2023屆四川省高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)14不等式選講解答題30題練習(xí)解析版

2023屆四川省高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)

專(zhuān)題14不等式選講解答題30題專(zhuān)項(xiàng)提分計(jì)劃

1.(四川省綿陽(yáng)市2023屆高三上學(xué)期第二次診斷性測(cè)試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題)已知函數(shù)

/(X)=∣2X+1∣+∣X+∕72∣,若F(X)≤3的解集為[〃/].

(1)求實(shí)數(shù)機(jī)，〃的值；

12

(2)已知α,b均為正數(shù)，且滿足τ+f+2m=0,求證：16片+尸≥8.

2ab

【答案】⑴機(jī)=-1,?=-1

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)f(D≤3求出m=T,再分類(lèi)討論解不等式f(x)≤3,與己知解集比較

可得〃=-1；

12

(2)由%=-1,得=-+：=2(α>O,b>O),根據(jù)基本不等式得而≥1,再根據(jù)

2ah

16/+b2≥2√16α?2=8ab可證不等式成立.

【詳解】(1)因?yàn)?(x)43的解集為上川，所以/⑴≤3,即3+∣l+M≤3,所以H+m∣40,

又∣l+"z∣2θ,所以1+帆=0，即機(jī)=—1.

所以F(X)=I2x+l∣+∣x-l∣,

當(dāng)x<—時(shí)，/(x)=-2x-l—x+1=-3x43,得χN—1,則一1≤X<—,

22

當(dāng)—≤x≤l時(shí)，/(x)=2x+1—x+1=x+243,得—≤x≤1,

22

當(dāng)x>l時(shí)，f(x)=2x+l+x-l=3x≤3,得x≤l,不成立，

綜上所述：/(x)≤3的解集為[-1,1],

因?yàn)?x)≤3的解集為所以∕j=T.

12

(2)由(1)知，m=-?,所以一+τ=2(α>0,6>0),

2ab

所以2=二-+2N2、P^=」=,當(dāng)且僅當(dāng)α=1,6=2時(shí)，等號(hào)成立，

2ab?2ab4ab2

所以必21,

所以16/+/N2Jl6儲(chǔ)萬(wàn)=8ab≥8，當(dāng)且僅當(dāng)α=g,6=2時(shí)，等號(hào)成立.

2.(四川省瀘縣第二中學(xué)2022屆高考仿真考試(一)文科數(shù)學(xué)試題)已知小b,C為

正數(shù)，且滿足α+"c=3.

(1)證明：ab+bc+ca≤3↑

(2)證明：9ah+be+4ac≥12ahc

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；

(2)證明見(jiàn)解析；

【分析】(1)運(yùn)用分析法，結(jié)合基本不等式進(jìn)行證明即可；

(2)運(yùn)用分析法，結(jié)合柯西不等式進(jìn)行證明即可.

【詳解】(1),?a,b,C為正數(shù)，要證Q6+8C+CQ≤3,:α+0+c=3

只需證。人+hc+cα≤g(α+b+c)2,即證3(M+bc+c4)≤Q2+?2÷C2+2(ab+bc+ca),即

iil:ab+bc+ca<cr+h2÷c2,

Vα,b,?α2+b2≥2Λ?>.*.fe2+c2≥2?c>

；?c2+a1≥2ca?*?2(α?+/?2+c2)≥2(ab+be+ca),

???次7+兒:+以《黯+從+/當(dāng)且僅當(dāng)α=8=c=ι時(shí)取等；

149(149、，、

(2)要證9加?+。。+4^。21勿仇:，只需證—+τ+-≥12,即證一+7+-(α+b+c)≥36,

abc?abc)

根據(jù)柯西不等式可

++=(1+2+3)2=36,

13

當(dāng)且僅當(dāng)a=萬(wàn),力=LC=I取等號(hào),.從而9ab+bc+4ac≥12abc.

3.(四川省廣安市2022-2023學(xué)年高三第一次診斷性考試數(shù)學(xué)(理)試題)已知。>0,

b>O,且α+0=2?

(1)證明：y<(α+2)2+(?+l)2<17;

⑵若不等式∣3x+m+l∣+∣3x-∕w-l∣s:?/GT5+將對(duì)任意XeR恒成立，求m的取值范

圍.

【答案】(1)證明見(jiàn)詳解

(2)(→o,-3]u[l,+∞)

【分析】(1)根據(jù)題意可得6=2-α(0<α<2),代入(α+2y+(b+l)2運(yùn)算整理，結(jié)合

二次函數(shù)的對(duì)稱性求最值；(2)根據(jù)題意分析可得

(∣3x+/77÷1∣+∣3x—m-?l)??^—÷3÷V?÷3j,結(jié)合,一目≤同+網(wǎng)和

2("+/”.+4運(yùn)算求解

【詳解】(I)Vtz÷?=2,則b=2-a>0,可得0<α<2,

?，?(a+2『÷(?+l)2=(α+2)2+(3一=2(a-g)+-?,

又?.?y=2(α-g)+§開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為a=g

二當(dāng)4=，時(shí)，,當(dāng)α=2時(shí)，2(a-^-]+—=17,

212)22I2)2

i?y≤(a+2)2+(?+l)2<17.

(2)?.?(√0+3+√?+3)2≤2[(√^+3)2+(√?+3)2]=2(α+?+6)=16,當(dāng)且僅當(dāng)

Ja+3=<b+3,即α=Z>=1時(shí)等號(hào)成立；

Ja+3+√?+3≤4，

X".>∣3x+∕n+l∣+∣3x-/H-l∣≥∣(3x+∕n+l)-(3x—∕n-l)∣=2∣zn+l∣,當(dāng)且僅當(dāng)

(3x+"z+l)(3x-m-l)≤0時(shí)等號(hào)成立，

2∣w+l∣≥4,解得“z≥/或∕n≤-3,

故m的取值范圍為(fθ,-3]u[l,+∞).

4.(四川省成都市金牛區(qū)2023屆高三上學(xué)期理科數(shù)學(xué)階段性檢測(cè)卷(二))已知函數(shù)

/(x)=log2(∣x-1∣+∣x-5∣-α)

⑴當(dāng)α=5時(shí)，求函數(shù)/O)的定義域；

(2)當(dāng)函數(shù)/S)的值域?yàn)镽時(shí)，求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

【答案】⑴

⑵[4,+∞)

【分析】(1)利用零點(diǎn)分段法解不等式，求出函數(shù)/(x)的定義域；

(2)由/(x)的值域?yàn)镽得到卜-1|+|*-5卜。能取遍所有正數(shù)，結(jié)合絕對(duì)值三角不等式

得至“x-l∣+∣x-5∣-α≥4-α,故4一α≤0,求出實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【詳解】⑴當(dāng)α=5時(shí)，?∣x-l∣+∣x-5∣-5>O,

fx<??[l≤x<5…(x>5…

即I<<nX①，或I<<c②，或.I<<C③，

[1—x+5—X—5>O[x—1+5—X—5>O[x—1+x—5—5≥O

解①得：x<∣,解②得：0，解③得：X>y,

所以定義域?yàn)閇8,g)u(∕,+8)

(2)因?yàn)镕(X)=IogKIx-11+1尤-51-。)的值域?yàn)镽,

故卜一1HX-W-”能取遍所有正數(shù)，

由絕對(duì)值三角不等式∣x-l∣+∣x-5∣-α耳x—1—x+5∣-α=4—α,

故4—α≤0,所以”≥4,故實(shí)數(shù)。的取值范圍是[4,+∞).

5.(四川省南充高級(jí)中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期第4次模擬測(cè)試數(shù)學(xué)理科試題)已

知：/(x)=∣x+l∣-∣x-w∣,/?>0.

⑴若加=2,求不等式〃力>2的解集;

⑵g(x)=/(X)TX-時(shí)，若g(x)的圖象與X軸圍成的三角形面積不大于54,求機(jī)的取

值范圍.

【答案】(I)(I,+s}

⑵(0,8].

【分析】(1)利用零點(diǎn)分段法求解HI絕對(duì)值不等式;

-x+2m+↑,x>m

?γyι_1

(2)先求出g(x)=?3x+l-2∕n,-l≤x≤m,由g(χ)=O,解得：Xf=2m+l,x2=--—,

x-2m-?.x<-?

—4∕∕z—44

則|々-XlI=—?—=§("?+1)，由函數(shù)單調(diào)性得到g(x)maχ=g(a)=機(jī)+1,根據(jù)函數(shù)圖

象與X軸圍成的三角形面積不大于54,列出方程，求出，〃的取值范圍.

【詳解】(I)當(dāng)機(jī)=2時(shí)，

3,x>2

/(x)=∣x+l∣-∣x-2∣=*2x-l,-l≤x≤2f

—3,X<一1

當(dāng)x>2時(shí)?，/(x)=3>2成立;

3

當(dāng)-l≤x≤2時(shí)，/(x)=2x-l>2,0∣∣J-<x<2;

當(dāng)x<T時(shí)，F(xiàn)(X)=—3<2不合題意,

綜上,/(x)>2的解集為(|,+8)；

-x+2m+l,x>m

(2)因?yàn)閙>0,所以g(x)=∣x+l∣-2∣x-則=<3x+l-2M,T≤X≤M,

X—2m—1,X<一1

?tγj_1-4/77—44

由g(x)=°,解得：?i=2/77+1,X2=?,則%-玉I=---=-(m+l),

當(dāng)x<T時(shí)，g(x)單調(diào)遞增，當(dāng)一l≤x≤∕n時(shí),g(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x>加時(shí)，g(x)單調(diào)

遞減，

所以當(dāng)X=M時(shí)，g(x)取得最大值，g(x)nms=g(m)=帆+1,

二圖象與X軸圍成的三角形面積為S=gx*,"+l)2=∣("+l)2≤54,

解得：-10≤m≤8,又加>0,則0<∕n≤8,

二，"的取值范圍是(0,8].

6.(四川省資陽(yáng)市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期第一次診斷考試數(shù)學(xué)(理)試題)設(shè)函數(shù)

/(x)=∣2x-2∣+∣2x+l∣.

⑴解不等式f(x)44+x;

(2)令f(x)的最小值為7,正數(shù)a，b,C滿足"+"C=T,證明：√^+√^≤乎.

^35^

【答案】⑴

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)將函數(shù)寫(xiě)成分段函數(shù)，再分類(lèi)討論，分別求出不等式的解集，從而得解:

(2)由(1)可得函數(shù)圖象，即可求出函數(shù)的最小值，再利用基本不等式證明即可.

4x-1,X>1

【詳解】(1)解：因?yàn)?x)=∣2x-2∣+∣2x+l∣=3,-g≤x≤l,

，1

1-4x,x<——

2

χ>[_尤V—

或—或{2,

{4x-l-4+x[≤4÷X[?-4X<4+X

3

5131

解得1<X≤—或一2≤X≤1或—-≤X<——,

^35^

綜上可得原不等式的解集為.

又。>0,b>0,c>0,

所以4ab+?[ac=血汗；。?！隆麶^ac

當(dāng)且僅當(dāng)力=C==時(shí)取等號(hào)，

24

所以+≤.

2

7.(四川省綿陽(yáng)市2023屆高三上學(xué)期第一次診斷性考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題)己知函數(shù)

/(x)=∣x+2∣+∣2x+l∣.

(1)求〃*)的最小值；

11H9

---

(2)若4，b,C均為正數(shù)，且"4)+∕e)+"c)=18,證明:4bC

【答案】(嗚3

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)由絕對(duì)值不等式的性質(zhì)可求解；

(2)由題意得a+8+c=3,再由基本不等式及不等式的性質(zhì)可證明.

【詳解】(1)/(?)=∣-γ÷2∣+X+-÷X+-

>(/x+2)-(/x+-1)、+x+1-=3—+x+1-

2222

31

(當(dāng)且僅當(dāng)X=—］時(shí).，取等號(hào))

3

???函數(shù)7U)的最小值為

(2)因?yàn)棣?b,。均為正數(shù)，

所以“α)+∕e)+∕(c)=3a+3+3A+3+3c+3=18,

.*.α+0+c=3.

,j、/11l.aab.bcc.

由(zα+O+c)(-+—+—x)=1÷-+—+—+1+-+—+-+1

abcbcacab

=G+2)+(M與+C+4+3N9,

baacbc

111、C

Wzn-+τ÷-≥3.

abc

?：(α+Md=/+尸+/+2ah+2hc÷2ac≤3(02+b2+c2),

?*.a2+tr+C3≥3.

；■(鴻+{k+2”9,

.111>9

'-a+h+^a^b^?

8.(四川省成都市溫江區(qū)2022屆高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)(文)試題)已知函數(shù)

?(?)=Ix-∕∏∣+XH—,m≠0.

m

(1)若WI=1,/(X)<7,求實(shí)數(shù)X的取值范圍;

(2)求證：YxwR,/(x)≥4.

【答案】（1）（-5,2）

（2）證明見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)X的范圍，去掉絕對(duì)值，然后分段求解不等式即可.（2）由絕對(duì)值的

4

:角不等關(guān)系，可得/。）2帆+一，然后根據(jù)基本不等式即可求解.

m

（1）

-2X-3,X<-4

m=1時(shí)，/(x)=∣x-l∣+∣x÷4∣=<5,~4≤x≤l

2x÷3,x>1

故當(dāng)x<—4時(shí)，—2x—3<7,所以一5<xv-4；

當(dāng)WXWl時(shí)，顯然成立，

當(dāng)x>l時(shí)，2光+3<7,解得：l<x<2

綜上，不等式/(x)<7的解集為(-5,2)

(2)

4≥---±4≥H÷41≥2∣H?

f(x)=?x-m?+X4----xmx加+—=4.

mmmm

9.(四川省南充高級(jí)中學(xué)2023屆高考模擬檢測(cè)七文科數(shù)學(xué)試題)設(shè)/(Λ)=∣X-1∣+∣X+1∣.

⑴求/(x)≤x+2的解集；

31

(2)若/(x)的最小值為m,且a>0,b>0,2a+2b=m,求~公+「7的最小值.

?3。+2〃1+3〃

【答案】⑴[0,2]

【分析】(1)將函數(shù)寫(xiě)成分段函數(shù)，再分段求解，最后取并集即可；

(2)由絕對(duì)值三角不等式可得帆=2,于是有α+b=l,再利用基本不等式求解即可.

~2,x,X<-1

【詳解】(1)/(x)=∣x-l∣+∣x+l∣=-2,-l≤x≤l,

2x,x>1

/、fx<-lf-1<x<1fx>1

當(dāng)〃x)≤X+2時(shí)，l?；騫或。<??-

[-2x≤x+2[2≤JT+2[2x≤x+2

角軍得x∈0ι發(fā)O≤x≤l或1<χ≤2^

所以0≤x≤2,故〃x)≤x+2解集為[0,2]；

(2)/(x)=∣x-l∣÷∣x÷l∣≥∣x-l-x-l∣=2,當(dāng)且僅當(dāng)(XT)X(X+l)≤0

即一l≤x≤l時(shí)，等號(hào)成立，?二機(jī)=2,Λa+b=l,

?.7,匕為正實(shí)數(shù),

------+-----=----+-----=-----+-----

3a+2b1+3力3-?l+3?9-3?1+3。

91

c-------H---------)×[(9-3?)+(l+3?)]

?×9-3?l+3?

9(l+3?)9-3?八1「八C9(1+36)9-3?168

—×[10+ι≥-×[10+2------X--------]=η-=-,

109-3?1+36101V9-3bl+3b105

9(1÷3?)9-3?1?1Q

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí),等號(hào)成立.故E+0的最小值為丁

9-3b1+3。

10.（四川省營(yíng)山縣第二中學(xué)2023屆高三第六次高考模擬檢測(cè)數(shù)學(xué)（文科）試題）設(shè)。,

b,。均為正數(shù)，且/+02+4/=1.證明：

（l）αθ+2∕7c+2ca≤l；

Cll1

⑵/+3+也>*

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

（2）證明見(jiàn)解析

【分析】（1）利用重要不等式，結(jié)合綜合法即可得證；

（2）利用柯西不等式即可證明不等式.

【詳解】（I）HI+b2≥2ab,b2+4c2≥4bc.4c2+a2≥4ca>

所以2（/+加+4c?2）≥2（a6+2hc+2cα）,

當(dāng)且僅當(dāng)α=8=2c=3時(shí)，等號(hào)成立，

3

XΛ2+?2÷4C2=1,所以"+2??+2cα≤l.

（2）?ɑ2÷?2+4c2=l,且C為正數(shù),得則20?vl,

,111111

則π1/+h嬴^/+瓦+后，

由柯西不等式可得：

***=(*+**戶+從+4”(*+"+42。)

=9,

當(dāng)且僅當(dāng)α=b=2c=立時(shí)，等號(hào)成立,

3

所以A^+』+Q:2>9?

ab~SabC

11.（四川省綿陽(yáng)中學(xué)2023屆高三上學(xué)期1月模擬檢測(cè)文科數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)

/(x)=∣x-2∣+∣x+l∣.

⑴求不等式f（x）45的解集;

(2)若/(χ)的最小值是“，且a+/?=；,a>0f〃>0,求2+］的最小值.

3a2b

【答案】（l）[-2,3];

嗚

【分析】（1）利用零點(diǎn)分區(qū)間法解決問(wèn)題即可;

（2）由⑴可知利=3,則α+O=l,故丁2％1=（。+化<2+/1A展開(kāi)利用基本不等

式即可求解.

-2x÷1,%≤—1

【詳解】(1)因?yàn)?(x)=∣x-2∣+∣x+1=?3,-l<x<2

2x-l,x≥2

x≤-l-l<x<2x≥2

所以/(X)≤5等價(jià)于或或

-2x+l≤53≤52x-l<5

解得一2≤x≤-l或一IVXV2或2≤x≤3,

故不等式/(?)≤5的解集為[-2,3].

(2)由(1)可知機(jī)=3,則α+b=l,又Q>0,b>0,

在N21,,√21)2ba5、。59

=-÷—÷-≥2.

a2b?a2b)a2b2a2b22

當(dāng)且僅當(dāng)〃=2力=：1時(shí)等號(hào)成立，

故士2+士1最小值為Q

a2b2

12.(四川省涼山州2023屆高三第一次診斷性檢測(cè)數(shù)學(xué)(理)試題)已知函數(shù)

/(x)=∣x-2∣+∣2x+8∣.

(1)求不等式/(x)≤9的解集;

(2)若/(x)≥∕-α恒成立，求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

【答案】(1)［-5,-1］；

(2)[-2,3].

【分析】(1)根據(jù)題意分類(lèi)討論去絕對(duì)值解不等式；

(2)根據(jù)絕對(duì)值三角不等式求/(x)的最小值，再結(jié)合恒成立問(wèn)題解不等式即得.

—3x—6,X<一4

【詳解】(1)由于/(x)=∣x-2∣+∣2x+8∣=?x+10,-4≤x<2,

3x+6,x≥2

當(dāng)χv-4時(shí)，-3x-6≤9,解得x≥-5,此時(shí)-5<x<-4;

當(dāng)-4≤x<2時(shí)，x+10≤9,解得x≤-l,此時(shí)-4≤x≤-l;

當(dāng)x≥2時(shí)，3x+6≤9,解得x≤l,此時(shí)x∈0.

綜上：”工丫9的解集為［-5,-1］；

(2)'./(X)=∣X-2∣+∣2X+8∣≥∣X-2∣+∣X+4∣≥∣(X-2)-(X+4)∣=6,

當(dāng)且僅當(dāng)x=-4時(shí)等號(hào)成立，

-a≤6，β∣J?-4?—6≤O?

解得-2≤a≤3,

?“的取值范圍是[-2,3].

13.(四川省攀枝花市2023屆高三第二次統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題)已知

/(x)=IX+2∣+∣0x-2∣(αeR).

⑴當(dāng)a=2時(shí),解不等式/(?<12；

(2)若VX≥1,不等式/(X)MV+χ+3恒成立，求”的取值范圍.

【答案】⑴不等式f(x)<12的解集為{x∣Y<x<4}:

(2)”的取值范圍為[θ,2g].

【分析】(1)將α=2代入，利用“零點(diǎn)分界法”去絕對(duì)值，解不等式即可.

1

a>-XΛ--

(2)將不等式化為lor-2∣≤d+ι,去絕對(duì)值，分離參數(shù)可得?,令函數(shù)

a≤x+-

、X

g(x)=-x+-(x>V),利用函數(shù)的單調(diào)性以及基本不等式即可求解.

X

【詳解】(1)當(dāng)α=2時(shí)，/(x)≈∣x+2∣+∣2x-2∣=∣x+2∣+2∣x-l∣,

①當(dāng)x≤-2時(shí)，不等式可化為一(x+2)-2(x-l)<12,解得χ>T,Λ^<χ≤-2,

②當(dāng)—2<x<l時(shí)，不等式可化為(x+2)-2(x-l)<12,解得尤>—8,-2<x<l,

③當(dāng)X21時(shí)，不等式可化為(x+2)+2(x-1)<12,解得χ<4,二14x<4,

綜上可知，原不等式的解集為{x∣-4<x<4};

2

(2)當(dāng)χi≥l時(shí),不等式/(%)≤%2+]+3,即x+2+∣Or-2∣≤X+X+3,

整理得I公-2區(qū)V+1,

則一X2—1≤辦一2≤x2+1,即一X2+1≤αx≤χ2+3,

a≥-x+-

X

又入21,故分離參數(shù)可得

J3

a<xΛ--

X

令函數(shù)g(x)=f+LX21),顯然g(x)在",+S)上單調(diào)遞減，.??g(x)≤g(D=O,

X

x+q≥2Jx?《=2√J(當(dāng)且僅當(dāng)x=有時(shí)等號(hào)成立),

當(dāng)X31時(shí),

.?.實(shí)數(shù)〃的取值范圍為［O,2√5］.

14.(四川省樂(lè)山市高中2023屆高三第一次調(diào)查研究考試文科數(shù)學(xué)試題)已知函數(shù)

/(x)=2∣x+l∣-∣2x+3∣.

(1)求/(%)的最大值“；

(2)若正數(shù)a。,C滿足“6c=帆，證明：L+_L+_LN后+揚(yáng)+無(wú)

abc

【答案】⑴1

(2)證明見(jiàn)解析.

l,x<--

2

【分析】⑴由題知〃6=—,-|—,再求解最大值即可：

-l,x>-1

(2)根據(jù)基本不等式證明即可.

【詳解】(1)解：當(dāng)X<-；時(shí)，/(x)=2∣x+l∣-∣2x+3∣=-2x-2+2x+3=l;

當(dāng)一］≤x≤7時(shí)，/(x)=2∣x+l∣-∣2x÷3∣=-2x-2-2x-3=-4x-5;

當(dāng)x>T時(shí)，/(x)=2∣x+l∣-∣2x÷3∣=2x+2-2x-3=-l,

1χ<--

2

3

所以〃力=2,+1日2彳+3|=

-l,x>-l

因?yàn)楫?dāng)-:4χ≤-l時(shí)，函數(shù)/(x)單調(diào)遞減，x<-］或X>T時(shí)，函數(shù)為常函數(shù)，

所以，函數(shù)“X)的最大值為1，即機(jī)=1

(2)解：因?yàn)長(zhǎng)+L≥2B,?L≥2口,工+七2、3,

abVcιbbcvbeac?ac

所以%%%值+范+Q,

因?yàn)?，?1)知Zn=1,即abc—1?

所以C=點(diǎn)。=G后T

所以，-+→-≥^+4b+4^,當(dāng)且僅當(dāng)α=8=c時(shí)等號(hào)成立，

abc

所以—?+：+—≥?∣a+?[b+?Jc,證畢.

abc

15.(四川省綿陽(yáng)市2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期第一次診斷性考試文科數(shù)學(xué)試題)已知

函數(shù)/(x)=∣x+加ITX-2同(加>0)的最大值為6.

(1)求機(jī)的值；

(2)若正數(shù)X,y,Z滿足x+y+z="z,求證：^χy+4xz≤>[m.

【答案】(1)2；(2)證明見(jiàn)解析.

【分析】(1)利用絕對(duì)值三角不等式求出f(x)的最大值，讓最大值等于6即可得m的

值；

(2)由(1)知，x+y+z=2,由2=x+y+z=(5+y)+(]+3利用基本不等式即可求證.

【詳解】(1)由題意得/α)=k+m∣T%-2m∣≤∣α+m)-(x-2利=|3加|,

因?yàn)楹瘮?shù)“X)的最大值為6,所以|3同=6,即加=±2.

因?yàn)閙>0,所以機(jī)=2；

(2)由(1)知，x+y+z=2,

因?yàn)閤>0,y>0,z>0,

所以2=x+y+z=6+>MM≥2后+2后,

X1

當(dāng)且僅當(dāng)]=y=z時(shí)，即χ=l,y=z='等號(hào)成立，

2

BPV∑×y∣xy+?∣2×^∣xz≤2=ιn,所以+<4m,

當(dāng)且僅當(dāng)X=Ly=Z=；時(shí)，等號(hào)成立.

16.(四川省成都市第二十中學(xué)校2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期一診模擬考試(二)數(shù)學(xué)

試題)已知函數(shù)/(x)=∣奴+l∣+∣2x-4∣(a>0).

(1)若α=l,解不等式/(x)≤7;

(2)當(dāng)x>0時(shí)，/(x)≥4恒成立，求〃的取值范圍.

【答案】(I)IX-g≤χ≤￥}

【分析】(1)利用零點(diǎn)分段法將/(X)表示為分段函數(shù)的形式，分段求得不等式的解集,

最后取并集.

(2)根據(jù)α>O,x>O,利用零點(diǎn)分段法寫(xiě)出了(x)的解析式，求其最小值，根據(jù)不等式

恒成立，可求得”的取值范圍.

【詳解】(1)a=l時(shí)，/(x)=∣x+l∣+∣2x-4∣

44

當(dāng)x≤—1時(shí)，?(?)=-3x÷3≤7,X≥≤x≤-1,

當(dāng)-IVXV2時(shí)，/(x)=-x+5≤7,x≥-2,/.-1<X<2,

當(dāng)x≥2時(shí)，/(x)=3x-3≤7,x≤g,.?.2≤X≤5,

綜上所述：f(x)≤7解集為卜-g≤x4與｝

(2),?>0,x>0

，當(dāng)OVX<2時(shí)?，/(x)=αr+l+4-2x=(α-2)x+5N4恒成立，

ππ∫∕(θ)≥4>3

1/(2)>42

當(dāng)XN2時(shí)，/(x)=αr+l+2x-4=(α+2)x-3≥4恒成立，

3

即/(2)≥4,α≥-

2

綜上所述："W∣,+∞^j

17.(四川省達(dá)州市普通高中2023屆高三第一次診斷性測(cè)試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題)設(shè)函數(shù)

F(X)=27

⑴若/(x)>∕(x+M的解集為｛乂x<0｝,求實(shí)數(shù)機(jī)的值；

(2)若O<α<b,且/⑷=/?,求士+上的最小值.

ab-?

【答案】(l)m=2:

(2)9.

［分析］(1)由/(x)>/(x+∕n)可得,一［>∣x+∕n-l∣,兩邊同時(shí)平方可得：2mx<2m-nV，

γγin?

于是得χ<l-9,進(jìn)而有1-9=0,求解即可;

22

⑵由可得Ia-Il平-1∣,乂由于y="χ)關(guān)于直線X=I對(duì)稱，所以

°<α<i'進(jìn)而得邛=2,再由％4+匚1^匕(4+01、膽+(J)］,利用基本不等式

求解即可.

【詳解】(1)解：不等式可化為"T>2k+'T,

Λ∣x-l∣>∣x+∕n-l∣,

兩邊同時(shí)平方可得：2nιx<2in-m2.

原不等式解集為GdXV0},

.,./n>0?

BPx<l--.

2

m

.?.l-^=0,^=2;

(2)解：因?yàn)?(a)="8),

,2∣fl^l∣=26"，

即,-“十一1|,

因?yàn)?(l+x)=2W="lτ),

”=∕(χ)關(guān)于直線χ=ι對(duì)稱，

,?O<a<?<b,

:A-a=b-\,BPa+b=2.

所以佇+H+S-I)]=5+必J+A??5+2/=9,

IQP-I)a?-l

當(dāng)且僅當(dāng)也J=/一,即α==,6=。時(shí)取"=

ab-?33

41

所以2+47的最小值為9?

18.(四川省遂寧市第二中學(xué)校2023屆高三上學(xué)期一診模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(二))

已知函數(shù)/(χ)=∣XTI+2∣χ+ι∣.

(D求不等式/(x)<5的解集;

(2)設(shè)F(X)的最小值為機(jī).若正實(shí)數(shù)'滿足4+2?+3c=m,求3∕+2?2+C2的最小

值.

【答案】⑴卜2,T

【分析】(I)分X21、-l<x<l和X4-1三種情況解不等式即可;

(2)根據(jù)f(x)的單調(diào)性得到α+26+3c=2,然后利用柯西不等式求最值即可.

【詳解】(1)①當(dāng)x2l時(shí)，/(x)=(x-l)+2(x+l)=3x+l,

由/(x)<5,解得x<g,所以l≤x<g;

②當(dāng)-1VXVl時(shí)，，/(x)=-(x-l)+2(x+l)=x+3,

由∕G)v5,解得xv2,所以TVXV1；

③當(dāng)x≤-1時(shí)，?(?)=-(x-1)—2(x÷l)=—3%—1,

由/(x)v5,解得x>-2,所以一2<x≤-l,

綜上，原不等式的解集為,2,g]

3X+1,Λ≥1

(2)由(1)得〃X)=，x+3,-l<x<l,

~3x—1,X≤—1

所以/(X)在(F,-1)上單調(diào)遞減，(T,÷w)上單調(diào)遞增，

當(dāng)戶一1時(shí)，“X)取得最小值為2,所以m=2,即α+2?+3c=2,

由柯西不等式得(3?2+2〃+C?)(g+2+9]≥(α+2匕+3c)2=4,

6?j3a_41b_c?

所以3∕+2^+c2書(shū)，當(dāng)且僅當(dāng);E一二反一§,即α*,b*,C*時(shí)等號(hào)成

立，

所以3/+2〃+/的最小值為，.

19.(四川省南充市2023屆高三上學(xué)期高考適應(yīng)性考試(一診)文科數(shù)學(xué)試題)已知函

數(shù)〃X)=L2].

⑴求不等式/(x)<2x的解集；

⑵記函數(shù)f(x)的最大值為M.若正實(shí)數(shù)。也C滿足a+b+4c=；M,求證：B+(+1≥16.

【答案】(l)(-(,+°θ)

(2)證明詳見(jiàn)解析

【分析】(1)利用零點(diǎn)分段法，將f(x)及示為分段函數(shù)的形式，進(jìn)而求得不等式

/(x)<2x的解集

(2)先求得然后利用柯西不等式證得結(jié)論成立.

-(x-1)+(x+2),x≤-23,X≤-2

--

【詳解】(1)y(x)=∣x1∣∣x÷2∣=*—(X—1)—(x÷2),—2<x<1=—2.x—1,-2<Λ<1t

(X-I)-(X+2),xNI-3,x≥1

-2<x<lx≥l

由/(x)<2x得:-2x-l<2x或

—3<2,x

解得x>-∣,所以不等式/(x)<2x的解集為1;,+8).

3,X≤—2

(2)由于F(X)=-<x<l,所以,f(x)的最大值為3,即M=3,

-3,?≥1

所以正實(shí)數(shù)4,6,c滿足A+6+4C=4M=L

3

?'^+?-^+2對(duì)=(1+1+2)2=16,

20.(四川省成都市錦江區(qū)嘉祥外國(guó)語(yǔ)高級(jí)中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期一診模擬考

試文科數(shù)學(xué)試題)已知函數(shù)〃x)=k+[-|x-4].

(D∕(x)≤~nτ+6，〃恒成立，求實(shí)數(shù)朋的取值范圍；

(2)在(1)的條件下，設(shè)的最大值為外，α,b,C均為正實(shí)數(shù)，當(dāng)3a+4∕,+5c=/時(shí)，

求/+6+C?的最小值.

【答案】(1)，〃的取值范圍為(1,5)；

⑵4+//+C?的最小值為1

t分析】⑴由已知F(X)πm≤τ√+6m,由絕對(duì)值三角不等式可求F(X)最大值，再解

不等式求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍；(2)由向量的數(shù)量積的性質(zhì)可得

(a2+?2+c2)(32+42+52)>25,

22

由此可得/+b+c的最小值.

【詳解】(1)因?yàn)?(x)—W+6wi恒成立，所以/(x)maχ4-加2+6%，

由絕對(duì)值三角不等式知/(x)=∣x+lHX-4國(guó)x+>x+4∣=5,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,

所以—"P+6,"≥5,即〃『-6ΛΠ+5≤0，?'?1≤"7≤5,所以切的取值范圍為(1,5)：

(2)由(1)得%=5,3a+4b+5c=m0=5,

設(shè)向量〃=(3,4,5),d={a,b,c),所以〃?d=5,

又"?d=W陣os(”,力第佃，當(dāng)且僅當(dāng)KH方向相同時(shí)等號(hào)成立，

filfW(a2+?2+c2)(32+42+52)≥(3?+4∕j+5c)2=25,

(當(dāng)且僅當(dāng)。弋3/=/2=*1,等號(hào)成立)

所以〃+C?喑=g,即Y+爐+。2的最小值為g

21.(四川省宜賓市2023屆高三上學(xué)期第一次診斷性數(shù)學(xué)(理)數(shù)學(xué)試題)已知函數(shù)

f(x)=∣x-2?|+∣x÷b?+oα>0,/?>0,c>0.

(1)當(dāng)α=8=C=I時(shí)，解不等式/(x)<6;

(2)當(dāng)函數(shù)F(X)的最小值為7時(shí)，求&+病∏+J工二的最大值.

【答案】(1)(-2,3);

(2)5.

【分析】(1)根據(jù)題意，分類(lèi)討論求解即可；

(2)結(jié)合絕對(duì)值三角不等式得/(x)nAl=2α+8+c=7,進(jìn)而根據(jù)柯西不等式求解即可.

【詳解】(1)解：由題知/(x)=∣x-2∣+∣x+l∣+l,/(x)<6<=>∣x-2∣+∣x+l∣<5,

x<-l-l≤x≤2x>2

2—X—X—1<52—x+x+1<5x—2+x+l<5

國(guó)用得一2<χv-l或一1≤x≤2或2vxv3

所以，AX)<6的解集為(-2,3),

(2)解：由絕對(duì)值三角不等式得：f(x)>?(x-2a)-(x+b)?+c=2a+b+c,

當(dāng)且僅當(dāng)(x-2α)(x+b)≤0,即-b≤x4為時(shí)取等號(hào)，

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)的最小值為7,

所以，/(X)Ini?=2α+b+c=7,

所以，由柯西不等式得&+屈1+正工1=立岳+√Fm+√^

2

≤'2α+3+l)+(c+2)=5

當(dāng)若='即α=l,b=3,c=2時(shí)取等號(hào)?

~2

所以，&+J>+1+Jc+2的最大值為5.

22.(四川省瀘州市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期第一次教學(xué)質(zhì)量診斷性考試數(shù)學(xué)(理)

試題)已知函數(shù)知X)=IXl+∣χ-3∣.

(1)求不等式“χ)>2㈤的解集；

X

⑵設(shè)函數(shù)/(X)的最小值為M,若正數(shù)α,b,c滿足l+J+；="，證明α+2?+3c≥9.

a2b3c3

【答案】(I)(T3°,0)U(4,+∞);

(2)證明見(jiàn)解析.

【分析】(1)根據(jù)X的取值分類(lèi)討論，分段求解不等式即可;

(2)利用絕對(duì)值三角不等式求得M,再根據(jù)基本不等式即可證明.

【詳解】(1)當(dāng)x≥3時(shí)，/(χ)>&F即2x-3>5,解得x>4,不等式解集為(4,+∞)：

當(dāng)0<x<3時(shí)，/(x)>2U即3>5,不等式解集為空集；

X

當(dāng)x<0時(shí)，/(X)>^!BP3-2X>-5,解得X<4,不等式解集為(3,0)；

綜上所述，/a)>￥的解集為(F,0)54,E).

(2)f(x)=∣x∣+∣x-3∣2∣x-(x-3)∣=3,當(dāng)且僅當(dāng)MX-3)≤0,即x∈[0,3]時(shí)取得等號(hào),

故M=3；

則—F----1=1,又α>(),力>0,c>0,

a2b3c

,八々(of.??f??1A?a2ba3c2b3c

貝πIlJa+2b+3c=(a+2b+3c)×?-H-----1=3-1-------1------1------1------1------1-----,

?aIb3c)2ba3ca3c2b

又幺十竺?≥2戶X絲=2,當(dāng)且僅當(dāng)α=2?時(shí)取得等號(hào)；

2ba?2ba

-+-≥2.l-×-=2,當(dāng)且僅當(dāng)α=3c時(shí)取得等號(hào)；

3cav3ca

—+—≥2J—×-=2,當(dāng)且僅肖2b=3c時(shí)取得等號(hào)；

3c2b?3c2b

..a2ba3c2Z?3c、CCCCC

故3o+—÷—+—+—+—+—≥3+2+2+2=9

2ba3ca3c2b

1113

當(dāng)且僅當(dāng)。=3=3c,且—+”+h=1,即。=3/=不c?=l時(shí)取得等號(hào).

a2b3c2

3

故0+2∕7+3c≥9,〃=3,人=—,c=l時(shí)取得等號(hào).

2

23.（四川省遂寧市2023屆高三零診考試數(shù)學(xué)（文科）試題）已知函數(shù)

/（%）=2x∣x-α∣+x（d?∈R）

（1）當(dāng)a=l時(shí)，解不等式/（x）>l;

⑵若∕*）<χ+2對(duì)于任意的Xi1恒成立，求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

【答案】（l）{Xg<χ<l或x>l}

⑵（羽

【分析】（I）根據(jù)題意，分類(lèi)討論求解即可；

（2）根據(jù)題意x-ka且。<舊對(duì)任意的XiS,|恒成立，再求對(duì)應(yīng)的最值即可得

答案.

【詳解】（1）解：當(dāng)T=I時(shí),不等式/（x）>1,gp2x∣x-l∣+x>l,

x≥??x<?

所以

2x(x-l)+x>1[2x(l-x)+x>l

fx≥1fx<1

即得4，或《?

[2√-x-l>0[2√-3x+l<0

解得;<χ<ι或χ>ι,

所以不等式/⑴>1的解集為{χ（<χ<l或χ>l}

（2）解：因?yàn)?（x）<x+2對(duì)任意的Xi：|,|恒成立，

所以，燈…1<1對(duì)任意的Xi標(biāo)：恒成立，即IlKL即x-L“<x+L

瞰2XXX

故只要T<α且”舊對(duì)任意的Xij|，|恒成立即可，

因?yàn)閤+g≥2^^=2,Xli|,|,當(dāng)且僅當(dāng)X=：時(shí)，即X=I時(shí)等號(hào)成立，

所以(x+與M=2，

X

1?S3

令g(x)=xχ,Xl,

因?yàn)楹瘮?shù)y=χ,y=-J在Xij∣,∣上單調(diào)遞增，

所以g(χ)在[]印上的單調(diào)遞增，從而g(χ)max=g4)=0

_42J2O

所以，∣<a<2,即實(shí)數(shù)。的取值范圍是(1,2)

24.(四川省巴中市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期零診考試數(shù)學(xué)(理科)試題)已知函數(shù)

/(x)=∣2x-3∣+∣2x+3∣.

(1)解不等式/(x)≤8;

(2)設(shè)函數(shù)f(x)的最小值為M,若正數(shù)叫b,C滿足工+工+3=?，證明：

a2b3c6

a+2b+3c≥9.

【答案】⑴3-24X≤2};

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)分3-=3≤χ<3],χ≥3;三種情況討論解不等式，最后再取并集即可;

(2)先由絕對(duì)值三角不等式求出“，再由"+2"3c=(α+2∕7+3cM+L+7結(jié)合

基本不等式求解即可?

【詳解】(1)當(dāng)x<-±時(shí)，〃x)=3—2x—2x-3=Tx,由〃x)≤8可得xN—2,則

-2≤