溫州市十五校聯(lián)合體高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2019學(xué)年第二學(xué)期溫州十五校聯(lián)合體期中考試聯(lián)考高二年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科試題一?選擇題1。已知集合，，則（）A. B。 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)一元二次不等式解法求得集合，由交集定義得到結(jié)果。【詳解】，.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查集合運(yùn)算中的交集運(yùn)算，涉及到一元二次不等式的求解，屬于基礎(chǔ)題。2.若函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，則a的值為（）A. B.3 C。 D。6【答案】C【解析】【分析】去絕對(duì)值符號(hào)可知單調(diào)遞減區(qū)間為，由此構(gòu)造方程求得結(jié)果?！驹斀狻慨?dāng)時(shí),，單調(diào)遞減區(qū)間為，，解得：.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求解參數(shù)值的問題，屬于基礎(chǔ)題。3.點(diǎn)從（1,0）出發(fā),沿單位圓按逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)弧長到達(dá)點(diǎn)，則的坐標(biāo)為（）A. B。 C。 D.【答案】A【解析】【分析】利用弧長公式出角的大小,然后利用三角函數(shù)的定義求出點(diǎn)的坐標(biāo)?！驹斀狻奎c(diǎn)從出發(fā),沿單位圓逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)弧長到達(dá)點(diǎn)，，,故選A?！军c(diǎn)睛】本題主要考查弧長公式的應(yīng)用以及三角函數(shù)的定義，意在考查靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力，屬于中檔題.4.已知，，,則（)A. B。 C. D?！敬鸢浮緼【解析】【分析】由可知；由可知，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】,且，，，又,即,.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查比較指數(shù)冪、對(duì)數(shù)值的大小關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.5。函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為(）A。 B。C. D.【答案】C【解析】【分析】將多項(xiàng)式展開，根據(jù)冪函數(shù)求導(dǎo)法則,計(jì)算出導(dǎo)數(shù)即可．【詳解】展開函數(shù)解析式，得求導(dǎo)得所以選C【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算，注意像這種多項(xiàng)式，可展開后依次求導(dǎo)即可，屬于基礎(chǔ)題．6.函數(shù)的圖象（）A.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 B.關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.關(guān)于y軸對(duì)稱 D.關(guān)于直線對(duì)稱【答案】B【解析】【分析】利用代入驗(yàn)證的方式，對(duì)比正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得結(jié)果.【詳解】對(duì)于,當(dāng)時(shí)，，原點(diǎn)不是函數(shù)的對(duì)稱中心，錯(cuò)誤；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，是函數(shù)的對(duì)稱中心，正確；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，,軸不是函數(shù)的對(duì)稱軸，錯(cuò)誤;對(duì)于,當(dāng)時(shí)，，不是函數(shù)對(duì)稱中心，錯(cuò)誤。故選：.【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)的對(duì)稱中心和對(duì)稱軸的辨析，關(guān)鍵是熟練應(yīng)用代入檢驗(yàn)的方式，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)來判斷。7。對(duì)任意向量,下列關(guān)系式中不恒成立的是(）A. B。C. D?！敬鸢浮緽【解析】【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算律依次判斷恒成立;通過反例反向可知不恒成立.【詳解】對(duì)于,,，，恒成立；對(duì)于，若反向,則，不恒成立;對(duì)于,由向量數(shù)量積的運(yùn)算律知：,恒成立；對(duì)于，由向量數(shù)量積的運(yùn)算律知：，恒成立。故選:。【點(diǎn)睛】本題考查平面向量相關(guān)命題的辨析,涉及到平面向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算律、向量模長運(yùn)算等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.8。函數(shù)的圖像不可能是（）A。 B.C。 D.【答案】D【解析】【分析】當(dāng)時(shí),分別在、和三種情況下確定函數(shù)圖象，可知正確，從而確定結(jié)果。【詳解】當(dāng)時(shí)，，若，則在上單調(diào)遞增，且時(shí)，，正確；若，則，符合對(duì)號(hào)函數(shù)特點(diǎn)，正確；若，則，正確；由上述可知，在上不可能單調(diào)遞減,錯(cuò)誤.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象的辨析，關(guān)鍵是能夠通過分類討論的方式確定函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定結(jié)果。9。設(shè)函數(shù)，若關(guān)于x的方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（）A。 B。 C。 D.【答案】D【解析】【分析】令，分別在、、、和五種情況下得到的范圍，通過數(shù)形結(jié)合的方式確定的解的個(gè)數(shù)，找到三個(gè)解得情況，進(jìn)而得到的范圍?！驹斀狻坑山馕鍪娇傻煤瘮?shù)圖象如下圖所示：令,則，當(dāng)時(shí)，，則只有一個(gè)解，不合題意；當(dāng)時(shí)，，,有一個(gè)解；至多有一個(gè)解，不合題意；當(dāng)時(shí)，，,有一個(gè)解；有兩個(gè)解，符合題意；當(dāng)時(shí)，，則只有一個(gè)解，不合題意；當(dāng)時(shí)，無解，不合題意；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：?！军c(diǎn)睛】本題考查根據(jù)方程根的個(gè)數(shù)求解參數(shù)范圍的問題，涉及到分段函數(shù)圖象的應(yīng)用;解決此類問題通常采用數(shù)形結(jié)合的方式，將問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題，通過分類討論的方式確定參數(shù)在不同范圍的情況下的交點(diǎn)的個(gè)數(shù).10.已知函數(shù)(）,若對(duì)于區(qū)間上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù),，都有成立，則實(shí)數(shù)m的最大值為（）A。 B。 C。 D.1【答案】A【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)可求得在上單調(diào)遞增，設(shè)，可將不等式化為，令，則只需在上單調(diào)遞減即可，即在上恒成立，利用分離變量的方式可求得的取值范圍，進(jìn)而確定最大值?！驹斀狻壳叶x域?yàn)?，?dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，不妨設(shè)，則,等價(jià)于，即,設(shè)，則只需在上單調(diào)遞減即可，在上恒成立，即在上恒成立，，在上單調(diào)遞增，，，即的最大值為。故選:.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，涉及到利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性、構(gòu)造函數(shù)解不等式、根據(jù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性求解參數(shù)范圍、恒成立問題的求解等;根據(jù)單調(diào)性求解參數(shù)范圍的關(guān)鍵是能夠?qū)⒑瘮?shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)的問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)恒成立的問題,通過分離變量的方法求解恒成立問題即可.二?填空題11。已知復(fù)數(shù)z滿足,i為虛數(shù)單位，則z的虛部是_________，________.【答案】（1).1（2)?！窘馕觥俊痉治觥扛鶕?jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算計(jì)算得到,由虛部定義和模長的運(yùn)算可求得結(jié)果?！驹斀狻?，的虛部為，。故答案為：;.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的虛部和模長的求解，關(guān)鍵是用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求得復(fù)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題。12.已知角θ的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（4,m）,且sinθ＝，則m＝________?！敬鸢浮?【解析】【分析】解方程，再檢驗(yàn)即得解?！驹斀狻坑深}得.當(dāng)m=—3時(shí)，點(diǎn)P在第四象限，不滿足題意。所以m=3.故答案為3【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的坐標(biāo)表示，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.13。在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b,c，若，,，則角________，________.【答案】（1）.(2).【解析】【分析】由已知等式配湊出余弦定理的形式求得，進(jìn)而得到;利用正弦定理求得?！驹斀狻坑傻茫?，，；由正弦定理得：.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的問題,屬于基礎(chǔ)題.14.函數(shù)在上的最大值與最小值之和為__________.【答案】【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)可求得的單調(diào)性,由此可求得最大值和最小值，從而求得結(jié)果?！驹斀狻?，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí),；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增,，，又，，，.故答案為:?！军c(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值的問題，解題關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得到最值點(diǎn)。15。函數(shù)的值域?yàn)開________；若函數(shù)的兩個(gè)不同零點(diǎn),，滿足，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________.【答案】(1）。(2）?！窘馕觥俊痉治觥坷梅诸愑懻摲謩e在、和三種情況下求得函數(shù)值域，取并集得到結(jié)果；將問題轉(zhuǎn)化為與有兩個(gè)不同的交點(diǎn),利用數(shù)形結(jié)合的方式，建立方程求得，進(jìn)而解不等式求得結(jié)果?！驹斀狻慨?dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，,;當(dāng)時(shí)，，;綜上所述:的值域?yàn)?；有兩個(gè)不同的零點(diǎn)等價(jià)于與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，圖象如下圖所示:不妨設(shè),當(dāng)與及相交時(shí)，，，，解得：，又，,；當(dāng)與及相交時(shí)，，，，解得：，又，，；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為:；。【點(diǎn)睛】本題考查利用分類討論的方法求解含絕對(duì)值函數(shù)的值域、根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求解參數(shù)范圍的問題；關(guān)鍵是能夠?qū)⒑瘮?shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題,進(jìn)而通過數(shù)形結(jié)合的方式來進(jìn)行求解。16。已知函數(shù)和，若恒成立，則________，________.【答案】(1)。（2）。0【解析】【分析】根據(jù)不等式恒成立，分別令和即可求得結(jié)果?！驹斀狻慨?dāng)時(shí),，；當(dāng)時(shí)，，.故答案：；.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)恒成立的不等式求解參數(shù)值的問題,關(guān)鍵是能夠利用賦值法構(gòu)造出方程.17.已知為單位向量，平面向量滿足，,則的取值范圍是_________.【答案】【解析】【分析】不妨設(shè)，，，由已知向量的模長可得到和所滿足的關(guān)系，根據(jù)平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，結(jié)合可惜不等式可得到，采用換元法的方式,結(jié)合的范圍可求得最大值;當(dāng)反向時(shí)，取得最小值，由此可得結(jié)果?！驹斀狻坎环猎O(shè)，，，則，，，，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），,，，令,則，，，，當(dāng)時(shí)，，即;當(dāng)與反向時(shí)，取得最小值，即，時(shí),；的取值范圍為。故答案為:?！军c(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的求解問題，涉及到利用柯西不等式求解最值的問題；解題關(guān)鍵是能夠利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算和柯西不等式將所求的數(shù)量積表示為關(guān)于某一變量的函數(shù)關(guān)系式的形式,利用函數(shù)值域的求解方法可求得所求的取值范圍，屬于較難題.三?解答題18.在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量,，.（1）若，求的值:（2)若與的夾角為，求的值.【答案】(1）.(2）【解析】【分析】（1）由垂直關(guān)系的坐標(biāo)表示可構(gòu)造方程求得，根據(jù)二倍角的正切公式可求得結(jié)果;（2）根據(jù)平面向量夾角公式和輔助角公式可求得，根據(jù)的范圍和三角函數(shù)值可確定，進(jìn)而求得結(jié)果.【詳解】（1）,，，；（2)由題意得：，，，，，，解得：.【點(diǎn)睛】本題考查平面與三角恒等變換綜合應(yīng)用問題，涉及到垂直關(guān)系的坐標(biāo)表示、二倍角正切公式的應(yīng)用、平面向量夾角公式、輔助角公式的應(yīng)用等知識(shí).19.設(shè)函數(shù)，.（1)已知，函數(shù)是偶函數(shù)，求的值；(2）設(shè)的三邊所對(duì)的角分別為，若，,求的面積的最大值?！敬鸢浮?1）和.（2)【解析】【分析】(1）利用輔助角公式整理，得到解析式，根據(jù)奇偶性可構(gòu)造方程求得;(2）利用可求得,進(jìn)而得到；利用余弦定理和基本不等式可求得的最大值，代入三角形面積公式可求得結(jié)果.【詳解】(1），,是偶函數(shù),，，，和；（2）由（1）得：，，，，，解得：；由余弦定理可得：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），即,，即的面積的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)正弦型函數(shù)的奇偶性求解參數(shù)值、解三角形中三角形面積最值的求解問題;求解三角形面積最值的關(guān)鍵是能夠在余弦定理中利用基本不等式求得的最大值，屬于常考題型。20。設(shè)函數(shù)，，，其中是的導(dǎo)函數(shù)。（1)求函數(shù)的圖象在原點(diǎn)處的切線方程（2)令,,,請(qǐng)猜想的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論?！敬鸢浮浚?).（2)猜想，證明見解析【解析】【分析】(1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得切線斜率，進(jìn)而得到切線方程；（2）由可求得,由數(shù)字規(guī)律可猜想得到，利用數(shù)學(xué)歸納法首先說明時(shí)成立,假設(shè)時(shí)結(jié)論成立，通過可證得時(shí)結(jié)論成立,由此得到結(jié)論.【詳解】(1），,在原點(diǎn)處的切線方程為；（2)由(1）知：，,，可猜想下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)時(shí)，，結(jié)論成立。②假設(shè)當(dāng)時(shí)結(jié)論成立，即,那么當(dāng)時(shí),，即結(jié)論成立。由①②可知,結(jié)論對(duì)恒成立?！军c(diǎn)睛】本題考查求解函數(shù)在某一點(diǎn)處的切線方程、猜想與證明、數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論的問題；利用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論時(shí)需注意,假設(shè)時(shí)成立的結(jié)論必須在證明時(shí)結(jié)論成立的過程中使用.21.已知函數(shù)。（1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的零點(diǎn)。（2）當(dāng),求函數(shù)在上的最大值；（3）對(duì)于給定的正數(shù)，有一個(gè)最大的正數(shù)，使時(shí),都有，試求出這個(gè)正數(shù)的表達(dá)式.【答案】（1）零點(diǎn)為和1.（2）。（3）【解析】【分析】（1）分類討論得到解析式，分別在和兩種情況下構(gòu)造方程求得零點(diǎn)；（2)分類討論得到解析式,可確定最大值在中取得，分別在、和三種情況下根據(jù)函數(shù)單調(diào)性確定最大值，從而得到結(jié)果；（3）將問題轉(zhuǎn)化為恒成立的問題;分別在和兩種情況下確定的值，從而得到結(jié)果。詳解】（1)當(dāng)時(shí)，,令,解得:或（舍）；令，解得：；函數(shù)的零點(diǎn)為和；（2）由題意得：，其中，，最大值在中取。當(dāng)，即時(shí),在上單調(diào)遞減，；當(dāng)，即時(shí),上單調(diào)遞增,上單調(diào)遞減,;當(dāng)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，；,；綜上所述：;（3）時(shí),，,，問題轉(zhuǎn)化為在給定區(qū)間內(nèi)恒成立。，分兩種情況討論：當(dāng)時(shí)，是方程的較小根，即時(shí)，;當(dāng)時(shí),是方程的較大根，即時(shí)，；綜上所述:?！军c(diǎn)睛】本題考查函數(shù)零點(diǎn)的求解、含絕對(duì)值的函數(shù)的最值的求解、函數(shù)中的恒成立問題的求解；本題的解題關(guān)鍵是能夠靈活應(yīng)用分類討論的方式,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性確定最值點(diǎn);對(duì)學(xué)生對(duì)于函數(shù)單調(diào)性的掌握要求較高，屬于較難題。22.已知函數(shù)。(1）討論函數(shù)的單調(diào)性（2）若函數(shù)有一個(gè)大于的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3)若，且,求證：.【答案】（1）答案見解析。（2)。（3）證明見解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)后，分別在和兩種情況下,根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到原函數(shù)的單調(diào)性;(2）當(dāng)和時(shí)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和,可知不滿足題意;當(dāng)時(shí)，得到函數(shù)單調(diào)性；由，利用導(dǎo)數(shù)證得，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可知有一個(gè)大于的零點(diǎn)，滿足題意，由此得到結(jié)果；（3）由（2)可知，將所證不等式轉(zhuǎn)化為，令，利用導(dǎo)數(shù)可說明，由此證得結(jié)論.【詳解】（1）由題意知：的定義域?yàn)?，，①?dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，令，解得：，當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減。（2）由（1）知:當(dāng)時(shí)，且單調(diào)遞增，不存在大于的零點(diǎn).當(dāng)，即時(shí),在上單調(diào)遞減，