一題多解探尋圓錐曲線壓軸破解之策與算法優(yōu)化（10）2024屆高考數(shù)學(xué)“荊荊宜隨”十月聯(lián)考22題解析

2024屆“荊荊宜隨”十月聯(lián)考圓錐曲線解答題一題多解——談?wù)剤A錐曲線壓軸題破解之策與算法優(yōu)化【方法策略簡(jiǎn)述】一、解析幾何大題多以圓錐曲線與直線綜合應(yīng)用的形式呈現(xiàn)，考察動(dòng)態(tài)情形下的范圍、最值、定點(diǎn)、定值等問(wèn)題及存在探索性問(wèn)題.二、解決此類問(wèn)題的方法策略主要有三種：1、根與系數(shù)的關(guān)系法（主流方法）．設(shè)出動(dòng)直線的方程（），與圓錐曲線方程聯(lián)立消元得到關(guān)于的一元二次方程，得兩根之和兩根之積，同時(shí)兼顧的要求，利用兩根之和兩根之積進(jìn)行整體代換整體變形而求解．2、多變量多參數(shù)聯(lián)動(dòng)變換法（圓曲不聯(lián)立）．此種方法有別于方法1，不聯(lián)立方程消元求解，而是直接將所設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)代入曲線（直線）方程和題設(shè)中，得到若干個(gè)關(guān)于點(diǎn)的坐標(biāo)與參數(shù)間的關(guān)系式，對(duì)這些關(guān)系式進(jìn)行整體變形整體代換而求解．如弦中點(diǎn)問(wèn)題常用點(diǎn)差法處理．此種方法對(duì)多變量多參數(shù)的代數(shù)式的駕馭能力及變換技巧是一種考驗(yàn)．3、設(shè)點(diǎn)求點(diǎn)法．方法1、2均采用了設(shè)而不求的策略．當(dāng)問(wèn)題中直線與曲線的交點(diǎn)易求時(shí)，可考慮直接求出點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行求解，即設(shè)點(diǎn)求點(diǎn)法．如：動(dòng)直線過(guò)曲線上一已知點(diǎn)時(shí)，則另一交點(diǎn)坐標(biāo)可直接求出；再如動(dòng)直線與橢圓的交點(diǎn)易求出．【2024?荊荊宜隨?22】已知雙曲線的離心率為2，過(guò)上的動(dòng)點(diǎn)作曲線的兩漸近線的垂線，垂足分別為和的面積為.（1）求曲線的方程；（2）如圖，曲線的左頂點(diǎn)為，點(diǎn)位于原點(diǎn)與右頂點(diǎn)之間，過(guò)點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)，直線過(guò)且垂直于軸，直線DG,DR分別與交于兩點(diǎn)，若四點(diǎn)共圓，求點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】（1）；（2）.【解析】(1)由，又得：，所以漸近線方程為，則雙曲線方程為，即，設(shè)，則到漸近線的距離分別為，又兩漸近線的夾角為，且四點(diǎn)共圓，則或，的面積，曲線的方程為：.(2)法一：聯(lián)立韋達(dá)法如圖四點(diǎn)共圓，，，設(shè)，，易得，令得：，當(dāng)?shù)男甭蕿?時(shí)，不符合題意；當(dāng)?shù)男甭什粸?時(shí)，設(shè)，與雙曲線方程聯(lián)立，則，且，即，且，所以，由，即，，，符合題意.綜上，.【評(píng)析】關(guān)鍵點(diǎn)：第一問(wèn)，應(yīng)用四點(diǎn)共圓求得或，再由三角形面積公式列方程求雙曲線參數(shù)；第二問(wèn)，根據(jù)四點(diǎn)共圓得，再設(shè)點(diǎn)及直線方程，聯(lián)立雙曲線，應(yīng)用韋達(dá)定理求定點(diǎn)為關(guān)鍵.法二：不聯(lián)立之多變量聯(lián)動(dòng)法若四點(diǎn)共圓，則，從而.設(shè)，，則，易得的方程為：，令可得：，故，故，由三點(diǎn)共線有，可得，于是代入式變形整理得，故，點(diǎn).【評(píng)析】多變量聯(lián)動(dòng)有效避免了方程聯(lián)立所帶來(lái)的運(yùn)