江西省宜春市第九中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（理）試卷

2020—2021學(xué)年度第一學(xué)期高二理科數(shù)學(xué)期中考試試卷一、選擇題（本大題共12小題，共60.0分）用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體，得到的截面是四邊形，這個(gè)幾何體可能是A.圓錐 B.圓柱 C.球 D.以上都有可能下列命題：經(jīng)過(guò)三點(diǎn)確定一個(gè)平面；梯形可以確定一個(gè)平面；兩兩相交的三條直線(xiàn)最多可以確定四個(gè)平面；如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，則這兩個(gè)平面重合．其中正確命題的個(gè)數(shù)為

A.4 B.3 C.2 D.如圖所示為一個(gè)簡(jiǎn)單幾何體的三視圖，則其對(duì)應(yīng)的實(shí)物是A.B.

C.D.

不論M為何實(shí)數(shù)，直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)

A. B. C. D.已知的平面直觀(guān)圖是邊長(zhǎng)為1的正三角形，那么原的面積為A. B. C. D.已知空間三條直線(xiàn)l、m、若l與m異面，且l與n異面，則A.m與n異面 B.m與n相交

C.m與n平行 D.m與n異面、相交、平行均有可能已知直線(xiàn)與圓交于A，B兩點(diǎn)，則弦長(zhǎng)的取值范圍是

A. B. C. D.已知，是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)且垂直x軸的直線(xiàn)交C于A，B兩點(diǎn)，且，則C的方程為A. B. C. D.已知向量，則向量在向量上的投影數(shù)量為A.1 B. C. D.命題“對(duì)任意實(shí)數(shù)，關(guān)于x的不等式恒成立”為真命題的一個(gè)必要不充分條件是

A. B. C. D.已知三棱錐中，底面ABC，，，且該三棱錐所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為A. B. C. D.傾斜角為的直線(xiàn)經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F，與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為

A. B. C. D.二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）已知m和n是兩條不同的直線(xiàn)，和是兩個(gè)不重合的平面，那么下面給出的條件中一定能推出的是_______．

，且；mn，且；

，且；，且．一條光線(xiàn)從點(diǎn)射出，經(jīng)x軸反射，其反射光線(xiàn)所在直線(xiàn)與圓相切，則反射光線(xiàn)所在的直線(xiàn)方程為

．命題“若，則”及其逆命題、否命題、逆否命題中正確的命題個(gè)數(shù)是______個(gè)．若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)________．三、解答題（本大題共6小題，共70.0分）設(shè)p：實(shí)數(shù)x滿(mǎn)足，其中；q：實(shí)數(shù)x滿(mǎn)足．若，且為真，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；若p是q的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

已知空間向量，，．若，求；若，求的值．

已知平面內(nèi)兩點(diǎn)，．Ⅰ求AB的中垂線(xiàn)方程；Ⅱ求過(guò)點(diǎn)且與直線(xiàn)AB平行的直線(xiàn)l的方程；

如圖，在直三棱柱中，，，，，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．

求證：；求證：平面；

已知圓C：及點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)與圓交于A、B兩點(diǎn)．若弦長(zhǎng)，求直線(xiàn)AB的斜率；求面積的最大值，及此時(shí)弦長(zhǎng)．

設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F，左頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為已知為原點(diǎn)．Ⅰ求橢圓的離心率；Ⅱ設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)F且斜率為的直線(xiàn)l與橢圓在x軸上方的交點(diǎn)為P，圓C同時(shí)與x軸和直線(xiàn)l相切，圓心C在直線(xiàn)上，且求橢圓的方程．

2020—2021學(xué)年度第一學(xué)期高二理科數(shù)學(xué)期中考試試卷答案和解析【答案】1.B 2.D 3.A 4.C 5.A 6.D 7.D

8.C 9.B 10.B 11.B 12.D 13.

14.或

15.2

16.6

17.解：當(dāng)時(shí)，解不等式得，

即，

解不等式得，

即，

為真，

．

解不等式得，記，

由，記，

是q的必要不充分條件，

是A的真子集，

，解得，

即實(shí)數(shù)a的取值范圍為．

18.解：，，解得：，，故．，，解得：，，，，．19.解：線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為，即，

，

線(xiàn)段AB的中垂線(xiàn)的斜率，

的中垂線(xiàn)方程為，化為；

過(guò)點(diǎn)且與直線(xiàn)AB平行的直線(xiàn)l的斜率為，

其方程為：，化為．

20.解：直三棱柱，底面三邊長(zhǎng)，，，且在平面ABC內(nèi)的射影為BC，．

設(shè)與的交點(diǎn)為E，連結(jié)DE，

是AB的中點(diǎn)，E是的中點(diǎn)，，平面，平面，平面

21.解：當(dāng)直線(xiàn)AB垂直于x軸時(shí)，不合題意；

當(dāng)直線(xiàn)AB斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程為，即．

圓心到直線(xiàn)的距離，

則，即或；

當(dāng)直線(xiàn)AB垂直于x軸時(shí)，直線(xiàn)方程為，

與圓C：聯(lián)立，可得，；

當(dāng)直線(xiàn)AB斜率存在時(shí)，

．

令，

則．

當(dāng)且僅當(dāng)，即，即或．

因?yàn)椋?/p>

所以面積的最大值為，此時(shí)弦長(zhǎng)．

22.解：Ⅰ，即為，

可得；Ⅱ，，

即，，

可得橢圓方程為，

設(shè)直線(xiàn)FP的方程為，

代入橢圓方程可得，

解得或，

代入直線(xiàn)PF方程可得或舍去，

可得，

圓心C在直線(xiàn)上，且，可設(shè)，

可得，解得，

即有，可得圓的半徑為2，

由直線(xiàn)FP和圓C相切的條件為，

可得，解得，

可得，，

可得橢圓方程為．

【解析】1.【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是圓錐的幾何特征，圓柱的幾何特征，球的幾何特征，其中熟練掌握相關(guān)旋轉(zhuǎn)體的幾何特征，培養(yǎng)良好的空間想像能力，是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)圓錐、圓柱、球的幾何特征，分別分析出用一個(gè)平面去截該幾何體時(shí)，可能得到的截面的形狀，逐一比照后，即可得到答案．

【解答】解：用一個(gè)平面去截一個(gè)圓錐，得到的圖形可能是圓、橢圓、拋物線(xiàn)、雙曲線(xiàn)的一支、三角形，不可能是四邊形，故A不滿(mǎn)足要求；

用一個(gè)平面去截一個(gè)圓柱，得到的圖形可能是圓、橢圓、四邊形，故B滿(mǎn)足要求；

用一個(gè)平面去截一個(gè)球體，得到的圖形只能是圓，故C不滿(mǎn)足要求．

故選B．2.【解析】中若三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上，則不能確定一個(gè)平面；梯形可以確定一個(gè)平面；兩兩相交的三條直線(xiàn)最多可以確定三個(gè)平面；中這三個(gè)公共點(diǎn)可以在這兩個(gè)平面的交線(xiàn)上．故錯(cuò)誤的是，正確的是正確命題的個(gè)數(shù)為故選D．3.【分析】

本題主要考查空間幾何體的三視圖，屬基礎(chǔ)題．

由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)長(zhǎng)方體截去一個(gè)角，則結(jié)論易得．

【解答】

解：由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)長(zhǎng)方體截去一個(gè)角，

根據(jù)三視圖可知，該幾何體如圖所示，

故選A．

4.【分析】

本題考查了直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．

把直線(xiàn)l的方程化為，令，即可求得直線(xiàn)l恒過(guò)的定點(diǎn)．

【解答】

解：直線(xiàn)l的方程可化為，

令，解得

直線(xiàn)l恒過(guò)定點(diǎn)．

故選：C．5.解：如圖所示，

在直觀(guān)圖中分別作軸、軸交軸于點(diǎn)、

交軸于點(diǎn)．

在中，由正弦定理得，可得，．

在原直角坐標(biāo)系中，，，

．

．

故選：A．

利用斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則即可求出原圖中的邊AB及其邊上的高，進(jìn)而即可求出面積．

熟練掌握斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則是解題的關(guān)鍵．6.【分析】

本題考查平面的基本性質(zhì)，著重考查學(xué)生的理解與轉(zhuǎn)化能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題．

可根據(jù)題目中的信息作圖判斷即可．

【解答】

解：空間三條直線(xiàn)l、m、若l與m異面，且l與n異面，

與n可能異面如圖，也可能平行圖，也可能相交圖，

故選D．7.【分析】

本題考查直線(xiàn)系方程的應(yīng)用，考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，考查平面幾何知識(shí)的運(yùn)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．

通過(guò)直線(xiàn)l轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)系，求出直線(xiàn)恒過(guò)的定點(diǎn)，說(shuō)明直線(xiàn)l被圓C截得的弦長(zhǎng)最小時(shí)，圓心與定點(diǎn)連線(xiàn)與直線(xiàn)l垂直，由勾股定理即可得到最短弦長(zhǎng)．

【解答】

解：由直線(xiàn)l：得：，

故l恒過(guò)定點(diǎn)．

因?yàn)椋?/p>

則點(diǎn)D在圓C的內(nèi)部，直線(xiàn)l與圓C相交．

圓心，半徑為5，，

當(dāng)截得的弦長(zhǎng)最小時(shí)，，最短的弦長(zhǎng)是．

再由l經(jīng)過(guò)圓心時(shí)弦長(zhǎng)最長(zhǎng)為，則．

故選：D．8.【分析】

本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，橢圓方程的求法，考查計(jì)算能力．

求出a，得到b，即可求解橢圓方程．

【解答】解：，是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，可得，

過(guò)且垂直x軸的直線(xiàn)交C于A，B兩點(diǎn)，且，

令橢圓方程中，得，

可得，

化簡(jiǎn)得，

解得，則，

所求的橢圓方程為：．

故選：C．9.【分析】

本題考查了向量投影公式，屬于基礎(chǔ)題．

利用向量在向量上的投影數(shù)量即可求解．

【解答】

解：向量在向量上的投影數(shù)量，

向量在向量上的投影數(shù)量為．

故選B．10.【分析】本題主要考查充分條件和必要條件的應(yīng)用，求出不等式恒成立的等價(jià)條件是解決本題的關(guān)鍵．求出不等式恒成立的等價(jià)條件，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．

【解答】解：若“對(duì)任意實(shí)數(shù)，關(guān)于x的不等式恒成立”，

則等價(jià)為恒成立，

，

，

即，

即命題“對(duì)任意實(shí)數(shù)，關(guān)于x的不等式恒成立”為真命題的等價(jià)條件為，

則的一個(gè)必要不充分條件可以是，

故選B．11.【分析】

由題意，將三棱錐擴(kuò)充為長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體的對(duì)角線(xiàn)PC為外接球的直徑，，由此可求球O的表面積．

本題考查球O的表面積，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．

【解答】

解：由題意，將三棱錐擴(kuò)充為長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體的對(duì)角線(xiàn)PC為外接球的直徑，，半徑為，

球O的表面積為，

故選B．12.【分析】

先設(shè)直線(xiàn)方程為，設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立化為由，可得，再利用根與系數(shù)的關(guān)系、離心率計(jì)算公式即可得出．

本題考查了直線(xiàn)的傾斜角與斜率、橢圓與雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線(xiàn)與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、向量坐標(biāo)運(yùn)算，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．

【解答】

解：設(shè)直線(xiàn)方程為，，

聯(lián)立，化簡(jiǎn)為．

，．

，

，，

聯(lián)立化為：，

設(shè)，化為，

化為，

解得．

橢圓的離心率．

故選D．13.【分析】

本題主要考查了線(xiàn)面平行的平行的判定定理，面面垂直的性質(zhì)，線(xiàn)面垂直的判定，屬于中檔題．

【解答】

解：，且或，或m與相交，故不成立；

，且，故成立；

，且，或或m與相交，故不成立；

，且，知不成立，不成立．

故答案為．14.解：點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)，

當(dāng)反射光線(xiàn)所在的直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，符合條件的方程為．

設(shè)反射光線(xiàn)的斜率為k，

可得出反射光線(xiàn)為，即，

反射光線(xiàn)與圓相切，

圓心到反射光線(xiàn)的距離，即，

整理得：，

解得：．

此時(shí)，反射光線(xiàn)所在的直線(xiàn)方程為：．

綜上所述，反射光線(xiàn)所在的直線(xiàn)方程為：或．

故答案是：或．

找出點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，此點(diǎn)在反射光線(xiàn)上，設(shè)出反射光線(xiàn)的斜率為k，表示反射光線(xiàn)的方程，由反射光線(xiàn)與已知圓相切，可得出圓心到反射線(xiàn)的距離等于圓的半徑，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式列出關(guān)于k的方程，求出方程的解得到k的值，即可確定出反射線(xiàn)的方程．

此題考查了直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)有：直線(xiàn)的一般式方程，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，當(dāng)直線(xiàn)與圓相切時(shí)，圓心到切線(xiàn)的距離等于圓的半徑，熟練掌握此性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．15.解：若，則，

則原命題為真命題，則逆否命題為真命題，

逆命題：若，則，為假命題，由，則或，

即逆命題為假命題，則否命題為假命題，

則四種命題中證明題的個(gè)數(shù)為2個(gè)．

故答案為：2

根據(jù)逆否命題的等價(jià)性，四種命題之間的關(guān)系進(jìn)行判斷即可．

根據(jù)四種命題之間的關(guān)系，結(jié)合逆否命題的等價(jià)性進(jìn)行判斷即可．16.【分析】

本題主要考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，橢圓的性質(zhì)，屬于中檔題．

設(shè)點(diǎn)，則有，可得，又，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．

【解答】

解：由題意，，

設(shè)點(diǎn)，

則有，

解得，

因?yàn)?/p>

所以，

此二次函數(shù)對(duì)應(yīng)的拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為，

因?yàn)椋?/p>

所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，

故答案為6．17.本題考查復(fù)合命題的真假判定及必要不充分條件的判斷，也考查了不等式的求解及集合思想的運(yùn)用，屬基礎(chǔ)題．

當(dāng)時(shí)，解不等式得，解不等式得，由為真，即可得解；

解不等式得，由p是q的必要不充分條件，借用集合中真子集的思想，建立關(guān)于實(shí)數(shù)a的不等式組，解出即可得到結(jié)論．18.本題考查空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算，考查空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查求空間向量的模長(zhǎng)及數(shù)量積，是基礎(chǔ)題．

由得，解出x，從而求得的坐標(biāo)，根據(jù)模長(zhǎng)公式求解即可；

由得，解出x，從而求得的坐標(biāo)，再計(jì)算，的坐標(biāo)，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式計(jì)算即可．19.本題考查了相互平行與垂直的直線(xiàn)斜率之間的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、斜率計(jì)算公式及直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，培養(yǎng)了學(xué)生分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力．

利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得：線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為，利用斜率計(jì)算公式可得，可得線(xiàn)段AB的中垂線(xiàn)的斜率，利用點(diǎn)斜式即可得出結(jié)果；

過(guò)點(diǎn)且與直線(xiàn)AB平行的直線(xiàn)l的斜率為，利用直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程即可得出結(jié)果．20.本題考查了線(xiàn)面平行的判定，線(xiàn)面垂直的性質(zhì)，屬于中檔題．

利用射影定理即可證明．

設(shè)與的交點(diǎn)為E，連結(jié)DE，利用中位線(xiàn)的性質(zhì)證出平面21.本題考查直線(xiàn)與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查計(jì)算能力，是中檔題．

當(dāng)直線(xiàn)AB垂直于x軸時(shí)，不合題意；當(dāng)直線(xiàn)AB斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程為，即利