2023廣東省深圳市各區(qū)中考數(shù)學(xué)模擬題-壓軸題

初中PAGE1試卷2023年廣東省深圳市中考數(shù)學(xué)一~三模試題匯編：壓軸解答題（原卷版）一、四邊形1.（2023年廣東省深圳市坪山區(qū)中考一模）將正方形的邊繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，記旋轉(zhuǎn)角為，連接，過(guò)點(diǎn)B作直線，垂足為點(diǎn)F，連接．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，的形狀為_(kāi)_____，的值為_(kāi)_____；（2）當(dāng)時(shí)，①（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請(qǐng)根據(jù)圖2的情形進(jìn)行證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；②如圖3，正方形邊長(zhǎng)為4，，，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，是否存在與相似？若存在，則的值為_(kāi)_____，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．2.（2023年廣東省深圳市福田區(qū)中考二模）【材料閱讀】在等腰三角形中，我們把底邊與腰長(zhǎng)的比叫做頂角的張率．如圖1，在中，，頂角的張率記作底邊腰．容易知道一個(gè)角的大小與這個(gè)角的張率也是相互唯一確定的，所以，類(lèi)比三角函數(shù)，我們可按上述方式定義的張率，例如，，，請(qǐng)根據(jù)材料，完成以下問(wèn)題：如圖2，是線段上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），點(diǎn)，分別是線段，的中點(diǎn)，以，，為邊分別在的同側(cè)作等邊三角形，，，連接和．（1）【理解應(yīng)用】①若等邊三角形，，的邊長(zhǎng)分別為，，，則，，，三者之間的關(guān)系為；②；（2）【猜想證明】如圖3，連接，，猜想的值是多少，并說(shuō)明理由；（3）【拓展延伸】如圖4，連接，，若，，則的周長(zhǎng)是多少？此時(shí)的長(zhǎng)為多少？（可直接寫(xiě)出上述兩個(gè)結(jié)果）3.（2023年廣東省深圳市坪山區(qū)中考二模數(shù)學(xué)）在正方形中，點(diǎn)是對(duì)角線上的一點(diǎn)，且，將線段繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，記旋轉(zhuǎn)角為，連接、，并以為斜邊在其上方作，連接．（1）特例探究：如圖1，當(dāng)，時(shí)，線段與的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)__________；（2）問(wèn)題探究：如圖2所示，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，①（1）中的結(jié)論是否依然成立，若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；②當(dāng)，時(shí)，若，求的長(zhǎng)度；（3）拓展提升：若正方形改為矩形，且，其它條件不變，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，如圖3所示，若，，直接寫(xiě)出的長(zhǎng)度．（用含的式子表示）4.（2023年廣東省深圳市寶安區(qū)中考二模）在平行四邊形中，，，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，且．（1）若，①如圖1，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，連接，作交于點(diǎn)，連接、，求證：為等邊三角形；②如圖2，連接，作，作于點(diǎn)，連接，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，求的長(zhǎng)度；（2）如圖3，連接，若，為邊上一點(diǎn)（不與、重合），連接，以為邊作，且，，作的角平分線，與交于點(diǎn)，連接，點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，的最大值與最小值的差為_(kāi)_________．5.（2023年廣東省深圳市龍華區(qū)中考一模）如圖1，已知點(diǎn)G在正方形的對(duì)角線上，，垂足為點(diǎn)E，，垂足為點(diǎn)F．（1）證明與推斷：②求證：四邊形是正方形；②推斷：的值為_(kāi)__________；（2）探究與證明：將正方形的繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，如圖2所示，試探究線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）拓展與運(yùn)用：正方形在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)B、E、F三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，如圖3所示，延長(zhǎng)交于點(diǎn)H，若，則___________．6.（2023年廣東省深圳市龍華區(qū)中考二模）【課本再現(xiàn)】把兩個(gè)全等的矩形和矩形拼成如圖1的圖案，則______；【遷移應(yīng)用】如圖2，在正方形中，是邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，作射線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，求證：；【拓展延伸】在菱形中，，是邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，作射線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．①線段與的數(shù)量關(guān)系是_____________________．②若，是的三等分點(diǎn)，則的面積為_(kāi)___________________．7.（2023年廣東省深圳市寶安區(qū)中考三模）（1）【問(wèn)題情境】如圖，正方形中，、分別是邊和對(duì)角線上的點(diǎn)，．易證（不需寫(xiě)出證明過(guò)程），此時(shí)的值是______；（直接填結(jié)果）（2）【問(wèn)題解決】如圖，矩形中，，，、分別是邊和對(duì)角線上的點(diǎn)，，，求的長(zhǎng)；（3）【變式探究】如圖，菱形中，，對(duì)角線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，、分別是線段和上的點(diǎn)，，，求的長(zhǎng)．（4）【拓展延伸】如圖，點(diǎn)為等腰的斜邊的中點(diǎn)，，，連接，作，其中，，連接，求四邊形的面積的最大值為_(kāi)_____．（直接寫(xiě)出結(jié)果）8.（2023年廣東省深圳市光明區(qū)中考二模）【問(wèn)題】北師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)P32第2題：已知：如圖1，的外角和的平分線相交于點(diǎn)F．求證：點(diǎn)F在的平分線上．【解答】某數(shù)學(xué)興趣小姐的小明同學(xué)提出了如下的解題方法：如圖2，過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)G，作于點(diǎn)H，作于點(diǎn)M，由角平分線的性質(zhì)定理可得：，．∴．∵，，∴F在的平分結(jié)上．【探究】（1）小方在研究小明的解題過(guò)程時(shí)，還發(fā)現(xiàn)圖2中和三條線段存在一定的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)你直接寫(xiě)出它們的數(shù)量關(guān)系：________；（2）小明也發(fā)現(xiàn)和之間存在一定的數(shù)量關(guān)系．請(qǐng)你直接寫(xiě)出它們的數(shù)量關(guān)系：________；（3）如圖3，邊長(zhǎng)為3的正方形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊上的點(diǎn)，且．連接，若，求的長(zhǎng)；（4）如圖4，中，，．中，．將的頂點(diǎn)D放在邊的中點(diǎn)處，邊交線段于點(diǎn)G，邊交線段于點(diǎn)H，連接．現(xiàn)將繞著點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化？若不變，求出的周長(zhǎng)，若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由．9.（2023年廣東省深圳市南山區(qū)中考一模）在正方形中，點(diǎn)是對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)，不重合），連接．（1）將射線繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，交直線于點(diǎn)．①依題意補(bǔ)全圖1；②小深通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)線段存在以下數(shù)量關(guān)系：的平方和等于的平方．小深把這個(gè)猜想與同學(xué)們進(jìn)行交流，通過(guò)討論，形成證明該猜想的幾種想法：想法1：將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，要證的關(guān)系，只需證的關(guān)系．想法2：將沿翻折，得到，要證的關(guān)系，只需證的關(guān)系．…請(qǐng)你參考上面的想法，用等式表示線段的數(shù)量關(guān)系并證明；（一種方法即可）（2）如圖2，若將直線繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，交直線于點(diǎn)．若正方形邊長(zhǎng)為，，求的長(zhǎng)．10.（2023年廣東省深圳市南山區(qū)中考三模）某數(shù)學(xué)興趣小組在數(shù)學(xué)課外活動(dòng)中，對(duì)多邊形內(nèi)兩條互相垂直的線段進(jìn)行了如下探究：（1）【觀察與猜想】如圖1，在正方形中，點(diǎn)，分別是，上的兩點(diǎn)，連接，，，則的值為_(kāi)_____；（2）如圖2，在矩形中，，，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，連接，，，則的值為_(kāi)_____；（3）【證明與理解】如圖3，在矩形中，，，，求的值；（4）【知識(shí)點(diǎn)應(yīng)用】如圖4，在中，，，，將沿翻折后得到，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，，求的值．11.（2023年廣東省深圳市光明區(qū)中考一模）綜合與實(shí)踐問(wèn)題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問(wèn)題：如圖①，在中，，垂足為E，F(xiàn)為的中點(diǎn)，連接，，試猜想與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．（1）獨(dú)立思考：請(qǐng)解答老師提出的問(wèn)題；（2）實(shí)踐探究：希望小組受此問(wèn)題的啟發(fā)，將沿著（F為的中點(diǎn)）所在直線折疊，如圖②，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，請(qǐng)判斷與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．（3）問(wèn)題解決：智慧小組突發(fā)奇想，將沿過(guò)點(diǎn)B的直線折疊，如圖③，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，使于點(diǎn)H，折痕交于點(diǎn)M，連接，交于點(diǎn)N．該小組提出一個(gè)問(wèn)題：若此的面積為20，邊長(zhǎng)，，求圖中陰影部分（四邊形）的面積．請(qǐng)你思考此問(wèn)題，直接寫(xiě)出結(jié)果．圓1.（2023年廣東省深圳市光明區(qū)中考一模）如圖1，已知⊙O是△ABC的外接圓，∠ABC＝∠ACB＝（45°＜＜90°），點(diǎn)D是上一點(diǎn)，連接CD交AB于E．（1）連接BD，若∠CDB＝40°，求的大??；（2）如圖2，若點(diǎn)B恰好是中點(diǎn)，求證：；（3）如圖3，將CD分別沿BC、AC翻折到CM、CN，連接MN，若CD為直徑，請(qǐng)問(wèn)是否為定值，若是請(qǐng)求出這個(gè)值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；2.（2023年廣東省深圳市光明區(qū)中考二模）圓周角定理：圓周角度數(shù)等于它所對(duì)的弧上的圓心角度數(shù)的一半．下面根據(jù)圓周角定理進(jìn)行探究．（1）如圖1，是的弦，點(diǎn)C是上一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)D，連接，，求的大?。?）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，．（?。┤鐖D2，點(diǎn)P為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．請(qǐng)從：①；②；③中任選一個(gè)，求出相應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo)；（ⅱ）如圖3，點(diǎn)M為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接．當(dāng)最大時(shí)，求出此時(shí)的面積．3.（2023年廣東省深圳市坪山區(qū)中考二模數(shù)學(xué)）課本呈現(xiàn)：如圖1，在射門(mén)游戲中，球員射中球門(mén)的難易程度與他所處的位置對(duì)球門(mén)的張角（）有關(guān)．當(dāng)球員在，處射門(mén)時(shí)，則有張角．某數(shù)學(xué)小組由此得到啟發(fā)，探究當(dāng)球員在球門(mén)同側(cè)的直線射門(mén)時(shí)的最大張角．問(wèn)題探究：（1）如圖2，小明探究發(fā)現(xiàn)，若過(guò)、兩點(diǎn)的動(dòng)圓與直線相交于點(diǎn)、，當(dāng)球員在處射門(mén)時(shí)，則有．小明證明過(guò)程如下：設(shè)直線交圓于點(diǎn)，連接，則∵_(dá)__________∴___________∴（2）如圖3，小紅繼續(xù)探究發(fā)現(xiàn)，若過(guò)、兩點(diǎn)的動(dòng)圓與直線相切于點(diǎn)，當(dāng)球員在處射門(mén)時(shí)，則有，你同意嗎？請(qǐng)你說(shuō)明理由．問(wèn)題應(yīng)用：如圖4，若，米，是中點(diǎn)，球員在射線上的點(diǎn)射門(mén)時(shí)的最大張角為，則的長(zhǎng)度為_(kāi)__________米．問(wèn)題遷移：如圖5，在射門(mén)游戲中球門(mén)，是球場(chǎng)邊線，，是直角，．若球員沿帶球前進(jìn)，記足球所在的位置為點(diǎn)，求的最大度數(shù)．（參考數(shù)據(jù)：，，，，．）4.（2023年廣東省深圳市寶安區(qū)中考三模）綜合與實(shí)踐數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問(wèn)題：如圖，已知三只螞蟻A、、在半徑為的上靜止不動(dòng)，第四只螞蟻在上的移動(dòng)，并始終保持．（1）請(qǐng)判斷的形狀；“數(shù)學(xué)希望小組”很快得出結(jié)論，請(qǐng)你回答這個(gè)結(jié)論：是______三角形；（2）“數(shù)學(xué)智慧小組”繼續(xù)研究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)?shù)谒闹晃浵佋谏系囊苿?dòng)時(shí)，線段、、三者之間存在一種數(shù)量關(guān)系：請(qǐng)你寫(xiě)出這種數(shù)量關(guān)系：______，并加以證明；（3）“數(shù)學(xué)攀峰小組”突發(fā)奇想，深入探究發(fā)現(xiàn)：若第五只螞蟻同時(shí)隨著螞蟻的移動(dòng)而移動(dòng)，且始終位于線段的中點(diǎn)，在這個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段的長(zhǎng)度一定存在最小值，請(qǐng)你求出線段的最小值是______（不寫(xiě)解答過(guò)程，直接寫(xiě)出結(jié)果）．5.（2023年廣東省深圳市福田區(qū)中考二模）【綜合與實(shí)踐】我國(guó)海域的島嶼資源相當(dāng)豐富，總面積達(dá)多平方公里，有人居住的島嶼達(dá)個(gè)．位于北部灣的某小島，外形酷似橄欖球，如圖1所示．如圖2所示，現(xiàn)把海岸線近似看作直線m，小島面對(duì)海岸線一側(cè)的外緣近似看作，經(jīng)測(cè)量，的長(zhǎng)可近似為海里，它所對(duì)的圓心角的大小可近似為．(注：在m上的正投影為圖中線段，點(diǎn)O在m上的正投影落在線段上．)（1）求的半徑r；（2）因該島四面環(huán)海，淡水資源缺乏，為解決島上居民飲用淡水難的問(wèn)題，擬在海岸線上，建造一個(gè)淡水補(bǔ)給站，向島上居民輸送淡水．為節(jié)約運(yùn)輸成本，要求補(bǔ)給站到小島外緣的距離最近(即要求補(bǔ)給站與上的任意一點(diǎn)，兩點(diǎn)之間的距離取得最小值)；請(qǐng)你依據(jù)所學(xué)幾何知識(shí)，在圖2中畫(huà)出補(bǔ)給站位置及最短運(yùn)輸路線(保留畫(huà)圖痕跡，并做必要標(biāo)記與注明；不限于尺規(guī)作圖，不要求證明)．（3）如圖3，若測(cè)得長(zhǎng)為海里，長(zhǎng)為海里，試求出（2）中的最小距離．

2023年廣東省深圳市中考數(shù)學(xué)一~三模試題匯編：壓軸解答題（解析版）一、四邊形1.（2023年廣東省深圳市坪山區(qū)中考一模）將正方形的邊繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，記旋轉(zhuǎn)角為，連接，過(guò)點(diǎn)B作直線，垂足為點(diǎn)F，連接．（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，的形狀為_(kāi)_____，的值為_(kāi)_____；（2）當(dāng)時(shí)，①（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請(qǐng)根據(jù)圖2的情形進(jìn)行證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；②如圖3，正方形邊長(zhǎng)為4，，，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，是否存在與相似？若存在，則的值為_(kāi)_____，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）等腰直角三角形，；（2）①成立，理由見(jiàn)解析；②存在，．【解析】【分析】（1）如圖，連接，當(dāng)時(shí)，利用正方形及等腰三角形性質(zhì)可求得，，易得是等邊三角形即即可求出結(jié)合即可證得是等腰直角三角形，在與中，求得可證得即可得到；（2）①如圖連接，當(dāng)時(shí)，求得，從而得到即可證明是等腰直角三角形，在與中求得可證得即可得到；②如圖，當(dāng)時(shí)，由①可證得，及，，易證從而易證得是等腰直角三角形得，再證得，在中，，由①可知得，即，則有在中勾股定理解可求解．【小問(wèn)1詳解】解：如圖，連接，當(dāng)時(shí)，，，，是等邊三角形，，，，，，是等腰直角三角形，，，，中，，，同理，在中，，，，，故答案為：等腰直角三角形，；【小問(wèn)2詳解】①成立，理由如下，如圖連接，當(dāng)時(shí)，，，，，，，，是等腰直角三角形，，，，在中，，，同理，在中，，，，，故結(jié)論成立；②如圖，當(dāng)時(shí)，，，，由①可知，，，，同理可證，，，，，，，，，，，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，在中，，由①可知，，，，在中，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，與三角形有關(guān)的角的計(jì)算，相似三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，勾股定理解直角三角形；解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形相似的判定和性質(zhì)的應(yīng)用2.（2023年廣東省深圳市福田區(qū)中考二模）【材料閱讀】在等腰三角形中，我們把底邊與腰長(zhǎng)的比叫做頂角的張率．如圖1，在中，，頂角的張率記作底邊腰．容易知道一個(gè)角的大小與這個(gè)角的張率也是相互唯一確定的，所以，類(lèi)比三角函數(shù)，我們可按上述方式定義的張率，例如，，，請(qǐng)根據(jù)材料，完成以下問(wèn)題：如圖2，是線段上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），點(diǎn)，分別是線段，的中點(diǎn)，以，，為邊分別在的同側(cè)作等邊三角形，，，連接和．（1）【理解應(yīng)用】①若等邊三角形，，的邊長(zhǎng)分別為，，，則，，，三者之間的關(guān)系為；②；（2）【猜想證明】如圖3，連接，，猜想的值是多少，并說(shuō)明理由；（3）【拓展延伸】如圖4，連接，，若，，則的周長(zhǎng)是多少？此時(shí)的長(zhǎng)為多少？（可直接寫(xiě)出上述兩個(gè)結(jié)果）【答案】（1）①；②（2），見(jiàn)解析（3）周長(zhǎng)為，的值為4或8【解析】【分析】（1）①利用中點(diǎn)的定義，證明，可得結(jié)論；②證明，可得結(jié)論；（2）猜想：，如圖中，連接證明，可得結(jié)論；（3）證明，可得，如圖中，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)求出的值，再利用對(duì)稱(chēng)性解決問(wèn)題即可．【小問(wèn)1詳解】解：①點(diǎn)，分別是線段，的中點(diǎn)，，，，，，即，②由題意得，，，，同理，，，．故答案為：，；【小問(wèn)2詳解】解：猜想：．理由：如圖中，連接．點(diǎn)是的中點(diǎn)，，都是等邊三角形，，，，，，同理可得，，，；【小問(wèn)3詳解】解：，，同理可證：，，，，，點(diǎn)，分別是線段，的中點(diǎn)，等邊三角形，，的邊長(zhǎng)分別為，，，，，，，，，．如圖中，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．，，，，在中，，，，由對(duì)稱(chēng)性可知，，綜上所述，的值為或．【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確尋找全等三角形解決問(wèn)題3.（2023年廣東省深圳市坪山區(qū)中考二模數(shù)學(xué)）在正方形中，點(diǎn)是對(duì)角線上的一點(diǎn)，且，將線段繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，記旋轉(zhuǎn)角為，連接、，并以為斜邊在其上方作，連接．（1）特例探究：如圖1，當(dāng)，時(shí)，線段與的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)__________；（2）問(wèn)題探究：如圖2所示，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，①（1）中的結(jié)論是否依然成立，若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；②當(dāng)，時(shí)，若，求的長(zhǎng)度；（3）拓展提升：若正方形改為矩形，且，其它條件不變，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，如圖3所示，若，，直接寫(xiě)出的長(zhǎng)度．（用含的式子表示）【答案】（1）（2）①成立，見(jiàn)解析，②（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得點(diǎn)F在上，，再由，可得點(diǎn)G在，，再結(jié)合正方形的性質(zhì)，可得，即可；（2）①證明，可得，即可求解；②根據(jù)，，可得，，過(guò)F作于H，根據(jù)三角形的面積公式可得，再由勾股定理可得，，，然后由①得：，即可；（3）過(guò)E作于H，則，，根據(jù)，可得，從而得到，，設(shè)，可得，，然后證明，即可．【小問(wèn)1詳解】解：根據(jù)題意得：當(dāng)，時(shí)，，且點(diǎn)F在上，∴，∵，∴，∴點(diǎn)G在，，在正方形中，∴都是等腰直角三角形，∴，∴；故答案為：【小問(wèn)2詳解】解：①成立，理由如下：如圖，∵四邊形是正方形，∴，∵，∴，，∴，，∴，∴，∴；②∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，過(guò)F作于H，∵，∴，即，∴，∴，∴，∴，由①得：，∴；【小問(wèn)3詳解】解：過(guò)E作于H，則，，∵四邊形是矩形，∴，∵，∴，∵，∴，∵A、F、G三點(diǎn)共線，∴，設(shè)，則，解得：，∴，∵，∴，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵4.（2023年廣東省深圳市寶安區(qū)中考二模）在平行四邊形中，，，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，且．（1）若，①如圖1，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，連接，作交于點(diǎn)，連接、，求證：為等邊三角形；②如圖2，連接，作，作于點(diǎn)，連接，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，求的長(zhǎng)度；（2）如圖3，連接，若，為邊上一點(diǎn)（不與、重合），連接，以為邊作，且，，作的角平分線，與交于點(diǎn)，連接，點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，的最大值與最小值的差為_(kāi)_________．【答案】（1）①見(jiàn)解析；②或（2）【解析】【分析】（1）①由，得平行四邊形是菱形，推出為等邊三角形，得到，再證明得到，即可得到結(jié)論；②作于，則，由，，得到，推出，列得，由此求出，再分當(dāng)落在左側(cè)時(shí)，；當(dāng)落在右側(cè)時(shí)，；（2）作，且，連接，證明，得到，再證明，得到，根據(jù)，求出，利用兩點(diǎn)之間線段最短，得，，即，由此得到當(dāng)D、N、G在一條直線上時(shí)，取最大值是，取最小值是，計(jì)算可得兩者之差．【小問(wèn)1詳解】①在平行四邊形中，，平行四邊形是菱形，平分，為等邊三角形，在菱形中，則，為等邊三角形．②作于，則中，，在，，，∵，，當(dāng)落在左側(cè)時(shí)，當(dāng)落在右側(cè)時(shí)，綜上，的長(zhǎng)度是或；【小問(wèn)2詳解】如圖，作，且，連接，在中，，，平分，∴，又∵，∴，∴又∵，∴∴∵，∴，∴，由兩點(diǎn)之間線段最短，得，，∴，當(dāng)D、N、G在一條直線上時(shí)，取最大值是，取最小值是，∴兩者之差為故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定，正確理解各判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵5.（2023年廣東省深圳市龍華區(qū)中考一模）如圖1，已知點(diǎn)G在正方形的對(duì)角線上，，垂足為點(diǎn)E，，垂足為點(diǎn)F．（1）證明與推斷：②求證：四邊形是正方形；②推斷：的值為_(kāi)__________；（2）探究與證明：將正方形的繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，如圖2所示，試探究線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）拓展與運(yùn)用：正方形在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)B、E、F三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，如圖3所示，延長(zhǎng)交于點(diǎn)H，若，則___________．【答案】（1）①見(jiàn)解析；②；（2）；見(jiàn)解析；（3）．【解析】【分析】（1）①由、結(jié)合可得四邊形是矩形，再由即可得出；②由正方形性質(zhì)知：、，據(jù)此可得、，利用平行線分線段成比例定理可得；（2）連接，只需證即可得；（3）證明，由相似三角形的性質(zhì)得出，設(shè)，則，求出的值，則可得出答案．【小問(wèn)1詳解】解：①四邊形是正方形，，，、，，四邊形是矩形，，，四邊形是正方形；②由①知四邊形是正方形，，，，，，故答案為：；【小問(wèn)2詳解】解：連接，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知，在和中，、，，，，線段與之間的數(shù)量關(guān)系為；【小問(wèn)3詳解】解：由（2）知，∵B、E、F三點(diǎn)在一條直線上，，，，、、三點(diǎn)共線，，，，，設(shè)，則，則由得，，則，，，，解得：，即，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)6.（2023年廣東省深圳市龍華區(qū)中考二模）【課本再現(xiàn)】把兩個(gè)全等的矩形和矩形拼成如圖1的圖案，則______；【遷移應(yīng)用】如圖2，在正方形中，是邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，作射線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，求證：；【拓展延伸】在菱形中，，是邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，作射線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．①線段與的數(shù)量關(guān)系是_____________________．②若，是的三等分點(diǎn)，則的面積為_(kāi)___________________．【答案】【課本再現(xiàn)】90；【遷移應(yīng)用】見(jiàn)解析；【拓展延伸】①；②或【解析】【分析】（1）【課本再現(xiàn)】先證明，可得，從而得到，即可；【遷移應(yīng)用】過(guò)點(diǎn)F作交于點(diǎn)H，結(jié)合正方形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明，可得，從而得到，進(jìn)而得到是等腰直角三角形，即可；【拓展延伸】①過(guò)點(diǎn)F作，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H，可證得，從而得到，，進(jìn)而得到，，繼而得到；②分兩種情況討論，即可．【詳解】∵矩形和矩形是全等矩形，∴，，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴；故答案為：90【遷移應(yīng)用】如圖，過(guò)點(diǎn)F作交于點(diǎn)H，∵四邊形是正方形，∴，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴；【拓展延伸】①過(guò)點(diǎn)F作，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，∴，∵四邊形是菱形，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴；故答案為：②當(dāng)時(shí)，有，由①得：，∴，∵的底邊上的高相等，∴；當(dāng)時(shí)，有，∴綜上所述，的面積為或．故答案為：或【點(diǎn)睛】本題主要考查了四邊形的綜合題，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，并利用類(lèi)比思想解答是解題的關(guān)鍵．7.（2023年廣東省深圳市寶安區(qū)中考三模）（1）【問(wèn)題情境】如圖，正方形中，、分別是邊和對(duì)角線上的點(diǎn)，．易證（不需寫(xiě)出證明過(guò)程），此時(shí)的值是______；（直接填結(jié)果）（2）【問(wèn)題解決】如圖，矩形中，，，、分別是邊和對(duì)角線上的點(diǎn)，，，求的長(zhǎng)；（3）【變式探究】如圖，菱形中，，對(duì)角線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，、分別是線段和上的點(diǎn)，，，求的長(zhǎng)．（4）【拓展延伸】如圖，點(diǎn)為等腰的斜邊的中點(diǎn)，，，連接，作，其中，，連接，求四邊形的面積的最大值為_(kāi)_____．（直接寫(xiě)出結(jié)果）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】【分析】（1）先證明，由四邊形為正方形，，為對(duì)角線得到，則，由正方形的性質(zhì)得到．由即可得到，得到答案；（2）設(shè)交于點(diǎn)，由矩形性質(zhì)得到，由勾股定理得到，證明，則，由即可得到長(zhǎng)；（3）連接交于點(diǎn)，在菱形中，，，，則，，由勾股定理得到，則，，再證明，則，即，則，即可得到，再證明，則，即可得到答案．（4）由四邊形的面積且的面積為定值，則面積最大時(shí)，四邊形的面積最大，進(jìn)一步得到點(diǎn)距離最大時(shí)，面積最大．可知點(diǎn)在以為圓心，半徑為的圓上，當(dāng)，，三點(diǎn)在一條直線上，即與該圓相切時(shí)，面積最大．過(guò)作于，則．求得，再求得，得到，求得，，得到，即可得到面積最大值為．進(jìn)一步即可得到答案．【詳解】解：（1），，，，四邊形為正方形，，為對(duì)角線，，∴；：四邊形為正方形，，為對(duì)角線，，，．∵，，故答案為：；（2）設(shè)交于點(diǎn)，∵四邊形是矩形，∴，，，，在矩形中，，，，，，，，，，，，，∴，∴，，；（3）連接交于點(diǎn)，在菱形中，，，，，，在中，，，，為菱形對(duì)角線，，，，，∴，，即，，，，，，，，，，，，∴，，．（4）∵四邊形的面積，的面積為定值，面積最大時(shí)，四邊形的面積最大．且位置不變，點(diǎn)距離最大時(shí)，面積最大．，點(diǎn)在以為圓心，半徑為的圓上，如圖所示：，當(dāng)，，三點(diǎn)在一條直線上，即與該圓相切時(shí)，面積最大．過(guò)作于，∵，．為的中點(diǎn)，．，，，，，，在中，，在中，，，面積最大值為．四邊形的面積的最大值．【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形、相似三角形的判定和性質(zhì)、切線的性質(zhì)、正方形、矩形、菱形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握解直角三角形和相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵8.（2023年廣東省深圳市光明區(qū)中考二模）【問(wèn)題】北師大版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)P32第2題：已知：如圖1，的外角和的平分線相交于點(diǎn)F．求證：點(diǎn)F在的平分線上．【解答】某數(shù)學(xué)興趣小姐的小明同學(xué)提出了如下的解題方法：如圖2，過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)G，作于點(diǎn)H，作于點(diǎn)M，由角平分線的性質(zhì)定理可得：，．∴．∵，，∴F在的平分結(jié)上．【探究】（1）小方在研究小明的解題過(guò)程時(shí)，還發(fā)現(xiàn)圖2中和三條線段存在一定的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)你直接寫(xiě)出它們的數(shù)量關(guān)系：________；（2）小明也發(fā)現(xiàn)和之間存在一定的數(shù)量關(guān)系．請(qǐng)你直接寫(xiě)出它們的數(shù)量關(guān)系：________；（3）如圖3，邊長(zhǎng)為3的正方形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊上的點(diǎn)，且．連接，若，求的長(zhǎng)；（4）如圖4，中，，．中，．將的頂點(diǎn)D放在邊的中點(diǎn)處，邊交線段于點(diǎn)G，邊交線段于點(diǎn)H，連接．現(xiàn)將繞著點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化？若不變，求出的周長(zhǎng)，若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）（3）（4）不改變，【解析】【分析】（1）證明可得，同理再由可得結(jié)論；（2）由（1）得，，，所以，進(jìn)而可得結(jié)論；（3）把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)可得，證明求得的周長(zhǎng)為6，設(shè)則在用勾股定理列方程求出即可；（4）連接，過(guò)點(diǎn)D作，，證明，可得，由等腰三角形的性質(zhì)可得，進(jìn)一步得出的周長(zhǎng),從而可得結(jié)論【小問(wèn)1詳解】平分，，在和中，,；同理可得，，；【小問(wèn)2詳解】由（1）得：，，，∴【小問(wèn)3詳解】將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，從而有．∴，，，∵四邊形是正方形∴，，∴∴B、P、F三點(diǎn)共線∵∴∴即∵，，∴∴設(shè)，，，∴解得：即【小問(wèn)4詳解】的周長(zhǎng)不改變?nèi)鐖D，連接，過(guò)點(diǎn)D作，，∵，，D為邊上中點(diǎn)∴，，∴，在中，，∴，又∴，∴∴∵，∴∴∵且∴∴，將繞著點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)至，由背景知識(shí)可得：的周長(zhǎng)【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵9.（2023年廣東省深圳市南山區(qū)中考一模）在正方形中，點(diǎn)是對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)，不重合），連接．（1）將射線繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，交直線于點(diǎn)．①依題意補(bǔ)全圖1；②小深通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)線段存在以下數(shù)量關(guān)系：的平方和等于的平方．小深把這個(gè)猜想與同學(xué)們進(jìn)行交流，通過(guò)討論，形成證明該猜想的幾種想法：想法1：將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，要證的關(guān)系，只需證的關(guān)系．想法2：將沿翻折，得到，要證的關(guān)系，只需證的關(guān)系．…請(qǐng)你參考上面的想法，用等式表示線段的數(shù)量關(guān)系并證明；（一種方法即可）（2）如圖2，若將直線繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，交直線于點(diǎn)．若正方形邊長(zhǎng)為，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）①見(jiàn)解析；②，證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）①根據(jù)題意補(bǔ)全圖形即可；②想法1：過(guò)作，使，連接，由正方形的性質(zhì)得出，，，證明，得出，證出，證明，得出，證出，在中，由勾股定理即可；想法2，證明，在在中，由勾股定理即可，進(jìn)而即可得出結(jié)論；（2）過(guò)作，使，連接，由證得：，得出，再由證得：，得出，，證出，得出，在中，由勾股定理即可得得出，根據(jù)題意得出，代入結(jié)論，解方程即可求解．【小問(wèn)1詳解】解：①補(bǔ)全圖形，如圖1所示：②；理由如下：想法1：過(guò)作，使，連接，如圖2所示：∵四邊形是正方形，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，在和中，∴，∴，∴，在中，，∴；想法2，如圖所示，∵四邊形是正方形，將沿翻折，得到，∴，，∵，∴∴∴在和中，，∴，∴，∴，在中，，∴；【小問(wèn)2詳解】解：如圖所示，過(guò)作，使，連接，∵直線繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)°，交直線于點(diǎn)，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，在中，，∴．∵正方形邊長(zhǎng)為，∴，∵，設(shè)，則∴解得：∴設(shè)，則，∵．∴，解得：∴．點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理，證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵10.（2023年廣東省深圳市南山區(qū)中考三模）某數(shù)學(xué)興趣小組在數(shù)學(xué)課外活動(dòng)中，對(duì)多邊形內(nèi)兩條互相垂直的線段進(jìn)行了如下探究：（1）【觀察與猜想】如圖1，在正方形中，點(diǎn)，分別是，上的兩點(diǎn)，連接，，，則的值為_(kāi)_____；（2）如圖2，在矩形中，，，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，連接，，，則的值為_(kāi)_____；（3）【證明與理解】如圖3，在矩形中，，，，求的值；（4）【知識(shí)點(diǎn)應(yīng)用】如圖4，在中，，，，將沿翻折后得到，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，，求的值．【答案】（1）（2）（3）（4）【解析】【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，互余的性質(zhì)，證明即可；（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)，互余的性質(zhì)，證明即可；（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)矩形的性質(zhì)，互余的性質(zhì)，證明即可；（4）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，根據(jù)正切的定義得到，根據(jù)勾股定理分別求出、，根據(jù)三角形的面積公式求出，計(jì)算即可．【小問(wèn)1詳解】解：如圖1，四邊形是正方形，，，，，，，，，，故答案為：．【小問(wèn)2詳解】如圖，四邊形是矩形，，，，，，，，，，故答案為：．【小問(wèn)3詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，四邊形是矩形，，，，，，，，，，四邊形是矩形，，，，，四邊形是矩形，，，，故答案為：．【小問(wèn)4詳解】解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，如圖所示：，，，，，，，在中，，，即，設(shè)，則，，，（負(fù)值舍去），，，，，，，【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)與判定，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，方程組，三角函數(shù)，熟練掌握三角形的相似，三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵11.（2023年廣東省深圳市光明區(qū)中考一模）綜合與實(shí)踐問(wèn)題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示了一個(gè)問(wèn)題：如圖①，在中，，垂足為E，F(xiàn)為的中點(diǎn)，連接，，試猜想與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．（1）獨(dú)立思考：請(qǐng)解答老師提出的問(wèn)題；（2）實(shí)踐探究：希望小組受此問(wèn)題的啟發(fā)，將沿著（F為的中點(diǎn)）所在直線折疊，如圖②，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)G，請(qǐng)判斷與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．（3）問(wèn)題解決：智慧小組突發(fā)奇想，將沿過(guò)點(diǎn)B的直線折疊，如圖③，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，使于點(diǎn)H，折痕交于點(diǎn)M，連接，交于點(diǎn)N．該小組提出一個(gè)問(wèn)題：若此的面積為20，邊長(zhǎng)，，求圖中陰影部分（四邊形）的面積．請(qǐng)你思考此問(wèn)題，直接寫(xiě)出結(jié)果．【答案】（1），證明見(jiàn)解析（2），證明見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】（1）如圖，作交于H，證明垂直平分線段即可；（2）證明四邊形是平行四邊形即可；（3）如圖，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)J，過(guò)點(diǎn)M作于T，根據(jù)求解即可．【小問(wèn)1詳解】，證明：如圖，作交于H，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，，；【小問(wèn)2詳解】，證明：如圖，連接，是由翻折得到，，，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，；【小問(wèn)3詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)J，過(guò)點(diǎn)M作于T，，，四邊形平行四邊形，，，，，，，四邊形為矩形，，，，設(shè)，則，，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，矩形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，翻折變換，平行線分線段成比例定理，解直角三角形等，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題圓1.（2023年廣東省深圳市光明區(qū)中考一模）如圖1，已知⊙O是△ABC的外接圓，∠ABC＝∠ACB＝（45°＜＜90°），點(diǎn)D是上一點(diǎn)，連接CD交AB于E．（1）連接BD，若∠CDB＝40°，求的大?。唬?）如圖2，若點(diǎn)B恰好是中點(diǎn)，求證：；（3）如圖3，將CD分別沿BC、AC翻折到CM、CN，連接MN，若CD為直徑，請(qǐng)問(wèn)是否為定值，若是請(qǐng)求出這個(gè)值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；【答案】（1）70°；（2）見(jiàn)解析；（3）是定值，【解析】【分析】（1）由圓周角定理求出∠CAB=∠CDB=40°，由三角形內(nèi)角和定理可得出答案；（2）證明△BCE∽△BAC，由相似三角形的性質(zhì)得出，證明CB=CE，則可得出結(jié)論；（3）由折疊的性質(zhì)可得出∠DCN=2∠DCA，∠DCM=2∠DCB，CN=CD=CM=2r，過(guò)點(diǎn)C作CQ⊥MN于點(diǎn)Q，得出MN=2NQ，∠NCQ=∠MCN=α，∠CQN=90°，連接AO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)P，連接BP，則∠ABP=90°，證明△ABP≌△NQC（AAS），由全等三角形的性質(zhì)得出AB=NQ=MN，則可得出答案．【詳解】解：（1）∵，∴∠CAB=∠CDB=40°，∵∠ABC+∠ACB+∠CAB=180°，∠ABC=∠ACB=α，∴α=×(180°?40°)=70°；（2）證明：∵點(diǎn)B是的中點(diǎn)，∴，∴∠DCB=∠A，∵∠ABC=∠CBE，∴△BCE∽△BAC，∴，∴BC2=BE?BA，∵∠ACB=∠ACD+∠BCD，∠BEC=∠ACD+∠A，∠BCD=∠A，∴∠ABC=∠ACB=∠BEC，∴CB=CE，∴CE2=BE?BA；（3）是定值，．∵將CD分別沿BC、AC翻折得到CM、CN，∴∠DCN=2∠DCA，∠DCM=2∠DCB，CN=CD=CM=2r，∴∠MCN=2∠ACB=2α，如圖3，過(guò)點(diǎn)C作CQ⊥MN于點(diǎn)Q，則MN=2NQ，∠NCQ=∠MCN=α，∠CQN=90°，連接AO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)P，連接BP，則∠ABP=90°，∵，∴∠P=∠ACB=∠NCQ=α，在△ABP和△NQC中，∴△ABP≌△NQC（AAS），∴AB=NQ=MN，∴，為定值．【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了圓周角定理，折疊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2.（2023年廣東省深圳市光明區(qū)中考二模）圓周角定理：圓周角度數(shù)等于它所對(duì)的弧上的圓心角度數(shù)的一半．下面根據(jù)圓周角定理進(jìn)行探究．（1）如圖1，是的弦，點(diǎn)C是上一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)D，連接，，求的大?。?）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，．（?。┤鐖D2，點(diǎn)P為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．請(qǐng)從：①；②；③中任選一個(gè)，求出相應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo)；（ⅱ）如圖3，點(diǎn)M為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接．當(dāng)最大時(shí)，求出此時(shí)的面積．【答案】（1）（2）（?。┮?jiàn)解析；（ⅱ）【解析】【分析】（1）連接，由，得即可求解；（2）（ⅰ）當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，作的中垂線與x軸交于點(diǎn)C（如圖），設(shè)P，A，B三點(diǎn)所在圓的圓心為Q，易知點(diǎn)Q在直線上，設(shè)則；①當(dāng)時(shí)：；②當(dāng)時(shí)：；③當(dāng)時(shí)：進(jìn)而及可得點(diǎn)P；（ⅱ）作線段的中垂線分別與x軸、直線交于點(diǎn)E、F（如圖1）；設(shè)M、A、B三點(diǎn)所在圓的圓心為Q，半徑為R，易知點(diǎn)Q在直線上，則有，如圖2，當(dāng)與直線CD相切時(shí)，最大，，此時(shí)為等腰直角三角形，再由進(jìn)而可得，即為等腰直角三角形，進(jìn)而及可求解；【小問(wèn)1詳解】解：連接，∵，，∴，∵，∴，【小問(wèn)2詳解】（ⅰ）當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，作的中垂線與x軸交于點(diǎn)C（如圖），設(shè)P，A，B三點(diǎn)所在圓的圓心為Q，易知點(diǎn)Q在直線上，設(shè)，則，∴，①當(dāng)時(shí)：，即，，∴，，∵，∴，解得或者（舍去），此時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，由軸對(duì)稱(chēng)可知：，綜上所述，當(dāng)時(shí)，或，②當(dāng)時(shí)：，即，，∴，，∵，∴，解得或者（舍去），此時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，由軸對(duì)稱(chēng)可知：，綜上所述，當(dāng)時(shí)，或，③當(dāng)時(shí)：，即，，∴，，∵，∴，解得或者（舍去），此時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，由軸對(duì)稱(chēng)可知：，綜上所述，當(dāng)時(shí)，或，（ⅱ）作線段的中垂線分別與x軸、直線交于點(diǎn)E、F（如圖1），設(shè)M、A、B三點(diǎn)所在圓的圓心為Q，半徑為R，易知點(diǎn)Q在直線上，，則有，如圖2，當(dāng)與直線相切時(shí)，最大，∴，此時(shí)為等腰直角三角形，，，在中：，解得：或（舍去），∴，∴，即為等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，∴，，【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的綜合應(yīng)用、三角函數(shù)綜合、等腰直角三角形、勾股定理等．掌握相關(guān)知識(shí)并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵3.（2023年廣東省深圳市坪山區(qū)中考二模數(shù)學(xué)）課本呈現(xiàn)：如圖1，在射門(mén)游戲中，球員射中球門(mén)的難易程度與他所處的位置對(duì)球門(mén)的張角（）有關(guān)．當(dāng)球員在，處射門(mén)時(shí)，則有張角．某數(shù)學(xué)小組由此得到啟發(fā)，探究當(dāng)球員在球門(mén)同側(cè)的直線射門(mén)時(shí)的最大張角．問(wèn)題探究：（1）如圖2，小明探究發(fā)現(xiàn)，若過(guò)、兩點(diǎn)的動(dòng)圓與直線相交于點(diǎn)、，當(dāng)球員在處射門(mén)時(shí)，則有．小明證明過(guò)程如下：設(shè)直線交圓于點(diǎn)，連接，則∵_(dá)__________∴___________∴（2）如圖3，小紅繼續(xù)探究發(fā)現(xiàn)，若過(guò)、兩點(diǎn)的動(dòng)圓與直線相切于點(diǎn)，當(dāng)球員在處射門(mén)時(shí)，則有，你同意嗎？請(qǐng)你說(shuō)明理由．問(wèn)題應(yīng)用：如圖4，若，米，是中點(diǎn)，球員在射線上的點(diǎn)射門(mén)時(shí)的最大張角為，則的長(zhǎng)度為_(kāi)__________米．問(wèn)題遷移：如圖5，在射門(mén)游戲中球門(mén)，是球場(chǎng)邊線，，是直角，．若球員沿帶球前進(jìn)，記足球所在的位置為點(diǎn)，求的最大度數(shù)．（參考數(shù)據(jù)：，，，，．）【答案】（1）；（2）同意，理由見(jiàn)解析；問(wèn)題應(yīng)用：10；問(wèn)題遷移：【解析】【分析】（1）根據(jù)等量代換，按步驟進(jìn)行作答即可；（2）如圖3，記直線交過(guò)、兩點(diǎn)的動(dòng)圓于點(diǎn)G，連接，解答過(guò)程同（1）；問(wèn)題應(yīng)用：由（2）可知，與切點(diǎn)連線的夾角是最大的張角，如圖4，為過(guò)、兩點(diǎn)的動(dòng)圓的圓心，為動(dòng)圓與的切點(diǎn)，則，，證明，則，證明三點(diǎn)共線，則，，，根據(jù)，計(jì)算求解即可；問(wèn)題遷移：如圖5，作線段的垂直平分線交于，交于點(diǎn)P，由（2）可知，點(diǎn)P即為所求，則四邊形為矩形，記動(dòng)圓的圓心為O，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，，即，求得，則，根據(jù)，即，計(jì)算求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)直線交圓于點(diǎn)，連接，則，∵，∴，∴；（2）解：同意，理由如下，如圖3，記直線交過(guò)、兩點(diǎn)的動(dòng)圓于點(diǎn)G，連接，則，∵，∴，∴；問(wèn)題應(yīng)用：解：由（2）可知，與切點(diǎn)連線的夾角是最大的張角，如圖4，為過(guò)、兩點(diǎn)的動(dòng)圓的圓心，為動(dòng)圓與的切點(diǎn)，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴三點(diǎn)共線，∴，，，∴，故答案為：10；問(wèn)題遷移：如圖