中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)函數(shù)17 反比例函數(shù)中的四邊形問(wèn)題（教師版）

專題17反比例函數(shù)中的四邊形問(wèn)題

1知識(shí)對(duì)接

考點(diǎn)一、反比例函數(shù)中的四邊形問(wèn)題

類型1單支雙曲線上一點(diǎn)兩垂直形成的矩形面積

II項(xiàng)訓(xùn)練

一、單選題

I.如圖，四邊形OABF中，NoAB=NB=90。，點(diǎn)4在X軸上，雙曲線y=?^過(guò)點(diǎn)尸，交

X

BF3

AB于點(diǎn)、E,連接ER若==；，SABEF=9,則左的值為（）

OA4

【答案】A

【分析】

kRF3

設(shè)點(diǎn)尸（”，-）,由蕓==得點(diǎn)E和點(diǎn)8,再結(jié)合SA陽(yáng)=9求火的值.

aOA4

【詳解】

解：設(shè)點(diǎn)尸（。，

a

'OA~4

???點(diǎn)3(44,一),點(diǎn)E(44，——),

a4a

3k

BF=3a,BE=—,

?：SABEF=9,

.13?

..-?3qa?-=9o,

24a

.'.k=8,

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了反比例圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)，三角形的面積，采用了設(shè)而不求的方法求攵的取值.

2.如圖，函數(shù)y=&(?>0)的圖象經(jīng)過(guò)矩形。ABC的邊8C的中點(diǎn)E,若四邊形OOBC的

X

面積為6,則k的值為()

【答案】C

【分析】

k

根據(jù)反比例函數(shù)y=-(k>0)的圖象經(jīng)過(guò)矩形。45。的邊BC的中點(diǎn)E,可得到點(diǎn)D是AB

X

的中點(diǎn)，進(jìn)而得出S*cw=gs岷ij"80=2=j4，求出k即可?

【詳解】

設(shè)B(2ffl,2"),

?：E為8C中點(diǎn)，四邊形0C8A是矩形，

.'.E(2m,〃)

?.?函數(shù)y=V(?>0)的圖象經(jīng)過(guò)矩形。ABC的邊8C的中點(diǎn)E,

X

.*.k=2ιnn,

又點(diǎn)。在函數(shù)y=A(Λ>o)的圖象上，

X

，點(diǎn)。坐標(biāo)為（"7,2"）

.?.點(diǎn)。是AB的中點(diǎn)，

?"?SAAOD—-S四小彩OCHD-]X6=2=?-1?∣,

.^.k=4或&=-4<2（舍去），

故選：C.

【點(diǎn)睛】

考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，反比例函數(shù)人的兒何意義，以及矩形的性質(zhì)，求出

ΔOAD的面積是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

3.如圖，aABO的頂點(diǎn)4在函數(shù)y=K（x>0）的圖象上，/480=90。，過(guò)A。邊的三等

X

分點(diǎn)歷、N分別作X軸的平行線交AB于點(diǎn)P、Q.若四邊形例OBP的面積為5,則上的值

為（）

y?

θ?B*

A.9B.12C.15D.18

【答案】D

【分析】

SA4

根據(jù)已知條件，證明A45OAAPM,得至∣J*≡=G,推出S08。=9,又根據(jù)函數(shù)圖象

'△ABO"

上點(diǎn)的幾何意義，知道S△.,=耳，從而推得女值.

【詳解】

解：YM、N為Ao邊的三等分點(diǎn)，且NQHOB,MPHOB

：,AN=；AM=gAO,ZAQN=ZAPM=90

在AABO與AAPM中：

ZPAM=ZBAO

ZAPM=ZA80=90

.?.∕?ABOAAPM

SiJAMY(2)14

S△即UθJ⑺9

又???四邊形MO8尸的面積為5

即S四邊形MOBP=Sabo-Sapm=5

?,?SAABO=9

L

又YA在函數(shù)y=—（Λ>0）的圖象上，/450=90。

X

.s一付

,.dΔΛSO-2

.?.陶=18

V函數(shù)圖象在第一象限

Λjt>O

，％=18

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的幾何意義，以及相似三角形的相關(guān)判定和性質(zhì)，根據(jù)圖形進(jìn)

行數(shù)形結(jié)合是解題關(guān)鍵.

4.如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作A3，），軸于點(diǎn)8,點(diǎn)C、。在X軸上，且

BC//AD,四邊形ABCO的面積為3,則這個(gè)反比例函數(shù)的解析式為（）

【答案】D

【分析】

過(guò)4點(diǎn)向X軸作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的四邊形的面積是定值因，由此可得出答案.

【詳解】

解：過(guò)點(diǎn)A向X軸作垂線，如圖，

四邊形ABC。的面積為3,根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義可得：悶=3,

又反比例的函數(shù)圖象在第二象限，

；?&=—3,

3

即這個(gè)反比例函數(shù)的解析式為y=--?

X

故選D.

【點(diǎn)睛】

此題考查了反比例函數(shù)的幾何意義，解答本題關(guān)鍵是掌握在反比例函數(shù)中左所代表的幾何意

義，屬于基礎(chǔ)題，難度一般.

5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，ABCO為平行四邊形，A(6,2),8(2,4),反比例函數(shù)

y=A(kwO)的圖象經(jīng)過(guò)四邊形04?C的頂點(diǎn)C,則k的值是()

X

【答案】D

【分析】

連接。8,AC,根據(jù)0,8的坐標(biāo)易求P的坐標(biāo)，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)：對(duì)角線互相平

分即可求出則C點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法即可求得k的值.

【詳解】

解：連接08,AC,相交于點(diǎn)P,

：四邊形0A8C是平行四邊形，

：.AP=CP,OP=BP,

VB(2,4),

.??P的坐標(biāo)(1,2),

VA(6,2),

??.C的坐標(biāo)為(-4,2),

V反比例函數(shù)y=A(%≠0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)c,

X

/.?=-4×2=-8,

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，平行四邊形的性質(zhì)，求得C點(diǎn)的坐標(biāo)是解

答此題的關(guān)鍵.

6.如圖，四邊形QABC是平行四邊形，點(diǎn)月的坐標(biāo)為4(3,O),NCOA=60。，。為邊AB

k

的中點(diǎn)，反比例函數(shù)y=—(x>0)的圖象經(jīng)過(guò)C,。兩點(diǎn)，直線CZ)與y軸相交于點(diǎn)E,

X

則點(diǎn)E的坐標(biāo)為()

A.(O,2√3)B.(O,3√3)C.(0,5)D.(0,6)

【答案】B

【分析】

作CELX軸于點(diǎn)E,過(guò)8作8尸_LX軸于F,過(guò)力作DMLx軸于M,設(shè)C的坐標(biāo)為(x,√3

x),表示出。的坐標(biāo)，將C、。兩點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式，解關(guān)于X的方程求出X

即可得到點(diǎn)C、。的坐標(biāo)，進(jìn)而求得直線CO的解析式，最后計(jì)算該直線與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)即

可得出結(jié)果.

【詳解】

解：作CELV軸于點(diǎn)E,則NCE890。，

過(guò)8作BFLr軸于尸，過(guò)。作DWJ_x軸于

貝1J8F=CE,DM//BF,BF=CE,

；。為A8的中點(diǎn)，

：.AM=FM,

：.DM=《BF,

,：ZCOA=60o,

.".NoCE=30。，

.?.OC=2OE,CE=OE,

設(shè)C的坐標(biāo)為(x,JJx),

.?.AF=OE=x,CE=BF=6*OE=AF=x,DM=；&,

：四邊形OABC是平行四邊形，A(3,0),

.,.0F=3+x,OM=3+^x,

即。點(diǎn)的坐標(biāo)為(3+gx,∣√3x),

把C、。的坐標(biāo)代入V="得：k=x9√3Λ=(3+-?-x)???[3x,

X22

解得：%)=2,%2=0(舍去)，

：.C(2,2√3),D(4,√3),

設(shè)直線C。解析式為：）=0x+?,則

∫2√3=2β+Z?a=-------

,解得2,

[6=4a+b

b=3上

.?.直線8解析式為：y=-?x+3√3,

-2

當(dāng)X=O時(shí)，y=3上,

點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0,3石）.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式以及含30度角的直角

三角形的性質(zhì).根據(jù)反比例函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)C、。兩點(diǎn)，得出關(guān)于X的方程是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

7.如圖，四邊形AoBC和四邊形CDEF都是正方形，邊OA在X軸上，邊OB在y軸上,

Q

點(diǎn)D在邊CB上，反比例函數(shù)y=-2在第二象限的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)E,則正方形AOBC和正

X

方形CDEF的面積之差為()

A.12B.10C.8

D.6

【答案】C

【分析】

設(shè)正方形AOBC的邊長(zhǎng)為a,正方形CDEF的邊長(zhǎng)為b,則E(b-a,a+b),再根據(jù)反比例函

數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得(a+b)?(b-a)=8,因?yàn)镾正方形AoBC=a2，S正方形CDEF=b2，從而求得

正方形AOBC和正方形CDEF的面積之差為8.

【詳解】

解：設(shè)正方形AoBC的邊長(zhǎng)為a,正方形CDEF的邊長(zhǎng)為b,則E(a-b,a+b),

(a+b)?(a-b)=8,

整理為a2-b2=8,

"?"S,H???AOBC=a2,S正方彩CDEF=b2，

?'?S正方彩AoBC-S∣E?JKCDEF-8>

故答案為：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：反比例函數(shù)y="(k為常數(shù)，k≠0)的圖象是

X

雙曲線，圖象上的點(diǎn)(x,y)的橫縱坐標(biāo)的積是定值k,即Xy=Ik|；也考查了正方形的性質(zhì).

8.如圖，四邊形AoBC和四邊形CZ)EF都是正方形，邊OA在)，軸上，邊。B在X軸上，

點(diǎn)尸在邊AC上，反比例函數(shù)y=W在第一象限的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)E,則正方形408C和正方形

X

Cr史F的面積之差為()

A.12B.10C.6D.4

【答案】B

【分析】

設(shè)正方形AoBC的邊長(zhǎng)為α,正方形CZ)EF的邊長(zhǎng)為江則E(α-。，a+b),代入反比例函數(shù)

解析式即可求解.

【詳解】

解：設(shè)正方形AoBC的邊長(zhǎng)為4,正方形8EF的邊長(zhǎng)為6,則E(α-4a+b),

(a+b)?(a-b)-10,

整理為。2-左=10,

''SY)>HiAOBC-O1ySF,方%CDEF=b2，

:?S上方彩AOBC-SIE方彩COEF=10.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了反比例函數(shù)圖象匕點(diǎn)的坐標(biāo)特征：反比例函數(shù)y=A∕是常數(shù)，原0)的圖象是雙

X

曲線，圖象上的點(diǎn)α,y)的橫縱坐標(biāo)的積是定值匕即町二%.

2

9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=—(x>0)的圖象經(jīng)過(guò)矩形OABC的邊BC的中

X

點(diǎn)D,且與邊AB相交于點(diǎn)E,則四邊形ODBE的面積為()

【答案】B

【分析】

由矩形的性質(zhì)求出SΔOAB=SΔOBC,反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義△OAE和^OCD的面積各

為1,根據(jù)等底同高，面積和差求出四邊形OEBD的面積為2.

【詳解】

解：連接OB,如圖所示：

VOB是矩形OABC的對(duì)角線，

?*?SΔOΛB=SΔOBC

2

又V點(diǎn)D、E在反比例函數(shù)y=-(x>0)的圖象上，

X

,

?"?SAOA￡=SAOCD=5*2=1

又YCD=BD,OC是AOCD和AOBD的高，

??SΔOCD=SaOAB=1,

乂*?'S?OBC=SAOCD÷SΔOBD，

?*?SΔOAB=SaOBC=2

X*?,S?OBE=S?OAB-S?OAEτ

?*?SΔOBE=2-1=1,

XVS四邊形OEBD=SAODE+SAOBE,

?*?S四邊形OEBD=1+1=2,

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了矩形的性質(zhì)，反比例函數(shù)的性質(zhì)，三角形的面積和差法，等底同高法兩個(gè)三角形

的面積相等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，重點(diǎn)掌握反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，難點(diǎn)是作輔助線將不規(guī)則

的四邊形轉(zhuǎn)化成三角形求解.

10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)y=L(x>0)的圖象經(jīng)過(guò)矩形OABC的邊BC

X

的中點(diǎn)。，且與邊AB相交于點(diǎn)E,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,2),則四邊形。DBE的面積為()

?-1B.2D.4

【答案】D

【分析】

首先根據(jù)條件求出反比例函數(shù)的k值，再根據(jù)其幾何意義對(duì)面積進(jìn)行轉(zhuǎn)換即可.

【詳解】

Vβ(4,2),。為BC的中點(diǎn),

.?.O(2,2),把點(diǎn)。(2,2)代入反比例函數(shù)解析式得出=4,

4

???反比例函數(shù)解析式為y=—(x>0),則E(4,1),

X

?'.S四邊vθEBo=S?κOΛBC-S^OCD—S&0Λfc-4×2—?×2×2—?×4×1—4

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了求反比例函數(shù)解析式及反比例函數(shù)k的幾何意義，靈活利用k的兒何意義求解面

積是解題關(guān)鍵.

二、填空題

11.如圖，反比例函數(shù)y=%χ>O)的圖象經(jīng)過(guò)長(zhǎng)方形Q4BC對(duì)角線的交點(diǎn)M,分別與AB,

BC相交于點(diǎn)O,E.若四邊形0￡>8E的面積為3,則％的值為.

【答案】1

【分析】

設(shè)”點(diǎn)的坐標(biāo)為(〃?,〃)，根據(jù)矩形性質(zhì)求得A,B的坐標(biāo)，根據(jù)矩形的性質(zhì)以及反比例函數(shù)k

=

的幾何意乂SM)CE~S△()AD=?,根據(jù)SQ通形ODBES中形ABCD~^j^OCE~^ΔOΛD，以及已知條件即

可求得&.

【詳解】

四邊形ABCZ)是矩形，

，8C_Ly軸，BAJ_x軸，

由反比例函數(shù)%的幾何意義可知，

瓦。在反比例函數(shù)圖像上，

?'?S40cκ=S40AD=—

設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(m,n),而點(diǎn)M在反比例函數(shù)圖像上，則/m=%,

又；矩形。4BC對(duì)角線的交點(diǎn)〃.

..M為08的中點(diǎn)

.?.B(2∕n,2rt),A(2%,0),C(0,2n),

S>∣.?ΛBCD=AB×OA=2n×2m=4mn,

?,?S叫邊柩ODBESli,lβABCD~^^OCE~^ΔOAD=4?--?--?=3?,

.S?WiODBE~3>

34=3,

解得Z=1,

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】

本題考查了反比例函數(shù)%的幾何意義，矩形的性質(zhì)，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)求解是解題

的關(guān)鍵.

12.如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系XOy中，RtΔ0A3的直角頂點(diǎn)8在X軸的正半軸上，點(diǎn)A

在第一象限，反比例函數(shù)y=A(χ>0)的圖象經(jīng)過(guò)OA的中點(diǎn)C?交AB于點(diǎn)O,連接C￡>.若

X

AACD的面積是3,則四邊形08。C的面積是.

【答案】5

【分析】

作輔助線，構(gòu)建直角三角形，利用反比例函數(shù)%的幾何意義得到，κ?g=SW=《A，根據(jù)OA

的中點(diǎn)C,利用中線的性質(zhì)和三線合一得到40CE殂MOA8的血枳比為1:4,代入可得結(jié)

論.

【詳解】

解：連接O。，BC,過(guò)C作CE//AB,交X軸于E，

NABo=90。，反比例函數(shù)y=,χ>O)的圖象經(jīng)過(guò)OA的中點(diǎn)C,

X

=,

??SACoE=ΔBOD2S?4c0=S&OCD=?，SmBC=S&OBC?AC=OC=BC?

CElIAB,

：.CEA.OB,

：,OE=BE,

.SM)CE_?

??4SACJCE=SAOA8,

.?.4χL%=3+3+?U,

22

.?k=4,

?,?^AOAB=4×-×4=8,

???四邊形的面積為

OBEJCSAauJ-SΛ48=5,

故答案為：5.

7

J

?

。?X

【點(diǎn)睛】

本題考查了反比例函數(shù)比例系數(shù)%的幾何意義：在反比例函數(shù)y=&圖象中任取一點(diǎn)，過(guò)這

X

一個(gè)點(diǎn)向X軸和y軸分別作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積是定值∣A∣?在反比例函數(shù)的

圖象上任意一點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線，這一點(diǎn)和垂足以及坐標(biāo)原點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的面積是

?iλi,且保持不變.

13.如圖，過(guò)點(diǎn)P(2,3)分別作PcLX軸于點(diǎn)C,軸于點(diǎn)。，PC,尸。分別交反比

2

例函數(shù))=一(x>0)的圖象于點(diǎn)A、B,則四邊形304戶的面積為一.

?B_P

【答案】4

【分析】

根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義可得SAOBo=SAAoC=T因=1,再利用矩形OCPD的面積減

去ABDO和^CAO的面積即可.

【詳解】

2

解：?.?B?A兩點(diǎn)在反比例函數(shù)y=—(x>0)的圖象上，

??SA∕>80=SAAOC=5X2=l,

,：P(2,3),

/.四邊形DPCO的面積為2x3=6,

四邊形BOAP的面積為6-1-1=4,

故答案為4.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了反比例函數(shù)%的幾何意義，關(guān)鍵是掌握在反比例函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)象坐

標(biāo)軸作垂線，這一點(diǎn)和垂足以及坐標(biāo)原點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的面積是T因，且保持不變.

14.如圖，反比例函數(shù)的圖象與矩形ABCO的邊AB交于點(diǎn)G,與邊BC交于點(diǎn)D過(guò)點(diǎn)A,

。作DE//AF,交直線y=h(4<())于點(diǎn)E,F,若OE=OF,BG=GG4,則四邊形ADEF

的面積為.

B

AX

【答案】3+√3?

【分析】

延長(zhǎng)DE交無(wú)軸于K,WDHA.OATH,證得DOEK@DOE4,即可證得

得即可結(jié)果.

【詳解】

解：延長(zhǎng)￡)E交X軸于K,作DH_LOA于

33

設(shè)G(α,3),則CM=α,AG=-

aa

QBG—y∕3GA，

?BG=—,

a

?DH=AB=AG+BG=3^*^,

DEIlAF,

??EKO?FAO,

在AOEK和AQEA中，

!?EKO?FAO

VlEOK?FOA,

IOE=OF

?DOEK@DOFA(AAS),

?OK=OA=

?AK=2a,

]13+3>/3

?,?S四邊形AQE尸=S四邊形A.。+S&KE0=SMDK=^AK?DH=-×2a×-=3+??/?,

故答案為：3+??/?.

【點(diǎn)睛】

本題考查了反比例函數(shù)綜合，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形面積公式，證得

S四邊形AoEF=S四邊形AOEO+SDKEO=SDADK是解題的關(guān)鍵.

15.如圖，兩個(gè)反比例函數(shù)y=2和y=1在第一象限內(nèi)的圖象依次是C和C2,設(shè)點(diǎn)尸在Cl

XX

上，PC,X軸于點(diǎn)C,交C2于點(diǎn)A,PDLy軸于點(diǎn)。，交C2于點(diǎn)8,則四邊形B4O8的面

積為.

C2C1

【答案】2

【分析】

根據(jù)反比例函數(shù)k值的幾何意義即可求解.

【詳解】

13

'-Cizy=一過(guò)A,8兩點(diǎn)，Cl：y=一過(guò)P點(diǎn)，

X'X

??SAACO=SABOD=萬(wàn),S?fti。戶c。=3,

?'?S四邊IwPΛOB-SDPCO-S?ACO-SABOD=3-^?-?=2,

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知反比例函數(shù)k值的幾何意義.

三、解答題

16.如圖，點(diǎn)A是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)。是反比例函數(shù)y=?∣(x>0)圖像上一點(diǎn)，點(diǎn)3在X軸上,

AD=BD,四邊形ABc。是平行四邊形，BC交反比例函數(shù)y=%x>O)圖像于點(diǎn)E.

(1)平行四邊形A8C3的面積等于；

(2)設(shè)。點(diǎn)橫坐標(biāo)為如試用機(jī)的代數(shù)式表示點(diǎn)E的坐標(biāo)；(要有推理和計(jì)算過(guò)程)

(3)￡B的最小值為.

【答案】(1)12；(2)[(√2+l>,述二^]；(3)2√6-2√3

rn

【分析】

(1)作。HLAB丁方，設(shè)￡>(%,〃).首先證明/3=2∕n,根據(jù)反比例函數(shù)的幾何意義求出

mn=6即可解決問(wèn)題.

（2）利用（1）中結(jié)論，根據(jù)CO=A8=2m得到點(diǎn)。坐標(biāo)，求出直線BC的解析式，構(gòu)建

方程組確定點(diǎn)JE的坐標(biāo).

CFFClL

（3）作EFJ_x軸于F,CG_LX軸干G.利用平行線分線段成比例得到蕓==?=夜，得到

BE=AD求出An的最小值即可解決問(wèn)題.

√2+l

【詳解】

解：（1）如圖，作D”_LAS于”，設(shè)。（相,〃）.

DA=DB,DHA.AB,

.?.AH=BH=m,

點(diǎn)。在y=9上，

X

：.mn=6,

.?S平行四邊形A8C&=ABDH=2"In=12,

故答案為12.

（2）由題意拉（成勺■）,

IYl

由（1）可知A3=2優(yōu)，

四邊形ABC。是平行四邊形,

.?CD=AB=2m,

.?.C(3∕n,-),

m

8(2私0),設(shè)直線BC的解析式為y=lcx+bf

6

6.k=~

—=3mk+b,,m

m,解得：<

12

0=2mk+bt

m

??.直線BC的解析式為y=-?x-乜，

tnm

y=-X=(>/2÷1)∕∏X=Q-亞)m

Y

由612,解得=6夜-6或=6(l+√2)(舍棄)，

V=-X—y-y~

in2mmm

.?.EI(^+I>,處-6].

m

(3)作EFI.x軸于尸，CGJ軸于G.

EF//CGf

.CEFG3,"-(夜+l)m2-√Σ丘

-BE~BF~(42+l)m-2m~√2-l-

:.BE=-Ij-AD,

√2+l

要使得BE最小，只要AO最小，

.?.A。的最小值為2石,

.?.BE的最小值為青-=2√6-2√3.

√2+l

【點(diǎn)睛】

本題屬于反比例函數(shù)綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，一次函數(shù)的性

質(zhì)，待定系數(shù)法等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)構(gòu)建一次函數(shù)，利用方程組確定交點(diǎn)坐標(biāo)，屬于

中考?jí)狠S題.

17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系XOy中，點(diǎn)A8在反比例函數(shù)y=±（x>0）的圖像上（點(diǎn)8的橫

X

坐標(biāo)大于點(diǎn)A的橫坐標(biāo)），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2,4）,過(guò)點(diǎn)A作ADLX軸于點(diǎn)。,過(guò)點(diǎn)8作BCLx

軸于點(diǎn)C,連接OA45.

（1）求反比例函數(shù)y=A的表達(dá)式；

X

（2）若點(diǎn)。是OC的中點(diǎn)，求四邊形。ABC的面枳.

Q

【答案】（I）y=-；（2）IO

X

【分析】

(1)反比例函數(shù)待定系數(shù)法求解析式，將已知點(diǎn)A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)y=A即可;

X

(2)四邊形OABC的面積可以拆解為ΛA0D和四邊形ABCD

【詳解】

Lk

⑴把x=2,y=4代入y=±得4=暫，

X2

:.k=8.

Q

，反比例函數(shù)的表達(dá)式是y=2.

X

(2)Y點(diǎn)D是OC的中點(diǎn),

.?.OC=2OD=4.

Q

當(dāng)x=4時(shí)y=-=2.

4

.?.BC=2.

四邊形CMHC=SAOD+^illKABCD=~×2×4+-×(2+4)×2=10.

【點(diǎn)睛】

本題考查了用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式,第二問(wèn)考查了求反比例函數(shù)圖像上的點(diǎn)的

特點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是求出點(diǎn)8的坐標(biāo).

18.如圖，將一個(gè)長(zhǎng)方形放置在平面直角坐標(biāo)系中，0A=2,OC=3,E是AB中點(diǎn)，反比

例函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)E且和BC相交點(diǎn)F.

(1)直接寫出點(diǎn)8和點(diǎn)E的坐標(biāo)；

(2)求直線OB與反比例函數(shù)的解析式；

(3)連接OE、OF,求四邊形OEBF的面積.

333

【答案】(I)B(2,3),E(2,-)；(2)y=—x,y=—；(?)3

22x

【分析】

(1)根據(jù)OA—2,OC-3,得到點(diǎn)B的坐標(biāo)；根據(jù)￡是A8的中點(diǎn)，求得點(diǎn)E的坐標(biāo)，

(2)運(yùn)用待定系數(shù)法求直線OB的解析式，再進(jìn)一步運(yùn)用待定系數(shù)法求得反比例函數(shù)的解

析式；

(3)根據(jù)反比例函數(shù)的解析式求得點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)，再進(jìn)一步根據(jù)四邊形的面積等于矩形的

面積減去兩個(gè)直角三角形的面積進(jìn)行計(jì)算.

【詳解】

解：(1)V04=2,OC=3,E是48中點(diǎn)，

3

：.B(2,3),E(2,-)；

2

(2)設(shè)直線OB的解析式是y=hx,

3

把8點(diǎn)坐標(biāo)代入，得h=”,

2

3

則直線的解析式是y=5x.

設(shè)反比例函數(shù)解析式是y=與，

X

把E點(diǎn)坐標(biāo)代入，得的=3,

3

則反比例函數(shù)的解析式是y=，；

'X

3

(3)由題意得R=3,代入y=2,

X

得瓦=LBPF(1,3).

則四邊形OEBF的面積=矩形048C的面積-△OAE的面積-△OCF的面積=2x3-→

13

l×3——×2×-=3.

22

【點(diǎn)睛】

本題考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義、待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式、矩形的性質(zhì)、反

比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，靈活應(yīng)用是關(guān)鍵，本題是中

考的常考題型

19.如圖，已知反比例函數(shù)y=?^(χ>0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(4,2),過(guò)A作ACLy軸于點(diǎn)C.點(diǎn)

B為反比例函數(shù)圖象上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作8。，X軸于點(diǎn)。，連接AE).直線BC與X軸的

負(fù)半軸交于點(diǎn)E.

(I)求發(fā)的值;

(2)若BD=30C,求四邊形ACE。的面積.

【答案】(I)%=8：(2)6.

【分析】

(I)利用待定系數(shù)法即可解決問(wèn)題.

(2)分別求出點(diǎn)8、C坐標(biāo)，再求出直線BC的解析式，進(jìn)而求出E點(diǎn)坐標(biāo)，DE的長(zhǎng)，即

可利用梯形面積公式解決問(wèn)題.

【詳解】

解：(1)?.?反比例函數(shù)y=[χ>0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(4,2),

4

解得：Jt=8,

O

??.反比例函數(shù)解析式為：y=;(x>0).

(2)：ACLy軸，A(4,2),

，OC=2,

二BD=3OC=6,

'：3￡>J_x軸，

QQ

；?點(diǎn)8的縱坐標(biāo)為6,代入y=2中，得：6=-,

XX

4

解得：X=]，

?/C(0,2),

設(shè)直線BC的解析式為：y=kχ+b,

-k+b=6

則有“3

b=2

k=3

解得：＜

b=2

.?.直線Be的解析式為：y=3x+2,

令y=0,得：3x+2=0,

2

解得：χ=-j,

【點(diǎn)睛】

本題為反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)、?次函數(shù)解析式,

熟練掌握待定系數(shù)法，理解函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

20.如圖，將一個(gè)矩形放置在平面直角坐標(biāo)系中，OA=2,OC=3,E是AB的中點(diǎn)，反比

例函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)E且與BC相交于點(diǎn)F.

(1)求反比例函數(shù)的解析式；

(2)連接OE、OF,求四邊形。EBF的面積.

3

【答案】(I)y=-(2)3.

X；

【分析】

(1)根據(jù)題意求得E點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法即可求得函數(shù)解析式;

(2)根據(jù)S四邊形0面=-^OAE~S^OCF即可求得四邊形的面積.

【詳解】

解：⑴由題意得3(2,3),

設(shè)反比例函數(shù)的解析式是y=g%≠O),

把E點(diǎn)坐標(biāo)代入，得左=3,

所以反比例函數(shù)的解析式是)，=士；

X

3

(2)由題意得力=3,代入y=二，

X

得XF=1,即E(l,3),

==

??S四邊形OMF=S矩形(MBC-SAoAE~^SAOCF^~2~2^

【點(diǎn)睛】

本題考查待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，反比例函數(shù)4與圖形面積，矩形的性質(zhì).(1)中

能正確求得E點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵；(2)中掌握割補(bǔ)法是解題關(guān)鍵.

21.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正比例函數(shù)y=〃優(yōu)與反比例函數(shù)y=±上的圖象交于A、

X

P(-上,2√3)兩點(diǎn)，點(diǎn)B(√3,3√3)與點(diǎn)。關(guān)于直線AP對(duì)稱，連接48,作C￡>〃>

軸交直線AP于點(diǎn)C.

(1)求m、n的值和點(diǎn)A的坐標(biāo)；

(2)求SinNCoB的值；

(3)連接A。、BC,求四邊形ABCD的面積.

【答案】(1)m=-2,"=-3,A(√3,-2√3)；(2)半；(3)60

【分析】

〃一3

(1)把P點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入y=小與y=~即可求得；

X

(2)根據(jù)反比例函數(shù)和正比例函數(shù)的對(duì)稱性求得A的坐標(biāo),即可得出AB〃.y軸,AB=5√3,

然后通過(guò)證得△COP絲Z?A8P,得到AB=CD=56，CP=AP,即可證得四邊形ABC力是

菱形，根據(jù)勾股定理求得AP,即可求得Pe解直角三角形即可求得結(jié)論；

由菱形的性質(zhì)可知求得△的面積，即可求得四邊形

(3)SMi)MBa)=4SAEB,CPBABCQ

的面積.

【詳解】

解：(1)???正比例函數(shù)尸小與反比例函數(shù)y==-的圖象交于A、P(-√3,2√3)兩

X

點(diǎn)，

2?∣3-y/3w,2下)=-,

解得，m=-2,n=-3；

由題意可知A與P關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且P(-G，2√3),

ΛA(√3,-2√3)；

(2)(√5,3石)且A(5-2√3),

，A8〃y軸，

：.AB=50,

?.?CZλ√y軸，

.?AB∕∕CD,

：.ZCDP^ZABP,

,:點(diǎn)B(63√3)與點(diǎn)。關(guān)于直線AP對(duì)稱，

.,.AC±BD,PD=PB,

在4CDP和AABP中，

ZDP=NABP

PD=PB,

NCPD=NAPB

.,.ACDP^^ABP(ASA),

ΛΛB=CD=5√3,CP=AP,

5L"：ACLBD,PD=PB,

.?.四邊形ABCQ是菱形，

'：P(-√3,2√3),Λ(√3,-2追),

，PC=PA=√(-√3-√3)2+(2√3+2√3)2=2√15，

(3)'：PC-2√3),B(√3,3√3),

?"?PB=J(-√3-√3)2+(2√3-3√3)2=√15，

?,?S四邊”ΛBCD~4SACPB=4XmPB,PC=4×—×Jl5×2J15=60.

【點(diǎn)睛】

本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，軸對(duì)稱

的性質(zhì)，反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的對(duì)稱性，菱形的判定和性質(zhì)，三角形面積以及解直角三

角形等，證得四邊形是菱形是解題的關(guān)鍵.

22.如圖，已知矩形38C的頂點(diǎn)3