學(xué)考專題09 平面向量（解析版）

學(xué)考專題09平面向量考點(diǎn)歸納考點(diǎn)歸納向量的概念相等向量：大小相等，方向相同相反向量：大小相等，方向相反單位向量：模長(zhǎng)為1的向量零向量：長(zhǎng)度為0，方向任意，規(guī)定：0向量與任意向量平行（垂直）共線向量：平行向量向量的加減法（1）向量加法的三角形法則，平行四邊形法則+=+=（2）向量的減法向量的運(yùn)算兩點(diǎn)間的向量坐標(biāo)公式：，，終點(diǎn)坐標(biāo)始點(diǎn)坐標(biāo)向量的加減法，，向量的數(shù)乘運(yùn)算，則：向量的模，則的模相反向量已知，則；已知單位向量向量的數(shù)量積向量的夾角向量的投影向量的平行關(guān)系向量的垂直關(guān)系向量模的運(yùn)算真題訓(xùn)練真題訓(xùn)練一、單選題1．（2023·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）化簡(jiǎn)：（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.【詳解】根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則，可得.故選：D.2．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）在平行四邊形ABCD中，（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量的加減法法則可求出結(jié)果.【詳解】在平行四邊形中，．故選：B．3．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）在四邊形ABCD中給出下列四個(gè)結(jié)論，其中定正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算法則對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.【詳解】對(duì)于A，，故A不正確；對(duì)于B，，故B不正確；對(duì)于C，因?yàn)?，而不一定相等，所以C不正確；對(duì)于D，，故D正確.故選：D.

4．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）在△ABC中，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算即可得出答案.【詳解】解：.故選：D.5．（2023·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）已知向量，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示求解作答.【詳解】因?yàn)橄蛄?，，則故選：C6．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知向量，，若，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)向量平行的運(yùn)算規(guī)則計(jì)算x，再根據(jù)向量的加法法則求解.【詳解】，，.故選：A.7．（2023·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式直接進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)椋裕蔬x：A8．（2023·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）已知平面向量，，且，則（

）A． B．2C．1 D．0【答案】B【分析】根據(jù)平面向量垂直的坐標(biāo)表示可得答案.【詳解】因?yàn)椋?，可?故選：B.9．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）在中，，為（

）A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．等邊三角形【答案】A【分析】根據(jù)向量數(shù)量積為0可得，即可得出結(jié)論.【詳解】解：因?yàn)?，所以，則在中，，，所以為直角三角形.故選：A.10．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知向量，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式和向量模的坐標(biāo)運(yùn)算公式進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】由題意得，.

故選：C11．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知向量，則（）A．(4，3) B．(5，1)C．(5，3) D．(7，8)【答案】B【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算即得.【詳解】∵，∴．故選：B.12．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）設(shè)都是單位向量,且,則向量,的夾角等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)等式將移到另一端,兩邊同時(shí)平方,由都是單位向量可求出,的夾角.【詳解】解析:由,可知,故,∴.設(shè),的夾角為,即,又,∴.故選::A13．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知向量，則=（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由向量加法的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算．【詳解】由題意，故選：B．14．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知向量，，若，則銳角α為（

）A．30° B．60° C．45° D．75°【答案】A【分析】利用向量平行列方程，即可求出銳角α.【詳解】因?yàn)椋詓in2α，∴sinα＝±．又α為銳角，所以α＝30°．故選：A15．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知平面向量，且，則（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】D【分析】由等價(jià)于，即可計(jì)算出答案.【詳解】因?yàn)?，所以解得：，故選：D.16．（2023·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）已知平面向量，且，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平面向量的共線的坐標(biāo)表示，列出方程，即可求解.【詳解】由向量，因?yàn)?，可得，解?故選：A.17．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知向量，不共線，若，，，則（

）A．A，B，C三點(diǎn)共線 B．A，B，D三點(diǎn)共線C．A，C，D三點(diǎn)共線 D．B，C，D三點(diǎn)共線【答案】B【分析】利用向量的線性運(yùn)算、向量的共線的充要條件進(jìn)行求解判斷.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，，若A，B，C三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)使得，則，無(wú)解，所以A，B，C三點(diǎn)不共線，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，∵，∴，又∵A是公共點(diǎn)，∴A，B，D三點(diǎn)共線，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，，所以，若A，C，D三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)使得，又，所以，無(wú)解，所以A，C，D三點(diǎn)不共線，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若B，C，D三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)使得，又，，所以，無(wú)解，所以B，C，D三點(diǎn)不共線，故D錯(cuò)誤；故選：B.二、填空題18．（2023秋·廣東佛山·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知向量，若，則．【答案】【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示以及向量的線性運(yùn)算列出方程，即可解出．【詳解】因?yàn)椋杂煽傻?，，解得．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是熟記平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，設(shè)，，注意與平面向量平行的坐標(biāo)表示區(qū)分．19．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知向量．若，則．【答案】/【分析】直接由向量垂直的坐標(biāo)表示求解即可.【詳解】由題意知：，解得.故答案為：.20．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知向量，滿足，，則.【答案】【分析】先根據(jù)求出，故求出，求出【詳解】，所以，因?yàn)椋?，所以，，所以故答案為?1．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知向量與的夾角為，且，，則的值為．【答案】－6【分析】由數(shù)量積的定義計(jì)算．【詳解】．故答案為：．22．（2023·廣東·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知向量，且，則【答案】【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示即得.【詳解】因?yàn)?，且，所以由，解得．故答案為?23．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知向量和的夾角為，，，則.【答案】【分析】利用平面向量數(shù)量積的定義可求得的值.【詳解】由平面向量數(shù)量積的定義可得.故答案為：.24．（2023·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）已知向量，，若，則．【答案】4【分析】由向量數(shù)量積的垂直表示求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，?故答案為：.25．（2023秋·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知，滿足，，，則與的夾角的余弦值為.【答案】【分析】直接利用平面向量的夾角公式求解即可.【詳解】解：設(shè)與的夾角為，因?yàn)?，，，所以，所以與的夾角的余弦值為．故答案為：.26．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）若等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為4，E是中線BD的中點(diǎn)，則【答案】1【分析】根據(jù)平面向量的加減表示，利用一組基底表示向量，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，可得答案.【詳解】∵等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為4，E是中線BD的中點(diǎn)，，∴，.∴.故答案為：.27．（2023·廣東·高三學(xué)業(yè)考試）已知向量滿足，，，則與的夾角的余弦值為.【答案】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.【詳解】因?yàn)橄蛄繚M足，，且，可得，所以與的夾角的余弦值為.故答案為：28．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）在中，，，，是所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則的最小值是.【答案】【分析】利用余弦定理和勾股定理可知，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算可將所求式子化為，由此可確定最小值.【詳解】由余弦定理得：，，即.以為坐標(biāo)原點(diǎn)可建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系：則，，，設(shè)，，，，，，，，即的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的最值的求解問題，解決此類問題通?？梢圆捎媒⑵矫嬷苯亲鴺?biāo)系的方式，利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)進(jìn)行求解.29．（2023·廣東·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知、、為圓上的三點(diǎn)，若，則與夾角的大小為.【答案】/【分析】作出圖形，連接、，分析四邊形以及的形狀，可得出結(jié)果.【詳解】連接、，如下圖所示：因?yàn)?，則四邊形為平行四邊形，因?yàn)?，則平行四邊形為菱形，因?yàn)?，故為等邊三角形，所以，，故，即與夾角的大小為.故答案為：.三、解答題30．（2023