2023年廣東省佛山市中考一模數(shù)學(xué)試題（含答案與解析）

2023年廣東省佛山市中考一模數(shù)試題

數(shù)學(xué)

說明：本卷分第I卷（選擇題10道題）和第∏卷（非選擇題13道題）兩部分，共4頁.滿

分120分，考試時間90分鐘.

注意：

1.試卷的選擇題和非選擇題都在答題卷上作答，不能作答在試卷上.

2.要作圖或畫表，要先鉛筆進(jìn)行畫線、繪畫，再用黑色字跡的簽字筆或鋼筆描黑.

第I卷

一.選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的

1.下列四個實(shí)數(shù)中，最小的實(shí)數(shù)是（）

A.-2023B.0C.0.999D.1

2.數(shù)據(jù)顯示，中國已實(shí)現(xiàn)“帶動三億人參與冰雪運(yùn)動”的目標(biāo)，全國冰雪運(yùn)動參與人數(shù)達(dá)到3.46億

人.數(shù)據(jù)“3.46億”用科學(xué)記數(shù)法表示是（）

A.3.46×IO9B.3.46×IO8C.34.6×IO7D.346×IO6

3.下列運(yùn)算正確的是（）

A.as-a1=aB.as÷a4=a2C.a2-o,=abD.（-ɑ）=ab

4.我國民間，流傳著許多含有吉祥意義的文字圖案，表示對幸福生活的向往，良辰佳節(jié)的祝賀.比如下列

圖案分別表示"福"、"祿"、"壽"、"喜”，其中是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形的是（）

????

5.如圖所示，將三角尺的直角頂點(diǎn)放在直尺的一邊上，Nl=20°,N2=30°,則/3的度數(shù)為（）

C.HOoD.50°

6.用一平面去截下列幾何體，其截面可能是長方形的有（）

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，要從中選擇一名成績好且發(fā)揮穩(wěn)定的運(yùn)動員參加比賽，則選擇較適宜；（）

A.甲B.乙C.丙D.T

8.某環(huán)保知識競賽一共有20道題，規(guī)定：答對一道題得5分，答錯或不答一道題扣1分.在這次競賽

中，小明被評為優(yōu)秀（85分或85分以上），則小明至少答對了道題.（）

A17B.18C.19D.16

9.如圖，四邊形ABa）為。。的內(nèi)接四邊形，若四邊形OBC。為菱形，/A為（）.

A450B.60oC.720D.36°

10.已知拋物線丁=?2+笈+c（α≠0）的對稱軸是直線X=1,其部分圖象如圖所示，下列說法中：①

abc>O?,@4a-2h+c<0-,③若C、C（-2,%）是拋物線上的兩點(diǎn)，則有當(dāng)<X；④若如

〃（加<〃）為方程α（x-3）（x+l）=2的兩個根，則加>一1且〃<3；以上說法正確的有（）

A.①②③④B.②③④C.②④D.②③

第∏卷

二、填空題（本大題5小題，每小題3分，共15分，把正確答案填在答題卡上）

11.因式分解：a2—4a=?

12.若兩個相似三角形的相似比為4:3,則它們的面積比是.

13.若實(shí)數(shù)，"，"滿足（加一4『+J幣=O,則Jm'+i?的值是；

14.如圖，創(chuàng)新小組要測量公園內(nèi)一棵樹AB的高度，其中一名小組成員站在距離樹10米的點(diǎn)E處，測得

樹頂4的仰角為45°,已知測角儀的架高CE=1.2米，則這棵樹的高度為米.

A

EB

15.如圖所示，等邊ABC的邊長為4,點(diǎn)F在.ABC內(nèi)運(yùn)動，運(yùn)動過程始終保持/A/歸=9（）。，則線段

CF的最小值為：

三、解答題（一）（本大題3小題，每小題8分，共24分）.

16.先化簡，再求值：(α+b)(α-∕j)+b(α+4)一(α+b)2,其中α=-J∑,b=y[β.

22

17.如圖所示，菱形ABCD中，點(diǎn)M、N分別是邊BC、DC上的點(diǎn)，BM=-BC,DN=-DC,連接

33

AM.AN,延長AN交線段JBC延長線于點(diǎn)E；

(I)求證：?ABΛ∕^?AT>7V:

（2）若菱形ABCO邊長為6,則線段CE的長是

18.為落實(shí)中小學(xué)課后服務(wù)工作的要求，某校開設(shè)了四門校本課程供學(xué)生選擇：A（合唱社團(tuán)）、B（陶藝

社團(tuán)）、C（數(shù)獨(dú)社團(tuán)）、。（硬筆書法），七年級共有120名學(xué)生選擇了C課程.為了解選擇C課程學(xué)生的

學(xué)習(xí)情況，張老師從這120名學(xué)生中隨機(jī)抽取了30名學(xué)生進(jìn)行測試，將他們的成績（百分制，單位：分）

分成六組，繪制成頻數(shù)分布直方圖.

（學(xué)生入效）

（1）80?90分這組的數(shù)據(jù)為：81、89、84、84、84、86、85、88、83,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是

分、眾數(shù)是分；

（2）根據(jù)題中信息，可以估算七年級選擇C課程的學(xué)生成績在70?90分的人數(shù)是人;

（3）七年級每名學(xué)生必須選兩門不同的課程，小明和小華在選課程的過程中，第一門都選了課程C.他

倆決定隨機(jī)選擇第二門課程，請用列表法或樹狀圖的方法求他倆同時選到課程A或課程B的概率.

四、解答題（二）（本大題3小題，每題9分，共27分）.

19.我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載有這樣一個問題：“今有甲、乙二人，持錢不知其數(shù).甲得乙

半而錢五十，乙得甲大半而錢亦五十.問甲、乙持錢各幾何？”題目大意是：今有甲、乙二人，各帶了若

2

干錢.如果甲得到乙所有錢的一半，那么甲共有錢50；如果乙得到甲所有錢的：，那么乙也共有錢50,

問甲、乙二人各帶了多少錢？

（1）求甲、乙兩人各帶的錢數(shù)；

(2)若小明、小穎去文具店購買作業(yè)本，兩人帶錢數(shù)(單位：元)恰好等于甲、乙兩人各帶的錢數(shù)，

己知作業(yè)本的單價為2.5元/本.由于開學(xué)之際，文具店搞促銷活動，凡消費(fèi)50元可以打八折，那么他們

合起來購買可以比單獨(dú)購買多多少本作業(yè)本？

20.如圖所示，CE是?。的直徑，AC為:。的切線，。為：O上的一點(diǎn)，Z￡>C￡=1ZA,延長AO

交CE的延長線于點(diǎn)B,連接CO.若BE=OE=6.

(1)求證：AD為《。的切線；

(2)求圖中陰影部分的面積.

21.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)為=履+b(Zwθ)的圖象與反比例函數(shù)為='W≠0)的圖

X

象相交于第一、三象限內(nèi)的A(3,5),8(4,-3)兩點(diǎn)，與X軸交于點(diǎn)C.

(1)求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；

(2)在y軸上找一點(diǎn)P使依―PC最大，求BB—PC的最大值及點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)直接寫出當(dāng)M>巳時，X取值范圍.

五、解答題(三)(本大題2小題，每題12分，共24分).

22.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)總是循序漸進(jìn)、不斷延伸拓展的，數(shù)學(xué)知識往往起源于人們?yōu)榱私鉀Q某些問題，通過觀察、

測量、思考、猜想出的一些結(jié)論.但是所猜想的結(jié)論不一定都是正確的.人們從已有的知識出發(fā)，經(jīng)過推

理、論證后，如果所猜想的結(jié)論在邏輯上沒有矛盾，就可以作為新的推理的前提，數(shù)學(xué)中稱之為定理.

E

在八年級學(xué)習(xí)等腰三角形和直角三角形時，借助工具測量就能夠發(fā)現(xiàn)：“直角三角形斜邊上的中線等于斜

邊的一半”，當(dāng)時并未說明這個結(jié)論的正確性.九年級學(xué)習(xí)了矩形的判定和性質(zhì)之后，就可以解決這個問

題了.如圖1,在RtZ?ABC中，若C。是斜邊AB上的中線，則CO=LAB,請你用矩形的性質(zhì)證明這

2

個結(jié)論的正確性.

(2)遷移運(yùn)用：利用上述結(jié)論解決下列問題:

①如圖2,在線段BD異側(cè)以BD為斜邊分別構(gòu)造兩個直角三角形Z?ABO與ACBD,E、F分別是BD、

AC的中點(diǎn)，判斷Eb與AC的位置關(guān)系并說明理由；

②如圖3,YABCD對角線AC、B。相交于點(diǎn)。，分別以AC、8。為斜邊且在同側(cè)分別構(gòu)造兩個直角

三角形AACE與ABDE，求證：YABCZ)是矩形；

23.如圖，拋物線經(jīng)過A(-4,0),B(-1,O),C(0,2)三點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式；

(2)在直線AC下方拋物線上有一點(diǎn)。，使得4Z)C4的面積最大，求點(diǎn)。的坐標(biāo)以及ADCA的面積

的最大值.

(3)點(diǎn)尸是拋物線上一個動點(diǎn)，過P作PMJ_尤軸于M,是否存在P點(diǎn)，使得以A,P,M為頂點(diǎn)的三角

形與_O4C相似？若存在，直接寫出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；

參考答案

一.選擇題(本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.）

1.下列四個實(shí)數(shù)中，最小的實(shí)數(shù)是（）

A.-2023B.0C.0.999D.1

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)比較大小的方法求解即可.

【詳解】解：；-2023<0<0.999<l,

最小的實(shí)數(shù)是-2023,

故選A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)數(shù)比較大小，熟知正數(shù)大于0,0大于負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵.

2.數(shù)據(jù)顯示，中國已實(shí)現(xiàn)“帶動三億人參與冰雪運(yùn)動”的目標(biāo)，全國冰雪運(yùn)動參與人數(shù)達(dá)到3.46億

人.數(shù)據(jù)“3.46億”用科學(xué)記數(shù)法表示是（）

A.3.46×IO9B.3.46×IO8C.34.6×IO7D.346×IO6

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的定義即可得.

【詳解】解：因?yàn)?億=IXIo8,

所以3.46億=3.46χl0ti,

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查了科學(xué)記數(shù)法，熟記科學(xué)記數(shù)法的定義（將一個數(shù)表示成a*10"的形式，其中

1≤忖<10,〃為整數(shù)，這種記數(shù)的方法叫做科學(xué)記數(shù)法）是解題關(guān)鍵.確定”的值時，要看把原數(shù)變

成。時，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，"的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同.

3.下列運(yùn)算正確的是（）

A.-a,=aB??8÷a4=a2C.a2?a^=a6D.（一。，=ab

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)同底數(shù)基乘除法及幕的乘方可進(jìn)行求解.

【詳解】解：A、/與蘇不是同類項(xiàng)，故不能計(jì)算，不符合題意；

844

B、β÷iz=tz,原計(jì)算錯誤，故不符合題意；

C、。2.“3=。5,原計(jì)算錯誤，故不符合題意；

D、（-CZ3）2=α6,計(jì)算正確，故符合題意；

故選D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查同底數(shù)嘉的乘除法及累的乘方，熟練掌握各個運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

4,我國民間，流傳著許多含有吉祥意義文字圖案，表示對幸福生活的向往，良辰佳節(jié)的祝賀.比如下列

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念對各選項(xiàng)分析判斷即可得解.

【詳解】A、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)錯誤；

B、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)錯誤；

C、是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)正確；

D、軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)錯誤.

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折

疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合.

5.如圖所示，將三角尺的直角頂點(diǎn)放在直尺的一邊上，Nl=20°,N2=30°,則/3的度數(shù)為（）

【答案】A

【解析】

【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到N4=N3,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得到

N3=N4=180°-Nl—N2=130°.

【詳解】解；由題意得，ab,

.?.N4=N3,

VZl=20°,/2=30°,

.*.N3=N4=180°-Nl—N2=130°,

故選A.

.2

a

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟知兩直線平行，同位角相等，三角形內(nèi)角

和為180°是解題的關(guān)鍵.

6.用一平面去截下列幾何體，其截面可能是長方形的有（）

z~~?

II

B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)長方體、圓錐、圓柱、四棱柱的形狀判斷即可.

【詳解】解：圓錐不可能得到長方形截面，

能得到長方形截面的幾何體有：長方體、圓柱、四棱柱一共有3個.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查幾何體的截面，關(guān)鍵要理解面與面相交得到線，注意：截面的形狀既與被截的幾何體有

關(guān)，還與截面的角度和方向有關(guān).

7.下表記錄了甲、乙、丙、丁四名射擊運(yùn)動員最近幾次選拔賽的成績（平均數(shù)和方差）：

選F

甲乙丙T

成績

平均數(shù)（環(huán)）9.49.59.49.5

方差6.36.86.76.6

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，要從中選擇一名成績好且發(fā)揮穩(wěn)定的運(yùn)動員參加比賽，則選擇較適宜；（）

A.甲B.乙C.丙D.T

【答案】D

【解析】

【分析】首先比較平均數(shù)，再根據(jù)平均數(shù)相同時選擇方差較小的運(yùn)動員參加即可得到答案.

【詳解】解：從平均數(shù)來看，甲、丙的平均數(shù)相同，乙、丁的平均數(shù)相同，且甲、丙的平均數(shù)小于乙、丁

的平均數(shù)，

，應(yīng)從乙、丁中選取一人參賽，

???方差來看，丁的方差小于乙的方差，

選擇丁較適宜，

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查平均數(shù)和方差在數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)中的意義，理解掌握它們的意義是解答關(guān)鍵.

8.某環(huán)保知識競賽一共有20道題，規(guī)定：答對一道題得5分，答錯或不答一道題扣1分.在這次競賽

中，小明被評為優(yōu)秀（85分或85分以上），則小明至少答對了道題.（）

A.17B.18C.19D.16

【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)小明答對了X道題，則答錯和不答的一共有（20一力道題，再根據(jù)答對一題得5分，答錯或不

答一道題扣1分列出不等式求解即可.

【詳解】解：設(shè)小明答對了X道題，則答錯和不答的一共有（20-尤）道題，

由題意得，5x—（20—x）≥85,

解得X≥17.5,

為正整數(shù)，

X的最小值為18,

小明至少答對了18道題，

故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意找到不等關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

9.如圖，四邊形ABQ）為O。的內(nèi)接四邊形，若四邊形OBCO為菱形，NA為（）.

A.45oB.60oC.720D.36°

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)菱形性質(zhì)，得OB=OD=BC=CD;連接OC,根據(jù)圓對稱性，得OB=OC=OD；

根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，得/3QD,再根據(jù)圓周角和圓心角的性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案.

【詳解】；四邊形OBcD為菱形

OB=OD=BC=CD

連接OC

A

??,四邊形ABCD為00的內(nèi)接四邊形

.,.OB=OC=OD

.?.AOfiC,OCD為等邊三角形

.?.ZBOC=ZCOD=ω°

：.NBoD=ZBOC+ZCOD=120°

.?.ZA=-ZBOD=60°

2

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接多邊形、等邊三角形、菱形的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓的對稱性、等邊

三角形、菱形、圓周角、圓心角的知識；從而完成求解.

10.已知拋物線y=αt2+hx+c(α≠0)的對稱軸是直線χ=l,其部分圖象如圖所示，下列說法中：①

abc>O?,②44-2?+c<0;③若-C(-2,%)是拋物線上的兩點(diǎn)，則有為<M；④若根，

〃(加<〃)為方程α(x-3)(x+l)=2的兩個根，則機(jī)>一1且〃<3：以上說法正確的有()

B.②③④C.②④D.②③

【答案】B

【解析】

【分析】由圖象可知“<0力>0,c>0,然后根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)及與方程的關(guān)系可進(jìn)行求解.

【詳解】解：由圖象可知：α<O,c>O,對稱軸為直線x=—2=1,即匕=-24>0,

2a

：.abc<O,故①錯誤；

?.?點(diǎn)(3,0)是二次函數(shù)與X軸的交點(diǎn)，

.?.根據(jù)二次函數(shù)的對稱性可知二次函數(shù)與X軸的另一個交點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0),

當(dāng)x=-2時，則有y=4α-2b+c<0,故②正確；

當(dāng)x≤l時，y隨X的增大而增大，當(dāng)x21時，y隨X的增大而減小，所以由A1一；,yJ、。(—2,必)是拋

物線上的兩點(diǎn)，則有％<χ,故③正確；

?.?二次函數(shù)與X軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0),(-1,0),

該二次函數(shù)解析式可為y=α(x+l)(x-3),

由方程”(x-3)(x+l)=2可知當(dāng)y=2時，即可看作方程a(x—3)(x+l)=2的兩個根即為直線y=2與

二次函數(shù)的圖象的兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，且加<〃，

二〃?>-1且〃<3；故④正確；

故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

第∏卷

二、填空題(本大題5小題，每小題3分，共15分，把正確答案填在答題卡上)

11.因式分解：a2-4a=.

【答案】a(a-4)

【解析】

【分析】利用提取公因式法因式分解即可.

【詳解】解：ɑ?一4"=α(α-4).

【點(diǎn)睛】此題考查提取公因式法因式分解，準(zhǔn)確找到公因式是解此題的關(guān)鍵.

12.若兩個相似三角形的相似比為4:3,則它們的面積比是.

【答案】16:9##—

【解析】

【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)：兩個相似三角形的面積比等于相似比的平方，由此問題可求解.

【詳解】解：由題意得：這兩個相似三角形的面積比為(g)=?

故答案為16:9.

【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

13.若實(shí)數(shù)，〃，“滿足—4)2+JQ=O,則Jm2+t?的值是；

【答案】5

【解析】

【分析】兩個非負(fù)數(shù)的和為0,須兩個非負(fù)數(shù)同為0,須被平方的式子與被開方的式子都為0,求得m、〃

的值.

【詳解】V(Z77-4)2+√Π+3=O,

又：(加一4)220,√π+3>0-

，，篦-4=0,n+3-O,

.?.〃?=4,n--3>

?*??Jm2+rr=J42+(-3)2=5?

故答案為：5.

【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)數(shù)，熟練掌握幾個非負(fù)數(shù)的和為0,這幾個非負(fù)數(shù)同時為0,是解決此類為題的

關(guān)鍵.

14.如圖，創(chuàng)新小組要測量公園內(nèi)一棵樹AB的高度，其中一名小組成員站在距離樹10米的點(diǎn)E處，測得

樹頂4的仰角為45°,已知測角儀的架高CE=1.2米，則這棵樹的高度為米.

A

EB

【答案】11.2

【解析】

【分析】過點(diǎn)C作AB于，則NACD=45。，可證AD=C￡>,再證四邊形CEBD為矩形，得出

DB=CE=1.2米，CD=EB=10米即可.

【詳解】解：過點(diǎn)C作CO,AB于。，則NACD=45。，

二ZCAD=180o-ZACD-ZADC=?80o-45o-90o=45o,

.*.ZACD=ZCAD=45o,

：.AD=CD,

'JCEYEB,

：.ZCEB=i)0o=ZCDB=ZDBE,

.?.四邊形CEB。矩形，

.?DB=CE=1.2米，CD=EB=10米，

.?.ΛD=C0=1O米，

.?.AB=AD+DB=10+1.2=11.2米.

故答案為：11.2.

【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，線段和差，掌握等腰直角三角形判定

與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，線段和差是解題關(guān)鍵.

15.如圖所示，等邊的邊長為4,點(diǎn)尸在，ABC內(nèi)運(yùn)動，運(yùn)動過程始終保持NAF3=90°，則線段

CF的最小值為；

【答案】20-2##-2+2百

【解析】

【分析】根據(jù)運(yùn)動過程始終保持NAFe=90°,可知點(diǎn)尸在以AB為直徑的圓上，該圓記作圓O,連接OC,

交圓。于點(diǎn)凡此時滿足CF最短.據(jù)此利用勾股定理即可作答.

【詳解】Y運(yùn)動過程始終保持NAEδ=90°,

點(diǎn)F在以AB為直徑的圓上，該圓記作圓O,

連接。C,交圓。于點(diǎn)凡此時滿足CF最短.

：等邊_ABC的邊長為4,

AB-4，OA=OB=OF=?AB=2,

2

：點(diǎn)。為AB中點(diǎn),

.*.OCVAB,

22

?*?OC=y∣AC+AO=2√3，

??.最短為：CF=OF-AF=26-2,

故答案為：26一2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)等知識，判斷出點(diǎn)尸在以AB為直徑

的圓上，是解答本題的關(guān)鍵.

三、解答題(一)(本大題3小題，每小題8分，共24分).

16.先化簡，再求值：(a+b)(a-Z?)+b(a+2Z?)-(a+b)~,其中α=-J∑,b=底.

【答案】—ab,2√3

【解析】

【分析】根據(jù)平方差公式及完全平方公式可進(jìn)行化簡，然后代值求解即可.

【詳解】解：=-b2+ab+2b1-a2-2ah-h2--ab;

*?'a=—V2>b=yjβ,

Λ-ab--^-y∕2'j×?∣6-2?∣3.

【點(diǎn)睛】本題主要考查乘法公式及二次根式的乘法運(yùn)算，熟練掌握各個運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

22

17.如圖所示，菱形ABa)中，點(diǎn)M、N分別是邊BC、DC上的點(diǎn)，BM=-BC,DN=-DC,連接

33

AM.AN,延長AN交線段BC延長線于點(diǎn)E

(1)求證：ΛABM^ΛADN;

(2)若菱形ABCD邊長為6,則線段CE的長是；

【答案】(1)證明見解析

(2)3

【解析】

【分析】(1)先根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AB=AD=BC=CD,NB=No,再由已知條件證明BM=DN,

即可利用SAS證明AABM公AADN；

CECN2

(2)先由菱形的性質(zhì)得到A。CE,證明AADNs△石CN,得到一=一，再由ON=一。。，推

ADDN3

[/?I7,ι1

出CN=LDN,得到J=一,再由AO=6,即可得到CE=LAo=3.

2AD22

【小問1詳解】

證明：；四邊形ABCo是菱形，

ΛAB=AD=BC=CD,NB=ND,

22

VBM=-BC,DN=-DC,

33

.?.BM=DN,

在，AAW和4ADN中，

AB=AD

<ZB=ZD,

BM=DN

：.?ABM^ΔADN（SAS）；

【小問2詳解】

解：?；四邊形ABC。是菱形，

ΛAD∕/BC,即ADCE,

：,ΛADN^∕?ECN,

.CECN

''~AD~~DN,

-：DN=ZDC,

3

：.CN=LDC,

3

：.CN=LDN,

2

CE1

——=-,

AD2

?.?菱形ABCO邊長為6,即A￡>=6,

.?,CE=-AD=3,

2

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，靈活運(yùn)用所

學(xué)知識是解題的關(guān)鍵.

18.為落實(shí)中小學(xué)課后服務(wù)工作的要求，某校開設(shè)了四門校本課程供學(xué)生選擇：A（合唱社團(tuán)）、B（陶藝

社團(tuán)）、C（數(shù)獨(dú)社團(tuán)）、。（硬筆書法），七年級共有120名學(xué)生選擇了C課程.為了解選擇C課程學(xué)生的

學(xué)習(xí)情況，張老師從這120名學(xué)生中隨機(jī)抽取了30名學(xué)生進(jìn)行測試，將他們的成績（百分制，單位：分）

分成六組，繪制成頻數(shù)分布直方圖.

（1）80?90分這組的數(shù)據(jù)為：81、89、84、84、84、86、85、88、83,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是

分、眾數(shù)是分;

（2）根據(jù)題中信息，可以估算七年級選擇C課程的學(xué)生成績在70?90分的人數(shù)是人；

（3）七年級每名學(xué)生必須選兩門不同的課程，小明和小華在選課程的過程中，第一門都選了課程C.他

倆決定隨機(jī)選擇第二門課程，請用列表法或樹狀圖的方法求他倆同時選到課程A或課程5的概率.

【答案】（1）84,84

（2）64（3）-

9

【解析】

【分析】（1）根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義求解;

（2）用選擇C的總?cè)藬?shù)乘以樣本中成績在70?90分的人數(shù)占比即可得到答案；

（3）先列出表格得到所有的等可能性的結(jié)果數(shù)，然后找到他倆同時選到課程A或課程8的結(jié)果數(shù)，最后根

據(jù)概率計(jì)算公式求解即可.

【小問1詳解】

解：將這組數(shù)據(jù)按照從小到大排列為：81、83、84、84、84、85、86、88、89,處在最中間的是84,

???這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為84分，

?；84出現(xiàn)了3次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，

.?.這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為84分，

故答案為：84,84；

【小問2詳解】

解：1207χ+9f=64人,

30

.?.可以估算七年級選擇C課程的學(xué)生成績在70?90分的人數(shù)是64人,

故答案為：64；

【小問3詳解】

解：列表如下：

ABD

A(A,A)(B,A)(D,A)

B(A,B)(B,B)(D,B)

D(A,D)(8,D)(O,D)

由表格可知，一共有9種等可能性的結(jié)果數(shù)，其中他倆同時選到課程A或課程8的結(jié)果數(shù)有2種，

2

???他倆同時選到課程A或課程B的概率為I.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了中位數(shù)，眾數(shù)，用樣本估計(jì)總體，樹狀圖或列表法求解概率，靈活運(yùn)用所學(xué)知識

是解題的關(guān)鍵.

四、解答題（二）（本大題3小題，每題9分，共27分）.

19.我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載有這樣一個問題：“今有甲、乙二人，持錢不知其數(shù).甲得乙

半而錢五十，乙得甲大半而錢亦五十.問甲、乙持錢各幾何？”題目大意是：今有甲、乙二人，各帶了若

干錢.如果甲得到乙所有錢的一半，那么甲共有錢50；如果乙得到甲所有錢的：，那么乙也共有錢50,

問甲、乙二人各帶了多少錢？

（1）求甲、乙兩人各帶的錢數(shù)；

（2）若小明、小穎去文具店購買作業(yè)本，兩人帶錢數(shù)（單位：元）恰好等于甲、乙兩人各帶的錢數(shù)，

已知作業(yè)本的單價為2.5元/本.由于開學(xué)之際，文具店搞促銷活動，凡消費(fèi)50元可以打八折，那么他們

合起來購買可以比單獨(dú)購買多多少本作業(yè)本？

【答案】（1）甲帶錢37.5,乙持錢25

（2）他們合起來購買可以比單獨(dú)購買多6本作業(yè)本

【解析】

【分析】（1）設(shè)甲帶錢X,乙持錢y,根據(jù)題意列出二元一次方程組，解方程組即可求解；

（2）分別計(jì)算出分開買和合起來買的數(shù)量，再比較即可作答.

【小問1詳解】

解：設(shè)甲帶錢X,乙持錢y,

根據(jù)題意得：

x+Jy=50

2

'2'

y+-x=50

U3

答：甲帶錢37.5,乙持錢25；

【小問2詳解】

分開買：37.5÷2.5+25÷2.5=25（本）；

合起來買：（37.5+25）÷（2.5χ80%）=62.5÷2=31.25α31（本），

即：31-25=6（本）,

即：他們合起來購買可以比單獨(dú)購買多6本作業(yè)本.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了使用二元一次方程組解答古代問題的知識，明確題意，列出方程組是解答本題的

關(guān)鍵.

20.如圖所示，CE是C）O的直徑，AC為OO的切線，。為。。上的一點(diǎn)，ZDCE=-ZA,延長AZ）

2

交CE的延長線于點(diǎn)B,連接CO.若BE=OE=6.

（1）求證：4。為OO的切線；

（2）求圖中陰影部分的面積.

【答案】（1）見詳解（2）陰影部分的面積為364-12;T

【解析】

【分析】（1）連接。D，由。D=OC,可得NODC=NoCD,進(jìn)一步得到NACo+/4”>=180。，又C4

為切線，可知NACO=90。，可得NAr）O=90°,可得Az）為切線；

（2）根據(jù)勾股定理求出5。，分別求出4QZ）3'ABC和扇形。。C的面積，即可得出答案.

【小問1詳解】

證明：如圖，連接。。，

OD=OC,

.?.ZODC=ZOCD,

VZDCE-ZA,ZDCE+ZODC+ACOD=180o,

2

.?.ZA+ZCOD=180o,

.?.ZACO+ZADO=360o-180o=l80o,

AC為；。的切線，

,ZACO=90。，

:.ZADO^9Qo,

.:仞為0。的切線；

【小問2詳解】

解：NoZ)B=90°，BE=OE=6,

.*.OD=OC=OE=6,

.?.OB=I2,BC=OB+0C=18,

ΛOB=IOD,即ZB=30°,

.?.由勾股定理得：BD=6y∕3,ZDOB=6。。,

：.ZDOC=120°,AC=BC?tanNB=66，

‘S"=",/="瘋SOKM3=186

?,?S四邊形ACOD=SABC-Sbdo=366，

,陰影部分的面積S=SKmAC0D-S^DOC=36√3-12篙，=36√3-?2π.

【點(diǎn)睛】本題主要考查切線的性質(zhì)和判定及扇形的計(jì)算，掌握切線問題中的兩種輔助線的作法及扇形的面

積公式是解題的關(guān)鍵.

21.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)為=履+〃(攵工。)的圖象與反比例函數(shù)為='(m≠0)的圖

X

象相交于第一、三象限內(nèi)的A(3,5),B(4,-3)兩點(diǎn)，與X軸交于點(diǎn)C.

(1)求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；

(2)在)'軸上找一點(diǎn)P使PB—PC最大，求PB-PC的最大值及點(diǎn)P的坐標(biāo);

(3)直接寫出當(dāng)M〉當(dāng)時，X的取值范圍.

【答案】(1)y=；,y=x+2;(2)依―PC的最大值為3亞，P(0,2)；(3)—5<x<0或x>3

【解析】

【分析】(1)利用待定系數(shù)法，即可得到反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；

(2)根據(jù)一次函數(shù)yι=x+2,求得與y軸的交點(diǎn)P,此交點(diǎn)即為所求；

(3)根據(jù)AB兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)及直線與雙曲線的位置關(guān)系求X的取值范圍.

【詳解】⑴：A(3,5)在反比例函數(shù)y2=%(m≠0)上

A-

/.m=3×5=J5

反比例函數(shù)的解析式為y=-

X

把8(凡一3)代入y="可求得α=75÷(-3)=-5

.?.B(-5,-3)

3k+b=5[k=l

把A(3,5),3(-5,—3)代入y=H+h為｛解得匕一。

—DrC\U——?/2—‰

一次函數(shù)的解析式為y=χ+2

(2)BB-PC的最大值就是直線AB與兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)間的距離.

設(shè)直線>=x+2與>軸的交點(diǎn)為p

令y=0,則χ+2=0,解得χ=-2，

：.C(-2,0)

令X=0,則y=0+2=2

.??P(0,2)

ΛPB=√5?+5?=5√2>PB=y∣22+22=2√2

.?.PB-PC的最大值為5√2-2√2=3√2

（3）根據(jù)圖象的位置和圖象交點(diǎn)的坐標(biāo)可知：

當(dāng)%>%時X的取值范圍為：—5<x<0或x>3?

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析

式，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求線段長，正確掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

五、解答題(三)(本大題2小題，每題12分，共24分).

22.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)總是循序漸進(jìn)、不斷延伸拓展的，數(shù)學(xué)知識往往起源于人們?yōu)榱私鉀Q某些問題，通過觀察、

測量、思考、猜想出的一些結(jié)論.但是所猜想的結(jié)論不一定都是正確的.人們從已有的知識出發(fā)，經(jīng)過推

理、論證后，如果所猜想的結(jié)論在邏輯上沒有矛盾，就可以作為新的推理的前提，數(shù)學(xué)中稱之為定理.

(1)推理證明：

在八年級學(xué)習(xí)等腰三角形和直角三角形時，借助工具測量就能夠發(fā)現(xiàn)：“直角三角形斜邊上的中線等于斜

邊的一半”，當(dāng)時并未說明這個結(jié)論的正確性.九年級學(xué)習(xí)了矩形的判定和性質(zhì)之后，就可以解決這個問

題了.如圖1,在RtAABC中，若Co是斜邊45上的中線，則Co=LAB,請你用矩形的性質(zhì)證明這

2

個結(jié)論的正確性.

(2)遷移運(yùn)用：利用上述結(jié)論解決下列問題：

①如圖2,在線段3。異側(cè)以BD為斜邊分別構(gòu)造兩個直角三角形Z?ABD與ACBD,E、F分別是BD、

AC的中點(diǎn)，判斷瓦`與Ae的位置關(guān)系并說明理由；

②如圖3,YABCo對角線AC、8。相交于點(diǎn)。，分別以AC、3。為斜邊且在同側(cè)分別構(gòu)造兩個直角

三角形AACE與ABDE,求證：YABeD是矩形；

【答案】（1）見解析；

（2）①EblAC；②見解析.

【解析】

【分析】（1）延長CZ）至點(diǎn)E,使得OC=OE,連接虛、AE,易證四邊形ACBE是平行四邊形，結(jié)

合ZACB=90?？勺C明四邊形ACBE是矩形，得到AB=CE即可；

（2）①如圖連接AE、CE,結(jié)合題意由（1）可得AE=J80,CE=LBD即AE=CE,結(jié)合尸是

22

AC的中點(diǎn)，依據(jù)等腰三角形三線合一可得結(jié)論；

②如圖連接0E,由（1）可知。E=LAC,OE=LB。即AC=Bo可得結(jié)論.

22

【小問1詳解】

延長Co至點(diǎn)E,使得OC=OE，連接鴕、AE，

貝IJCD」CE,

2

CD是AB上的中線，

.-.AD=BD,

則四邊形ACBE是平行四邊形，

在RtZSABC中，

.ZACJB=90°,

則四邊形AcBE是矩形，

.,.AB=CE，

.-.CD=-CE=-AB,

22

即CZ）=LAB；

2

【小問2詳解】

①如圖連接AE、CE,

三角形AABO與aCBD是以BD為斜邊直角三角形,

且E是5。的中點(diǎn)，由（1）可知，

.?.AE^-BD,CE=-BD,

22

AE=CE，

AEC是等腰三角形,

又尸是AC的中點(diǎn),

.EFVAC

B

②如圖連接。E,

ABCD對角線AC、BD相交于點(diǎn)。,

二點(diǎn)。是AC、Bo的中點(diǎn)，

又AACE與4BZ組是直角三角形，

由(1)可知，

.?.0E=~AC,OE=-BD,

22

/.AC=BD，

:..ABCD是矩形.

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【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，