2023年新高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新題型07 數(shù)列（數(shù)學(xué)文化）（解析版）

2023年新高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新題型微專題（數(shù)學(xué)文

化、新定義）專題07數(shù)列專題（數(shù)學(xué)文化）

一、單選題

1.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）《周髀算經(jīng)》有這樣一個(gè)問題：從冬至日起，依次為小寒、大寒、立春、雨

水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種十二個(gè)節(jié)氣日影長(zhǎng)減等寸，冬至、立春、春分日影之和

為三丈一尺五寸，前九個(gè)節(jié)氣日影之和為八丈五尺五寸，問芒種日影長(zhǎng)為（一丈=十尺=一百寸）（）.

A.一尺五寸B.二尺五寸C.三尺五寸D.四尺五寸

2.（2022秋?陜西咸陽.高二武功縣普集高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）河南洛陽龍門石窟是中國(guó)石刻藝術(shù)寶庫，現(xiàn)

為世界非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一.某洞窟的浮雕共7層，它們構(gòu)成一幅優(yōu)美的圖案.若從下往上計(jì)算，從第二層開

始，每層浮雕像的個(gè)數(shù)依次是下層個(gè)數(shù)的2倍，且第三層與第二層浮雕像個(gè)數(shù)的差是16,則該洞窟的浮雕像

的總個(gè)數(shù)為（）

A.1016B.512C.128D.1024

3.（2022秋?廣東廣州?高二華南師大附中校考階段練習(xí)）《萊因德紙草書》是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一.書

中有一道這樣的題目：把100個(gè)面包分給5個(gè)人，使每人所得成等差數(shù)列，且使較大的三份之和的;是較小

的兩份之和，則最小的一份為（）

A.5B.10C.15D.30

4.（2022?河北邯鄲?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）位于叢臺(tái)公園內(nèi)的武靈叢臺(tái)已經(jīng)成為邯鄲這座三千年古城的地標(biāo)建筑，

叢臺(tái)上層建有據(jù)勝亭，其頂部結(jié)構(gòu)的一個(gè)側(cè)面中，自上而下第一層有2塊筒瓦，以下每一層均比上一層多2

塊筒瓦，如果側(cè)面共有11層筒瓦且頂部4個(gè)側(cè)面結(jié)構(gòu)完全相同，頂部結(jié)構(gòu)共有多少塊筒瓦？（）

A.440B.484C.528D.572

5.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）如圖1,洛書是一種關(guān)于天地空間變化脈絡(luò)的圖案，2014年正式入選國(guó)家級(jí)

非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄，其數(shù)字結(jié)構(gòu)是戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足，以五居中，形成圖2中

的九宮格，將自然數(shù)1,2,3,/放置在〃行〃列（Z7≥3）的正方形圖表中，使其每行、每列、每條對(duì)角

線上的數(shù)字之和（簡(jiǎn)稱“幻和”）均相等，具有這種性質(zhì)的圖表稱為“〃階幻方洛書就是一個(gè)3階幻方，其

“幻和”為15.則7階幻方的“幻和”為（）

?洛

五

輪

六l':

jl1l

兌

匕

e

HΓ

?

八N

港Ψ

九

圖1圖2

A.91B.169C.175D.180

6.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列，該數(shù)列在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)、化學(xué)

等領(lǐng)域有著非常廣泛的應(yīng)用，在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列是用如下遞推方法定義的：a,=a2=?,

2222

4,=4I+"I（"*3,"GN）已知）［+）.+%++④是該數(shù)列的第］00項(xiàng)，則M=（）

anι

A.98B.99

C.100D.101

7.（2022春?河南南陽?高二校聯(lián)考階段練習(xí)）南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》中有如下俯視圖所示

的幾何體，后人稱之為“三角垛其最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，…，則第50層

球的個(gè)數(shù)為（）

?。?/p>

A.1255B.1265

C.1275D.1285

8.（2022秋?江蘇南通?高三江蘇省如皋中學(xué)統(tǒng)考階段練習(xí)）1883年，德國(guó)數(shù)學(xué)家康托提出了三分康托集，

亦稱康托爾集.下圖是其構(gòu)造過程的圖示，其詳細(xì)構(gòu)造過程可用文字描述為：第一步，把閉區(qū)間［01］平均分

12

成三段，去掉中間的一段，剩下兩個(gè)閉區(qū)間和［§/］；第二步，將剩下的兩個(gè)閉區(qū)間分別平均分為三段，

各自去掉中間的一段，剩下四段閉區(qū)間：［0.3,如此不斷的構(gòu)造下去，最后剩下

的各個(gè)區(qū)間段就構(gòu)成了三分康托集.若經(jīng)歷”步構(gòu)造后，髭202不1屬于剩下的閉區(qū)間，則〃的最小值是（）.

A.7B.8C.9D.10

9.（2022春.江蘇南通?高二統(tǒng)考期末）“埃拉托塞尼篩法”是保證能夠挑選全部素?cái)?shù)的一種古老的方法.這種

方法是依次寫出2和2以上的自然數(shù)，留下頭一個(gè)2不動(dòng)，剔除掉所有2的倍數(shù)；接著，在剩余的數(shù)中2

后面的一個(gè)數(shù)3不動(dòng),剔除掉所有3的倍數(shù);接下來,再在剩余的數(shù)中對(duì)3后面的一個(gè)數(shù)5作同樣處理;……,

依次進(jìn)行同樣的剔除.剔除到最后，剩下的便全是素?cái)?shù).在利用“埃拉托塞尼篩法''挑選2到30的全部素?cái)?shù)

過程中剔除的所有數(shù)的和為（）

A.333B.335C.337D.341

10.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）談祥柏先生是我國(guó)著名的數(shù)學(xué)科普作家，在他的《好玩的數(shù)學(xué)》一書中，

有一篇文章《五分鐘挑出埃及分?jǐn)?shù)》，文章告訴我們，古埃及人喜歡使用分子為1的分?jǐn)?shù)（稱為埃及分?jǐn)?shù)）.則

下列埃及分?jǐn)?shù)、τ^τ>、L、TT----——的和是（）

1×33×55×72021x2023

20222023CIOll_2023

A.----B.----

2023202220231011

11.（2022春?四川資陽.高一統(tǒng)考期末）《算法統(tǒng)宗》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，書中有這樣一個(gè)問題：九百九十

六斤棉，贈(zèng)分八子做盤纏，次第每人多十七，要將第八數(shù)來言，務(wù)要分明依次弟，孝和休惹外人傳.意為：

996斤棉花，分別贈(zèng)送給8個(gè)子女做旅費(fèi)，從第二個(gè)開始，以后每人依次多17斤，直到第八個(gè)孩子為止.分

配時(shí)一定要長(zhǎng)幼分明，使孝順子女的美德外傳.據(jù)此，前五個(gè)孩子共分得的棉花斤數(shù)為（）

A.362B.430C.495D.645

12.（2022秋.江蘇淮安?高三校考階段練習(xí)）天干地支紀(jì)年法源于中國(guó)，中國(guó)自古便有十天干與十二地支.十

天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、

申、酉、戌、亥.天干地支紀(jì)年法是按順序以一個(gè)天干和一個(gè)地支相配，排列起來，天干在前，地支在后，

天干由呷”起，地支由“子”起，比如第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”，…，以此類推，

排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新開始,即“丙子”，…，

以此類推，2022年是壬寅年，請(qǐng)問：在100年后的2122年為（）

A.壬午年B.辛丑年C.己亥年D.戊戌年

13.（2022秋?江蘇宿遷?高三沐陽縣建陵高級(jí)中學(xué)?？计谥校┠纤螖?shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法

通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，所以論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項(xiàng)之差并

不相等，但是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列.對(duì)這類高階等差數(shù)列的研究，在楊輝之后一般稱為''垛

積術(shù)”，現(xiàn)有高階等差數(shù)列，其前6項(xiàng)分別為1,5,11,21,37,61..........則該數(shù)列的第8項(xiàng)為（）

A.99B.131C.139D.141

14.（2023春?廣西柳州?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）《九章算術(shù)》中有一題：今有牛、馬、羊、豬食人苗，苗主責(zé)之

粟9斗，豬主曰：“我豬食半羊."羊主日：“我羊食半馬."馬主曰：“我馬食半牛.”今欲衰償之，問各出幾

何？其意是：今有牛、馬、羊、豬吃了別人的禾苗，禾苗主人要求賠償9斗粟，豬主人說：“我豬所吃的禾

苗只有羊的一半羊主人說：“我羊所吃的禾苗只有馬的一半馬主人說：“我馬所吃的禾苗只有牛的一半.”

打算按此比率償還，牛、馬、羊、豬的主人各應(yīng)賠償多少粟？在這個(gè)問題中，馬主人比豬主人多賠償了（）

4.

A.-B.-C.3D.—

555

15.（2021秋?河南商丘?高二校聯(lián)考期中）《莉拉沃蒂》是古印度數(shù)學(xué)家婆什迦羅的數(shù)學(xué)名著，書中有下面的

表述：某王為奪得敵人的大象，第一天行軍2由旬（由旬為古印度長(zhǎng)度單位），以后每天均比前一天多行相

同的路程，七天一共行軍80由旬到達(dá)地方城市.下列說法正確的是（）

r

1QJ

A.前四天共行十由旬

B.最后三天共行53由旬

C.從第二天起，每天比前一天多行的路程為半由旬

CQ

D.第三天行了,由旬

16.（2022.全國(guó)?高三專題練習(xí)）“垛積術(shù)”是由北宋科學(xué)家沈括在《夢(mèng)溪筆談》中首創(chuàng)，南宋數(shù)學(xué)家楊輝、元

代數(shù)學(xué)家朱世杰豐富和發(fā)展的一類數(shù)列求和方法，有菱草垛、方垛、芻童垛、三角垛等.某倉庫中部分貨

物堆放成如圖所示的“菱草垛”：自上而下，第一層1件，以后每一層比上一層多1件，最后一層是〃件.己

知第一層貨物單價(jià)1萬元，從第二層起，貨物的單價(jià)是上一層單價(jià)的斗.若這堆貨物總價(jià)是IoO-2θθ（2]“

ioUoJ

萬元，則"的值為（）

A.9B.10C.11D.12

17.（2021秋.吉林松原.高二長(zhǎng)嶺縣第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）任取一個(gè)正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再

加上1；若是偶數(shù),就將該數(shù)除以2,反復(fù)進(jìn)行上述兩種運(yùn)算,經(jīng)過有限次步驟后,必進(jìn)入循環(huán)圈1→4→2→1.這

就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想"（又稱''角谷猜想”等）.如取正整數(shù)加=6,根據(jù)上述運(yùn)算法則得出

6→3→10→5→16→8→4→2→1,共需經(jīng)過8個(gè)步驟變成1（簡(jiǎn)稱為8步“雹程”）.現(xiàn)給出冰雹猜想的遞推關(guān)

、當(dāng)α為偶數(shù)時(shí)

系如下：已知數(shù)列｛%｝滿足：％=〃]（W為正整數(shù)），。向=?2'",則當(dāng)m=42時(shí)，則使4=1

34+1,當(dāng)a”為奇數(shù)時(shí)

需要的雹程步數(shù)為（）

A.7B.8C.9D.IO

18.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）意大利數(shù)學(xué)家列昂納多?斐波那契是第一個(gè)研究了印度和阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)理論的

歐洲人，斐波那契數(shù)列被譽(yù)為是最美的數(shù)列，斐波那契數(shù)列｛%｝滿足《=1,4=1,

4,,=4τ+a"-2（“≥3,"eN*）.若將數(shù)列的每一項(xiàng)按照下圖方法放進(jìn)格子里，每一小格子的邊長(zhǎng)為1,記前”

項(xiàng)所占的格子的面積之和為S,,,每段螺旋線與其所在的正方形所圍成的扇形面積為c“，則其中不正確結(jié)論

的是（）

C.al+a3+a5++aln_x=a2n-1D?4(?,-?,.l)=πall,2-all+l(〃>3)

∣9.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）如圖是美麗的“勾股樹”，將一個(gè)直角三角形分別以它的每一條邊向外作正方

形而得到如圖①的第1代“勾股樹”，重復(fù)圖①的作法，得到如圖②的第2代“勾股樹”，…，以此類推，記第

"代“勾股樹”中所有正方形的個(gè)數(shù)為4，數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，若不等式S,,>2022恒成立，則〃的最

小值為（）

A.7B.8C.9D.10

20.（2022.海南省直轄縣級(jí)單位.統(tǒng)考三模）北宋數(shù)學(xué)家賈憲創(chuàng)制的數(shù)字圖式（如圖）又稱“賈憲三角”，后被

南宋數(shù)學(xué)家楊輝引用、〃維空間中的幾何元素與之有巧妙聯(lián)系、例如，1維最簡(jiǎn)幾何圖形線段它有2個(gè)。維

的端點(diǎn)、1個(gè)1維的線段：2維最簡(jiǎn)幾何圖形三角形它有3個(gè)。維的端點(diǎn)，3個(gè)1維的線段，1個(gè)2維的三

角形區(qū)域；……如下表所示.從1維到6維最簡(jiǎn)幾何圖形中，所有1維線段數(shù)的和是（）

元素維度

0123

幾何體維度

?=1（線段）21

〃二2（三角形）331

〃二3（四面體）4641??φ????

A.56B.70C.84D.28

21.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）大衍數(shù)列，來源于中國(guó)古代著作《乾坤普》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論.

為奇數(shù)

?

其前10項(xiàng)為：0、2、4、8、12、18、24、32、40、50,通項(xiàng)公式為,若把這個(gè)

工,〃為偶數(shù)

2

數(shù)列｛q｝排成下側(cè)形狀，并記表示第機(jī)行中從左向右第〃個(gè)數(shù)，則A（9,5）的值為（）

0

248

1218243240

50...........

A.2520B.2312

C.2450D.2380

22.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）在歸國(guó)包機(jī)上，孟晚舟寫下《月是故鄉(xiāng)明，心安是歸途》，其中寫道“過去

的1028天，左右胸躇，千頭萬緒難抉擇；過去的1028天，日夜徘徊，縱有萬語難言說；過去的1028天，

山重水復(fù)，不知?dú)w途在何處感謝親愛的祖國(guó)，感謝黨和政府，正是那一抹絢麗的中國(guó)紅，燃起我心中的

信念之火，照亮我人生的至暗時(shí)刻，引領(lǐng)我回家的漫長(zhǎng)路途下列數(shù)列｛q）（"eN*）中，其前幾項(xiàng)和不可能

為1028的數(shù)列是（）

π(n+l)(2∕t+1)

(參考公式:l2+22+32++n2

6

〃

A.4=10+28B.an=4n'-12/?+—

7ι

n+2n

C.?=（-l）'n--D.?=2-'+-

23.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）大衍數(shù)列來源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋

中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項(xiàng)，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，

是中華傳統(tǒng)文化中隱藏的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題.其前10項(xiàng)依次是0、2、4、8、12、18、24、32、40、

50,則此數(shù)列的第21項(xiàng)是（）

A.200B.210C.220D.242

24.（2022春?云南紅河?高二彌勒市一中校考階段練習(xí)）斐波那契數(shù)列（FibonacciSequeHCe）又稱黃金分割

數(shù)列，因數(shù)學(xué)家列昂納多，斐波那契（Leo”G■曲Fibonacci）以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列在

數(shù)學(xué)上，斐波納契數(shù)列被以下遞推的方法定義：數(shù)列｛%｝滿足：4=%=1,4+2=%+。向，現(xiàn)從數(shù)列的前2022

項(xiàng)中隨機(jī)抽取1項(xiàng)，能被3整除的概率是（）

505?252C504Cl

Aa.------B.------C.------D,一

2022202220224

25.（2022?高二課時(shí)練習(xí)）分形幾何學(xué)是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對(duì)象的幾何學(xué)，它的研究對(duì)象普遍存

在于自然界中，因此又被稱為“大自然的幾何學(xué)”.按照如圖1所示的分形規(guī)律，可得如圖2所示的一個(gè)樹形

圖.若記圖2中第〃行黑圈的個(gè)數(shù)為%,則&=（）

26.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）如圖1所示，古箏有多根弦，每根弦下有一個(gè)雁柱，雁柱用于調(diào)整音高和

音質(zhì).圖2是根據(jù)圖1繪制的古箏弦及其雁柱的簡(jiǎn)易平面圖.在圖2中，每根弦都垂直于X軸，相鄰兩根弦間

的距離為1,雁柱所在曲線的方程為＞=1.1',第”根弦（"∈N,從左數(shù)第1根弦在y軸上，稱為第O根弦）

20

分別與雁柱曲線和直線Ly=χ+ι交于點(diǎn)4（χn,冊(cè)）和紇（匕，匕），則?＞，；=（）

w=0

參考數(shù)據(jù)：取1.122=8.14.

昨邛4.

D.IOOO

27.（2022秋.陜西渭南?高二?？计谥校﹫D1是中國(guó)古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，AA,,BB',CC',是桁,

相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉.圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖，其中。A，CG，BB、,

AA是舉，OD,,DCl,CBt,BA是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為奈=0.5,節(jié)=匕，崇=%,

C∕Z√1ZJC1Cn∣

普=已知占，k2,%成公差為0」的等差數(shù)列，且直線的斜率為0?725,則&=（）

A.0.75B.0.8C.0.85D.0.9

28.（2022秋?陜西咸陽?高二?？茧A段練習(xí)）《張邱建算經(jīng)》記載了這樣一個(gè)問題：“今有馬行轉(zhuǎn)遲，次日減

半，疾七日，行七百里”，意思是“有一匹馬行走的速度逐漸變慢，每天走的路程是前一天的一半，連續(xù)走了

7天，共走了700里”.在上述問題中，此馬第二天所走的路程大約為（）

A.170里B.180里C.185里D.176里

29.（2022秋?廣東廣州?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖所示的三角形叫“萊布尼茲調(diào)和三角形”，它們是由整數(shù)

的倒數(shù)組成，第〃行有〃個(gè)數(shù)且兩端的數(shù)均為*2）,每個(gè)數(shù)是它下一行左右相鄰的兩數(shù)的和，如

n

∣==l+=7+?……，則第8行第4個(gè)數(shù)（從左往右數(shù)）為（）

1222?o?412

1

T

1??1

412124

A.-----B.C.D.-----

280168140105

二、多選題

30.(2022秋?江蘇南通?高三江蘇省如皋中學(xué)統(tǒng)考階段練習(xí))朱世杰是歷史上偉大的數(shù)學(xué)家之一，他所著的

《四元玉鑒》卷中“如像招數(shù)”五問中有如下問題：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十

四人，次日轉(zhuǎn)多七人，每人日支米三升其大意為”官府陸續(xù)派遣1864人前往修筑堤壩，第一天派出64人，

從第二天開始每天比前一天多派7人,官府向修筑堤壩的每人每天發(fā)放大米3升.”則下列結(jié)論正確的有()

A.將這1864人派譴完需要16天

B.第十天派往筑堤的人數(shù)為134

C.官府前6天共發(fā)放1467升大米

D.官府前6天比后6天少發(fā)放1260升大米

31.(2022秋?山西太原?高二太原師范學(xué)院附屬中學(xué)校考階段練習(xí))若正整數(shù)九”只有1為公約數(shù)，則稱膽，

〃互質(zhì)，對(duì)于正整數(shù)晨(P(?是不大于左的正整數(shù)中與&互質(zhì)的數(shù)的個(gè)數(shù)，函數(shù)。(k)以其首名研究者歐

拉命名，稱為歐拉函數(shù)，例如：9(2)=1,奴3)=2,奴6)=2,s(8)=4.已知?dú)W拉函數(shù)是積性函數(shù)，即如

果加,"互質(zhì),那么3(〃MJ)=C(附9("),例如：次6)=s(2)*(3),則()

A.9(5)=夕(8)

B.數(shù)列加(2")｝是等比數(shù)列

C.數(shù)列加(6")｝不是遞增數(shù)列

D.數(shù)列［木的前〃項(xiàng)和小于I

32.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》里有一段敘述：“今有良馬和駕馬發(fā)

長(zhǎng)安至齊，良馬初日行一百九十三里，日增十三里；弩馬初日行九十七里，日減半里.良馬先至齊，復(fù)還迎

弩馬，九日后二馬相逢其大意為今有良馬和弩馬從長(zhǎng)安出發(fā)到齊國(guó)，良馬第一天走193里，以后每天比前

一天多走13里；鴛馬第一天走97里，以后每天比前一天少走0.5里.良馬先到齊國(guó)，再返回迎接駕馬，9天

后兩馬相遇.下列結(jié)論正確的是（）

A.長(zhǎng)安與齊國(guó)兩地相距1530里

B.3天后，兩馬之間的距離為328.5里

C.良馬從第6天開始返回迎接鴛馬

D.8天后，兩馬之間的距離為377.5里

33.（2022?湖南長(zhǎng)沙?高三湖南師大附中?？茧A段練習(xí)）將W?個(gè)數(shù)排成"行”列的一個(gè)數(shù)陣.如圖：該數(shù)陣第

一列的〃個(gè)數(shù)從上到下構(gòu)成以〃?為公差的等差數(shù)列，每一行的〃個(gè)數(shù)從左到右構(gòu)成以〃?為公比的等比數(shù)列

（其中帆＞0）.已知知=2,巧3=&|+1，記這/個(gè)數(shù)的和為S.下列結(jié)論正確的有（）

aa

W?2"13

aaa

%n2n3,m

C4103×3'8+5

A.772=3b?Σ?=

k=?今

7D.S=??3"+l)(3"-

C.aij=（3z-l）×3

34.（2022秋?福建福州?高二校聯(lián)考期末）意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子的繁殖問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這

樣的一列數(shù)：1,1,2,3,5,8,L.該數(shù)列的特點(diǎn)如下：前兩個(gè)數(shù)均為1,從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都

等于它前面兩個(gè)數(shù)的和.人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列｛E,｝稱為斐波那契數(shù)列，現(xiàn)將｛尺｝中的各項(xiàng)除以4

所得余數(shù)按原順序構(gòu)成的數(shù)列記為｛M,J,則下列結(jié)論中正確的是（）

A.%022=l

（）

B.M6W_2=M6M.4÷2M6W.5H≥1,H∈N*

C.+居2+母++F擊2i=1^*2022

=

D.F1+F2+F3++F2o2i6022—1

三、填空題

35.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）意大利數(shù)學(xué)家斐波那契于1202年在他的著作《算盤書》中，從兔子的繁殖

問題得到一個(gè)數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55……，這個(gè)數(shù)列稱斐波那契數(shù)列，也稱兔子數(shù)列.斐

波那契數(shù)列中的任意一個(gè)數(shù)叫斐波那契數(shù).人們研究發(fā)現(xiàn)，斐波那契數(shù)在自然界中廣泛存在，如圖所示:

大多數(shù)植物的花斑數(shù)、向日葵花盤內(nèi)葵花籽排列的螺線數(shù)就是斐波那契數(shù)等等，而且斐波那契數(shù)列在現(xiàn)代

物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)、化學(xué)等領(lǐng)域有著直接的應(yīng)用.設(shè)斐波那契數(shù)列為｛4｝,其中4=%=1，有以下幾個(gè)命

題：

ΛN+

Φ?+?÷I=?÷2(?);

（2）%；

③4+/+%++“2021=。2022；

1WN+

Φ?+l=‰??÷2-（≡）-

其中正確命題的序號(hào)是.

36.（2022秋?江蘇南京?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）數(shù)學(xué)中有許多美麗的錯(cuò)誤，法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬通過觀察計(jì)算曾

提出猜想：形如招=2'+15=0,12）的數(shù)都是質(zhì)數(shù)，這就是費(fèi)馬素?cái)?shù)猜想.半個(gè)世紀(jì)后善于發(fā)現(xiàn)的歐拉算

出第5個(gè)費(fèi)馬數(shù)不是質(zhì)數(shù)，從而否定了這一種猜想.現(xiàn)設(shè)：%=HogKE,-1）5=123,）,〃?為常數(shù)，S,,

表示數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，若=126,則％=.

37.（2022秋?福建漳州?高二校聯(lián)考期中）十三世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家列昂納多?斐波那契從兔子繁殖問題中發(fā)現(xiàn)

了這樣的一列數(shù)：1,1,2,3,5,8,13,…,即從第三項(xiàng)開始,每一項(xiàng)都等于它前兩項(xiàng)的和.后人為了紀(jì)念他,就把這列數(shù)

稱為“斐波那契”數(shù)列.己知數(shù)列伍.J為“斐波那契”數(shù)列,數(shù)列伍“｝的前”項(xiàng)和為5”,若?l=m廁?23=

（用含也的式子表示）.

38.（2022春?遼寧沈陽?高二沈陽市第一二O中學(xué)校考階段練習(xí)）表中的數(shù)陣為“森德拉姆數(shù)篩”，其特點(diǎn)是

每行每列都成等差數(shù)列，記第，行第，列的數(shù)為&八貝∣J%,8=，表中的數(shù)2021共出現(xiàn)次.

234567

35791113

4710131619

5913172125

61116212631

71319253137

39.(2022?江蘇南京?高三金陵中學(xué)校考學(xué)業(yè)考試)龍曲線是由一條單位線段開始，按下面的規(guī)則畫成的圖

形：將前一代的每一條折線段都作為這一代的等腰直角三角形的斜邊，依次畫出所有直角三角形的兩段，

使得所畫的相鄰兩線段永遠(yuǎn)垂直(即所畫的直角三角形在前一代曲線的左右兩邊交替出現(xiàn)).例如第一代龍

曲線(圖1)是以A4為斜邊畫出等腰直角三角形的直角邊A4、A&所得的折線圖，圖2、圖3依次為第

二代、第三代龍曲線(虛線即為前一代龍曲線)M1.4、&為第一代龍曲線的頂點(diǎn)，設(shè)第"代龍曲線的頂

點(diǎn)數(shù)為，由圖可知4=3,%=5,%=9,貝IJq=；數(shù)歹『——］的前〃項(xiàng)和S11=.

40.(2022?陜西.統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))我國(guó)古代數(shù)學(xué)家已經(jīng)會(huì)借助三角數(shù)表來計(jì)算二階等差數(shù)列的和，例如計(jì)算

1+(1+2)+(1+2+3),把第一個(gè)數(shù)表逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)兩次，得到后兩個(gè)數(shù)表，再把3個(gè)數(shù)表疊在一起，每一個(gè)位置

的和都是5,所以1+(1+2)+(1+2+3)=答，我們使用類似的想法計(jì)算：

1+(1+2)+(1+2+3)++(l+2+3+4++12),三個(gè)數(shù)表疊加之后每一個(gè)位置的和都是;推廣可得

1+(1+2)+(1+2+3)++(1+2+3+4++”)的求和公式S”=.

41.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))歷史上數(shù)列的發(fā)展，折射出許多有價(jià)值的數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)時(shí)代的進(jìn)步起

了重要的作用，比如意大利數(shù)學(xué)家列昂納多?斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”，1,1,2,3,5,

8,13,21,34,其中從第三項(xiàng)起，每個(gè)數(shù)等于它前面兩個(gè)數(shù)的和?后來人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列

稱為“斐波那契數(shù)列”，現(xiàn)有與斐波那契數(shù)列性質(zhì)類似的數(shù)列｛%｝滿足：%=2,%=10,且4+2=“向+%

（"∈N*）,記數(shù)列｛硝的前〃項(xiàng)和為S,,若、=2852,則P=.

42.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）“物不知數(shù)”是中國(guó)古代著名算題，原載于《孫子算經(jīng)》卷下第二十六題：“今

有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二；五五數(shù)之剩三；七七數(shù)之剩二.問物幾何？”它的系統(tǒng)解法是秦九韶在《數(shù)書

九章》大衍求一術(shù)中給出的.大衍求一術(shù)（也稱作“中國(guó)剩余定理”）是中國(guó)古算中最有獨(dú)創(chuàng)性的成就之一，

屬現(xiàn)代數(shù)論中的一次同余式組問題.已知問題中，一個(gè)數(shù)被3除余2,被5除余3,被7除余2,則在不超過

2022的正整數(shù)中，所有滿足條件的數(shù)的和為.

43.（2022春?山東日照.高二校聯(lián)考期中）“康托爾塵埃”是數(shù)學(xué)理性思維的構(gòu)造產(chǎn)物，具有典型的分形特征，

其過程如下：在一個(gè)單位正方形中，首先，將正方形等分成9個(gè)邊長(zhǎng)為g的小正方形，保留靠角的4個(gè)小正

方形，記4個(gè)小正方形面積之和為加：然后，將剩余的4個(gè)小正方形分別繼續(xù)9等分，分別保留靠角的4

個(gè)小正方形，記16個(gè)小正方形面積之和為邑；…；操作過程不斷進(jìn)行下去，以至無窮，保留的圖形稱為康

托爾塵埃.若H+邑++S,eg,則操作次數(shù)〃的最小值為.

44.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）提丟斯一波得定則是關(guān)于太陽系中行星軌道的一個(gè)簡(jiǎn)單的幾何學(xué)規(guī)則，它

是1766年由德國(guó)的一位中學(xué)老師戴維?提丟斯發(fā)現(xiàn)的，后來被柏林天文臺(tái)的臺(tái)長(zhǎng)波得歸納成一條定律，即數(shù)

列｛%｝：0.4,0.7,1,1.6,2.8,5.2,10,19.6,…表示的是太陽系第〃顆行星與太陽的平均距離（以天文

單位A.U.為單位）.現(xiàn)將數(shù)列｛α,,｝的各項(xiàng)乘以10后再減4得數(shù)列出｝,可以發(fā)現(xiàn)｛2｝從第3項(xiàng)起，每一項(xiàng)

是前一項(xiàng)的2倍，則?=,a2022=.

45.（2022秋?遼寧撫順?高三校聯(lián)考期中）“中國(guó)剩余定理”又稱“孫子定理”,此定理講的是關(guān)于整除的問題.現(xiàn)

將正自然數(shù)中，能被3除余1且被2除余1的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列｛%｝,則出。=

46.（2022秋?內(nèi)蒙古呼和浩特?高三呼市二中?？茧A段練習(xí)）1934年，東印度（今孟加拉國(guó)）學(xué)者森德拉姆

（SUndaram）發(fā)現(xiàn)了“正方形篩子如下圖，則其第10行第H列的數(shù)為.

47101316

712172227

IO17243138

1322314049

1627384960

47.（2022秋?江蘇連云港?高二期末）我國(guó)古代用詩歌形式提出的一個(gè)數(shù)列問題：遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅燈向

下成倍增，共燈三百八十一，試問塔頂幾盞燈？通過計(jì)算可知，塔頂?shù)臒魯?shù)為

48.（2022.全國(guó)?高三專題練習(xí)）“一尺之趣，日取其半，萬世不竭”出自我國(guó)古代典籍《莊子?天下》，其中蘊(yùn)

含著等比數(shù)列的相關(guān)知識(shí).已知長(zhǎng)度為4的線段A8,取AB的中點(diǎn)C,以AC為邊作等邊三角形（如圖①）,

該等邊三角形的面積為5,在圖①中取CB的中點(diǎn)C,,以CG為邊作等邊三角形（如圖②），圖②中所有的

等邊三角形的面積之和為邑，以此類推，則￡；∑??=

49.（2022秋?湖北襄陽?高二校考階段練習(xí)）如圖是瑞典數(shù)學(xué)家科赫（"VJfoM）在1904年構(gòu)造的能夠描述雪

花形狀的圖案.圖形的作法是：從一個(gè)正三角形開始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊

分別向外作正三角形，再去掉底邊.反復(fù)進(jìn)行這一過程，就得到一條“雪花”狀的曲線.

設(shè)原三角形（圖1）的邊長(zhǎng)為1,把圖1,圖2,圖3,L中的圖形依次記為M2,Mi,L,Mn,L,

則M3的邊數(shù)N3=，Mn所圍成的面積Sn=

四、解答題

50.（2023秋?浙江寧波?高二統(tǒng)考期末）我國(guó)南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家楊輝，在他1261年所著的《詳解九章算法》

一書中，用如圖的三角形解釋二項(xiàng)和的乘方規(guī)律.此圖稱為“楊輝三角”，也稱為“賈憲三角在此圖中，從

第三行開始，首尾兩數(shù)為1,其他各數(shù)均為它肩上兩數(shù)之和.

⑴把“楊輝三角”中第三斜列各數(shù)取出按原來的順序排列得一數(shù)列：1,3,6,10,15,…，寫出％與

（n∈N?n≥2）的遞推關(guān)系，并求出數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

r

⑵設(shè)而j?''"N*,證明：b,+b2+b,++hn<2.

51.（2022.全國(guó)?高三專題練習(xí)）2022北京冬奧會(huì)開幕式上，每個(gè)代表團(tuán)都擁有一朵專屬的“小雪花”，最終

融合成一朵“大雪花”，形成了前所未有的冬奧主火炬，驚艷了全世界！（如圖一），如圖二是瑞典數(shù)學(xué)家科赫

在1904年構(gòu)造的能夠描述雪花形狀的圖案.圖形的作法是從一個(gè)正三角形開始，把每條邊分成三等分，然

后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊，反復(fù)進(jìn)行這一過程，就得到一個(gè)“雪花”狀的

圖案.設(shè)原正三角形（圖①）的邊長(zhǎng)為3,把圖二中的①，②，③，④，……圖形的周長(zhǎng)依次記為4，%,

%，%，…，得到數(shù)列｛4｝.

圖

I?-

(1)直接寫出生，出的值；

(2)求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式.

專題07數(shù)列專題（數(shù)學(xué)文化）

一、單選題

1.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）《周髀算經(jīng)》有這樣一個(gè)問題：從冬至日起，依次為小寒、大寒、立春、雨

水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種十二個(gè)節(jié)氣日影長(zhǎng)減等寸，冬至、立春、春分日影之和

為三丈一尺五寸，前九個(gè)節(jié)氣日影之和為八丈五尺五寸，問芒種日影長(zhǎng)為（一丈=十尺=一百寸）（）.

A.一尺五寸B.二尺五寸C.三尺五寸D.四尺五寸

【答案】B

【分析】十二個(gè)節(jié)氣日影長(zhǎng)構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列｛《,）,利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式、前〃項(xiàng)和公式列出方程組，求

出首項(xiàng)和公差，由此能求出芒種日影長(zhǎng).

【詳解】由題意知：

，從冬至日起，依次小寒、大寒等十二個(gè)節(jié)氣日影長(zhǎng)構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列S,J,設(shè)公差為"，

?冬至、立春、春分日影之和為三丈一尺五寸，前九個(gè)節(jié)氣日影之和為八丈五尺五寸，

0l+α4+a1=3ai+9d=315

CC9x8,...解得4=135,6/=-10,

（Sg—9〃]4----d=8o55

.?.芒種日影長(zhǎng)為4=4+114=135-UX10=25（寸）=2尺5寸.

故選：B

2.（2022秋?陜西咸陽?高二武功縣普集高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）河南洛陽龍門石窟是中國(guó)石刻藝術(shù)寶庫，現(xiàn)

為世界非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一.某洞窟的浮雕共7層，它們構(gòu)成一幅優(yōu)美的圖案.若從下往上計(jì)算，從第二層開

始，每層浮雕像的個(gè)數(shù)依次是下層個(gè)數(shù)的2倍，且第三層與第二層浮雕像個(gè)數(shù)的差是16,則該洞窟的浮雕像

的總個(gè)數(shù)為（）

A.1016B.512C.128D.1024

【答案】A

【分析】設(shè)從上到下第〃（〃€N*,1<〃≤7）層的浮雕像個(gè)數(shù)為句,分析可知數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列，且公比為2,

根據(jù)已知條件求出4的值，利用等比數(shù)列求和公式可求得結(jié)果.

【詳解】設(shè)從上到下第M"eN*,l≤"≤7）層的浮雕像個(gè)數(shù)為勺，

由題意可知，數(shù)列｛《,｝為等比數(shù)列，且該數(shù)列的公比為2,

由已知可得%-%=2%-%=16,可得%=16,故％=母=8,

因此，該洞窟的浮雕像的總個(gè)數(shù)為NlEI=8x127=1016?

1-2

故選：A.

3.(2022秋?廣東廣州?高二華南師大附中?？茧A段練習(xí))《萊因德紙草書》是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一.書

中有一道這樣的題目：把100個(gè)面包分給5個(gè)人，使每人所得成等差數(shù)列，且使較大的三份之和的：是較小

的兩份之和，則最小的一份為()

A.5B.10C.15D.30

【答案】B

【分析】設(shè)五個(gè)人所分得的面包為α-2J,a-d,。，a+d,a+2d,(其中”>O),則由總和為100可求

得α=20,再由較大的三份之和的；是較小的兩份之和，可得12√=3α,從而可求出d，進(jìn)而可求出

【詳解】設(shè)五個(gè)人所分得的面包為Q-2J,a-d,。，a+d,a+2d,(其中d>0),

則有(α-2tZ)+(α-d)+α+(α+d)+(α+2J)=5α=100,

。=20,

由a+a+d+a+2d=3(?a-2d+a-d),得3α+3d=3(2tz-3J)；

：?12d=3。，

/.d=5.

???最少的一份為。-2√=20TO=I0.

故選：B

4.(2022?河北邯鄲?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))位于叢臺(tái)公園內(nèi)的武靈叢臺(tái)已經(jīng)成為邯鄲這座三千年古城的地標(biāo)建筑，

叢臺(tái)上層建有據(jù)勝亭，其頂部結(jié)構(gòu)的一個(gè)側(cè)面中，自上而下第一層有2塊筒瓦，以下每一層均比上一層多2

塊筒瓦，如果側(cè)面共有11層筒瓦且頂部4個(gè)側(cè)面結(jié)構(gòu)完全相同，頂部結(jié)構(gòu)共有多少塊筒瓦？()

A.440B.484C.528D.572

【答案】C

【分析】由題意知每層筒瓦數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列{%},由等差數(shù)列求和公式可求得每一面的筒瓦總數(shù)，由此可

得四個(gè)側(cè)面筒瓦總數(shù).

【詳解】?個(gè)側(cè)面中，第一層筒瓦數(shù)記為2,自上而下，由于下面每一層比上一層多2塊筒瓦，

；?每層筒瓦數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列{%},其中4=2,d=2.

一個(gè)側(cè)面中共有11層筒瓦，，一個(gè)側(cè)面筒瓦總數(shù)是llx2+3∏≡Dχ2=132,

2

???頂層四個(gè)側(cè)面筒瓦數(shù)總和為132x4=528.

故選：C.

5.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）如圖1,洛書是一種關(guān)于天地空間變化脈絡(luò)的圖案，2014年正式入選國(guó)家級(jí)

非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄，其數(shù)字結(jié)構(gòu)是戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足，以五居中，形成圖2中

的九宮格，將自然數(shù)1,2,3,放置在"行〃列（"≥3）的正方形圖表中，使其每行、每列、每條對(duì)角

線上的數(shù)字之和（簡(jiǎn)稱“幻和”）均相等，具有這種性質(zhì)的圖表稱為“〃階幻方洛書就是一個(gè)3階幻方，其

“幻和”為15.則7階幻方的“幻和”為（）

?洛

五

把I

六':

兌jll

匕

o覬'

H

N

八

雌'l>

九

圖1圖2

A.91B.169C.175D.180

【答案】C

【分析】根據(jù)“幻和”的定義，將自然數(shù)I至1累加除以"即可得結(jié)果.

1+2++49

【詳解】由題意，7階幻方各行列和，即“幻和”為7=*5.

故選：C

6.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列，該數(shù)列在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)、化學(xué)

等領(lǐng)域有著非常廣泛的應(yīng)用，在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列是用如下遞推方法定義的：a,=a2=?,

2222

4,=41+4-2（〃之3,〃￡”）.已知?[+~?+儀++@是該數(shù)列的第100項(xiàng)，則M=（）

anι

A.98B.99

C.100D.101

【答案】B

*12

【分析】根據(jù)題意推出q?=a2ax,?=a2a3-a1ax,L,a：=amam+l-amam,x,

利用累加法可得∑af=amam+l,即可求出的值.

/=I

【詳解】由題意得，a.2=a,a.,因?yàn)椤兑?4-α,一2，

得%2=a2(a7ι-al)=a2ai-a2al,

2

?=aj(ai-a2)=aiai-aia2,

L,

aaaa

m=。,“(冊(cè)+1-%I)=mm+?~fΛl-?,

22

累加，f'√?αl+α2++am^=amam+l,

222

因?yàn)?「+%+""是該數(shù)列的第100項(xiàng),

a

,n

即%,”是該數(shù)列的第100項(xiàng)，所以m=99.

故選：B.

7.（2022春.河南南陽?高二校聯(lián)考階段練習(xí)）南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》中有如下俯視圖所示

的幾何體，后人稱之為“三角垛其最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，…，則第50層

球的個(gè)數(shù)為（）

嬴

A.1255