學(xué)習(xí)概率論教學(xué)課件-ch4習(xí)題課張穎

假設(shè)檢驗習(xí)題課X

~t(n)tα(n)分位點：設(shè)0<α<1,對隨機變量X，稱滿足的點為X的概率分布的上分位點.

雙側(cè)分位點注意：1.雙邊檢驗的拒絕域取在兩側(cè);單邊檢驗的拒絕域中不等式的取向與備擇假設(shè)H1中不等式的取向完全一致.2.單邊檢驗中的等號總是在原假設(shè)中.假設(shè)檢驗依據(jù)小概率原理.基本步驟:（2）根據(jù)假設(shè)確定檢驗統(tǒng)計量;（3）按，求出拒絕域;（4）根據(jù)樣本值作出拒絕還是接受H0的判斷.（1）根據(jù)實際問題的要求，提出原假設(shè)H0及備擇假設(shè)H1；通常只控制犯第一類（棄真）錯誤的概率,即只控制使

適量地小,而不考慮第二類（取偽）錯誤的概率.原則:理論依據(jù)：正態(tài)總體的假設(shè)檢驗

總體方差

2已知時，用總體方差

2未知時，用1.單一正態(tài)總體參數(shù)μ的檢驗（H0:

=

0）檢驗均值

總體均值

未知時，用

總體均值

已知時，用檢驗方差

22.單一正態(tài)總體方差

2的檢驗（H0:

2=

02）方差已知時，用方差未知，但相等時，用對于兩個正態(tài)總體參數(shù)的檢驗檢驗均值差檢驗方差比用以上這些統(tǒng)計量,你是否已經(jīng)記熟?學(xué)習(xí)方法與注意事項1.首要的是掌握假設(shè)檢驗的一般思路；2.針對“四類問題六種模型”，分別牢記所用的檢驗統(tǒng)計量.3.在實際問題的分析中，注意先搞清楚問題所屬模型類別.1>單個總體還是多個總體?

2>檢驗均值還是檢驗方差?3>單邊檢驗還是雙邊檢驗?應(yīng)用舉例例1

一臺車床生產(chǎn)某一型號的滾珠.已知滾珠的直徑服從正態(tài)分布,規(guī)定直徑的標準值為1(cm),均方差不能超過0.02(cm).現(xiàn)從這臺車床生產(chǎn)的滾珠中抽出9個,測得其直徑為:0.994，1.014，1.02，0.95，1.03，0.988，0.979，1.023，0.982，問這臺車床工作是否正常？(取檢驗水平

=0.05)分析：（2）對期望

的假設(shè)檢驗，單邊還是雙邊?（3）對方差的檢驗假設(shè)，單邊還是雙邊?（1）要判斷工作是否正常，需檢驗什么？備擇假設(shè)H1應(yīng)取作什么？檢驗統(tǒng)計量用哪一個？備擇假設(shè)H1應(yīng)取作什么？檢驗統(tǒng)計量用哪一個？設(shè)滾珠的直徑為X，計算其樣本均值為

x=0.998，

樣本均方差為s=0.026。（1）先在水平

=0.05下檢驗假設(shè)

H0:

=

0=1H1:

≠

0=1。

設(shè)滾珠的直徑為X，計算其樣本均值為x

=0.998，

樣本均方差為s=0.026。取統(tǒng)計量則

T～t(9-1)由

P{|T|≥t0.025(8)}=0.05，查t

分布表得:t0.025(8)=2.306，即拒絕域為(－,－2.306]∪[2.306，+)，=0.23<2.306故接受H0。解:而|T|的數(shù)值:例1

一臺車床生產(chǎn)某一型號的滾珠.已知滾珠的直徑服從正態(tài)分布,規(guī)定直徑的標準值為1(cm),均方差不能超過0.02(cm).現(xiàn)從這臺車床生產(chǎn)的滾珠中抽出9個,測得其直徑為:0.994，1.014，1.02，0.95，1.03，0.988，0.979，1.023，0.982，問這臺車床工作是否正常？(取檢驗水平

=0.05)（2）再在水平

=0.05下檢驗假設(shè)

H0:

2=

02=0.022

H1:

2>

02

=0.022

取統(tǒng)計量則Y～

2（8）由P{Y≥

20.05(8)}=0.05,查

2分布表得:

20.05(8)=15.507,從而拒絕域為[15.507,+)而Y的數(shù)值y=(8?0.022)0.0262=9.69<15.507,故接受H0。綜合（1）和（2）可以認為車床工作正常。例1

一臺車床生產(chǎn)某一型號的滾珠.已知滾珠的直徑服從正態(tài)分布,規(guī)定直徑的標準值為1(cm),均方差不能超過0.02(cm).現(xiàn)從這臺車床生產(chǎn)的滾珠中抽出9個,測得其直徑為:0.994，1.014，1.02，0.95，1.03，0.988，0.979，1.023，0.982，問這臺車床工作是否正常？(取檢驗水平

=0.05)例2

在平爐上進行一項試驗以確定改變操作方法的革新是否會增加鋼的得率?，F(xiàn)在同一平爐上分別用標準方法和革新的方法交替各煉了10爐，其得率分別為:

標準方法

78.1,72.4,76.2,74.3,77.4,78.4,76.0,75.5,76.7,77.3

新方法

79.1,81.0,77.3,79.1,80.0,79.1,79.1,77.3,80.2,82.1

設(shè)這兩個樣本相互獨立，都來自正態(tài)總體，且二總體的方差相同。問革新的方法能否提高得率？取

=0.005.

設(shè)用標準方法煉一爐鋼的得率為X，用新方法煉一爐鋼的得率為Y，則X~N(

１,

2),Y~N(

2,

2).(1)首先考慮需檢驗的假設(shè)是什么?(2)檢驗統(tǒng)計量應(yīng)用哪一個?分析:

先求出各方法的樣本均值和樣本方差:

標準方法:n1=10x1=76.23s12=3.325

新方法:n2=10x2=79.43s22=2.225在水平

=0.005下檢驗假設(shè)

H0:

１=

2,H1:

１<

2當假設(shè)H0為真時,取統(tǒng)計量則T～t(18)．由P{T≤-t0.005(18)}=0.005,查表得t0.005(18)=2.8784。從而拒絕域為（-

，-2.8784].代入樣本值得T的值為t=-4.295<-2.8784,所以拒絕H0.故我們認為建議的操作方法較原來的標準方法為優(yōu).解:例2

現(xiàn)在同一平爐上分別用標準方法和革新的方法交替各煉了10爐，其得率分別為:

標準方法

78.1,72.4,76.2,74.3,77.4,78.4,76.0,75.5,76.7,77.3

新方法

79.1,81.0,77.3,79.1,80.0,79.1,79.1,77.3,80.2,82.1

設(shè)這兩個樣本相互獨立，都來自正態(tài)總體，且二總體的方差相同。問革新的方法能否提高得率？取

=0.005.例3某建筑構(gòu)件廠使用兩種不同的沙石生產(chǎn)混凝土預(yù)制塊,各在所產(chǎn)產(chǎn)品中取樣分析.取使用甲種沙石的預(yù)制塊20塊,測得平均強度為310kg/cm2,標準差為4.2kg/cm2,取使用乙種沙石的預(yù)制塊16塊,測得平均強度為308kg/cm2,標準差為3.6kg/cm2,設(shè)兩個總體都服從正態(tài)分布,在

=0.01下,問

(1)能否認為兩個總體方差相等?

(2)能否認為使用甲種沙石的預(yù)制塊的平均強度顯著的高于用乙種沙石的預(yù)制塊的平均強度?取統(tǒng)計量則F~Ｆ(19,15)，查分布表得

F0.01/2(19,15)=F0.005(19,15)=3.59

F1-0.005(19,15)=1/F0.005(15,19)=0.26從而拒絕域為(0,0.26]∪[3.59,+∞)將樣本值s1=4.2,s2=3.6代入,得F的數(shù)值為4.22/3.62=1.36∵0.26<1.36<3.59設(shè)使用甲、乙兩種沙石的混凝土預(yù)制塊的強度分別為X、Y，則X~N(

１,

12),Y～N(

2,

22).解:(1)在檢驗水平

=0.01下檢驗假設(shè)

H0：

12=

22

H1：

12≠

22

∴接受H0,即認為兩個總體方差相等.(2)檢驗水平

=0.01下檢驗假設(shè)H0:

１=

2,H1:

１>

2取統(tǒng)計量則T～t(n1+n2-2)=t(34)由P{T≥t0.01(34)}=0.01,查分布表得t0.01(34)=2.4411從而拒絕域為[2.4411,+∞)從而接受假設(shè)H0.即不能認為使用甲種沙石的預(yù)制塊的平均強度顯著的高于使用乙種沙石的預(yù)制塊的平均強度.代入樣本值n1=20,n2=16,s1=4.2,s2=3.6得T的數(shù)值為

t=1.51<2.4411例4

機床廠某日從兩臺機器所加工的同一種零件中，分別抽取若干樣品測量零件尺寸，測得數(shù)據(jù)如下：機器甲：6.25.76.56.06.35.85.76.06.05.86.0機器乙：5.65.95.65.75.86.05.55.75.5問兩臺機器的加工精度是否有顯著差異？

解：在檢驗水平下，檢驗假設(shè)

因為均未知，且不知(1)故先檢驗假設(shè)是否相等，當假設(shè)為真時，取檢驗統(tǒng)計量

由

查表得：故拒絕域為代入樣本值得所以接受，故可以認為(2)再檢驗假設(shè)

當假設(shè)為真時，取檢驗統(tǒng)計量

由

查表得：代入樣本值所以拒絕

,故可以認為兩臺機器的加工精度有顯著差異。

從而拒絕域為[2.1009,+∞)∪(-∞,2.1009]例5

在70年代后期人們發(fā)現(xiàn)，在釀造啤酒時，在麥牙干燥過程中形成致癌物質(zhì)亞硝基二甲胺（NDMA）。到了80年代初期開發(fā)了一種新的麥牙干燥過程。下面給出分別在新老兩種過程中形成的NDMA含量（以10億份中的分數(shù)計）。老過程645565564674新過程212210321013記對應(yīng)于老、新過程的總體的設(shè)兩樣本分別來自正態(tài)總體，且兩總體的方差相等。檢驗假設(shè)（取獨立。分別以均值，

分析:這是兩個正態(tài)總體均值關(guān)系的一個假設(shè)檢驗問題，是一個單邊檢驗，且兩總體的方差未知但相等，該如何選取統(tǒng)計量呢？仍選擇T統(tǒng)計量。解：若為真，則統(tǒng)計量所以查表得所以拒絕域為：所以在下，落入拒絕域中，拒絕即認為代入計算得例6

在10塊土地上試種甲乙兩種作物，所得產(chǎn)量……假設(shè)作物產(chǎn)量并計算得分別為服從正態(tài)分布，若取顯著可以認為這兩個品種的產(chǎn)量沒有顯著性差異？問是否乙種作物產(chǎn)量解甲種作物產(chǎn)量要檢驗由于未知，檢驗假設(shè)H0，先要檢驗用檢驗，若成立，則統(tǒng)計量查表得臨界值:性水平為1%，所以的接受域為：代入已知值，求得顯然落入接受域，所以接受原假設(shè)若成立，則統(tǒng)計量查表得臨界值所以的接受域為：代入已知值，求得顯然落入接受域中，所以接受即兩個品種的產(chǎn)量沒有顯著性差別。2.分布函數(shù)的擬合檢驗說明：可以證明,可得假設(shè)檢驗問題的拒絕域為以P93,15檢查了一本書的100頁，記錄各頁中的印刷錯誤的個數(shù)，其結(jié)果如下：問在顯著性水平0.05下，能否認為一頁中的印刷錯誤個數(shù)服從泊松分布？解：設(shè)將X的所有取值分為：X=0,X=1,…,X=6,X≥7等子集，根據(jù)假設(shè)求出X落在每個子集內(nèi)的概率，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)求出X落在每個子集內(nèi)的頻率，得下表：接受H0，認為服從泊松分布.假設(shè)檢驗一、是非題

2、檢驗水平恰好是犯“棄真