第三章點的合成運動

第三章點的合成運動點和剛體相對一個定參考系的運動。點的運動在直角坐標和弧坐標描述；剛體簡單運動為：平動和定軸轉(zhuǎn)動。

物體相對于不同參考系的運動是不相同的。運動的分解與合成：

研究物體相對于不同參考系的運動，分析物體相對于不同參考系運動之間的關(guān)系，稱為復雜運動或合成運動。

本章分析點的合成運動。分析運動中某一瞬時點的速度合成和加速度合成的規(guī)律。點的運動對于不同的參考系是不同的1)圖示沿直線軌道滾動的車輪，其輪緣上點Ｍ的運動?！?-1相對運動.牽連運動.絕對運動對地面上的觀察者：Ｍ點的軌跡是旋輪線對車上的觀察者：Ｍ點的軌跡則是一個圓。2)圖示橋式吊車，卷揚小車A邊垂直起吊重物邊行走。重物作曲線運動隨小車一起運動的觀察者：重物在在垂直方向作直線運動地面觀察者：車輪上Ｍ點：對于地面，Ｍ沿旋輪線運動；以車廂為參考體，點Ｍ對于車廂的運動是簡單的圓周運動；車廂對于地面的運動是簡單平動。Ｍ點的運動就可以看成兩個簡單運動的合成.即點Ｍ相對于車廂作圓周運動;同時車廂對地面作平動.合成運動：相對某一參考體的運動可由相對于其它參考體的幾個運動組合而成，稱這種運動為合成運動觀察發(fā)現(xiàn)：

點在一個參考體中的運動可以由幾個運動組合而成。三種運動

（1）動點相對于定參考系的運動稱為絕對運動（2）動點相對于動參考系的運動稱為相對運動（3）動參考系相對于定參考系的運動稱為牽連運動兩個參考系：

一般把固定在地球上的坐標系稱為定參考系；用Oxyz表示；固定在相對地球運動的參考體上的坐標系稱為動參考系；用表示。動點：要研究的點一個動點；兩個坐標系；三種運動上例：車輪上點Ｍ為動點，在車廂看到Ｍ點作圓周運動是動點的相對運動，在地面上看到Ｍ點的運動是弧輪線，是動點的絕對運動。車對地面作平動，是牽連運動絕對運動和相對運動是指點的運動。牽連運動是指參考體的運動。剛體的運動：可能是平動，轉(zhuǎn)動或復雜運動動點相對于動參考系運動的軌跡、速度、加速度稱為相對軌跡、相對速度和相對加速度動點相對于定參考系運動的軌跡、速度、加速度稱為絕對軌跡、絕對速度和絕對加速度動點的牽連速度、牽連加速度指某瞬時動參考系上與動點重合點的速度和加速度符號：

動點的相對速度和相對加速度動點的絕對速度和絕對加速度動點的牽連速度、牽連加速度研究點的相對速度、牽連速度和絕對速度三者之間的關(guān)系。設(shè)動點Ｍ在相對運動中的相對軌跡，即曲線AB為金屬線?！?-2點的速度合成定理曲線AB上與動點M重合點(牽連點）沿弧MM1

運動到點M

1

經(jīng)Δt

后，動參考系A(chǔ)B到新位置動點沿弧到為動點的絕對軌跡M沿曲線A

'B'運動從M

1

到點Ｍ'在動參考系上觀察動點M：動參考系：固定在此線上，將動點看成是沿金屬線滑動的小圓環(huán)。在瞬時t，動點在曲線AB的點M?；1M'是動點的相對軌跡。動點的絕對位移動點的相對位移動點的牽連位移兩端除以Δt，并取極限得：方向沿絕對軌跡MM′切線相對速度：方向沿絕對軌跡MM2

的切線；它的方向沿曲線MM1

的切線。絕對速度：牽連速度：注意牽連速度是曲線AB上與動點M重合點在瞬時t

的速度，即動系上與動點相重合點的速度點的速度合成定理：動點在某瞬時的絕對速度等于它在該瞬時的牽連速度與相對速度的矢量和。

動點的絕對速度可以由牽連速度與相對速度所構(gòu)成的平行四邊的對角線來確定。這個平行四邊形稱為速度平行四邊形。推導速度合成定理時，并未限制動參考系作什么樣的運動，因此這個定理適用于牽連運動是任何運動的情況，即動參考系可作平動、轉(zhuǎn)動或其它任何較復雜的運動點的速度合成分析計算步驟：1.選動點,動坐標系2.分析三種運動（絕對運動，相對運動，牽連運動），速度分析。3.速度合成定理:建立動點速度的關(guān)系4.計算速度B例1刨床的急回機構(gòu)如圖所示。曲柄OA的一端A與滑塊用鉸鏈連接。當曲柄OA以勻角速度ω繞固定軸O轉(zhuǎn)動時，滑塊在搖桿O1B上滑動并帶動搖桿繞固定軸O1擺動。設(shè)曲柄長OA=r,兩軸間距離OO1=l,求當曲柄端在水平位置時搖桿的角速度。解：1）選曲柄端點A為動點，把動系固定在搖桿O1B上。2）分析運動：點A的絕對運動：以點O為圓心的圓周運動；相對運動：（在動系上看動點的運動軌跡）是沿O1B方向的直線運動；牽連運動則是搖桿繞O1

軸的擺動。與搖桿一起繞O1軸擺動。牽連速度：桿上與動點A重合的那一點的速度，方向線己知。相對速度：絕對速度：3）速度合成定理：大小方向√××√√√方向線已知4)計算速度由直角三角形可求牽連速度：搖桿角速度為：大小方向√××√√√在速度平行四邊形轉(zhuǎn)向如圖是對角線急回機構(gòu)含義當曲柄和搖桿成直角時在坐標上投影AEC弧是進程CFA弧是回程選題凸輪機構(gòu)牽連運動：是凸軸的定軸轉(zhuǎn)動例2如圖所示，半徑為Ｒ偏心距為e的凸輪，以角速度ω繞O軸轉(zhuǎn)動，桿AB能在滑槽中上下平動，桿的端點A始終與凸輪接觸，且OAB成一直線。求圖示位置桿AB的速度。解：桿AB作平動，各點速度相同，求出其上A的速度即可。1)選取桿AB的端點A為動點。動參考系隨凸輪一起繞O軸轉(zhuǎn)動。2)點A的絕對運動：是直線運動相對運動：凸輪中心C為圓心的圓周運動絕對速度：方向沿AB相對速度：方向沿凸輪圓周的切線，牽連速度：凸輪上與桿端A點重合點的速度。3)速度合成定理:大小方向×√×√√√應(yīng)注意：先畫已知量，然后根據(jù)速度定理確定其它未知量的方向大小×√×方向√√√4)速度計算

牽連速度A點絕對速度方向如圖選題例3圓環(huán)半徑為R，以角速度ω1

繞垂直軸AB轉(zhuǎn)動，小球M在圓環(huán)上運動，角速度為ω2

。求當OM與鉛垂方向成ψ時，M點的絕對速度。解：1)取M為動點

動系與圓環(huán)固結(jié)2）分析Ｍ點運動相對運動是在圓環(huán)上作圓周運動

M點的牽連運動為動系上繞AB的定軸轉(zhuǎn)動。相對速度：動系上與動點Ｍ相重合點的速度。速度矢在水平面內(nèi)牽連速度：3）速度合成定理：大小方向×√√×√√大小方向4)速度計算絕對速度采用矢量計算大小方向選題例4繞軸O轉(zhuǎn)動的盤及直桿OA上均有一導槽，兩槽間有一個活動銷子M如圖所示，b=0.1m。設(shè)在圖示位置時，圓盤和直桿的角速度分別為ω1=9rad/s,ω2=3rad/s,求此瞬時銷子M的速度。解：（1）1)取M為動點

動系1與圓盤固結(jié)相對速度：沿BC直線，方向假設(shè)牽連速度：2）分析Ｍ點運動相對運動：沿BC直線牽連運動：繞O點定軸轉(zhuǎn)動。3）速度合成定理：大小方向

×√×

×√√（2）1)取M為動點相對速度：牽連速度：2）分析Ｍ點運動相對運動：沿OA直線牽連運動：繞O點定軸轉(zhuǎn)動。動系2與OA桿固結(jié)3）速度合成定理：大小方向

×√×

×√√3）速度合成定理：大小方向√×√×√√√√4)速度計算采用矢量投影法投影投影大小方向返回選題§3-3牽連動運動是平動時點的加速度合成定理崐為動坐標軸單位矢量在點的合成運動中，加速度之間的關(guān)系比較復雜，先分析動參考系作平動的簡單情況。設(shè)為平動參考系各軸方向不變，與定坐標軸x，y，z分別平行動點Ｍ相對于動系的相對坐標則點Ｍ的相對速度和相對加速度：崐為動坐標軸單位常矢量由點的速度合成定理兩端對時間一次導數(shù)：上式左端項為動點Ｍ對定系的絕對加速度。動系為平動，動系上各點的速度和加速度在某瞬刻都是相同牽連運動為平動時點的加速度合成定理：當牽連運動為平動時，動點在某瞬時的絕對加速度等于該瞬時它的牽連加速度與相對加速度的矢量和。當三種運動軌跡為曲線時，加速度合成定理可以表示多項形式加速度求解步驟

1.取動點，動系

2.分析三種運動

3.速度分析

4.加速度分析曲柄滑塊導桿機構(gòu)例5圖示曲柄OA繞軸O轉(zhuǎn)動，丁字形桿BC沿水平方向往復平動，鉸接在曲柄端A的滑塊，可在丁字形桿的鉛直槽DE內(nèi)滑動。設(shè)曲柄以角速度ω作勻速轉(zhuǎn)動。OA=r，試求桿BC的加速度。解：1）選取曲柄端A為研究的動點動參考系固定在丁字形桿BC上2)運動分析：動點A的絕對運動：勻速圓周運動動點A相對運動：沿槽DE的直線運動；ar的方向沿鉛直槽DE牽連運動：動系作平動，各點軌跡水平直線方向；

ae沿水平方向動參系作平動。作加速度平行四邊形。√√√桿BC的加速度。3）加速度合成定理大小方向√××4）計算加速度由三角關(guān)系求得:選題例6凸輪在水平面上向右作減速運動，如圖所示。設(shè)凸輪半徑為R,圖示瞬時的速度和加速度分別為v

和a

。求桿AB在圖示位置時的加速度。2）運動分析：點A的絕對運動軌跡為直線，相對運動軌跡為凸輪輪廓曲線。牽連運動為平動。解：

1）以桿AB上的點A為動點，凸輪為動系3）速度分析：點A的絕對速度：方向沿直線AB點A的相對速度：圓周切線方向點A的牽連速度：水平直線由速度合成定理大小√√×方向×√√速度大小為：方向如圖3）加速度分析點A的相對軌跡為曲線；相對加速度分為兩個分量：切線分量arτ

的大小是未知的法向分量arn

的方向如圖所示點A絕對加速度：方向沿直線AB，指向和大小未知點A的牽連加速度：為凸輪上與動點重合點的加速度。3）加速度合成定理加速度合成定理在法線n方向上投影：解得大小×√×√方向√√√√選題例7圖示平面機構(gòu)中，曲柄OA＝r，以勻角速度ωo轉(zhuǎn)動。套筒A可沿BC滑動BC＝BD，BC=DE,BD=CE=l。求：圖示位置時，桿BD的角速度和角加速度。解：

1）套筒A為動點，以桿BC為動系2）運動分析：DBCE為平行四邊形，桿BC作平動。絕對運動：圓周運動相對運動：直線運動牽連運動：平動絕對速度：相對速度：牽連速度：3）速度分析速度合成定理大小√××方向√√√計算

速度桿BD的角速度4）加速度分析動點的絕對加速度動點的牽連加速度同B點加速度相同兩項加速度合成定理動點的相對加速度加速度向y軸投影：大小√×√×方向√√√√返回選題一個動點：兩個參考系：三種運動：

（1）動點相對于定參考系的運動稱為絕對運動（2）動點相對于動參考系的運動稱為相對運動（3）動參考系相對于定參考系的運動稱為牽連運動絕對運動和相對運動是指點的運動；牽連運動是指動參考體的運動；§3-4牽連運動是轉(zhuǎn)動時點的加速度合成定理.科氏加速度

動點在相對運動中的軌跡、速度、加速度稱為相對軌跡、相對速度和相對加速度動點在絕對運動中的軌跡、速度、加速度稱為絕對軌跡、絕對速度和絕對加速度動點的牽連速度、牽連加速度指動參考系上與動點重合點的速度和加速度簡例：半徑為r的圓盤繞中心O以勻角速度逆時針轉(zhuǎn)動。圓盤邊緣有一動點M以相對速度vr作勻速圓周運動，確定M點的加速度。點的絕對加速度指向圓心O，大小為：表明當牽連運動是轉(zhuǎn)動時：牽連運動為平動時加速度合成定理為：取M為動點，圓盤為動系。動點M的牽連速度ve=ωr

，方向如圖。點的速度合成定理：牽連運動為轉(zhuǎn)動時點的加速度合成定理當動系為定軸轉(zhuǎn)動時，動點在某瞬時的絕對加速度等于該瞬時它的牽連加速度、相對加速度與科氏加速度的矢量和。牽連加速度相對加速度

科氏加速度?？剖霞铀俣?/p>

1)桿以角速度ω繞A軸勻速轉(zhuǎn)動t+Δt時刻，桿轉(zhuǎn)到位置AB′取M點為動點，動系固結(jié)在桿AB上。2)M點沿直桿AB運動。簡單證明。（以特例）t時刻，動點在Ｍ處，它的相對速度和牽連速度分別為

vr

和

ve動點移動到M′它的相對速度為

vr′，牽連速度為ve′由于相對運動，使t+Δt

時刻動點由Ｍ1移到Ｍ′設(shè)相對運動時，

t+Δt

時刻點Ｍ移到Ｍ1牽連運動相對運動牽連速度牽連速度第一項第四項從M指向A點沿方向方向垂直vr第二項大小稱為科氏加速度第三項方向垂直vr大小方向垂直vr科氏加速度

ac一般形式北西地球繞地軸轉(zhuǎn)動，地球上物體相對于地球運動，這都是牽連運動為轉(zhuǎn)動的合成運動?？剖霞铀俣却嬖趯嵗鶕?jù)作用與反作用定律，河水必對右岸有作用力。北半球的江河，其右岸有反作用力。北半球的江河，其右岸都受有較明顯的沖刷，這是地理學中的一項規(guī)律北半球，河水向北流動時，河水的科氏加速度向西，即指向左側(cè)，圖示。由動力學可知，有向左的加速度，河水必受有右岸對水的向左的作用力北西牽連運動為轉(zhuǎn)動時加速度求解步驟

1.取動點，動系

2.分析三種運動

3.速度分析

4.加速度分析例8空氣壓縮機的工作輪以角速度ω繞垂直于O軸勻速度轉(zhuǎn)動，空氣以相對速度vr

沿彎曲的葉片勻速流動，如圖示。如曲線AB在點Ｃ的曲率半徑為ρ，通過點Ｃ的法線與半徑間所夾為ψ，CO＝r

，求氣體微團在點C的絕對加速度。解：1）取氣體微團為動點，定參考固定于地面。動參考系固定在工作輪上2）分析三種運動：牽連加速度：相對加速度：三項加速度：科氏加速度：3）加速度合成定理:4）計算加速度根據(jù)矢量投影方法大小×√√√方向×√√√絕對加速度大小：方向：選題例9刨床的急回機構(gòu)。曲柄OA的一端A與滑塊用鉸鏈連接。當曲柄OA以勻角速度ω繞固定軸O轉(zhuǎn)動時，滑塊在搖桿O1B上滑動并帶動搖桿繞固定軸O1擺動。設(shè)曲柄長OA=r,兩軸間距離OO1=l,求當曲柄端在水平位置時搖桿的角加速度。解：1）選曲柄端點A為動點，動系固定在搖桿O1B上2）分析運動：點A的絕對運動：圓周運動；相對運動：沿OB方向的直線運動；牽連運動則是搖桿繞O1

軸的擺動。3)速度合成定理求搖桿的角加速度α，需求出aτ

分析各項：4)加速度合成定理絕對加速度an

：相對加速度ar

：牽連加速度ae

：科氏加速度ac

：√√××√√√√√√大小方向?qū)⒓铀俣群铣啥ɡ硐騲′軸投影：負號表示真實方向與圖中的假設(shè)指向相反。搖桿的角加速度負號表示與圖示方向相反,真實轉(zhuǎn)向應(yīng)為逆時針轉(zhuǎn)向。選題例10繞軸O轉(zhuǎn)動的盤及直桿OA上均有一導槽，兩槽間有一個活動銷子M如圖所示，b=0.1m。設(shè)圖示位置時，圓盤和直桿的角速度分別為ω1=9rad/s,ω2=3rad/s,求此瞬時銷子M的加速度