高二數(shù)學(xué)人教A版必修5學(xué)案1-2第1課時(shí)距離問(wèn)題

1．2應(yīng)用舉例第1課時(shí)距離問(wèn)題[目標(biāo)]1.能夠運(yùn)用正、余弦定理的知識(shí)和方法求解距離問(wèn)題；2.從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型(即畫出三角形)．[重點(diǎn)]在三角形中運(yùn)用正、余弦定理求解距離問(wèn)題．[難點(diǎn)]實(shí)際問(wèn)題的理解與建模．知識(shí)點(diǎn)一距離問(wèn)題[填一填]1．測(cè)量從一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)A到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)B之間的距離問(wèn)題．如圖所示．這實(shí)際上就是已知三角形兩個(gè)角和一邊解三角形的問(wèn)題，用正弦定理就可解決．2．測(cè)量?jī)蓚€(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)A，B之間的距離問(wèn)題．如圖所示．首先把求不可到達(dá)的兩點(diǎn)A，B之間的距離轉(zhuǎn)化為應(yīng)用余弦定理求三角形的邊長(zhǎng)問(wèn)題，然后把未知的BC和AC的距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化為測(cè)量可到達(dá)的一點(diǎn)與不可到達(dá)的一點(diǎn)之間距離的問(wèn)題．[答一答]1．如果知道一個(gè)三角形的三個(gè)角，是否可以解出這個(gè)三角形？提示：不可以．要解一個(gè)三角形，至少知道這個(gè)三角形的一條邊長(zhǎng)．2．解與三角形有關(guān)的應(yīng)用題的基本思路是什么？提示：知識(shí)點(diǎn)二基線[填一填]在測(cè)量上，我們根據(jù)測(cè)量需要適當(dāng)確定的線段叫做基線．在測(cè)量過(guò)程中，要根據(jù)實(shí)際需要選取合適的基線長(zhǎng)度，使測(cè)量具有較高的精確度．一般來(lái)說(shuō)，基線越長(zhǎng)，測(cè)量的精確度越高．[答一答]3．測(cè)量是否一定要選取基線？提示：測(cè)量一定要選取基線，因?yàn)闊o(wú)論應(yīng)用正弦定理還是余弦定理解三角形時(shí)，至少應(yīng)已知一邊的長(zhǎng)度．4．如圖，在河岸AC測(cè)量河的寬度BC，測(cè)量下列四組數(shù)據(jù)，較適宜的是(D)A．a(chǎn)，c，α B．b，c，αC．c，a，β D．b，α，γ類型一測(cè)量從一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)，到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離[例1]為了測(cè)量水田兩側(cè)A，B兩點(diǎn)間的距離(如圖所示)，某觀測(cè)者在A的同側(cè)選定一點(diǎn)C，測(cè)得AC＝8m，∠BAC＝30°，∠BCA＝45°，求A，B兩點(diǎn)間的距離．[解]根據(jù)正弦定理得eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(AC,sin∠ABC)，∴AB＝eq\f(ACsin∠ACB,sin∠ABC)＝eq\f(8sin45°,sin180°－30°－45°)＝eq\f(4\r(2),\f(\r(6)＋\r(2),4))＝8(eq\r(3)－1)(m)．即A，B間的距離為8(eq\r(3)－1)m.eq\a\vs4\al(此類題目的求解策略：,1找基線如本題中AC.,2測(cè)基線長(zhǎng)及視角如AC、∠BAC及∠BCA.,3用正弦定理求解兩點(diǎn)間的距離AB的長(zhǎng).)[變式訓(xùn)練1]如圖，為了測(cè)量河的寬度，在一岸邊選定兩點(diǎn)A，B望對(duì)岸的標(biāo)記物C，測(cè)得∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，AB＝120米，求河的寬度．解：在△ABC中，∵∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，∴∠ACB＝60°.由正弦定理可得AC＝eq\f(ABsin∠CBA,sin∠ACB).∴AC＝eq\f(120sin75°,sin60°)＝20(3eq\r(2)＋eq\r(6))．設(shè)C到AB的距離為CD，則CD＝ACsin∠CAB＝eq\f(\r(2),2)AC＝20(eq\r(3)＋3)．∴河的寬度為20(eq\r(3)＋3)米．類型二測(cè)量?jī)蓚€(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離[例2]在一次反恐作戰(zhàn)戰(zhàn)前準(zhǔn)備中，為了弄清基地組織兩個(gè)訓(xùn)練營(yíng)地A和B之間的距離，盟軍在兩個(gè)相距為eq\f(\r(3),2)a的觀測(cè)點(diǎn)C和D處，測(cè)得∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如圖所示．求基地組織的這兩個(gè)訓(xùn)練營(yíng)地之間的距離．[分析]可將AB放在△ABC中來(lái)求，為此應(yīng)先求出AC和BC，再用余弦定理求AB.[解]∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，又∠DCA＝60°，∴∠DAC＝60°.∴AD＝CD＝AC＝eq\f(\r(3),2)a.在△BCD中，∠DBC＝45°，∴eq\f(BC,sin30°)＝eq\f(CD,sin45°)，∴BC＝eq\f(\r(6),4)a.在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC＝eq\f(3,4)a2＋eq\f(3,8)a2－2×eq\f(\r(3),2)a×eq\f(\r(6),4)a×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(3,8)a2.∴AB＝eq\f(\r(6),4)a.即兩個(gè)訓(xùn)練營(yíng)地之間的距離為eq\f(\r(6),4)a.測(cè)量?jī)蓚€(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問(wèn)題，一般是把求距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求三角形的邊長(zhǎng)問(wèn)題，首先是明確題意根據(jù)條件和圖形特點(diǎn)尋找可解的三角形，然后利用正弦定理或余弦定理求解，另外基線的選取要恰當(dāng).[變式訓(xùn)練2]如圖，隔河看兩目標(biāo)A，B，但不能到達(dá)，在岸邊選取相距eq\r(3)km的C，D兩點(diǎn)，并測(cè)得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面內(nèi))，求兩目標(biāo)A，B之間的距離．解：在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝120°，∴∠CAD＝30°.∴AC＝CD＝eq\r(3)km.在△BDC中，∠CBD＝180°－(45°＋30°＋45°)＝60°.在△BCD中，由正弦定理，得BC＝eq\f(\r(3)sin75°,sin60°)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2)(km)．則在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠＝(eq\r(3))2＋(eq\f(\r(6)＋\r(2),2))2－2eq\r(3)×eq\f(\r(6)＋\r(2),2)cos75°＝5.∴AB＝eq\r(5)km.∴兩目標(biāo)A，B之間的距離為eq\r(5)km.類型三與方向角有關(guān)的距離問(wèn)題[例3]某測(cè)量員做地面測(cè)量，如圖，目標(biāo)A與B相距3千米，從B處測(cè)得目標(biāo)C在B的北偏西60°的方向上，從A處測(cè)得目標(biāo)C在A的正北方向，他從A向C前進(jìn)2千米到達(dá)D處時(shí)，發(fā)現(xiàn)B，D兩處也相距2千米，試求A與C的距離．[分析]先在△ABD中由余弦定理求cosA，再用內(nèi)角和定理和兩角和正弦公式求sin∠ABC，最后在△ABC中用正弦定理求AC.[解]依題意得，AB＝3，AD＝2，BD＝2，∠ACB＝60°.在△ABD中，由余弦定理得cosA＝eq\f(AB2＋AD2－BD2,2AB·AD)＝eq\f(32＋22－22,2×3×2)＝eq\f(3,4).∴sinA＝eq\r(1－cos2A)＝eq\f(\r(7),4)，∴sin(A＋C)＝sin(A＋60°)＝sinAcos60°＋cosAsin60°＝eq\f(\r(7),4)×eq\f(1,2)＋eq\f(3,4)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(7)＋3\r(3),8).∴sin∠ABC＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝eq\f(\r(7)＋3\r(3),8).在△ABC中，由正弦定理得：eq\f(AC,sin∠ABC)＝eq\f(AB,sinC)，∴AC＝eq\f(AB·sin∠ABC,sinC)＝eq\f(3×\f(\r(7)＋3\r(3),8),sin60°)＝eq\f(9＋\r(21),4).答：A與C之間的距離為eq\f(9＋\r(21),4)千米．1.解答實(shí)際問(wèn)題要注意認(rèn)真審題，弄清題目條件.2.解三角形求邊長(zhǎng)時(shí)，只需求角的正弦值或余弦值即可，而無(wú)需求角的大小.因此，要注意將三角形內(nèi)角和定理、誘導(dǎo)公式及兩角和或差的正弦、余弦公式結(jié)合起來(lái)求值.[變式訓(xùn)練3]如圖，A，B是海面上位于東西方向相距5(3＋eq\r(3))海里的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東45°，B點(diǎn)北偏西60°的D點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號(hào)，位于B點(diǎn)南偏西60°且與B點(diǎn)相距20eq\r(3)海里的C點(diǎn)的救援船立即前往營(yíng)救，其航行速度為30海里每小時(shí)，該救援船到達(dá)D點(diǎn)至少需要1小時(shí)．解析：由題意知AB＝5(3＋eq\r(3))，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝45°，所以∠ADB＝105°，所以sin105°＝sin45°cos60°＋sin60°cos45°＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2)＋\r(6),4).在△ABD中，由正弦定理得eq\f(BD,sin∠DAB)＝eq\f(AB,sin∠ADB)所以BD＝eq\f(AB·sin∠DAB,sin∠ADB)＝eq\f(53＋\r(3)·sin45°,sin105°)＝eq\f(53＋\r(3)·\f(\r(2),2),\f(\r(2)＋\r(6),4))＝eq\f(10\r(3)1＋\r(3),1＋\r(3))＝10eq\r(3).又∠DBC＝180°－60°－60°＝60°，BC＝20eq\r(3)，在△DBC中，由余弦定理得CD2＝BD2＋BC2－2×BD×BCcos60°＝300＋1200－2×10eq\r(3)×20eq\r(3)×eq\f(1,2)＝900，所以CD＝30(海里)，則至少需要的時(shí)間t＝eq\f(30,30)＝1(小時(shí))．1．海上有A、B兩個(gè)小島相距10海里，從A島望C島和B島成60°的視角，從B島望C島和A島成75°視角，則B、C間的距離是(D)A．10eq\r(3)海里 B.eq\f(10\r(6),3)海里C．5eq\r(2)海里 D．5eq\r(6)海里解析：如圖，C＝180°－60°－75°＝45°，AB＝10，由正弦定理得eq\f(10,sin45°)＝eq\f(BC,sin60°)，∴BC＝5eq\r(6)(海里)，故選D.2．某人向正東方向走了xkm后向右轉(zhuǎn)了150°，然后沿新方向走了3km，結(jié)果離出發(fā)點(diǎn)恰好為eq\r(3)km，那么x的值為(C)A.eq\r(3)B．2eq\r(3)C．2eq\r(3)或eq\r(3)D．3解析：由余弦定理可知x2＋32－6xcos30°＝(eq\r(3))2即x2－3eq\r(3)x＋6＝0，解得x＝eq\r(3)或2eq\r(3)，經(jīng)檢驗(yàn)x＝eq\r(3)及2eq\r(3)都符合題意．3．A，B兩點(diǎn)間有一小山，先選定能直接到達(dá)點(diǎn)A，B的點(diǎn)C，并測(cè)得AC＝60m，BC＝160m，∠ACB＝60°，則A，B兩點(diǎn)間的距離為140_m.解析：在△ABC中，由余弦定理得AB＝eq\r(602＋1602－2×60×160cos60°)＝140(m)．4．某船上的人開(kāi)始看見(jiàn)燈塔在南偏東30°方向，后來(lái)船沿南偏東60°方向航行45海里后，看見(jiàn)燈塔在正西方向，則這時(shí)船與燈塔的距離是15eq\r(3)海里．5．如圖所示，若小河兩岸平行，為知道河對(duì)岸邊兩棵樹C，D(CD與河岸平行)之間的距離，選取岸邊兩點(diǎn)A，B(AB與河岸平行)，測(cè)得數(shù)據(jù)：AB＝6m，∠ABD＝60°，∠DBC＝90°，∠DAB＝75°.試求C，D間的距離．解：∠ABC＝∠ABD＋∠DBC＝60°＋90°＝150°，所以C＝180°－150°＝30°，∠ADB＝180°－75°－60°＝45°.△ABD中，由正弦定理得AD＝eq\f(AB·sin∠ABD