中考數(shù)學(xué)幾何模型專項(xiàng)復(fù)習(xí) 模型16 全等三角形-半角模型-（原卷版+解析）

全等三角形模型（十六）——半角模型一：正方形中的半角模型【條件】如圖①兩個角共頂點(diǎn)，②其中一個角（45o）是另一個角（90o）的一半【結(jié)論】①EF=BE+DF①∶延長CB至點(diǎn)P，使得BP=DF連接AP,第一次全等第二次全等在△ABP和△ADF中在△AEP和△AEF中AB=AD（正方形邊長相等）AP=AF∠ABP=∠ADF=90oo∠PAE=∠FAEBP=DF（構(gòu)造）AE=AE∴△ABP≌△ADF（SAS）∴△AEP≌△AEF（SAS）∴AP=AF，∠1=∠2∴PE=EF∵∠2+∠3=45oo即PB+BE=EF∴∠1+∠3=45oo,∴DF+BE=EF∴∠PAE=∠FAE②EA平分∠BEF，F(xiàn)A平分∠DFE由①得：△AEP≌△AEF，則∠4=∠5，∠AFE=∠P又△APB≌△AFD，∴∠P=∠AFD，∴∠AFE=∠AFD∴EA平分∠BEF，F(xiàn)A平分∠DFE③△EFC的周長等于正方形邊長的2倍由①得：EF=BE+DF，∴△EFC的周長＝EF+EC+CF＝BE+DF+EC+CF=BC+DC，∴△EFC的周長等于正方形邊長的④如圖：作AM⊥EF,則AM=AB過A作AM⊥EF，則∠AME=∠B=90o。由①得∠1=∠2，AE=AE，∴△ABE≌△AME（AAS）∴AM=AB⑤如圖：∠EAF=45o，則EF2=BE2+FC2【證明】如圖，過點(diǎn)A作AP⊥AF且AP=AF.連接PE∵∠CAB=∠PAF=90o，∠1=∠2第一次全等第二次全等在△ABP和△ACF中在△AEP和△AEF中AB=ACAP=AF∠2=∠1∠PAE=∠FAEAP=AFAE=AE∴△ABP≌△ACF（SAS）∴△AEP≌△AEF（SAS）∴BP=CF，∠ABP=∠C=45oo∴PE=EF∵∠EAF=45oo在Rt△PBE中，PE2=PB2+BE2∴∠1+∠3=45oo,即EF2=CF2+BE2∴∠2+∠3=45ooeq\o\ac(○,巧)eq\o\ac(○,記)eq\o\ac(○,口)eq\o\ac(○,訣)見半角，旋全角，蓋半角，得半角。二：等腰三角形中的半角模型【條件】如圖，△ABC是等邊三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°，∠MDN=60o，【結(jié)論】①M(fèi)N=BM+CN;②△MAN的周長等于△ABC邊長的2倍;③MD是∠BMN的平分線，ND是∠CNM的平分線【證明】∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°，∴∠BCD=∠DBC=30°.∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=∠BAC=∠BCA=60°,∴∠DBA=∠DCA=90°.延長AB至點(diǎn)F，使BF=CN，連接DF，如圖.在△BDF和△CDN中，DB=DC,∠DBF=∠DCN,BF=CN,∴△BDF≌△CDN(SAS），∴∠BDF=∠CDN,∠F=∠CND,DF=DN.∵∠MDN=60°,∴∠BDM+∠CDN=60°,∴∠BDM+∠BDF=60°，即∠FDM=60°=∠MDN.在△DMN和△DMF中，DN=DF,∠MDN=∠MDF,DM=DM,∴△DMN≌△DMF（SAS），∴MN=MF=BM+CN,∠F=∠MND=∠CND，∠FMD=∠DMN，∴△AMN的周長是AM＋AN＋MN=AM＋MB＋CN＋AN=AB＋AC=2邊長.三：對角互補(bǔ)且鄰邊相等的半角模型【條件】如圖，∠B＋∠D=180°，∠BAD=2∠EAF，AB=AD，【結(jié)論】①EF=BE+FD;②EA是∠BEF的平分線，F(xiàn)A是∠DFE的平分線.1．(2023·山東·龍口市培基學(xué)校八年級期中）如圖，正方形ABCD的邊長為6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，若F是BC的中點(diǎn)，且∠EDF＝45°，則DE的長為_____．2．(2023·全國·九年級專題練習(xí)）在中，，點(diǎn)在邊上，．若，則的長為__________．1．(2023·浙江·南海實(shí)驗(yàn)學(xué)校旌旗山初中校區(qū)八年級期末）已知：邊長為4的正方形ABCD，∠EAF的兩邊分別與射線CB、DC相交于點(diǎn)E、F，且∠EAF＝45°，連接EF．求證：EF＝BE+DF．思路分析：(1)如圖1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADE'，則F、D、E'在一條直線上，∠E'AF＝度，……根據(jù)定理，可證：△AEF≌△AE'F．∴EF＝BE+DF．類比探究：(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段CB的延長線上，探究EF、BE、DF之間存在的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程；拓展應(yīng)用：(3)如圖3，在△ABC中，AB＝AC，D、E在BC上，∠BAC＝2∠DAE．若S△ABC＝14，S△ADE＝6，求線段BD、DE、EC圍成的三角形的面積．2．(2023·陜西西安·七年級期末）問題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，，，E、F分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝60°，探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系．小王同學(xué)探究此問題的方法是，延長FD到點(diǎn)G，使DG＝BE，連接AG，先證明，再證明，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是______．實(shí)際應(yīng)用：如圖2，在新修的小區(qū)中，有塊四邊形綠化ABCD，四周修有步行小徑，且AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，在小徑BC，CD上各修一涼亭E，F(xiàn)，在涼亭E與F之間有一池塘，不能直接到達(dá)，經(jīng)測量得，BE＝10米，DF＝15米，試求兩涼亭之間的距離EF．3．(2023·江蘇·八年級專題練習(xí)）問題情境在等邊△ABC的兩邊AB，AC上分別有兩點(diǎn)M，N，點(diǎn)D為△ABC外一點(diǎn)，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．特例探究如圖1，當(dāng)DM＝DN時，（1）∠MDB＝度；（2）MN與BM，NC之間的數(shù)量關(guān)系為；歸納證明（3）如圖2，當(dāng)DM≠DN時，在NC的延長線上取點(diǎn)E，使CE＝BM，連接DE，猜想MN與BM，NC之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．拓展應(yīng)用（4）△AMN的周長與△ABC的周長的比為．1．（1）如圖①，在四邊形中，，，，分別是邊，上的點(diǎn)，且．請直接寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系：__________；（2）如圖②，在四邊形中，，，，分別是邊，上的點(diǎn)，且，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請寫出證明過程；（3）在四邊形中，，，，分別是邊，所在直線上的點(diǎn)，且．請畫出圖形（除圖②外），并直接寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．2．如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E是邊AC上一定點(diǎn)，點(diǎn)D是直線BC上一動點(diǎn)，以DE為一邊作等邊三角形DEF，連接CF．（1）如圖1，若點(diǎn)D在邊BC上，直接寫出CE，CF與CD之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，若點(diǎn)D在邊BC的延長線上，請?zhí)骄烤€段CE，CF與CD之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由；（3）如圖3，若點(diǎn)D在邊CB的延長線上，請直接寫出CE，CF與CD之間的數(shù)量關(guān)系．全等三角形模型（十六）——半角模型一：正方形中的半角模型【條件】如圖①兩個角共頂點(diǎn)，②其中一個角（45o）是另一個角（90o）的一半【結(jié)論】①EF=BE+DF①∶延長CB至點(diǎn)P，使得BP=DF連接AP,第一次全等第二次全等在△ABP和△ADF中在△AEP和△AEF中AB=AD（正方形邊長相等）AP=AF∠ABP=∠ADF=90oo∠PAE=∠FAEBP=DF（構(gòu)造）AE=AE∴△ABP≌△ADF（SAS）∴△AEP≌△AEF（SAS）∴AP=AF，∠1=∠2∴PE=EF∵∠2+∠3=45oo即PB+BE=EF∴∠1+∠3=45oo,∴DF+BE=EF∴∠PAE=∠FAE②EA平分∠BEF，F(xiàn)A平分∠DFE由①得：△AEP≌△AEF，則∠4=∠5，∠AFE=∠P又△APB≌△AFD，∴∠P=∠AFD，∴∠AFE=∠AFD∴EA平分∠BEF，F(xiàn)A平分∠DFE③△EFC的周長等于正方形邊長的2倍③由①得：EF=BE+DF，∴△EFC的周長＝EF+EC+CF＝BE+DF+EC+CF=BC+DC，∴△EFC的周長等于正方形邊長的④如圖：作AM⊥EF,則AM=AB過A作AM⊥EF，則∠AME=∠B=90o由①得∠1=∠2，AE=AE，∴△ABE≌△AME（AAS）∴AM=AB⑤如圖：∠EAF=45o，則EF2=BE2+FC2【證明】如圖，過點(diǎn)A作AP⊥AF且AP=AF.連接PE∵∠CAB=∠PAF=90o，∠1=∠2第一次全等第二次全等在△ABP和△ACF中在△AEP和△AEF中AB=ACAP=AF∠2=∠1∠PAE=∠FAEAP=AFAE=AE∴△ABP≌△ACF（SAS）∴△AEP≌△AEF（SAS）∴BP=CF，∠ABP=∠C=45o∴PE=EF∵∠EAF=45oo在Rt△PBE中，PE2=PB2+BE2∴∠1+∠3=45oo,即EF2=CF2+BE2∴∠2+∠3=45ooeq\o\ac(○,巧)eq\o\ac(○,記)eq\o\ac(○,口)eq\o\ac(○,訣)見半角，旋全角，蓋半角，得半角。二：等腰三角形中的半角模型【條件】如圖，△ABC是等邊三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°，∠MDN=60o，【結(jié)論】①M(fèi)N=BM+CN;②△MAN的周長等于△ABC邊長的2倍;③MD是∠BMN的平分線，ND是∠CNM的平分線【證明】∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°，∴∠BCD=∠DBC=30°.∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=∠BAC=∠BCA=60°,∴∠DBA=∠DCA=90°.延長AB至點(diǎn)F，使BF=CN，連接DF，如圖.在△BDF和△CDN中，DB=DC,∠DBF=∠DCN,BF=CN,∴△BDF≌△CDN(SAS），∴∠BDF=∠CDN,∠F=∠CND,DF=DN.∵∠MDN=60°,∴∠BDM+∠CDN=60°,∴∠BDM+∠BDF=60°，即∠FDM=60°=∠MDN.在△DMN和△DMF中，DN=DF,∠MDN=∠MDF,DM=DM,∴△DMN≌△DMF（SAS），∴MN=MF=BM+CN,∠F=∠MND=∠CND，∠FMD=∠DMN，∴△AMN的周長是AM＋AN＋MN=AM＋MB＋CN＋AN=AB＋AC=2邊長.三：對角互補(bǔ)且鄰邊相等的半角模型【條件】如圖，∠B＋∠D=180°，∠BAD=2∠EAF，AB=AD，【結(jié)論】①EF=BE+FD;②EA是∠BEF的平分線，F(xiàn)A是∠DFE的平分線.1．(2023·山東·龍口市培基學(xué)校八年級期中）如圖，正方形ABCD的邊長為6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，若F是BC的中點(diǎn)，且∠EDF＝45°，則DE的長為_____．答案:2分析延長BA到點(diǎn)G，使AG=CF，連接DG，EF，利用SAS證明△ADG≌△CDF，得∠CDF=∠GDA，DG=DF，再證明△GDE≌△FDE（SAS），得GE=EF，設(shè)AE=x，則BE=6x，EF=x+3，再利用勾股定理解決問題．【詳解】解：延長BA到點(diǎn)G，使AG＝CF，連接DG，EF，∵AD＝CD，∠DAG＝∠DCF，∴△ADG≌△CDF（SAS），∴∠CDF＝∠GDA，DG＝DF，∵∠EDF＝45°，∴∠EDG=∠ADE+∠ADG＝∠ADE+∠CDF＝45°，∵DE＝DE，∴△GDE≌△FDE（SAS），∴GE＝EF，∵F是BC的中點(diǎn)，∴AG=CF=BF=3，設(shè)AE＝x，則BE＝6﹣x，EF＝x+3，由勾股定理得，（6﹣x）2+32＝（x+3）2，解得x＝2，∴AE＝2，∴DE＝，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，熟練掌握半角模型的處理策略是解題的關(guān)鍵．2．(2023·全國·九年級專題練習(xí)）在中，，點(diǎn)在邊上，．若，則的長為__________．答案:分析將CE繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到CG，連接GB，GF，可得△ACE≌△BCG，從而得FG2＝AE2＋BF2，再證明△ECF≌△GCF，從而得EF2＝AE2＋BF2，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：將CE繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到CG，連接GB，GF，∵∠BCE＋∠ECA＝∠BCG＋∠BCE＝90°∴∠ACE＝∠BCG．∵在△ACE與△BCG中，∵，∴△ACE≌△BCG（SAS），∴∠A＝∠CBG＝45°，AE＝BG，∴∠FBG＝∠FBC＋∠CBG＝90°．在Rt△FBG中，∠FBG＝90°，∴FG2＝BG2＋BF2＝AE2＋BF2．又∵∠ECF＝45°，∴∠FCG＝∠ECG?∠ECF＝45°＝∠ECF．∵在△ECF與△GCF中，，∴△ECF≌△GCF（SAS）．∴EF＝GF，∴EF2＝AE2＋BF2，∵，∴BF=，故答案是：．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)變換，二次根式的化簡，通過旋轉(zhuǎn)變換，構(gòu)造全等三角形，是解題的關(guān)鍵．1．(2023·浙江·南海實(shí)驗(yàn)學(xué)校旌旗山初中校區(qū)八年級期末）已知：邊長為4的正方形ABCD，∠EAF的兩邊分別與射線CB、DC相交于點(diǎn)E、F，且∠EAF＝45°，連接EF．求證：EF＝BE+DF．思路分析：(1)如圖1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADE'，則F、D、E'在一條直線上，∠E'AF＝度，……根據(jù)定理，可證：△AEF≌△AE'F．∴EF＝BE+DF．類比探究：(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段CB的延長線上，探究EF、BE、DF之間存在的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過程；拓展應(yīng)用：(3)如圖3，在△ABC中，AB＝AC，D、E在BC上，∠BAC＝2∠DAE．若S△ABC＝14，S△ADE＝6，求線段BD、DE、EC圍成的三角形的面積．答案:(1)45(2)DF＝BE+EF，證明見解析(3)2分析（1）把繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)至，則、、在一條直線上，，再證△，得，進(jìn)而得出結(jié)論；（2）將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，再證△，得，進(jìn)而得出結(jié)論；（3）將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則，得，因此，同（2）得△，則，，得、、圍成的三角形面積，即可求解．（1）解：如圖1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，∴把△ABE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至，則F、D、在一條直線上，≌△ABE，∴＝BE，∠＝∠BAE，＝AE，∴∠＝∠EAD+∠＝∠EAD+∠BAE＝∠BAD＝90°，則∠＝∠﹣∠EAF＝45°，∴∠EAF＝∠，∴△AEF≌△（SAS），∴，∵，∴EF＝BE+DF．故答案為：45；（2）解：DF＝BE+EF

理由如下：將△ABE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△，∴△≌△ABE，∴AE＝，BE＝，∠＝∠BAE，∴∠＝∠BAE+∠＝∠+∠＝∠BAD＝90°，則∠＝∠﹣∠EAF＝45°，∴∠＝∠EAF＝45°，在△AEF和△中，，∴△AEF≌△（SAS），∴，∵，∴DF＝BE+EF；（3）解：將△ABD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△，連接，則△≌△ABD，∴CD'＝BD，∴，同（2）得：△ADE≌△（SAS），∴，，∴BD、DE、EC圍成的三角形面積為、、EC圍成的三角形面積．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及四邊形和三角形面積等知識，本題綜合性強(qiáng)，解此題的關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)的啟發(fā)正確作出輔助線得出全等三角形，屬于中考?？碱}型．2．(2023·陜西西安·七年級期末）問題背景：如圖1，在四邊形ABCD中，，，E、F分別是BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝60°，探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系．小王同學(xué)探究此問題的方法是，延長FD到點(diǎn)G，使DG＝BE，連接AG，先證明，再證明，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是______．實(shí)際應(yīng)用：如圖2，在新修的小區(qū)中，有塊四邊形綠化ABCD，四周修有步行小徑，且AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，在小徑BC，CD上各修一涼亭E，F(xiàn)，在涼亭E與F之間有一池塘，不能直接到達(dá)，經(jīng)測量得，BE＝10米，DF＝15米，試求兩涼亭之間的距離EF．答案:問題背景：EF＝BE＋FD；實(shí)際應(yīng)用：兩涼亭之間的距離EF為25米分析（1）根據(jù)△ABE≌△ADG可得BE=DG，根據(jù)△AEF≌△AGF得EF=GF，進(jìn)而求得結(jié)果；（2）延長CD至H，使DH=BE，可證得△ADH≌△ABE，進(jìn)而證得△FAH≌△FAE，進(jìn)一步求得EF．【詳解】解：問題背景：∵∠ADC=90°，∠ADC+∠ADG=180°，∴∠ADG=90°，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=60°，∠BAD=120°，∴∠BAE+DAF=120°-60°=60°，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=60°=∠EAF，在△AEF和△AGF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=FG，∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF，故答案為：EF=BE+DF；實(shí)際應(yīng)用：如圖2，延長CD至H，使DH=BE，連接AH，∵∠B+∠ADC=180°，∠ADH+∠ADC=180°，∴∠ADH=∠B，在△ADH和△ABE中，，∴△ADH≌△ABE（SAS），∴AE=AH，∠BAE=∠DAH，∵∠EAF=∠BAD，∴∠HAF=∠DAH+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，在△AEF和△AHF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=FH，∵FH=DH+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF，∵BE=10米，DF=15米，

∴EF=10+15=25（米）．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是四邊形的綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，作輔助線構(gòu)造全等三角形并兩次證全等是解題的關(guān)鍵．3．(2023·江蘇·八年級專題練習(xí)）問題情境在等邊△ABC的兩邊AB，AC上分別有兩點(diǎn)M，N，點(diǎn)D為△ABC外一點(diǎn)，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．特例探究如圖1，當(dāng)DM＝DN時，（1）∠MDB＝度；（2）MN與BM，NC之間的數(shù)量關(guān)系為；歸納證明（3）如圖2，當(dāng)DM≠DN時，在NC的延長線上取點(diǎn)E，使CE＝BM，連接DE，猜想MN與BM，NC之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．拓展應(yīng)用（4）△AMN的周長與△ABC的周長的比為．答案:（1）30；（2）MN＝BM+NC；（3）MN＝BM+NC，證明見解析；（4）分析（1）先證明△MDN是等邊三角形，則MN＝DM＝DN，再證明Rt△DBM≌Rt△DCN（HL），得∠BDM＝∠CDN＝30°；（2）由（1）得DM＝2BM，可得結(jié)論MN＝2BM＝BM+NC；歸納證明：先證△DBM≌△DCE（HL），得DM＝DE，∠BDM＝∠CDE，再證△MDN≌△EDN（SAS），得MN＝NE，可得結(jié)論MN＝BM+CN；拓展應(yīng)用：（3）首先根據(jù)題意利用SAS證明△DBM≌△DCE，然后證明△MDN≌△EDN，根據(jù)全等三角形對應(yīng)相等通過線段之間的轉(zhuǎn)化即可得到MN＝BM+NC；（4）由（3）得到MN＝BM+NC，則△AMN的周長＝2AB，△ABC的周長＝3AB，即可得出結(jié)論．【詳解】特例探究：解：（1）∵DM＝DN，∠MDN＝60°，∴△MDN是等邊三角形，∴MN＝DM＝DN，∵∠BDC＝120°，BD＝DC，∴∠DBC＝∠DCB＝30°，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠DBM＝∠DCN＝90°，∵BD＝CD，DM＝DN，∴Rt△DBM≌Rt△DCN（HL），∴∠MDB＝∠NDC＝30°，故答案為：30；（2）由（1）得：DM＝2BM，DM＝MN，Rt△DBM≌Rt△DCN（HL），∴BM＝CN，∴DM＝MN＝2BM＝BM+NC，即MN＝BM+NC；歸納證明（3）解：猜想：MN＝BM+NC，證明如下：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵BD＝CD，∠BDC＝120°，∴∠DBC＝∠DCB＝30°，∴∠MBD＝∠NCD＝90°．∴∠MBD＝∠ECD＝90°，又∵BD＝CD，BM＝CE，∴△DBM≌△DCE（SAS），∴DM＝DE，∠MDB＝∠EDC，∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，∴∠MDB+∠NDC＝60°，∴∠EDN＝∠NDC+∠EDC＝∠MDB+∠NDC＝60°，∴∠EDN＝∠MDN，又∵DN＝DN，∴△MDN≌△EDN（SAS），∴MN＝EN＝EC+NC＝BM+NC；拓展應(yīng)用（4）解：由（1）（2）得：MN＝BM+NC，∴△AMN的周長＝AM+MN+AN＝AM+BM+NC+AN＝AB+AC＝2AB，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC的周長＝3AB，∴△AMN的周長與△ABC的周長的比為＝，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)的，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)．1．（1）如圖①，在四邊形中，，，，分別是邊，上的點(diǎn)，且．請直接寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系：__________；（2）如圖②，在四邊形中，，，，分別是邊，上的點(diǎn)，且，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請寫出證明過程；（3）在四邊形中，，，，分別是邊，所在直線上的點(diǎn)，且．請畫出圖形（除圖②外），并直接寫出線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．答案:（1）；（2）成立，理由見解析；（3）圖形見解析，分析（1）延長EB到G，使BG=DF，連接AG．證明△AGE和△AEF全等，則EF=GE，則EF=BE+DF，證明△ABE和△AEF中全等，那么AG=AF，∠1=∠2，∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD．從而得出EF=GE；（2）思路和作輔助線的方法同（1）；（3）根據(jù)（1）的證法，我們可得出DF=BG，GE=EF，那么EF=GE=BE-BG=BE-DF．【詳解】（1）延長至，使，連接，∵，，∴≌，∴，，∴，∴，在和中，∵，∴≌，∴，∵，∴．故答案為：（）（）中的結(jié)論仍成立，證明：延長至，使，∵，，∴，在和中，，∴≌，∴，,∵，∴，∴即，在和中，，∴≌，∴，即．（），證明：在上截取使，連接，∵，，∴，∵在和中，，∴≌，∴，，∴，∴，在和中，，∴≌，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，通過全等三角形來實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)換是解題關(guān)鍵，沒有明確的全等三角形時，要通過輔助線來構(gòu)建與已知和所求條件相關(guān)聯(lián)的全等三角形.2．如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E是邊AC上一定點(diǎn)，點(diǎn)D是直線BC上一動點(diǎn)，以D