【方法總結(jié)】圓錐曲線中面積、弦長、最值等幾乎成為研究的常規(guī)問題.但“四心”問題進(jìn)入圓錐曲線后,

讓我們更是耳目一新.在高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，通過研究三南形的“四心”與圓錐曲線的結(jié)合問題，快速提高

數(shù)學(xué)解題能力.

【針對訓(xùn)練】⑴(2022?南京外國語學(xué)校模擬預(yù)測)已知R(—1,0),F2(I5O),M是第一象限內(nèi)的點，且滿

足MEll+1ME2∣=4,若/是匹的內(nèi)心，G是國的重心，記4∕F∣B與AGaM的面積分別為S,

52,貝∣J()

A.S?>S2B.SI=S2

C.Sl<S2D.Sl與S2大小不確定

【答案】B

【解析】因為IMFll+1MF2∣=4>∣回B∣=2,

所以”的軌跡是橢圓^+迷=1在第一象限內(nèi)的部分，如圖所示.

43

因為/是△〃/IB的內(nèi)心，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為廠,

所以(IMFlI+1MF2∣+∣BF2|)/|人尸2h?∕

22'

所以,?=地，所以S=回皿=雙，

323

又因為G是aMFiB的重心，

所以O(shè)G:GM=I：2,

21

所以S?=]S4MOF?=§S4F[MF?

3F號所以Sf?

(2)(2022?湖北?荊州中學(xué)模擬預(yù)測)在平面直角坐標(biāo)系電中，雙曲線C∣:三一E=l(α>O,於0)的漸近線

a1b~

與拋物線G：χ2=2py(p>0)交于點O,A,B,若aONB的垂心為C2的焦點，則G的離心率為

【答案】-

2

【解析】設(shè)ON所在的直線方程為y=4,

a

則。8所在的直線方程為歹=一4,

b1=邊

y=-χ,

解方程組,°得產(chǎn)絆,

χ*2=2py,

所以點/的坐標(biāo)為(型,蚱)，

拋物線的焦點F的坐標(biāo)為(0,5).

因為F是a0∣8的垂心，所以如8此F=-1,

,型L_2,2S

所以一一(a?2)——1=>^-=-.

a'2pb,a-4

所以e2=g=ι+與=9,解得e=3.

a2a242

類型3圓錐曲線在生活中的應(yīng)用

【例3】(1)(2022?湛江質(zhì)檢)根據(jù)圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，

反射光線的反向延長線過雙曲線的另一個焦點.由此可得，過雙曲線上任意一點的切線，平分該點與兩焦

點連線的夾角.請解決下面問題：已知H,B分別是雙曲線C：/一￡=i的左、右焦點，若從點乃發(fā)出的

光線經(jīng)雙曲線右支上的點/(xo,2)反射后，反射光線為射線ZM,則NFMM的角平分線所在的直線的斜率為

()

A.-√3B.-亞C.也D.√3

33

【答案】B

【解析】由已知可得N(Xo,2)在第一象限，

將點力的坐標(biāo)代入雙曲線方程可得與一4=1,

2

解得xo=3,所以4(3,2),

又由雙曲線的方程可得“=1,b=?∣2,

所以C=布,則尸2(3,0),

所以MBl=2,且點43都在直線x=√5上，

又IoQi=IOBI=√5,

所以tan∕FL=回國=氈?=3,

?AFι?2

所以/a/B=60。，

設(shè)NFMΛ7的角平分線為AN,

則NF2AN=(180°—60°)XB=60°,

所以/尸的角平分成所在的直線AN的傾斜角為150°,

所以直線的斜率為tan150°=--.

3

(2)(2022?莆田華僑中學(xué)模擬預(yù)測)第24屆冬奧會，是中國歷史上第一次舉辦的冬季奧運(yùn)會，國家體育場(鳥

巢)成為北京冬奧會開、閉幕式的場館.國家體育場“鳥巢”的鋼結(jié)構(gòu)鳥瞰圖如圖1,內(nèi)外兩圈的鋼骨架是

離心率相同的橢圓，若由外層橢圓長軸一端點4和短軸一端點8分別向內(nèi)層橢圓引切線/C,如圖2),

且兩切線斜率之積等于-2,則橢圓的離心率為()

圖1圖2

【答案】B

22

【解析】若內(nèi)層橢圓方程為q+±=l(α>b>0),由離心率相同，可設(shè)外層橢圓方程為

α1bz

X2Iy2

l(∕w>l),

(ma)2(mb)2

.,./(—ma,。)，8(0,mb),

設(shè)切線ZC為y=k?(x+fna),

切線BD為y=kvc+mb,

y=k↑(χ-?-ma),

整理得(a2?τ+b2)x2+2nιa3k^x+m2a4l^-a2b2=0,

由/=0知

(2ma3lc↑)2—4(/6+b2)(m2a4∣d—a2b2)—0,

整理得好=與一—，

a1m-1

y=k2x+mb,

同理，起+且=]

a2b1

可得扃=~7（機(jī)2—1）,

aL

【方法總結(jié)】圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)、新定義問題、圓錐曲線的應(yīng)用等內(nèi)容在高考占一席之地.研究圓錐曲

線的光學(xué)性質(zhì)、新定義問題、圓錐曲線的應(yīng)用等相關(guān)問題，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的應(yīng)用性.

【針對訓(xùn)I練】⑴（2022?德州市教育科學(xué)研究院二模）如圖所示，橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個焦

點出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點.根據(jù)橢圓的光學(xué)性質(zhì)解決下題：已知曲

線C的方程為/+4y2=4,其左、右焦點分別是Q,F2,直線/與橢圓C切于點P,且IpQI=1,過點尸且

與直線/垂直的直線/'與橢圓長軸交于點Λ/,則IaM:r2M等于（）

A.√2:√3B.1：√2

【答案】C

【解析】由橢圓的光學(xué)性質(zhì)得直線/'平分NFIPF2,

因為S4PMF?=IFlM

S4PMF?i底陽

#QIIPMSin/QPMIPEl

1IPF?!'

^PF2??PM?smZF2PM11

由IPFlI=1,∣PFI∣+∣PF2∣=4得IPF2∣=3,

故IFlM：L=I：3.

（2）（2022?東北育才學(xué)校二模）一個工業(yè)凹槽的軸截面是雙曲線的一部分，它的方程是V-X2=ι,y∈[i,i0],

在凹槽內(nèi)放入一個清潔鋼球（規(guī)則的球體），要求清潔鋼球能擦凈凹槽的最底部，則清潔鋼球的最大半徑為

（）

_____________

A.1B.2C.3D.2.5

【答案】A

【解析】清潔鋼球能擦凈凹槽的最底部時，軸截面如圖所示,

圓心在雙曲線的對稱軸上，且圓與雙曲線的頂點相切，設(shè)半徑為r,圓心為(O,r+l),

圓的方程為x2÷(y-r—l)2=r2,

代入雙曲線方程/一χ2=l,

得y2—(r+l)y+r=0,...y=1或y=r,

要使清潔鋼球到達(dá)底部，即，?WL

模擬訓(xùn)練

22

1.(2023?陜西榆林?陜西省神木中學(xué)?？寄M預(yù)測)已知雙曲線C：T-1=l(a>0,6>0)的左、右焦點分

別為不F2,點P在雙曲線C的右支上，且ISI=4∣P閭，雙曲線C的一條漸近線方程為y=?x,則左的最

大值為()

4433

A.-B.—C.-D.—

3344

【答案】A

【分析】根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，6、瑪和尸共線時取等號，列出〃，C的不等式即可.

【詳解】???∣P4∣=4∣P周，IPGTP閨=2%

???∣PF2∣=?∣α"G∣=+

??，|P用+∣%∣≥即J

5

.,.c≤-a

3

.?.b2=c2-a2≤-a2

9

b44

Λ-≤7即％的最大值為:

a33

故選：A.

2.（2023?河南洛陽?洛陽市第三中學(xué)校聯(lián)考一模）已知雙曲線C：￡-《=l（a>0力>0）的左、右焦點分別為耳,

a~b

名，力是雙曲線C的左頂點，以耳名為直徑的圓與雙曲線C的一條漸近線交于P,Q兩點,且萬?而=-4α"

則雙曲線C的離心率為（）

A.√2B.√3C.√5D.2

【答案】C

【分析】方法一：根據(jù)已知條件分別表示出點/、P、0的坐標(biāo)，代入后?而=T/可得b與。的關(guān)系式,

再由/+〃=Y及離心率公式可求得結(jié)果.

方法二：運(yùn)用極化恒等式及向量的加法、減法法則計算可得結(jié)果.

【詳解】方法-：依題意，易得以百用為直徑的圓的方程為N?+/='?.

又由雙曲線uW-±l（α>0,…），易得雙曲線C的漸近線方程為y=±2χ.

a-b-a

y=—x[x=afx=-a

聯(lián)立,a,解得人或,所以尸(。/)，Qa

2

√+∕=cS卜=-6

又因為4(-4,0),所以IX軸.

所以IA=（24,6）,AQ=（0,-b）AQ=-h2=-4a2,所以6=2α.

因為/+從=。2,所以5∕=C2

同理，當(dāng)y=-2χ時，亦可得5r=C?.

a

故雙曲線C的離心率為e=￡=Jr

a

故選：C.

方法二（極化恒等式）：易得坐標(biāo)原點。為線段PQ的中點，且IP01=2c,

所以萬?而=（[（萬+而）2-（萬-而）2]=（（∣2而--I萬F）=∕-c2=γα2,所以5°2=c2,所以

β=-=?χ∕5.

a

故選：C.

3.（2023?河南?洛陽市第三中學(xué)校聯(lián)考一模）已知過橢圓Uf+片=1的上焦點尸且斜率為上的直線/交橢

2

圓C于48兩點，。為坐標(biāo)原點，直線分別與直線y=2相交于",N兩點.若NMoN為銳角，則直線

/的斜率％的取值范圍是（）

r√∣√2、

A.（-∞,-l）u（l,+∞）B.

2'2

7

V（1，+8）

d.（-.-1）4-ff]

【答案】D

【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出焦點坐標(biāo)，利用直線的斜截式方程設(shè)出直線的方程，將直線方程與橢圓

方程聯(lián)立，再利用韋達(dá)定理及兩直線相交聯(lián)立方程組求出交點坐標(biāo)，結(jié)合已知條件、點在直線上及向量的

數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.

【詳解】由題意可知,/=2,∕=1,所以/=/-/=],

所以橢圓C:/+1=1的上焦點為尸（0,1）,

設(shè)直線/的方程為^=去+1,/（菁,弘）,5伍,以2），

y=Ax+1,

聯(lián)立2y2_消去得（2+公卜2+2日T=O

XH-1.

2

-2k-1

所以％+x=

22+公,X1X227F,

由題設(shè)知，所在的直線方程為N=21X.

再

因為直線04與直線＞=2相交于點M,

所以例（牛,2）；

因為NMON為銳角,

所以麗?麗＞0，

4xx4XX

所以麗.麗■+4=?l2+4=12+N

y^2(Axl+1)(AX2÷1)必xlx2+&$+xj+1

-1

4×

2土丈----------+4=2

∕2χ-1+-3+1"I

Ac^、

2+?22+k2

即竺二＞0,解得：公＜1或％2＞ι,

Ar2-I2

所以-也＜k＜旦,或%＞1，或左＜一1.

22

故直線/的斜率上的取值范圍是(-8,T)D-#,玄卜(1,+8).

故選:D.

4.(2023?河南?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知點尸是拋物線C:f=4y的焦點，過尸的直線/交拋物線C于不同的兩

點”，N,設(shè)標(biāo)=2麗，點0為MV的中點，則。到X軸的距離為()

5_77

B.-C.-D.一

434

【答案】B

【分析】根據(jù)給定的拋物線，設(shè)出點“，N的坐標(biāo)，利用標(biāo)=2麗求出點M，N的縱坐標(biāo)和即可求解作

答.

2222

【詳解】依題意，點尸(0,1),設(shè)點初`ɑd),N(X2，蜘，則礪=(-x∣,l-?),麗=(X2,∕T),

X2

由礪=2麗得：-X1=2X2,↑--=^--2,解得；=2,X1=8,

1Y2Y2S

因此點0的縱坐標(biāo)為夕爭號)=；,

所以。到X軸的距離為

故選：B

5.(2023?湖南?模擬預(yù)測)希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)："平面內(nèi)到兩個

定點48的距離之比為定值4(λ≠l)的點的軌跡是圓”.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波

羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系XQy中，4(-4,1),8(-4,4),若點P是滿足4=g的阿氏圓上

的任意一點，點。為拋物線C:/=I6X上的動點，。在直線x=-4上的射影為R,則∣P8∣+2∣PQ∣+2∣QR∣的

最小值為（）

A.4√5B.8√5C.返D.2√65

2

【答案】D

【分析】先求出點P的軌跡方程，再結(jié)合阿波羅尼斯圓的定義及拋物線的定義可得

?PB?+2?PQ?+2?QR?=2?PA?+2?PQ?+2?QF?,從而可得出答案.

【詳解】設(shè)P（XM，

則尸"一4"4『+壯7『一L

PBJ（x+41+（y-4）22

化簡整理得（x+4p+V=4,

所以點P的軌跡為以（-4,0）為圓心2為半徑的圓,

拋物線C-.y2=]6x的焦點廠（4,0）,準(zhǔn)線方程為X=-4,

則?PB?+2?PQ?+2?QR?=2?PA?+2?PQ?+2?QF?

=2（∣Λ4∣+∣P0∣+∣0尸∣）≥2∣Z刊=2病,

當(dāng)且僅當(dāng)4尸,0,尸（P,。兩點在4尸兩點中間）四點共線時取等號,

所以∣P8∣+2∣尸01+2IQRl的最小值為2相.

6?（2023?廣東梅州?統(tǒng)考一模）由倫敦著名建筑事務(wù)所S憩師Sfvdi。設(shè)計的南非雙曲線大教堂驚艷世界，該建

筑是數(shù)學(xué)與建筑完美結(jié)合造就的藝術(shù)品.若將如圖所示的大教堂外形弧線的一段近似看成雙曲線^F^1

a

（α>0,?>O）下支的部分，且此雙曲線兩條漸近線方向向下的夾角為60。，則該雙曲線的離心率為（）

【答案】D

【分析】根據(jù)已知結(jié)合雙曲線兩條漸近線對稱關(guān)系可得片》的傾斜角為6。。，即Atan6。。3,則

22222

b=-a則C?=a+b=-a即可得出雙曲線的離心率為

33

【詳解】雙曲線K-W=I（α>0,b>0）的漸近線的方程為y=±fx,

abb

雙曲線兩條漸近線方向向下的夾角為60。，

根據(jù)雙曲線兩條漸近線對稱關(guān)系可得y=fX的傾斜角為60°，

D

貝∣jg=tan6（Γ=√J,則

b3

.?.c1=a^+b2=-α2,

3

fΓ7

則該雙曲線的離心率為e=￡=3a=也，

a?a23

故選：D.

7.（2022?山東聊城,統(tǒng)考三模）2021年4月12日，四川省三星堆遺址考古發(fā)據(jù)3號坑出土一件完整的圓口

方尊，這是經(jīng)科學(xué)考古發(fā)據(jù)出土的首件完整圓口方尊（圖1）.北京冬奧會火種臺"承天載物"的設(shè)計理念正是

來源于此，它的基座沉穩(wěn)，象征"地載萬物"，頂部舒展開翩，寓意迎接純潔的奧林匹克火種，一種圓口方尊

的上部（圖2）外形近似為雙曲線的一部分繞著虛軸所在的直線旋轉(zhuǎn)形成的曲面，該曲面的高為50cm,上

口直徑為TCm,下口直徑為25cm,最小橫截面的直徑為20cm,則該雙曲線的離心率為（）

圖1圖2

7713

A.-B.2C.一D.—

435

【答案】D

【分析】設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為l（tz>0,?>0）,利用已知條件確定4,6的值，即可求解

2

V

z

->O

【詳解】設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為二-

?2

a^

則由題意最小橫截面的直徑為20cm,可知α=10,

設(shè)點"停-50?（，>0），

則空LJl空一（"5%

900h2,400h2

解得f=32,6=24,

故選：D

8.（2022?四川成都?樹德中學(xué)?？寄M預(yù)測）雙曲線的光學(xué)性質(zhì)為①：如圖，從雙曲線右焦點名發(fā)出的光

線經(jīng)雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點6.我國首先研制成功的"雙曲線新聞燈”，就是利

用了雙曲線的這個光學(xué)性質(zhì).某"雙曲線燈”的軸截面是雙曲線一部分，如圖②，其方程為

W-與=1（“>0,6>0）,F1,行為其左右焦點，若從右焦點心發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線上的點N和點8反射后,

ab“

【答案】B

t分析】設(shè)“用=機(jī)，M居|="（機(jī)>0,〃>0）,根據(jù)題意可得MM=g機(jī)，求得忸用、|明|,進(jìn)而求出加（用

4表示），然后在八4片鳥中，應(yīng)用勾股定理得出a、C的關(guān)系，求得離心率.

【詳解】連接"；、BK,易知月、A、。共線，6、B、C共線，

設(shè)|力用二加,?AF^=n[m>0,〃>0),

3AF

tanNABFl=tan(l80"—NABC)=-tanZ.ABC=x,所以，

由勾股定理可得?BFlI=y∣?AFl[+?ABf=??

*-?AF=Ia

由雙曲線的定義可得《1

BFl-?BF2=Ia

因為N耳Zg=I80°-NBNQ=90°,

由勾股定理可得Hκf+∣∕鳥『=|月8|2,即(3")2+A2=(2C)2,即4C2=10∕,

?■C——?

a2

故選：B.

9.(2022?湖北省直轄縣級單位?湖北省天門中學(xué)?？寄M預(yù)測)已知共焦點的橢圓和雙曲線，焦點為4，F(xiàn)1,

記它們其中的一個交點為P,且NlP￡=120。，則該橢圓離心率，與雙曲線離心率/必定滿足的關(guān)系式為

()

1331

A.—CiH—e)=1B.—C.2H—c2=1

41424142

3113

C---7----T=1D---TH----7=1?

?4e；4e}'4e；4e,

【答案】C

【分析】設(shè)橢圓的長半軸長為6,雙曲線的半實軸長的,焦距2c,根據(jù)橢圓及雙曲線的定義可以用卬,電表

31

示出IP耳尸聞,在中根據(jù)余弦定理可得到初+行的值.

【詳解】如圖，設(shè)橢圓的長半軸長為％,雙曲線的半實軸長為的，

則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義IsI+1PEI=2%,∣S∣-∣P瑪|=2%，???∣「耳|=%+%，但國=4-。2,

2TT

設(shè)由用=2c,N用有=?y,

22

則在△?￡與中由余弦定理得4°2=(α,+α2)÷(a1-a2)-2(a1+a2)(α1-a2)cos-y,

31

，化簡3a；+?2=4c',該式變成Z/+7/=L

故選：C.

10.（2022?河北唐山?統(tǒng)考三模）阿基米德在他的著作《關(guān)于圓錐體和球體》中計算了一個橢圓的面積.當(dāng)

我們垂直地縮小一個圓時，我們得到一個橢圓，橢圓的面積等于圓周率乃與橢圓的長半軸長與短半軸長的

22

乘積，己知橢圓C:*■+*=lm>6>0）的面積為6√Σ;r，兩個焦點分別為耳,馬，點尸為橢圓C的上頂點.直

Q

線N=丘與橢圓C交于48兩點，若P4P8的斜率之積為則橢圓C的長軸長為（）

A.3B.6C.2√2D.4√2

【答案】B

【分析】由題意得到方程組必=6√Σ①和與=：②，即可解出“、b,求出長軸長.

u9

【詳解】橢圓的面積S=Trab=6Λ∕ΣTΓ，即αb=6j∑①.

因為點尸為橢圓C的上項點，所以尸（0））.

,>222

因為直線N=丘與橢圓C交于4B兩點，不妨設(shè)4（"],〃），則8（-%-〃）艮%+%=1,所以wj2=/-W

因為4,PS的斜率之積為-《，所以之心.士^=-：,把/=/_4代入整理化簡得：<=[②

9m-m9b~Q-9

①②聯(lián)立解得：α=3,6=2√L

所以橢圓。的長軸長為2a=6?

故選：B

11.（多選題）（2023?浙江嘉興?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓。：蘭+廿=1,4，4分別為橢圓C的左右頂點，

43

B為橢圓的上頂點.設(shè)M是橢圓C上一點，且不與頂點重合，若直線48與直線4〃交于點尸，直線與

直線4B交于點。，則（）

A.若直線與4〃的斜率分別為勺，k2,則匕

B.直線尸。與X軸垂直

C.?BP?=?BQ?

D.?MP?=?MQ?

【答案】ABC

【分析】設(shè)M（X/）,由斜率公式及點在橢圓上可得占我判斷A,聯(lián)立荏線的方程求出。、P坐標(biāo)，由條件

可得XP=%即可判斷B,求出尸。中點在y=√i上，即可判斷CD.

【詳解】如圖，

設(shè)M(XJ),則VVV23∣1^7I3)故A正確;

K-K=------------=T——=-??--------=——

'12x+2x-2X2-4X2-44

-4?,+2√3

x=------------Γ=r~

y=ki(x+2)

直線4M的方程為＞=用（x+2）,直線48的方程為y=_@x+百，聯(lián)立?2?1+√3

廳-"x+0得'

4√3?,

2y=----------/=

2/+v?

即。（第?M

I-------F2yfiI—

同理可得《簽等??.3U-,,4A?+2?√3k、2.?3—4A^.

,因為匕/2=-^，所以三:—H=-3-----I=NT—不，所以％=X0，

42k,-√3?__fj2A,+√3”

2k、

則宜線PQ?X軸垂直，故B正確；

3√3

=&+4=史史"@=25故尸。的中

同理L所以孫+為

2?=TF=ΞΓ%,

2k)-73_?—?/?2k、+732?+√32?,+√32?,+√3

一需一l

點在直線y=√i上，故C正確；D錯誤,

故選：ABC.

12.（多選題）（2023?山西?校聯(lián)考模擬預(yù)測）過拋物線C：/=4X的焦點尸的直線交該拋物線于48兩點,

。為坐標(biāo)原點，則下列判斷正確的是（）

A.AO48可能為銳角三角形

B.過點M(0,1)且與拋物線C僅有一個公共點的直線有2條

C.若H尸I=3,則力08的面積為逑

D.M/I+2忸口最小值為3+2√Σ

【答案】CD

UUlUUJl

【分析】對于A：聯(lián)立直線月8與拋物線C的方程，由韋達(dá)定理得必為=-4,X1X2=1,從而得到。4中8<0,

由此判斷即可；對于B：判斷得點M(0,1)在拋物線C外，由此得以判斷；對于C：利用拋物線的定義可求

得42,2√Σ),進(jìn)而求得從而根據(jù)LoB=gIOF∣?I%I即可判斷；對于D：利用拋物線的

2

定義得到|/日+2怛尸|=3+七+—,從而利用基本不等式即可判斷.

【詳解】對于A：因為拋物線C：∕=4χ的焦點為R所以尸。,0),

設(shè)4(x∣,yJ,B(X2，必)，/8方程為x=my+l,

?x=my+1,.v2v2

由〈2,>得_/_4碎y-4=°,所以乂H=-4，XX,=21,22.=1,

[y=4x44

04-OB=xtx2+j^ly2=-3<0,所以N4O8為鈍角，故A錯誤；

對于B：因為對于∕=4x,當(dāng)X=O時，y=0,

所以Λ∕(0,l)在拋物線C外，顯然過Λ∕(0,l)與拋物線C相切的直線有2條，

當(dāng)此直線與X軸平行時，與拋物線C也是僅有一個公共點，

所以過點”(0,1)且與拋物線C僅有一個公共點的直線有3條，故B錯誤；

對于C：當(dāng)∣4r∣=3時，設(shè)4(x”片),則Xo+1=3,

.?.x0=2,j>0=±2√2,即/(2,±2√Σ),不妨設(shè)4(2,2五)，

此時二°=五，故方程為應(yīng)

kAB=2'2/12y=2(x-l),

2—1

聯(lián)立拋物線Cy2=4x,解得

所以SmB=可?舊一如=芋，故C正確；

對于D：由選項A知XlX2=1，且占>0,

所以∣4r∣+2忸/I=1+++=3+2√2,

2-

當(dāng)且僅當(dāng)王=—,即西=JrΣ時，等號成立，故D正確.

xI

故選：CD.

13.（多選題）（2023?山東?濰坊一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知雙曲線C:5-/=］和圓尸i+（y_3）2=∕（r>o）,

則（）

A.雙曲線C的離心率為逅

2

B.雙曲線C的漸近線方程為x±2y=0

C.當(dāng)廠=指時，雙曲線C與圓尸沒有公共點

D.當(dāng)廠=2a時，雙曲線C與圓尸恰有兩個公共點

【答案】ACD

【分析】根據(jù)雙曲線方程求出離心率與漸近線方程，即可判斷A、B,求出圓心到漸近線的距離，即可判斷

C,設(shè)雙曲線C上的點。的坐標(biāo)為（Xj）,去示出,PQ的距離，即可得到圓心P