北師大初中數(shù)學教案八年級下冊 第二章 分解因式

《不等關(guān)系》

教學目標

(-)教學知識點：

1、理解不等式的意義.

2、能根據(jù)條件列出不等式.

(二)能力訓練要求：

通過列不等式，訓練學生的分析判斷能力和邏輯推理能力.

(三)情感與價值觀要求：

通過用不等式解決實際問題，使學生認識數(shù)學與人類生活的密切聯(lián)系以及對人類歷史發(fā)展的

作用，并以此激發(fā)學生學習數(shù)學的信心和興趣.

教學重難點

教學重點：用不等關(guān)系解決實際問題.

教學難點：正確理解題意列出不等式.

教學過程

一、創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課

［師］我們學過等式，知道利用等式可以解決許多問題.同時，我們也知道在現(xiàn)實生活中還

存在許多不等關(guān)系，利用不等關(guān)系同樣可以解決實際問題.本節(jié)課我們就來了解不等關(guān)系，

以及不等關(guān)系的應(yīng)用.

二、新課講授

~)［師］既然不等關(guān)系在現(xiàn)實生活中并不少見，大家肯定接觸過不少，能舉出例子嗎？

［生］可以.舉身邊的例子.

［師］很好.那么，如何用式子表示不等關(guān)系呢？請看例題.如圖，正方形的邊長和圓的直

徑都是acm.

O

(1)如果要使正方形的周長不大于25cm,那么正方形的邊長a應(yīng)滿足怎樣的關(guān)系式？

(2)如果要使圓的周長不小于100cm,那么圓的直徑a應(yīng)滿足怎樣的關(guān)系式？

(3)當天8時，正方形和圓的周長哪一個較長？爐12呢？

(4)你能得到什么猜想？改變a的取值，再試一試.

［師］本題中大家首先要弄明白兩個問題，一個是正方形和圓的周長計算公式，另一個是了

解“不大于”、“大于”等詞的含意.

［生］正方形的周長等于邊長的4倍.

圓的周長是wR,其中不是圓的半徑.

兩數(shù)比較有大于、等于、小于三種情況，“不大于”就是等于或小于.

~）［師］下面請大家互相討論，按照題中的要求進行解答.

［生］（1）正方形的邊長為a,所以正方形的周長為4a,要使正方形的周長不大于25cm,

就是4a≤25.

（2）因為圓的直徑為a,所以圓的周長為na,要使圓的周長不小于IOOC加,就是πa?100.

（3）當a=8時，正方形的周長為4X8=32CR.圓的周長為π8≈25.12c?.

V25.12<32.

.?.此時正方形的周長較長.

當a=12時，正方形的周長為12x4=48c".圓的周長為π12^37.68此時還是正方形的周

長較長.

（4）我們可以猜想，對于邊長為a的正方形和直徑為a的圓，無論a取何值，圓的周長總

小于正方形的周長，即"a<4a.

通過測量一棵樹的樹圍（樹干的周長）可以計算出它的樹齡.通常規(guī)定以樹干離地面L5m

的地方作為測量部位，某樹栽種時的樹圍為5cm,以后樹圍每年增加約為3cm.這棵

樹至少生長多少年其樹圍才能超過2.4成（只列關(guān)系式）.

［師］請大家互相討論后列出關(guān)系式.

［生］設(shè)這棵樹至少生長X年其樹圍才能超過2.4m,得3x+5>240.

【議一議】

觀察由上述問題得到的關(guān)系式，它們有什么共同特點？一般地，用符號“<”（或“<”），

“>”（或“\”）連接的式子叫做不等式（inequality）.

例：你會用式子表示下面的數(shù)量關(guān)系嗎？

（1）下圖為公路上對汽車的限速標志，表示汽車在該路段行使的速度不得超過40物/力，用

VQkmlh）表示汽車的速度，怎樣表示「和40之間的關(guān)系？

(2)根據(jù)科學家測定，太陽表面的溫度不低于6000°C.設(shè)太陽表面的溫度為￡(℃),怎樣

表示t和6000之間的關(guān)系？

(3)天平左盤放3個乒乓球，右盤放5克祛碼，天平傾斜，設(shè)每個乒乓球的質(zhì)量為X(g),

怎樣表示X與5之間的關(guān)系？

(4)小明與小聰玩蹺蹺板，大家都不用力時，蹺蹺板左低右高.小明的身體質(zhì)量為。(后),

小聰?shù)纳眢w質(zhì)量為g(毋)，書包的質(zhì)量為24g,怎樣表示P、g之間的關(guān)系？

(5)要使代數(shù)式(尸3)0有意義，X的值與3之間有什么關(guān)系？

認一認：判斷下列各式中哪些是不等式？

(1)a2+l>0(2)a+?=0(3)8<

9(4)3尸IWX(5)4-2X(6)x-y≠l

【答一答】

根據(jù)下列數(shù)量關(guān)系列出不等式：

(1)X的2倍與1的和大于

(2)y不小于1與y的差.

(3)a的2倍比a的平方的相反數(shù)小.

［生］(1)2x+l>x(2)y>?-y(3)2a<-a

［師］列不等式時先抓住關(guān)鍵詞，再選準不等號.

《不等關(guān)系》

教學目標

1、知識與技能目標：

(1)理解不等關(guān)系及其在數(shù)軸上的幾何表示.

(2)會用兩個實數(shù)之間的差運算確定兩實數(shù)之間的大小關(guān)系，能比較兩個代數(shù)式的大小.

2、過程與方法目標：

(1)教師提出問題，素材，并及時點撥，與學生進行交流，分析，抽象出數(shù)學模型.

(2)設(shè)計較典型的問題，通過學生自主探究，激發(fā)學習興趣和積極性.

3、態(tài)度情感與價值觀目標：

(1)通過具體情景，讓學生體會到學好數(shù)學對日常生活的重要作用.

(2)培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力，進而培養(yǎng)學生的實踐能力.進一步

體會數(shù)形結(jié)合的重要方法，增強對事物間普遍聯(lián)系規(guī)律的認識，樹立辯證唯物主義思想.

教學難重點

教學重點：

實數(shù)(代數(shù)式)大小比較的基本方法：作差法.

教學難點：

判斷差的符號?

難點突破方法：

1、結(jié)合實例強化.

2、小組合作探究.

教學過程：

一、課前預習，思考以下問題

如何表示不等關(guān)系？

如何用數(shù)軸表示兩個數(shù)的大小？

怎樣比較兩個代數(shù)式的大小？

比較Λ2+2X與-尸3的大小.

二、課內(nèi)探究

1、新課引入：

現(xiàn)實世界中存在著等量關(guān)系，也存在著大量的不等關(guān)系，同學們能舉出一些例子嗎？

如：今天的天氣預報說：明天早晨最低溫度為7℃,明天白天的最高溫度為13℃,

7°C≤t≤13°C.

三角形4!K的兩邊之和大于第三邊，AmAOBC.

a是一個非負實數(shù)，a>0.

2、合作探究：（學生思考并回答以下問題）

問題一：不等式的定義：用不等號連接兩個解析式所得的式子，叫做不等式.

不等號的種類：>、<、》、W、≠.

問題二：222,這樣寫正確嗎？“力”的含義是什么？

這樣寫是對的，因為“>”和“=”只要一個滿足就可以了，即表示a>b或折b,同

樣a≤6即為a<b或a=b.

問題三:實數(shù)與數(shù)軸上的點有怎樣的對應(yīng)關(guān)系？右邊的點表示的實數(shù)與左邊的點表示的實數(shù)

誰大？

AB

αb

與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的,右邊的點表示的實數(shù)比左邊的點表示的實數(shù)大.

問題四：數(shù)軸上兩點4、8有怎樣的位置關(guān)系？兩實數(shù)有怎樣的大小關(guān)系？

點的關(guān)系：

點71在點6右側(cè)；

點4在點8左側(cè)；

點1和點6重合.

數(shù)的關(guān)系：a>b、a=b、a<b

問題五：如何比較兩數(shù)大??？（小組討論）

做差比較法法的一般步驟：（教師引導，學生回答）

（1）作差；

（2）變形，常采用的手段是因式分解和配方法，因式分解是將“差”化成“積”的形式，

配方是將“差”化為一個或幾個完全平方的“和”，也可兩種手段并用；

（3）定號，就是確定是大于0,還是等于0,或是小于0（與具體的值無關(guān)）

（4）得出結(jié)論.

三、小結(jié)

不等式的定義.

不等關(guān)系在數(shù)軸上的幾何表示.

做差法確定兩數(shù)或代數(shù)式的大小.

《不等關(guān)系》

教學目標

1.知識與技能：經(jīng)歷由實際問題建立數(shù)學模型的過程，體會其基本方法.

2.過程與方法：通過具體情境，感受在現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，了

解不等式（組）的實際背景.

3.情感、態(tài)度和世界觀：通過感受和學習不等式知識，認識到不等關(guān)系是刻畫現(xiàn)實世界客

觀對象之間聯(lián)系的一種絕對關(guān)系，由此培養(yǎng)學生的辯證唯物主義思想.

教學重難點

教學重點：通過具體情境，建立不等式模型.

教學難點：從具體問題中如何抽象出數(shù)學模型建立不等式.

教學過程：

一.問題情境

現(xiàn)實世界和日常生活中，有很多的相等關(guān)系然而更多的是不等關(guān)系.（書寫課題）

師：在實際生活中人們常用哪些詞來描述某種客觀事物在數(shù)量上存在的不等關(guān)系？（學生思

考討論）

師：聯(lián)系到我們數(shù)學上也有很多這樣的實例.

（學生答，課件體現(xiàn)，并用數(shù)學語言描述）

總結(jié)：在數(shù)學上這樣的種種不等關(guān)系，我們就用不等式來體現(xiàn).

師：生活中的實例是否也可以用不等式來體現(xiàn)呢？

二.學生活動

問題L這是神州六號火箭發(fā)射升空時的場景（配課件圖片），發(fā)射要成功它的速度必須滿

足怎樣的條件？（v27.9A?w∕s）

那么在飛行時呢？（ι<7.9Ws）

問題2.在日常生活中我們經(jīng)常能發(fā)現(xiàn)食物的包裝上會注明此食物的成分含量，這些值都必

須滿足一定的要求現(xiàn)在這有某酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定.

脂肪含量蛋白質(zhì)含量（P）

不少于2.5%不少于2.3%

這表格說明了什么問題？

用不等式體現(xiàn)就是？

結(jié)論：生活中的實例也可以用不等式來描述.

怎樣把生活中的這些問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學上的不等關(guān)系就是我們今天所要討論的主要內(nèi)容.

三.建構(gòu)數(shù)學

（本節(jié)主要內(nèi)容的流程圖）

實際問題：不等關(guān)系目嚶蟹數(shù)學問題:不等式

數(shù)學問題：不等式一^k→實際問題：不等關(guān)系

四.數(shù)學應(yīng)用

例L博物館的門票每張10元，20人以上（含20人）的團體票8折優(yōu)惠，那在不足20人

時，選擇怎樣的購票策略？

問題：

1.如果19個人去該怎樣購票？買團體的還是普通票？（團體）

2.如果你一人又該如何購票？選擇團體的還是普通？（普通）

3.滿足什么樣的不等關(guān)系時，消費者能得到更大實惠？

（學生討論得到8X20WloX）

解：設(shè)X人（K20）買20人的團體票不比普通票貴.

則有8×20≤10x.

評析：這是一個一元一次不等式模型.

例2.某雜志以每本2元的價格發(fā)行時，發(fā)行量為10萬冊.經(jīng)過調(diào)查，若價格每提高0.2

元，發(fā)行量就減少5000冊.若設(shè)每本雜志的定價提高X元，怎樣才能使雜志社的銷售收入

超過22.4萬元?

問題：

1.哪句話中有不等關(guān)系？（銷售收入超過22.4萬元）

2.用數(shù)學語言表述是？（銷售收入大于22.4萬元）

3.銷售收入為什么？（每本價格又發(fā)行量）

4.每本價格發(fā)生了怎樣的變化？（提高X元）

X

5.發(fā)行量又有什么樣的變化？（減少0?5X—）

解：設(shè)每本雜志價格提高X元，根據(jù)題意，得：

5x

（2+x）（10-—）>22.4

2

化簡得5/一10χ+4.8<0

評析：這是一元二次不等式模型.

五.當堂反饋（不求解）

某種植物適宜生長的溫度為18°C-20C的山區(qū)，已知山區(qū)海拔每升高100例氣溫下降

0.55℃.現(xiàn)測得山腳下的平均氣溫為22℃,該植物種在山區(qū)多高處為宜？

解：設(shè)該植物適宜的種植高度為X而，則

J8<22-^^≤20

100

六.回顧反思

①解決實際問題的常規(guī)步驟實際問題（不等關(guān)系）'象'概括>數(shù)學問題（不等式），數(shù)

學問題列㈣>實際問題

②本堂課建立的模型主要是一一不等關(guān)系.

③現(xiàn)實世界中存在著很多的這種不等關(guān)系.

《不等關(guān)系》

教學目標

1、理解不等式的意義，體會不等式是研究量與量之間關(guān)系的重要模型.

2、能用適當?shù)姆柋硎緮?shù)量之間的關(guān)系.

教學重難點

學習重點：能用適當?shù)姆柋硎静煌臄?shù)量之間的關(guān)系.

學習難點：能用適當?shù)姆柋硎静煌臄?shù)量之間的關(guān)系學習過程.

教學過程

一、自學指導，合作探究：

用心研讀課本，思考以下問題：（學生活動）

如圖，正方形的邊長和圓的直徑都是acm.

□O

(1)如果要求正方形的周長不大于25c必，那么正方形的邊長a應(yīng)滿足怎樣的關(guān)系式?

(2)如果要求圓的周長不小于IOOcw,那么圓的直徑a應(yīng)滿足怎樣的關(guān)系式?

(3)當行8,正方形和圓的周長哪一個較長？a=12呢？

(4)你能得到什么猜想？改變a的取值再試一試.

二、大組匯報，老師點撥：

提問：

1、不等式是.

2、一元一次方程與不等式的區(qū)別和聯(lián)系.

三、鞏固訓練，熟練技能：

1、用適當?shù)姆柋硎鞠铝嘘P(guān)系：

(1)a是非負數(shù).

(2)直角三角形的斜邊C比它的兩直角邊a,6都長.

(3)X與17的和比X的5倍小.

(4)X的3倍與8的和比X的5倍大.

(5)能是非負數(shù).

2、從1,3,5,1,9種任取兩個數(shù)就組成一個數(shù)組，寫出其中兩數(shù)之和小于10的所有數(shù)組.

四、課堂小結(jié)，回歸目標：

1、本節(jié)主要學習了不等式的有關(guān)概念，學會了用適當?shù)姆柋硎静煌臄?shù)量之間的關(guān)系.

2、主要用到的思想方法是類比方法和數(shù)形結(jié)合思想.

3、注意的問題：不等式中有等號和無等號的區(qū)別.

五、達標檢測，當堂反饋：

1、根據(jù)下列的數(shù)量關(guān)系，列出不等式：

(I)X與1的和是正數(shù).

(2)尸的2倍與1的和大于3.

(3)X的與X的2倍的和是非正數(shù).

(4)C與4的和的30%不大于-2.

(5)X除以2的商加上2,至多為5.

(6)a與6的和的平方不小于2.

2、通過測量一棵樹的樹圍，(樹干的橫截面的周長)可以計算出它的樹齡.通常規(guī)定以樹干

離地面1.5Cw處作為測量部位，某棵樹栽種時的樹圍為5c",以后樹圍每年增加約39，這

棵樹至少生長多少年其樹圍才能不小于2.5cm?(列關(guān)系式)

《不等關(guān)系》

1、如圖所示，對a,b,C三種物體的重量判斷不正確的是（）.

4、a<cB、a<bC、a>cD、b<c

2、如果aVO,Δ>O,a+?<0,那么下列關(guān)系式中正確的是（）.

4、a>b'>-b'>-aB、a>-a>b>~bC、b'>a>-b'>-aD、—a>b>—b>a

3、已知實數(shù)a、b在數(shù)軸上對應(yīng)的點如圖所示，則下列式子正確的是（）.

力、ab>OB、I^l>|Z7|C、a—?>0D、a+?>0

b-10al

4、若HVbV0,則下列式子：①a+lVb+2；②@>1；③d+力Vd力；④中，正確的

bαb

有（）.

力、1個反2個C、3個〃、4個

5、某商販去菜攤買黃瓜，他上午買了30斤，價格為每斤X元；下午，他又買了20斤，價

格為每斤y元.后來他以每斤土土［元的價格賣完后,結(jié)果發(fā)現(xiàn)自己賠了錢,其原因是（）.

2

力、x?yB、x>yC、^≤yD、x^y

6、對于命題“a、6是有理數(shù)，若a>b,則才>4"，若結(jié)論保持不變，怎樣改變條件，命

題才是真命題，給出下列以下四種說法：①a、A是有理數(shù)，若a>b>O,則a?>。?；②a、b

是有理數(shù)，若a>6,且a+6>0,則慶③a、6是有理數(shù)，若aV6V0,則■>//：④a、

8是有理數(shù)，若a<b且a+bV0,則a?>方、其中，真命題的個數(shù)是（）.

4、1個8、2個C、3個〃、4個

1、有下列數(shù)學表達：①3<0；②4x+5>0;③x=3；Ox2+%；⑤XW-4；

Θx+2>x+l.其中是不等式的有個.

2、學校食堂出售兩種厚度一樣但大小不同的面餅，小餅直徑30金，售價30分；大餅直徑

40cm,售價40分.你更愿意買餅，原因是.

3、小強在一次檢測中，語文與英語平均分數(shù)是76分，但語文、英語、數(shù)學三科的平均分不

低于80分，則數(shù)學分數(shù)X應(yīng)滿足的關(guān)系為.

4、有如圖所示的兩種廣告牌，其中圖1是由兩個等腰直角三角形構(gòu)成的，圖2是一個矩形，

從圖形上確定這兩個廣告牌面積的大小關(guān)系，并將這種大小關(guān)系用含字母a,。的不等式表

示為

圖1圖2

5、如圖是測量一顆玻璃球體積的過程：

⑴將300M的水倒進一個容量為500加的杯子中;

（2）將四顆相同的玻璃球放入水中，結(jié)果水沒有滿;

（3）再加一顆同樣的玻璃球放入水中，結(jié)果水滿溢出.

根據(jù)以上過程，推測這樣一顆玻璃球的體積在以上,Cd以下.

6、一個工程隊規(guī)定要在6天內(nèi)完成300土方的工程，第一天完成了60土方，現(xiàn)在要比原計

劃至少提前兩天完成任務(wù),請列出以后兒天平均每天至少要完成的土方數(shù)X應(yīng)滿足的不等式

為

《不等關(guān)系》

1、在數(shù)學表達式①-3<0；②4戶5>0；③產(chǎn)3：④f+x；⑤Λ≠-4；（6）戶2?戶1是不等式的

有（）

從2個6、3個G4個45個

2、X的2倍減7的查不大于-1,可列關(guān)系式為（）

42Λ-7≤-1B、2Λ-7<-1C、2獷7=-1Λ2Λ-7>-4

3、下列列出的不等關(guān)系式中，正確的是（）

/、a是負數(shù)可表示為a〉0B、X不大于3可表示為水3

a勿與4的差是負數(shù)，可表示為獷4〈0D、X與2的和非負數(shù)可表示為廣2>0

4、代數(shù)式3戶4的值不小于0,則可列不等式為（）

43A+4<0B、3A÷4>0C、3A÷4>0D、3A÷4<10

5、下列由題意列出的不等關(guān)系中，錯誤的是（）

爾a不是是負數(shù)可表示為a〉0B、X不大于3可表示為x≤<3

a次與4的差是非負數(shù)，可表示為χ-4≥0

A代數(shù)式x+3必大于3『7,可表示為。+3>3『7

6、用不等式表示“a的5倍與6的和不大于8”為

7、JZ是個非負數(shù)可表示為.

8、用適當?shù)姆柋硎尽靶∶鞯纳眢w不比小剛輕”為

9、用適當?shù)姆柋硎鞠铝嘘P(guān)系：

(1)一枚炮彈的殺傷半徑不小于300米；

(2)三件上衣與四條長褲的總價錢不高于268元；

(3)明天下雨的可能性不小于70%.

1、用不等式表示：

(I)X與-3的和是負數(shù)；

(2)X與5的和的28%不大于-6；

(3)加除以4的商加上3至多為5；

(4)a與6兩數(shù)和的平方不小于3；

(5)三角形的兩邊a、6的和大于第三邊c.

2、燃放某種禮花彈時，為了確保安全，人在點燃導火線后要在燃放前轉(zhuǎn)移到IOR以外的安

全區(qū)域.已知導火線的燃燒速度為0.02m∕s,人離開的速度為4勿∕s,導火線的長X(M應(yīng)

滿足怎樣的關(guān)系式？請你列出.

3、班級50名學生上體育課，老師出了一道題目：現(xiàn)在我拿來一些籃球，如果每5人一組玩

一個籃球，有些同學沒有球玩；如果每6人一組玩一個籃球，就會有一組玩籃球的人數(shù)不足

6個.你們知道有幾個籃球嗎？

甲同學說：如果有X個籃球，5x<5O.

乙同學說：6x>50.

丙同學說：6(x-l)<50.

你明白他們的意思嗎？

4、比較下面每小題中兩個算式結(jié)果的大小(在橫線上填或"=

2222

(1)3+42×3×4i(2)2+22X2X2；

22

⑶“02χιχ25(4)m÷m2×I×2.

<4j4l2jUJ23

《不等式的基本性質(zhì)》

教學目標

1、經(jīng)歷不等式基本性質(zhì)的探索過程，初步體會不等式與等式的異同.

2、掌握不等式的基本性質(zhì).

教學重難點

不等式的基本性質(zhì)的掌握與應(yīng)用.

教學過程

一、比較歸納，產(chǎn)生新知

我們知道，在等式的兩邊都加上或都減去同一個數(shù)或整式，等式不變.

請問：如果在不等式的兩邊都加上或都減去同一個整式,那么結(jié)果會怎樣？請舉幾例試一試,

并與同伴交流.

類比等式的基本性質(zhì)得出猜想：不等式的結(jié)果不變.試舉幾例驗證猜想.

如3V7,3+1=4,7+1=8,4<8,所以3+1V7+1；3-5=-2,7-5=2,-2V2,所以3-5V7-5；

3+a<7+a;3<7,3-a<7-a等.都能說明猜想的正確性.

二、探索交流，概括性質(zhì)

完成下列填空.

2<3,2X53X5；

2<3,2×(-1)3×(-1)；

2<3,2×(-5)3×(-5)；

你發(fā)現(xiàn)了什么？請再舉幾例試試，與同伴交流.

通過計算結(jié)果不難發(fā)現(xiàn)：第一個空填“V”，后三個空填“>”.

得出不等式的基本性質(zhì)：

不等式的基本性質(zhì)1：不等式的兩邊都加上(或減去)同一個整式，不等號的方向不變.

不等式的基本性質(zhì)2：不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個正數(shù)，不等號的方向不變.

不等式的基本性質(zhì)3：不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個負數(shù)，不等號的方向改變.

(通過自我探索與具體的例子使學生加深對不等式性質(zhì)的印象)

三、練習鞏固，促進遷移

1、用“>”號或“V”號填空，并簡說理由.

①6+2-3+2；②6X(-2)-3X(-2)；

(3)64^2-3+2；(4)64-(-2)-34-(—2)

2、利用不等式的基本性質(zhì)，填“>”或

(1)若a>b,則2a+l2b+l；

(2)若a<b,且c>0,則ac+c______bc+c；

(3)若a>0,b<0,c<0,(a-b)C0.

3、鞏固應(yīng)用，拓展研究.

按照下列條件，寫出仍能成立的不等式，并說明根據(jù).

(1)a>b兩邊都加上-4；(2)-3a<b兩邊都除以-3；

(3)a23b兩邊都乘以2；(4)a≤2b兩邊都加上c.

《不等式的基本性質(zhì)》

教學目標

1、掌握作差比較大小的方法，并能證明一些不等式.

2、掌握不等式的性質(zhì)，掌握它們的證明方法及其功能，能簡單運用.

3、提高邏輯推理和分類討論的能力，培養(yǎng)條理思維的習慣和認真嚴謹?shù)膶W習態(tài)度.

教學難重點

教學重點：作差比較大小的方法；不等式的性質(zhì).

教學難點：不等式的性質(zhì)的運用.

教學過程

一、研究比較大小的依據(jù)：

我們知道，實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的，在數(shù)軸上不同的兩點中，右邊的點表示的實數(shù)

比左邊的點表示的實數(shù)大.

------?------&------>X

在上圖中，點力表示實數(shù)a,點8表示實數(shù)4點4在點6右邊，那么a>A

而a—6表示a減去6所得的差，由于a>6,則差是一個正數(shù)，即a—6>0.

命題：“若a>8,則a-6>0”成立；逆命題“若a-6>O,則a>∕也正確.

類似地：若a<b,則a—%V0；若a=b,則a—b=0.逆命題也都正確.

結(jié)論：

(1)t,a>b,t="a—。>0"

(2)“a=b”="a—8=0”

(3)αa<bn=αa-b<0,,

——以上三條即為比較大小的依據(jù)：“作差比較法''?

正負數(shù)運算性質(zhì)：(1)正數(shù)加正數(shù)是正數(shù)；(2)正數(shù)乘正數(shù)是正數(shù)；(3)正數(shù)乘負數(shù)是負數(shù);

(4)負數(shù)乘負數(shù)是正數(shù).

二、研究不等式的性質(zhì)：

性質(zhì)1：若a>6,6>c,則a>c.(不等式的傳遞性)

,

證明：."a>b.?a-b>0i

'Cb>c：.?-c>0;

.?.(a-?)+(Z>-c)=a-c>0(正負數(shù)運算性質(zhì))

則a>c.

反思：證明要求步步有據(jù).

性質(zhì)2：若a>6,則a+c>6+c.(不等式的加法性質(zhì))

證明：,：a>ba-b>0；

,/（a+c）—（6+c）-a~b>Oa÷c>?÷c.

反思：作差比較法的第一次運用，雖然簡單，也要讓學生好好體會體會.

思考：逆命題”若a+c>6+c,則a>6”成立嗎？一一兩邊加“一?！奔纯勺C明.

【例1】求證：若a>b,c>d,則a+c>6+d.（同向不等式相加性質(zhì)）

證明1：'：a>b.?.a+c>6+c（性質(zhì)2）

Vc>dJ.b+c>b+d（性質(zhì)2）

則a+c>6+d.（性質(zhì)1）

證明2：；a>6.?.a-b>O

"."c>d`.c-d>O

.?.（a-?）+（c-√）>0即（a+c）-（?+t∕）>0（作差比較法）

則a÷c>?÷d.

反思：你更喜歡哪種方法？為什么？（精彩回答：我都喜歡，如同自己的一對雙胞胎.）

練習：求證：若a>b,c<d,則a—c>b—d（異向不等式相減性質(zhì)）

證明1：Vc<d：.c-d<0

得d-c>0即-c>-d（正數(shù)得相反數(shù)為負數(shù)）

亦可由c<d兩邊同加一（c+d~）,直接推出一c>—d（性質(zhì)2）

Va>ba+（―c）>b+（—√）（同向不等式相加性質(zhì)）

則a-c>b-d.（加減法運算法則）

證明2：?：Ab：.a-b>0

"?'c<dΛd-c>0

：.（a-c）-（b-d）=（a-?）+（√-c）>0（作差比較法）

貝IJa—c>b—d.

性質(zhì)3：若a>6,c>0,則ac>>6c.

若a>6,c<0,則ac<6c.（不等式的乘法性質(zhì)）

證明：ac-bc=（a—b）C（作差比較法）

Va>b'.a-b>0；

當c>0時，（a-b）c>0,得ac>6c；（正負數(shù)運算性質(zhì)）

當c<0時，（a-Z>）c<0,得ac<bc.（正負數(shù)運算性質(zhì)）

反思：等式兩邊同乘一個數(shù)，等式永遠成立.但不等式的情況完全不同！一一強調(diào)！

思考：

（1）“若a>4則ac2>∕√”成立嗎？——不成立！反例：C=O時不成立.

,

（2）“若al>∕√,則a>b'成立嗎？——成立！隱含c?2>0.

［例2］比較（a+l）2與a2-a+l的值的大小.

解：(a÷l)^-(a—a+l)=3a

(1)當a<0時，(a+l)2<a~—a+1

(2)當a=O時，(a+l)2=a2-a÷l

(3)當a>O時，(a+l)2>a2-a+l

反思：

(1)比較大小時，等與不等一定要分開討論！一一強調(diào)！

(2)分類討論時，要做到“不遺漏，不重復”！一一強調(diào)！

三、課堂小結(jié)：

(1)數(shù)學知識：不等式性質(zhì).

(2)數(shù)學方法：作差比較法.

(3)數(shù)學思想：分類討論、類比猜想證明.

《不等式的基本性質(zhì)》

教學目標

教學知識點：

1、探索并掌握不等式的基本性質(zhì).

2、理解不等式與等式性質(zhì)的聯(lián)系與區(qū)別.

能力訓練要求：

通過對比不等式的性質(zhì)和等式的性質(zhì)，培養(yǎng)學生的求異思維，提高大家的辨別能力.

情感與價值觀要求：

通過大家對不等式性質(zhì)的探索，培養(yǎng)大家的鉆研精神，同時還加強了同學間的合作與交流.

教學難重點

教學重點：探索不等式的基本性質(zhì)，并能靈活地掌握和應(yīng)用.

教學難點：能根據(jù)不等式的基本性質(zhì)進行化簡.

教學過程

一、創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課

［師］我們學習了等式，并掌握了等式的基本性質(zhì)，大家還記得等式的基本性質(zhì)嗎？

［生］記得.

等式的基本性質(zhì)1：在等式的兩邊都加上(或減去)同一個數(shù)或整式，所得的結(jié)果仍是等式.

基本性質(zhì)2：在等式的兩邊都乘以或除以同一個數(shù)(除數(shù)不為0),所得的結(jié)果仍是等式.

［師］不等式與等式只有一字之差，那么它們的性質(zhì)是否也有相似之處呢？本節(jié)課我們將加

以驗證.

二、新課講授

1、不等式基本性質(zhì)的推導.

［師］等式的性質(zhì)我們已經(jīng)掌握了，那么不等式的性質(zhì)是否和等式的性質(zhì)一樣呢？請大家探

索后發(fā)表自己的看法?

［生］：3V5

3+2V5+2

3—2≤5-2

3+a<5+a

3—aV5-a

所以，在不等式的兩邊都加上(或減去)同一個整式，不等號的方向不變.

［師］很好.不等式的這一條性質(zhì)和等式的性質(zhì)相似，下面繼續(xù)進行探究.

［生］?.?3<5,

Λ3×2<5×2,

3X,V5XL

22

所以，在不等式的兩邊都乘以同一個數(shù)，不等號的方向不變.

［生］不對.

如3<5,

3×(-2)>5×(一2).

所以上面的總結(jié)是錯的.

［師］看來大家有不同意見，請互相討論后舉例說明.

［生］如3<4,

3×3<4×3,

3×?<4×

33

3×(-3)>4×(-3),

3×(-?)>4×),

33

3×(-5)>4×(-5).

由此看來，在不等式的兩邊同乘以一個正數(shù)時，不等號的方向不變；在不等式的兩邊同乘以

一個負數(shù)時，不等號的方向改變.

［師］非常棒，那么在不等式的兩邊同時除以某一個數(shù)時(除數(shù)不為0),情況會怎樣呢？

請大家用類似的方法進行推導.

［生］當不等式的兩邊同時除以一個正數(shù)時，不等號的方向不變；當不等式的兩邊同時除以

一個負數(shù)時，不等號的方向改變.

［師］因此，大家可以總結(jié)得出性質(zhì)2和性質(zhì)3,并且要學會靈活運用.

I2I2

2、用不等式的基本性質(zhì)解釋上?>L的正確性.

4乃16

I2I2I2

［師］在上節(jié)課中，我們知道周長為/的圓和正方形，它們的面積分別為一和一，且有一

47164萬

I2

>—存在，你能用不等式的基本性質(zhì)來解釋嗎？

16

［生］V4τr<16

.±>±

4萬16

根據(jù)不等式的基本性質(zhì)2,兩邊都乘以12得

Z2I2

一>——

4萬16

3、例題講解.

將下列不等式化成“x>a”或“x<a”的形式：

(1)X—5>—1；

(2)-2%>3；

(3)3Λ-<-9.

［生］(1)根據(jù)不等式的基本性質(zhì)1,兩邊都加上5,得

x>—1+5

即x>4；

(2)根據(jù)不等式的基本性質(zhì)3,兩邊都除以一2,得

(3)根據(jù)不等式的基本性質(zhì)2,兩邊都除以3,得

x<—3.

說明：在不等式兩邊同時乘以或除以同一個數(shù)(除數(shù)不為0)時，要注意數(shù)的正、負，從而

決定不等號方向的改變與否.

三、課時小結(jié)

1、本節(jié)課主要用類推的方法探索出了不等式的基本性質(zhì).

2、利用不等式的基本性質(zhì)進行簡單的化簡或填空.

《不等式的基本性質(zhì)》

教學目標

1、了解不等式的意義，掌握不等式的基本性質(zhì)，并能正確運用它們將不等式變形.

2、提高學生觀察、比較、歸納的能力，滲透類比的思維方法.

教學重難點

掌握不等式的基本性質(zhì)并能正確運用它們將不等式變形.

教學過程

一、回憶復習：

1、觀察下面這幾個式子，回答什么是等式？

2

x+2y=3、—rrr-2π=0>x+2-y

★表示相等關(guān)系的式子叫等式.

★等號左邊的代數(shù)式叫等式的左邊.

★等號右邊的代數(shù)式叫等式的右邊.

2、觀察下面這幾個式子，完成下面的填空.

a=b

`;a—b

a±3=b±3,α±（χ2+2y）=b±（χ2+2y）

由此得出等式的基本性質(zhì)1：

等式的兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)或同一個整式，所得的結(jié)果仍是等式.

3、繼續(xù)觀察下面這幾個式子，完成下面的填空.

?/a=h

ab

3a=3b,

4^4

由此得出等式的基本性質(zhì)2：

等式的兩邊都乘以（或除以）同一個數(shù)（除數(shù)不能為零），所得的結(jié)果仍是等式.

從上面的回憶可知，等式有兩條基本性質(zhì)，那么不等式有沒有類似的性質(zhì)呢？

回答是肯定的，有.我們今天的主要任務(wù)就是研究不等式有哪些性質(zhì)？

二、分組討論不等式的三個基本性質(zhì)：

1、仿照下表，分組探討，找出規(guī)律（探討不等式的性質(zhì)1）.

不等式的兩邊都加與原不等式比較不

不等式上（或減去）同一個結(jié)果等號的方向是否改

數(shù)變了

7>4加上512>9沒有改變

一3V4減去7-10<-3沒有改變

????????????

?????????…

???…??????

??????…???

通過上面的探討我們可以得出不等式的性質(zhì)1：

不等式的兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)，不等號的方向不變.

這個性質(zhì)可以用數(shù)學語言表示為：

如果“<b,那么α±c<匕±c；如果4>6,那么α±c>匕±c.

2、仿照下表，分組探討，找出規(guī)律（探討不等式的性質(zhì)2）.

不等式的兩邊都乘與原不等式比較不

不等式以（或除以）同一個結(jié)果等號的方向是否改

正數(shù)變了

7>4乘以535>20沒有改變

-8<4除以4—2Vl沒有改變

????????????

?????????…

???…???

…???……

通過上面的探討我們可以得出不等式的性質(zhì)2：

不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變.

這個性質(zhì)可以用數(shù)學語言表示為：

如果“<b,c>0,那么ac<bc；如果α>8,c>0,那么ac>6c;

3、仿照下表，分組探討，找出規(guī)律（探討不等式的性質(zhì)3）.

不等式的兩邊都乘

與原不等式比較不等號

不等式以（或除以）同一個結(jié)果

的方向是否改變了

負數(shù)

7>4乘以一5-35<-20不等號的方向改變了

-8<4除以一42>-1不等號的方向改變了

????????????

???…???.??

???……???

…???…???

通過上面的探討我們可以得出不等式的性質(zhì)3：

不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變.

這個性質(zhì)可以用數(shù)學語言表示為：

如果α<b,c<0,那么ac>bc；如果a>6,c<0,那么ac</?c；

三、思考題：

α是任意有理數(shù)，試比較54與34的大小.

解：V5>3

.?5a>3。

這種解法對嗎？如果正確，說出它根據(jù)的是不等式的哪一條基本性質(zhì)；如果不正確，請就明

理由.

四、小結(jié)：

（1）掌握不等式的三條性質(zhì)，尤其是性質(zhì)3.

不等式的性質(zhì)1：不等式的兩邊都加上（或減去）同一個數(shù)，不等號的方向不變.

不等式的性質(zhì)2：不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變.

不等式的性質(zhì)3：不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變.

（2）能正確應(yīng)用性質(zhì)對不等式進行變形.

（3）特別需要注意的事項：當不等式兩邊都乘以（或除以）同一個數(shù)時，一定要看清是正

數(shù)還是負數(shù)，對于未給定范圍的字母，應(yīng)分情況討論.

不等式的基本性質(zhì)

1、已知實數(shù)a、AC在數(shù)軸上對應(yīng)的點如圖所示，則下列式子中正確的是（）.

Il11.

CbO。

Aybd>ab;

B、ac>ab?

Cybc<ab;

D、c÷?>5+Z?.

2、已知△/國中三邊為a、6、a且a>6,那么其周長夕應(yīng)滿足的不等關(guān)系是（）.

力、36<p<3^;

B、濟2b<p<2a+b;

C.2b<p<2（a+Δ）;

∕λ2a<∕K2（a+6）.

3、若πi>n,且則a的取值應(yīng)滿足條件（）.

4、a>0；

B、a<0；

。、5=0；

Aa≥0.

22

4、若且加為有理數(shù)，則WR-____bm.

5、同桌中和同桌乙正在對796a進行爭論，甲說：“7a>6a正確”，乙說：“這不可能正確”,

你認為誰的觀點對？為什么？

6、根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，把不等式245〈4尸1變?yōu)閤>a或Ka的形式.

7、如圖所示，一個已傾斜的天平兩邊放有重物，其質(zhì)量分別為a和）如果在天平兩邊的

盤內(nèi)分別加上相等的祛碼c,看一看，盤子仍然像原來那樣傾斜嗎？

1、設(shè)a、b、c、d《R、且a>6,c>d,則下列結(jié)論中正確的是（）.

ab

力、研d>lΛdB、a-c>b~dC、ac>bdA—>—

dc

2、若a、6為實數(shù)、貝∣Ja>6>0是a2>及的（）.

爾充分不必要條件8、必要不充分條件

C、充要條件Λ既非充分條件也非必要條件

3、若L<L<O,則下列結(jié)論正確的是（）.

αb

4、a2<b^B、ab<b2a2<abAa>b

4、ua>bn是"a∕>b/成立的（）.

爾必要不充分條件B、充分不必要條

G充要條件D、以上均錯

5、若α,h為任意實數(shù)且α>h,貝IJ（）.

…2個C、Ig（Q-加>0

、”是“工<的（

6“4>11”）.

a

4充分不必要條件反必要不充分條件

a充要條件A既不充分也不必要條件

7、設(shè)則下列不等式成立的是（）.

2ba2

Ayab<b<1B、log1h<logIaVoC>2<2<2Aa<ab<I

22

8,2>1是。(4一匕)<o成立的().

a

A,充分不必要條件以充要條件

a必要不充分條件A既不充分不必要條件

1>不等式的基本性質(zhì)1：如果a>b,那么a+c____b+c,a~c____b-c.

不等式的基本性質(zhì)2：如果a>b,并且c>O,那么acbe.

不等式的基本性質(zhì)3：如果a>b,并且c<0,那么acbe.

2、設(shè)a<b,用“<”或">”填空.

(1)a-l___b-l；

(2)a+1____b+1；

(3)2a___2b；

(4)-2a-2b.

3、根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，用或填空.

(1)若a—l>b—1,則ab；

(2)若a+3>b+3,則a____b；

(3)若2a>2b,貝IJa___b；

(4)若-2a>-2b,則a—b.

4、若a>b,m<0,n>0,用或“<”填空.

(1)a+m___b+m；

(2)a+n__b+n；

(3)m-a__m-b；

(4)an___bn；

5、下列說法不正確的是()

22

A、若a>b,則ac>bc"(c≠0)；

B、若a>b,則b<a；

C、若a>b,則一a>—b；

D>若a>b,b>c,則a>c.

6、根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，把下列不等式化為x>a或x>a的形式.

(1)χ-3>l;

(2)3x<l+2x;

(3)2x>4.

1、若x+y>O,avθ,&y>O,則x-y的值（）.

4、小于0B、大于0C、等于0A正負不確定

2、若a>A在①L<L②/>凡③Igd+DRgS?+］）；④2。>2”中，正確的有（）.

ab

/、1個氏2個C、3個久4個

3^己知a、b、C滿足c<b<a,且αc<0,那么下列選項中不一定成立的是（）.

正確的不等式有（）.

從1個6、2個G3個〃、4個

5、設(shè)α<0,—1<8<0,則α,ah,“〃三者的大小關(guān)系為.

6、設(shè)A=1+2X4,B=2X3+X2,XeR且XWl,則A8的大小關(guān)系為

7、如果一l<α<b<O,則J,',b2,/的大小關(guān)系為_________________.

ba

8、設(shè)α>O,b>O,則”>8是a—,>匕一」成立的_______條件.

ab

《不等式的解集》

教學目標

1、理解不等式解與解集的意義.

2、了解不等式解集的數(shù)軸表示.

教學重難點

重點：區(qū)分不等式解與解集的概念.

難點：在數(shù)軸上表示不等式的解集.

教學過程

一、創(chuàng)設(shè)情景，導出問題

（課本問題）燃放某中禮花彈時，為了確保安全，人在點燃導火線后要在燃放前10勿以外的

安全區(qū)域.已知導火線的燃燒速度為0.02Ws,人離開的速度為4Ws,那么導火線的長度應(yīng)

為多少厘米？

（在建立不等式之前，先讓學生分析清楚問題中量與量之間的關(guān)系：為了使人有足夠的時間

到達安全區(qū)域，導火線燃燒的時間應(yīng)大于人到達安全區(qū)域的時間.）

設(shè)導火線的長度應(yīng)為XC0,根據(jù)題意，得

X10

Z

0.02x100-----4

即x>5.

二、探索交流，得出概念

1、想一想：

（1）你能找出幾個使不等式x>5成立的X的值嗎？

（2）x=5,6,8能使不等式x?5成立嗎？

（字母可以表示任何數(shù)，但對于滿足x>5中的字母無它能夠取任意數(shù)嗎？如果不能，它能

取哪些數(shù)呢？啟發(fā)學生動手驗證、動腦思考，并從中初步體會不等式解的意義及不等式解與

方程解的不同之處.）

能使不等式成立得未知數(shù)得值，叫做不等式的解.

例如，6是不等式x>5一個解，7,8,9,...也是不等式x>5的解.

一個含有未知數(shù)的不等式的所有解，組成這個不等式的解集.

例如不等式χ-5≤-1的解集為xW4；不等式x2>0的解集是所有非零實數(shù).

求不等式解集的過程叫做解不等式.

2、議一議：請你用自己的方式將不等式x>5的解集和x—5W-1的解集分別表示在數(shù)軸上,

并與同伴交流.

（引導學生回憶實數(shù)與數(shù)軸上點的對應(yīng)關(guān)系，認識數(shù)軸上的點是有序的，實數(shù)是可以比較大

小的，讓學生用具體實數(shù)對應(yīng)的點加以說明.）

三、練習鞏固，促進遷移

1、判斷下列說法是否正確：

（1）Λ=2是不等式A÷3<4的解；