數(shù)學(xué)培優(yōu)競賽新方法(九年級(jí))-第12講-統(tǒng)計(jì)與概率

第12講統(tǒng)計(jì)與概率知識(shí)縱橫統(tǒng)計(jì)學(xué)是一門研究如何收集、整理、分析數(shù)據(jù)，并在此根底上作出推斷的科學(xué)。在自然界和人類社會(huì)中，嚴(yán)格確定性的現(xiàn)象十分有限，不確定性現(xiàn)象卻是不量尋在的，而概率正是對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的一種數(shù)學(xué)的描述，數(shù)學(xué)鐘用概率來表示事件發(fā)生的時(shí)機(jī)大小，概率是一個(gè)比值，用字母表示，計(jì)算公式是：事件發(fā)生概率在具體的計(jì)算中，常用到樹形圖、列表、窮舉等方法。統(tǒng)計(jì)與概率互為根底，概率這一概念是建立在頻率這一統(tǒng)計(jì)量穩(wěn)定性的根底上，而統(tǒng)計(jì)推斷、估計(jì)等統(tǒng)計(jì)方法的科學(xué)性有賴于概率理論的嚴(yán)密性。例題求解【例1】一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個(gè)面上的數(shù)字分別為1，2，2，3，3，4；另一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個(gè)面上的數(shù)字分別為1，3，4，5，6，8，同時(shí)擲這兩枚骰子，其朝上的面兩數(shù)之和為7的概率是〔2011年“《數(shù)字學(xué)報(bào)》杯”全國初中數(shù)學(xué)競賽題〕思路點(diǎn)撥用列表法列出所有情形?！纠?】一項(xiàng)“過關(guān)游戲”規(guī)定：在第n關(guān)要擲一顆骰子n次，如果這n次拋擲所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和大于，那么算過關(guān)；否那么不算過關(guān)，現(xiàn)有以下說法;=1\*GB3①過第一關(guān)是必然事件；=2\*GB3②過第二關(guān)的概率是；=3\*GB3③可以過第四關(guān)；=4\*GB3④過第五關(guān)的概率大于零。其中，正確說法的個(gè)數(shù)為〔〕A、4B、3C、2D、1〔天津市競賽題〕思路點(diǎn)撥對(duì)于〔2〕，在理解“過關(guān)”意義根底上，逐步計(jì)算相關(guān)概率?！纠?】小明準(zhǔn)備給小陳打，由于保管不善，本上的小陳號(hào)碼中，有兩個(gè)數(shù)字已模糊不清，如果用x、y表示這連個(gè)看不清的數(shù)字，那么小陳的號(hào)碼為139x370y580(號(hào)碼由11個(gè)數(shù)字組成)，小明記得這11個(gè)數(shù)字之和是20的整數(shù)倍，求小明一次撥對(duì)小陳號(hào)碼的概率、〔2011年南通市中考題〕思路點(diǎn)撥建立關(guān)于x、y的不定方程，由此可得x、y可能的對(duì)應(yīng)值的所有情形?！纠?】楊華與李紅用5張同樣規(guī)格的硬紙片作拼圖游戲，正面如圖1所示，反面完全一樣，將它們與反面朝上均勻后，同時(shí)抽出兩張。規(guī)那么如下：

當(dāng)兩張硬紙片上的圖形可拼成電燈或小人時(shí)，楊華得1分；

當(dāng)兩張硬紙片上的圖形可拼成房子或小山時(shí)，季紅得1分〔如圖2〕．

問題：游戲規(guī)那么對(duì)雙方公平嗎？請(qǐng)說明理由；假設(shè)你認(rèn)為不公平，如何修改游戲規(guī)那么才能使游戲?qū)﹄p方公平？例4圖例4圖思路點(diǎn)撥游戲?qū)﹄p方公平是指雙方積分值相同，解題的關(guān)鍵是分別求出楊華和李紅的得分?！纠?】一場數(shù)學(xué)游戲在兩個(gè)非常聰明的學(xué)生甲、乙之間進(jìn)行．裁判先在黑板上寫出下面的正整數(shù)2、3、4、…、2006，然后隨意擦去一個(gè)數(shù)．接下來由乙、甲兩人輪流擦去其中的一個(gè)數(shù)〔即乙先擦去其中的一個(gè)數(shù)，然后甲再擦去一個(gè)數(shù)，如此輪流下去〕，假設(shè)最后剩下的兩個(gè)數(shù)互質(zhì)，那么判甲勝；否那么，判乙勝．按照這種游戲規(guī)那么，求甲獲勝的概率．〔四川省競賽題〕分析解題的更關(guān)鍵是依據(jù)裁判擦去的數(shù)的奇偶性進(jìn)行討論。解2、3、4、…、2006中有1002個(gè)奇數(shù)，1003個(gè)偶數(shù)?！?〕假設(shè)裁判擦去的是奇數(shù)，此時(shí)，乙一定獲勝，因?yàn)橐也还懿潦裁磾?shù)，只要還有奇數(shù)，就擦奇數(shù)。這樣最后兩個(gè)數(shù)一定都是偶數(shù)，從而所剩兩個(gè)數(shù)不互質(zhì)；〔2〕假設(shè)裁判擦去的是偶數(shù)，此時(shí)，甲一定獲勝，設(shè)裁判擦去的數(shù)是2m，那么將所剩的數(shù)配成1002對(duì)：〔2，3〕，，〔2m-2，2m-1〕，〔2m+1，2m+2〕，，〔2005，2006〕。這樣，不管乙擦去哪一個(gè)數(shù)，甲都擦去所配對(duì)的數(shù)對(duì)中的另一個(gè)數(shù)，最后所剩下的兩個(gè)數(shù)比互質(zhì)，故甲勝，故甲勝的概率為。簡約思維【例6】一個(gè)正三角形ABC的每一個(gè)角各有一只螞蟻，每只螞蟻開始朝另一只螞蟻?zhàn)鲋本€運(yùn)動(dòng)，目標(biāo)角是隨機(jī)選擇，求螞蟻不不相撞的概率?！参④浌菊衅该嬖囋囶}〕分析與解三只螞蟻在每個(gè)角上都有兩種選擇的方向〔順時(shí)針或逆時(shí)針〕。因每只螞蟻選擇的不確定性，故組成的各種情形，似乎繁雜。這正是微軟主考制造的氣氛，其用意在于考查應(yīng)試者摒除習(xí)慣因素的干擾，初中要害，化繁為簡的能力。選擇一只螞蟻A作為參照標(biāo)準(zhǔn)，一旦A確定了自己的運(yùn)動(dòng)方向，那么其他螞蟻必須做相同方向的運(yùn)動(dòng)才能防止相撞，螞蟻B、C分別有的概率來選擇與A相同的運(yùn)動(dòng)方向。故螞蟻防止撞到一起的概率為。學(xué)歷訓(xùn)練根底夯實(shí)如圖，圖有個(gè)黑球，圖為個(gè)同樣大小球疊成的圖形，最下一層的個(gè)球?yàn)楹谏?，其余為白色，圖為個(gè)同樣大小球疊成的圖形，最下一層的而過球?yàn)楹谏?，其余為白色；。。。。。那么從第個(gè)圖中隨機(jī)取出一個(gè)球，是黑球的概率是________圖①圖①圖②圖③圖④第1題(2011株洲市中考題〕2.從至這個(gè)自然數(shù)中任取一個(gè)，是的倍數(shù)或是的倍數(shù)的概率是________〔杭州市中考題〕3.有四張正面分別標(biāo)有數(shù)字的不透明卡片，他們除數(shù)字不同外其余全部相同?，F(xiàn)將它們反面朝上，洗勻后從中任取一張，將該卡片上餓數(shù)字記為，那么使關(guān)于的分式方程有正整數(shù)解的概率為________?！?011年重慶市中考題〕4.對(duì)于平面內(nèi)任意一個(gè)凸四邊形,現(xiàn)從以下四個(gè)關(guān)系式④中任取兩個(gè)作為條件，能夠得出這個(gè)四邊形是平行四邊形的概率是________〔廣州市中考題〕5.在三個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)，組成兩位數(shù)，那么在組成的兩位數(shù)中是奇數(shù)的概率為〔〕〔泰安市中考題〕6.經(jīng)過某十字路口的汽車，它可能繼續(xù)直行，也可能向左或向右轉(zhuǎn)，假設(shè)這三種可能性大小相同，那么兩輛騎車經(jīng)過該十字路口全部繼續(xù)直行的概率為〔〕〔2011年呼和浩特市中考題〕7.一個(gè)口袋有個(gè)黑球和假設(shè)干和白球，在不允許將球倒出來數(shù)的前提下，小明為估計(jì)其中的白球數(shù)，采用了如下的方法:從口袋中隨機(jī)摸出一球，記下顏色，然后把它放回口袋中，搖勻后再隨機(jī)摸出一球，記下顏色。。。。。。不斷重復(fù)上述過程，小明共摸了100次，其中20次摸到黑球，根據(jù)上述數(shù)據(jù)，小明估計(jì)口袋中的白球大約有〔〕〔青島市中考題〕8.”趙爽弦圖“是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形〔如下圖〕，小亮同學(xué)隨機(jī)地在大正方形及其內(nèi)部投針。假設(shè)直角三角形的兩條直角邊的長分別是和，那么針扎到小正方形〔陰影〕區(qū)域的概率是〔〕〔臨沂市中考題〕有四張卡片〔反面完全相同〕，分別寫有數(shù)字，把它們反面朝上洗勻后，甲同學(xué)抽取一張記下這個(gè)數(shù)字后放回洗勻，乙同學(xué)再從中抽出一張，記下這個(gè)數(shù)字，用字母分別表示甲乙兩同學(xué)抽出的數(shù)字。用列表法關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解的概率。求〔1〕中方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)解的概率〔2011年貴州省中考題〕將反面完全相同，正面上分別寫有數(shù)字的四張卡片混合后，小明從中隨機(jī)地抽取一張，把卡片上的數(shù)字作為被減數(shù)，將形狀，大小完全相同，分別標(biāo)有數(shù)字的三個(gè)小球混合后，小華從中隨機(jī)地抽取一個(gè)，把小球上的數(shù)字作為減數(shù)，然后計(jì)算出這兩個(gè)數(shù)的差。請(qǐng)你用畫樹狀圖或列表的方法，求這兩數(shù)差為的概率小明和小華做游戲，規(guī)那么是：假設(shè)這兩數(shù)的差為非負(fù)數(shù)，那么小明贏；否那么，小華贏，你認(rèn)為該游戲公平嗎？請(qǐng)說明理由，如果不公平，請(qǐng)你修改游戲規(guī)那么，使游戲公平。〔重慶市中考題〕能力拓展甲，乙兩同學(xué)下棋，勝一盤得分，和一盤各得分，連下三盤，得分多者勝，那么甲取勝的概率是。〔太原市競賽題〕小丁，小明，小倩在一起做游戲時(shí)，需要確定做游戲的先后順序，他們約定用”剪子,布,錘子”的方式確定，那么，在一個(gè)回合中三個(gè)人都出“布”的概率是?！埠Ｄ鲜「傎愵}〕一只盒子中有紅球個(gè)，白球個(gè)，黑球個(gè)，每個(gè)球除顏色外都相同，從中任取一個(gè)球，取得是白球的概率與不是白球的概率相同，那么，與的關(guān)系是?！采綎|省競賽題)某廣場地面鋪滿了邊長為的正六邊形地磚，現(xiàn)在向上拋擲半徑為的圓碟，圓碟落地后與地磚間的間隙不相交的概率大約是。〔太原市競賽題〕從分別寫有數(shù)字張卡片中任意取出兩張，把第一張卡片上數(shù)字作為十位數(shù)字，第二張卡片上的數(shù)字作為個(gè)位數(shù)字，組成一個(gè)兩位數(shù)，那么所組成的數(shù)是的倍數(shù)的概率是?！踩珖踔袛?shù)學(xué)聯(lián)賽題〕甲，乙，丙，丁四位同學(xué)參加田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)接力跑比賽，如果任意安排四位同學(xué)的跑步順序，那么，恰好由甲將接力棒交給乙的概率是〔)(浙江省競賽題〕把一顆六個(gè)面編號(hào)分別為質(zhì)地均勻的正方體骰子先后投擲次，假設(shè)兩個(gè)正面朝上的編號(hào)分別為，那么二次函數(shù)的圖像與軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)的概率是〔〕(全國初中數(shù)學(xué)競賽題〕長為的線段各一條，從這五條線段中任取條，能構(gòu)成鈍角三角形的概率為〔〕任意選擇一對(duì)有序整數(shù)，其中每一個(gè)整數(shù)的絕對(duì)值小于或等于，每一對(duì)這樣的有序整數(shù)被選擇的可能性是相等的，求方程沒有異正實(shí)根的概率?！驳趯妹绹咧袛?shù)學(xué)考試題〕袋中有數(shù)字卡張，其數(shù)字分別為,假設(shè)隨機(jī)一次抽出張，求被抽出的卡的數(shù)字全是奇數(shù)的概率，〔第屆香港中學(xué)數(shù)學(xué)競賽題〕綜合創(chuàng)新如圖，將枚相同的硬幣依次放入一個(gè)的正方形格子中〔每個(gè)正方形格子只能放枚硬幣〕，求所放的枚硬幣中，任意兩個(gè)都不同行且不同列的概率?！菜拇ㄊ「傎愵}〕在一個(gè)口袋中有個(gè)小球，其中兩個(gè)是白球，其余為紅球，這些球的形狀，大小，質(zhì)地完全相同，在看不到球的條件下，從袋中隨機(jī)地取出一個(gè)