陜西省寶雞市2023屆高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)（理）試卷(含答案)

陜西省寶雞市2023屆高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)（理）試卷

學(xué)校：姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、選擇題

1、設(shè)集合加={目—4<x<0},N={x∣χ2<4},則MN=()

A.{x∣-2<x<θ}B.{x∣-2<x<2}C.{x∣-4<x<4}D.{x∣-4<x<2}

2、設(shè)z∣,Z?為復(fù)數(shù)，則下列說(shuō)法正確的為()

22

A.?ZI+Z2=0,則z∣=Z2=0

B.若㈤=L∣,則4,Z2互為共輾復(fù)數(shù)

C.若α∈R,i為虛數(shù)單位，則（α+l）?i為純虛數(shù)

D.?Z2≠0,則五=國(guó)

3、直線/：XCoSa+ysine=l（αeR）與曲線CY+y，=1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

A.0B.lC.2D.無(wú)法確定

4、我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽用弦圖給出了勾股定理的證明，弦圖是由四個(gè)全等的直角三角

形和中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形（如圖所示），記大正方形和小正方形的

面積分別為H和S2,若IL=5,則直角三角形的勾（較短的直角邊）與股（較長(zhǎng)的直角邊）

的比值為（）

5、設(shè)α,b∈R,則''α+匕≥2''是“。2+/22”的（）

A.充要條件B.必要不充分條件

C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件

6、zλABC中，AB=5,AC=7,。為BC的中點(diǎn)，Ar）=5,則BC=（）

A.2√3B.4√3C.2√2D,4√2

7、已知拋物線C：》2=2刀(〃>0)的焦點(diǎn)為憶M(X,y)為C上一動(dòng)點(diǎn)，曲線C在點(diǎn)

M處的切線交y軸于N點(diǎn)，若/FMN=30°,則NfW=()

A.60oB.45oC.30oD.15o

8、已知函數(shù)/(x)=lgx+lg(2-x),則()

A.∕(x)在(0,1)單調(diào)遞減，在(1,2)單調(diào)遞增

B.∕(x)在(0,2)單調(diào)遞減

CJ(X)的圖像關(guān)于直線X=1對(duì)稱(chēng)

D.∕(x)有最小值，但無(wú)最大值

22

9、設(shè)機(jī)，n∈{-2,-1,0,1,2,3},曲線C：fwc+ny=↑,則下列說(shuō)法正確的為()

A.曲線C表示雙曲線的概率為上B.曲線C表示橢圓的概率為工

56

C.曲線C表示圓的概率為工D.曲線。表示兩條直線的概率為:

10

x≥0

10、點(diǎn)P(X,y)在不等式組＜x-2y≤0表示的平面區(qū)域上，則孫的最大值為()

l.r+y-3≤0

98

A二B.2C.-D.3

43

11、四棱錐P—ABCD中，底面ABC。為邊長(zhǎng)為4的正方形，ZPBA=NPBC,

PD±AD,。為正方形ABC。內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)且滿足QALQP,若PD=2,則三棱錐

Q-PBC的體積的最小值為()

84

A.3B.-C.-D.2

33

12、已知正實(shí)數(shù)》,y,zIog2X=Iog3y=Iog5z≠0,給出下列4個(gè)命題：

①x<y<z

②X,y,Z的方程x+>=z有且只有一組解

③無(wú)，y,Z可能構(gòu)成等差數(shù)列

④X,y,Z不可能構(gòu)成等比數(shù)列

其中所有真命題的個(gè)數(shù)為()

A.lB.2C.3D.4

二、填空題

13、若a,h,c,[為實(shí)數(shù)，且"°=〃_加，定義函數(shù)/3=Sin無(wú)CCOSx,現(xiàn)

bd2cos%2cos%

將/（X）的圖像先向左平移居個(gè)單位，再向上平移G個(gè)單位后得到函數(shù)g（x）的圖

像，則g（x）的解析式為.

14、已知非零向量”,b,C?滿足W=W=Ia-U=I且卜-a-。|=1,則H的取值范圍是

15、若函數(shù)/（幻=寸-下》+:/一依無(wú)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

16、如圖，已知正四面體EFG”和正四棱錐P-ABCD的所有棱長(zhǎng)都相等，現(xiàn)將正四

面體耳'G//的側(cè)面EG”與正四棱錐P-ABCD的側(cè)面重合（P,E重合；A,H重

合；B,G重合）后拼接成一個(gè)新的幾何體，對(duì)于新幾何體，下列說(shuō)法正確的有

①PhCD

②P尸與BC異面

③新幾何體為三棱柱

④新幾何體的6個(gè)頂點(diǎn)不可能在同一個(gè)球面上

三、解答題

17、某市作為常住人口超2000萬(wàn)的超大城市，注冊(cè)青年志愿者人數(shù)超114萬(wàn)，志愿服

務(wù)時(shí)長(zhǎng)超268萬(wàn)小時(shí).2022年6月，該市22個(gè)市級(jí)部門(mén)聯(lián)合啟動(dòng)了2022年市青年志愿

服務(wù)項(xiàng)目大賽，項(xiàng)目大賽申報(bào)期間，共收到331個(gè)主體的416個(gè)志愿服務(wù)項(xiàng)目，覆蓋

文明實(shí)踐、社區(qū)治理與鄰里守望、環(huán)境保護(hù)等13大領(lǐng)域.已知某領(lǐng)域共有50支志愿隊(duì)

伍申報(bào)，主管部門(mén)組織專(zhuān)家對(duì)志愿者申報(bào)隊(duì)伍選行評(píng)審打分，并將專(zhuān)家評(píng)分（單位：分）

分成6組:[40,50）,[50,60）,[90,100],得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求圖中m的值；

⑵從評(píng)分不低于80分的隊(duì)伍中隨機(jī)選取3支隊(duì)伍，該3支隊(duì)伍中評(píng)分不低于90分的

隊(duì)伍數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列和期望.

18、如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCO,AB//DC,

8=2AB=2AD=2,Pz)=4,AD±CD,E為棱PO上一點(diǎn).

(1)求證：無(wú)論點(diǎn)E在棱PO的任何位置，都有CD,AE成立；

(2)若E為Po中點(diǎn)，求二面角4-EC-P的余弦值.

19、已知函數(shù)/(x)=R］,等比數(shù)列｛《,｝的前〃項(xiàng)和為/(")-c,數(shù)列也｝(2>0)的

k?/

首項(xiàng)為c,且前〃項(xiàng)和S“滿足5,i-S?_,=E+瓦(H>2).

(1)求數(shù)列｛%｝和也｝的通項(xiàng)公式；

⑵若數(shù)列［」一］前〃項(xiàng)和為7；,求使7；>39的最小正整數(shù)n.

bA+J2023

22

20、已知橢圓C∣:夕+方=l(α>8>0),F為左焦點(diǎn)、,A為上頂點(diǎn)，B(2,0)為右頂

點(diǎn)，若773尸|=2,8|,拋物線C2的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F?

(1)求G的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)是否存在過(guò)F點(diǎn)的直線，與G和。2交點(diǎn)分別是P，。和M，N,使得

SAOPQ=;SAOMN?如果存在，求出直線的方程；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由(SAθpQ為

△O尸。面積).

21、已知函數(shù)/(x)=xlnx+^x2-x(β∈R),且/(x)在(0,+∞)內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)無(wú)∣,

X(?l<

2X2).

⑴求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

?

(2)求證：Q+--------<0.

xl+x2

22、(選修4.4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程)

X=2t--

在直角坐標(biāo)系Xoy中，曲線C的參數(shù)方程為:a為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極

點(diǎn)，X軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線/的極坐標(biāo)方程為夕cos[e+]J=l.

(1)求曲線C的普通方程及直線/的直角坐標(biāo)方程；

⑵已知點(diǎn)M(2,0),若直線/與曲線C交于P,Q兩點(diǎn)，求IPMTQM.

23、(選修4-5：不等式選講)

已知函數(shù)/(x)=∣x-l∣+∣x+l∣.

(1)求不等式"x)<3的解集；

⑵若二次函數(shù)y=-∕-2x+根與函數(shù)y=∕(χ)的圖象恒有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范

圍.

參考答案

1、答案：D

解析：由題意，M-{x?-4<X<Q],

在N={x∣f<4}中，化簡(jiǎn)集合，N={%∣-2<x<2},

：.MN={x∣-4<x<2},故選：D.

2、答案：D

解析：對(duì)于A項(xiàng)，取Z]=l,z2=i,則z：+Z2?=1-1=O,故A項(xiàng)錯(cuò)誤;

對(duì)于B項(xiàng)，取ZI=1,z2=i,則IZll=IZ2∣=1,故B項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于C項(xiàng)，當(dāng)α=T時(shí)，（"+l）i=0為實(shí)數(shù)，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于D項(xiàng)，設(shè)Z]=α+8i,z2=c+di,其中α,6,c,deR且/+/≠0.

m,zl_a+bi_(α+λ>i)(c-Ji)_ac+bd+(be-ad)?

22

z2c+di(c+di)(c-4)c+d

ac+hd+(be-ad)i_y∣(ac+bd)2+(be-ad)1_y(fl+。)(c+d)_Ia2+b2

所以同

=crTd^=-

2222

?∣zl∣_?∣a+h_Ia+b

∣??！蘡2+J2~?c1+d-

故D項(xiàng)正確.

所噌H?

故選：D.

3、答案：B

解析：曲線U∕+y2=1是圓心在（0,0）上，半徑尸=1的圓,

則圓心與直線I的距離d==1,

√cos2<z+sin2a

d=>??.曲線。與直線/相切，即只有一個(gè)交點(diǎn)，

故選：B.

4、答案：A

解析：設(shè)直角三角形的短直角邊為X,則長(zhǎng)直角邊為X+底,

因?yàn)榇笳叫蔚拿娣e為5,小正方形的面積為$2,

所以由勾股定理可得（店）2=V+（χ+店）2,

又墾=5,

所以解得X=店或工=-2屈■（舍），

所以長(zhǎng)直角邊為x+店=2厄，短直角邊為向，

直角三角形的勾（較短的直角邊）與股（較長(zhǎng)的直角邊）的比值為

2

故選：A.

5、答案：C

解析：^a+b≥2,則/+∕≥絲土比≥2成立，當(dāng)且僅當(dāng)α=∕7=l時(shí)取等,

2

若α2+∕>2≥2,不妨設(shè)α=A=-l,則a+Z?22不成立，

所以“a+022”是“/+〃22”的充分不必要條件.

故選：C.

6、答案：B

解析：設(shè)BC=2x,則8O=CO=x?

25+/—49

在aACD中，由余弦定理及其推論可得，cosZAZ）C=

IAD-CDHk

在AABO中，由余弦定理及其推論可得，COSNADB=AP'+必二=25上七25

2ADBDIOx

又NAZ)C+ZAT>B=τι,所以COSNAr)C=-COSNAr>8,

匚二1、I—25+X?—4925+元?—25?zTE—T4曰2IC

所以有，---------=-----------，整r理可得Y=12,

IOxIOx

解得X=2√5,

所以，BC=4√3.

故選：B.

7、答案：C

解析：不妨設(shè)M在第一象限M(X,〉)，因?yàn)閽佄锞€U∕=2Py(P>0),故丁'=彳，

2

故切線PN的方程為丫-工=土(X-X),

2〃P

/2\22

故N0,-E,又由拋物線的定義可得IfMI=E+",且IKVl=E+3，

I2pJIp2Ip2

故FM=FN,故NFNM=NFMN=30°,

解析：由題易知，函數(shù)/(x)=lgx+lg(2-x)的定義域?yàn)?0,2),

/(x)=lg[x(2-x)]=lg[-(x-l)2+l],由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)

f(x)=lgx+Ig(2-X)在(0,1)單調(diào)遞增，在(1,2)單調(diào)遞減，故A、B錯(cuò)誤；

/(l-x)=lg(l-x)+lg(x+l),/(1+x)=Ig(X+1)+lg(l-x),所以/(1一x)=/(l+x)，所

以y=∕(χ)的圖象關(guān)于直線X=I對(duì)稱(chēng)，故C正確；

由函數(shù)/(x)=lgx+lg(2-X)在(0,1)單調(diào)遞增，在(1,2)單調(diào)遞減，可得函數(shù)有最大值

/(l)=lgl+lgl=0,故D錯(cuò)誤.

故選：C.

9、答案：B

解析：對(duì)于A,當(dāng)相〃<0時(shí)，曲線U∕nχ2+"V=1表示雙曲線，

m<0且〃>0時(shí)，有CYe=6(種)；

加>0且〃<()時(shí)，有C；.C；=6(種)；

所以曲線C表示雙曲線時(shí)的概率為任=工，選項(xiàng)A錯(cuò)誤;

6×63

對(duì)于B,當(dāng)機(jī)>0,n>0,且〃2≠∕z時(shí)，

曲線C：如?+"=1表示橢圓，

2

?1

由此知，曲線C表示橢圓的概率為d=L,選項(xiàng)B正確;

6×66

對(duì)于C,當(dāng)帆=〃>0時(shí)，曲線C：如?+町，=1表示圓，

31

由此知，曲線。表示圓的概率為一二=上，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

6×612

對(duì)于D,當(dāng)m=O且〃>0時(shí)，或相>0且?guī)?O時(shí)，曲線Cg?+〃V=1表示兩條直

線，

機(jī)=()月.力>0時(shí)，有3種；相>0月.〃=O時(shí)，有3種；

所以曲線C表示兩條直線的概率為之E=J,選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

6×66

故選：B.

10、答案：A

解析：令X=m+〃，y=m-n,則z二個(gè)=（帆+〃）（〃2—〃

x≥0m+π≥O

不等式組x-2fy≤O變?yōu)?lt;3n-m<0,

x+y-3≤02m-3<0

〃2+〃≥O

則3〃-機(jī)≤0表示的平面區(qū)域如圖,

2m-3≤O

2M-3=O

由圖可知，當(dāng)/”=3,〃=0時(shí)，ZX=Z?2-〃2=2.故選：A.

2nιιnι<>χ4

11、答案：B

解析：取AP的中點(diǎn)F,過(guò)戶(hù)作FA/〃PD,交AD于M,

由NPBA=NPBC,正方形ABC。，可得APBA名APBC,即有Q4=PC,

而PD,AD,且AD=Cz),?PAD^?PCD,即有CQ_LP￡>,

由CDAO=D,

所以PDJ_平面ABCD

由QA_LQP,可得Q在以AP為直徑的球面上，

設(shè)。到BC的距離為〃，

114

則％-碗=‰βc=→2×-×4^-∕z,

要使三棱錐Q-PBC的體積的最小，只要求/?的最小值.

由FM//PD,可得WM=Jpo=I,

2

又尸為球心，Qb=LAP=‘X=6，MQ=√5≡T=2,

'22'

即Q在以AO直徑的圓上，則h的最小值為2,

三棱錐Q-PBC的體積的最小值為I?

故選:B.

12、答案:C

,,

解析:?Iog2X-Iog3y-Iog5z=t≠0,可得x=2',y=3,z=5,

當(dāng)/'=-1時(shí)，x=L,y=,，z=—,可得x>y>z,故①錯(cuò)誤；

2-35

令x+y=z,即)+丁=5\即有g(shù)y+[1)=l,(*)

由f(χ)=[∣J+]∣J為遞減函數(shù)，且/⑴=1,

可得方程(*)的解為y1,即x=2,y=3,z=5,故②正確；

若心y,Z構(gòu)成等差數(shù)列，即為x+z=2y,即有2+S=2?3'即有(：)'+1=2.|^),

設(shè)加⑺=2'+5'—2χ3'(∕w0),由于(9+專(zhuān))一(專(zhuān)≈6λ^19<0,則

(I)I12c▽?zhuān)?121八

m?—=-τ=?H--r=—y=<0-?m(-i)=—I-------=—>O,

I2j√2√5√325330

“⑺在11,；]上連續(xù)，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可得，存在re1-l,1,使得根”)=0,所以

X，y，Z可能構(gòu)成等差數(shù)列，故③正確；

若X,y,Z能構(gòu)成等比數(shù)列,則>2=χz,

即(3'『=2'5,

整理可得，[2[=ι,結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可知/=0,與條件矛盾,

UoJ

即X,y,Z不可能構(gòu)成等比數(shù)列，故④正確.

故真命題為②③④.

故選：C.

13、答案：g(x)=2cos2x

解析：由題意，x∈R,

a,b,c,d為數(shù)，aC=ad-bc,

bd

在/(x)=sinxGCOSX中，

2cosX2cosX

f(x)=2sinxcosx-2?∣3cos2x=sin2x-百(CoS2x+1)=2sin—一G,

/⑴的圖像先向左平移居個(gè)單位，再向上平移6個(gè)單位后得到函數(shù)g(x)'

g(x)=2sin(2x+2x?^一三)一百+VJ=2cos2x,

.?.g(x)的解析式為：g(x)=2cos2x.

故答案為：g(x)=2cos2x.

14、答案：[GτG+l]

解析：由已知IaH3I=Iα^^8∣=1，所以，以IαI,I8I,Ia-ZJl為三邊的三角形為等邊三

角形.

所以4,8的夾角為60。，

所以有，(a+b)2=a+2a-b+b1=3,故∣a+8∣=g.

由向量模長(zhǎng)的三角不等式，自+0-∣c∣<?c-a-b?=?a+b-c?≤?a+b?+?c?,

即槨-∣H41≤石+∣c∣?

顯然6+∣c∣≥l恒成立，所以槨-IClI≤1,

所以有-1≤石-∣c∣≤l,所以B-l≤∣c∣≤百+1,

所以，ICl的取值范圍是[GτG+l].

故答案為：[G-1,G+1]?

15、答案：{a?a≤2}

解析：f(x)=e'-e^x+^x3-ax,則/'(x)=e'+尸+;?一4,

若函數(shù)/(x)=e*-eT+%3-ax無(wú)極值點(diǎn).

則/'(X)=6*+/+/-。無(wú)變號(hào)零點(diǎn)，

-φ?^(%)=∕,(x)=ex+e~x+x2-a,

則g'(x)=ejc-e-*+2x,

當(dāng)x<0時(shí)，0<e*<l,e^l>1,2x<0,貝(]e*-e7<O,貝Ug'(x)=e*—e-*+2x<0,

當(dāng)x>()時(shí)，ev>1,0<e^v<1,2x>0,則e'-e-*>O,則g'(x)=e*-e-*+2x>0,

則g(x)在(-oo,0)上單調(diào)遞減，(0,+8)上單調(diào)遞增，

即尸(X)在(-∞,0)上單調(diào)遞減，(O,+oo)上單調(diào)遞增，在X=O處取得最小值，

若尸(X)=e<+eτ+χ2-α無(wú)變號(hào)零點(diǎn)，則/(0)=e°+e-°+()2_a20,解得：a<2,

故答案為：Ma42}.

16、答案：①③④

解析：解：取AB的中點(diǎn)G,CO的中點(diǎn)”，

連接尸G,PH,GH,

則EGLAB,CD±GH,PHLCD,

則ABJ_平面FGH,CD_L平面尸GH,

,ABHCD,平面FGH與平面AGH重合，

即P"GF為平面四邊形，

,P產(chǎn)=BC=G",.?.四邊形A"G尸為平行四邊形，

.?.PFHGH,.-.PFLCD,故①正確，

易誣GH//BC,從而PF//BC,故②錯(cuò)誤；

對(duì)于C,新幾何體為三棱柱，有5個(gè)面，故選項(xiàng)③正確；

對(duì)于D,新幾何體為斜三棱柱，沒(méi)有外接球，故選項(xiàng)④正確.

故答案為：①③④.

17、答案：(I)W=O.012

⑵分布列見(jiàn)解析‘期望為T(mén)

解析：(1)由(0.004x2+0.022+0.030+0.028+m)*10=1,解得〃z=0.012.

⑵由題意知不低于80分的隊(duì)伍有50x(0.12+0.04)=8支,

不低于90分的隊(duì)伍有50x0.04=2支.

隨機(jī)變量X的可能取值為0,1,2.

32112

P(X=O)=WC=53,P(X=I)=CECl=1R5p(χ=2)=C工C1=3

C14e?28C：28

.?.x的分布列為

X02

5153

P

M2828

L/“、八5115C33

E(X)=0×FlX---F2×—=一

1428284

18、答案：(1)證明見(jiàn)解析

⑵-半

解析：(1)證明：因?yàn)镻r>_L平面ABC0,Cr>u平面ABC。,

所以PD_LeD,

因?yàn)锳DJ.CD,ADPD=D,AD,BDU平面外￡>,

所以CD_L平面PAD,

因?yàn)镋為棱Po上一點(diǎn)，

所以AEU平面PAD,

所以COJ_AE.

(2)解：因?yàn)镻D_L平面ABCO,ADlCD,

所以D4,DC,DP兩兩垂直，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系,

y

因?yàn)镃D=243=2AO=2,PD=4,

所以A(1,0,0),C(0,2,0),E(0,0,2),P(0,0,4),

所以￡4=(1,0,—2),EC≈(0,2,-2),

設(shè)平面AEC的一個(gè)法向量為〃=(X,y,z),

,EAn=0[x=2z.、

則r1〈，即an《，令Z=I得〃=(2,1,1),

ECn=O[y=z

因?yàn)镻OLAD,ADlCD,PDCD=D,PD,CDU平面PCD

所以AD，平面PCD.

所以平面PCE的一個(gè)法向量為加=ZM=(1,0,0),

所以cos2="，

'/胴√63

因?yàn)槎娼茿—EC—P為鈍二面角，

所以二面角A-石。-尸的余弦值為：-如.

3

19＞答案：(1)｛%｝的通項(xiàng)公式為a”=-2χ-；也｝的通項(xiàng)公式a=2"-1

?3√

(2)337

解析：⑴/(X)=R]，

等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為./?(")-C=口]-C,

??/

2

.?.al=f(l)-c=^-c,α2=[∕(2)-c]-[∕(l)-c]=9-

2

。3=［八3)-。］-［八2)-。］=-藥，

數(shù)列｛g｝是等比數(shù)列，應(yīng)有&=當(dāng)=4,解得c=l,q=~.

a,a,3

.?.首項(xiàng)q=f(↑)—c=^―c=9

.?.等比數(shù)歹∣J｛0,,｝的通項(xiàng)公式為J=-2×^J.

S,「兀=(瘋_卮)(后+卮)=瘋+斤〃≥2),

又＞＞0,瘋＞0,店一反=1;

，數(shù)列｛四｝構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，

.'.y［s^l=1+(〃-I)XI=〃，

2

S11=n,當(dāng)〃=1時(shí)，b［=S［=1,

22

當(dāng)〃≥2時(shí),bn=Sn-Sπ-l=n-(n-l)=2n-l,

又〃=1時(shí)也適合上式,

也｝的通項(xiàng)公式a=2∕ι-1.

(2)-----=-------------=------

bnbn+i(2〃-1)(2〃+1)212〃-1

2Ll3；135)157)

41^n

2〃+12π+l

由D需得票τ＞瑞得力>336.6,

故滿足7；＞U2的最小正整數(shù)為337.

“2023

22

20、答案：⑴亍+3=1

(2)存在符合題意的直線方程為》+冬+1=0或x-冬+1=0

解析：(1)依題意可知SlAq=即√7α=2√7壽，

由右頂點(diǎn)為3(2,0),得α=2,解得〃=3,

22

所以G的標(biāo)準(zhǔn)方程為亍+4=1?

(2)依題意可知C2的方程為∕=-4x,假設(shè)存在符合題意的直線,

設(shè)直線方程為X=Ay-1,P(X],χ),。(電,％)，M(Λ?,%),N(X4,%)，

x=ky-I

聯(lián)立方程組y2,得(3公+4)丁-66-9=0,

—I----=1

[43

由韋達(dá)定理得

12√?2+1

則IX-%|=

3公+4

聯(lián)立方程組得八46一4=0,

y=-4x

由韋達(dá)定理得為+以=—4k,%”=-4,

所以1%-M=4，以+1，若S.OPQ=?SMMN，

則∣y-月卜』必-”|，即吁T：：=2"巾，解得攵=±半,

Z3K十43

所以存在符合題意的直線方程為x+gy+l=0或無(wú)-曰y+l=0?

21、答案：⑴」<a<0

e

(2)證明見(jiàn)解析

解析：⑴/'(x)=lnx+αr,因?yàn)?(x)在(0,+∞)內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)，

所以/'(X)在(O,+∞)內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，即方程lnx+0x=O有兩個(gè)正實(shí)根,

即。=—叱有兩個(gè)正實(shí)根，

X

Inx-I

令g(χ)=g'(χ)=7

XJr

當(dāng)x∈(O,e)時(shí),g'(x)<O,所以g(x)在(O,e)上單調(diào)遞減,

當(dāng)x∈(e,+∞)時(shí),√(x)>O,所以g(x)在(e,+OO)上單調(diào)遞增,

又g(e)=-J,畫(huà)出函數(shù)g(x)的圖象如圖所示，

(2)證明：/(x)在(0,+∞)內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)x∣,x2,

f/八Frfin-V+αr=OInXl-Inx,

由(1)可知，〈1l，則。=—!----1,

Inx2÷ax2-Ox2-xl

要證。+二一<0,只需In-Tnz2

+-<--0--,--

xl+x2X2-X1x1+X2

進(jìn)一步化為ln%—ln/<__L_

X2-xlxl+x