第12講 正態(tài)分布（人教A版2019選擇性必修第三冊）（解析版）

第12講正態(tài)分布【人教A版2019】·模塊一正態(tài)分布·模塊二課后作業(yè)模塊一模塊一正態(tài)分布1．連續(xù)型隨機(jī)變量隨機(jī)變量的取值充滿某個區(qū)間甚至整個數(shù)軸，但取一點(diǎn)的概率為0，稱這類隨機(jī)變量為連續(xù)型隨機(jī)變量.2．正態(tài)分布(1)正態(tài)曲線

函數(shù)f(x)=，x∈R.其中∈R，>0為參數(shù).我們稱f(x)為正態(tài)密度函數(shù)，稱它的圖象為正態(tài)密度曲線，簡稱正態(tài)曲線.

(2)正態(tài)分布

若隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x)，則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記為XN(,).特別地，當(dāng)=0，=1時，稱隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.

(3)正態(tài)分布的均值和方差

若XN(,)，則E(X)=，D(X)=.3．正態(tài)曲線的特點(diǎn)(1)曲線位于x軸上方，與x軸不相交；

(2)曲線是單峰的，它關(guān)于直線x=對稱；

(3)曲線在x=處達(dá)到峰值；

(4)當(dāng)|x|無限增大時，曲線無限接近x軸；

(5)對任意的>0，曲線與x軸圍成的面積總為1；

(6)在參數(shù)取固定值時，正態(tài)曲線的位置由確定，且隨著的變化而沿x軸平移，如圖甲所示；

(7)當(dāng)取定值時，正態(tài)曲線的形狀由確定，當(dāng)較小時，峰值高，曲線“瘦高”，表示隨機(jī)變量X的分布比較集中；當(dāng)較大時，峰值低，曲線“矮胖”，表示隨機(jī)變量X的分布比較分散，如圖乙所示.4．3原則(1)正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率

P(-X+)0.6827；

P(-2X+2)0.9545；

P(-3X+3)0.9973.

(2)3原則

在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從正態(tài)分布N(,)的隨機(jī)變量X只取[-3，+3]中的值，這在統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱為3原則.【考點(diǎn)1正態(tài)曲線的特點(diǎn)】【例1.1】（2023·高二單元測試）已知三個正態(tài)密度函數(shù)φi(x)=12πσieA．μ1=μ3>μ2C．μ1=μ3>μ2【解題思路】由正態(tài)分布的圖像中對稱軸位置比較均值大小，圖像胖瘦判斷標(biāo)準(zhǔn)差的大小.【解答過程】由題圖中y=φi(x)y=φ1(x)與y=φ2(x)所以σ1故選：C.【例1.2】（2023·浙江寧波·統(tǒng)考二模）設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布，ξ的分布密度曲線如圖所示，若P(ξ<0)=p，則P(0<ξ<1)與D(ξ)分別為（

）A．12-p,12 B．p,12【解題思路】根據(jù)題意和正態(tài)曲線即可求得P(0<ξ<1)，又根據(jù)正態(tài)曲線可得ξ~N1,12【解答過程】根據(jù)題意，且P(ξ<0)=p，則P(0<ξ<1)=1-2p由正態(tài)曲線得ξ~N1,12故選：C．【變式1.1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)X~Nμ1,σ1A．μ1>μC．PY≥μ2【解題思路】根據(jù)正態(tài)分布曲線的性質(zhì)，確定出兩個均值和方差的大小，然后結(jié)合圖比較概率的大小【解答過程】因?yàn)閄~Nμ1,σ1所以由圖可知，μ1<μ因?yàn)閄的分布曲線“高瘦”，Y的分布曲線“矮胖”，所以σ1<σ2所以PY≥μ2所以C錯誤，D正確，故選：D.【變式1.2】（2023下·高二課時練習(xí)）李明上學(xué)有時坐公交車，有時騎自行車，他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時間，經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到，假設(shè)坐公交車用時X和騎自行車用時Y都服從正態(tài)分布，X~Nμ1,62,Y~A．D(X)=6 B．μC．P(X≤38)<P(Y≤38) D．P(X≤34)<P(Y≤34)【解題思路】根據(jù)給定的正態(tài)分布密度曲線，結(jié)合正態(tài)分布的對稱性和性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【解答過程】對于A中，隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，且X~Nμ可得隨機(jī)變量X的方差為σ2=62，即對于B中，根據(jù)給定的正態(tài)分布密度曲線圖像，可得隨機(jī)變量μ1所以μ1<μ對于C中，根據(jù)正態(tài)分布密度曲線圖像，可得X≤38時，隨機(jī)變量X對應(yīng)的曲線與x圍成的面積小于Y≤38時隨機(jī)變量Y對應(yīng)的曲線與x圍成的面積，所以P(X≤38)<P(Y≤38)，所以C正確；對于D中，根據(jù)正態(tài)分布密度曲線圖像，可得P(X≤34)>12，即P(X≤34)>P(Y≤34)，所以D錯誤.故選：C.【考點(diǎn)2

利用正態(tài)曲線的對稱性求概率】【例2.1】（2023下·遼寧沈陽·高二校聯(lián)考期中）已知X~N(3,σ2)，P(X<2)=15A．15 B．25 C．35【解題思路】利用正態(tài)分布的對稱性可求解.【解答過程】因?yàn)閄～N3,σ2所以P(X<4)=1-P(X>4)=4故選：D.【例2.2】（2023下·山東濟(jì)寧·高二?？计谥校┮阎S機(jī)變量X服從正態(tài)分布Nμ,σ2，若PX≥4=PA．-1 B．1 C．-2 D．2【解題思路】由正態(tài)分布曲線的對稱性直接求解即可.【解答過程】∵X～Nμ,σ2，故選：B.【變式2.1】（2023下·河南駐馬店·高二?？茧A段練習(xí)）在某項(xiàng)測量中，測得變量ξ~N1,σ2σ>0,若ξ在0,2內(nèi)取值的概率為0.8，則ξ在A．0.2 B．0.1 C．0.8 D．0.4【解題思路】利用正態(tài)分布的對稱性可得答案.【解答過程】因?yàn)樽兞喀蝵N1,σ2所以P1<X<2故選：D.【變式2.2】（2023下·河北張家口·高二?？茧A段練習(xí)）已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N4,σ2，若PX≤1+2a+PA．-1 B．0 C．2 D．6【解題思路】由正態(tài)分布性質(zhì)可得答案.【解答過程】因?yàn)镻X≤1+2aPX≤1+2a=1-PX≤1-a=PX>1-a，因?yàn)殡S機(jī)變量服從正態(tài)分布X～N故選：D.【考點(diǎn)3

利用3原則求概率】【例3.1】（2023下·內(nèi)蒙古赤峰·高二?？茧A段練習(xí)）據(jù)統(tǒng)計(jì)2023年“五一”假期哈爾濱太陽島每天接待的游客人數(shù)X服從正態(tài)分布N2000,1002，則在此期間的某一天，太陽島接待的人數(shù)不少于1800附：X~Nμ,σ2，P(μ-σ<X<μ+σ)=0.6827，A．0.4987 B．0.8413 C．0.9773 D．0.9987【解題思路】根據(jù)3σ原則求得正確答案.【解答過程】依題意，μ=2000,P=1-故選：C.【例3.2】（2023下·河南安陽·高二統(tǒng)考期末）已知隨機(jī)變量X~Nμ,1，且PX<-1=0.5，則P附：若X~Nμ,σ2，則PA．0.1587 B．0.1359 C．0.2718 D．0.3413【解題思路】根據(jù)正態(tài)分布曲線的性質(zhì)結(jié)合3σ原則即可得到答案.【解答過程】因?yàn)殡S機(jī)變量X~N(μ,1),所以正態(tài)曲線關(guān)于直線x=μ對稱，又因?yàn)镻(X<-1)=0.5,所以μ=-1,σ=1，所以μ-σ=-2,μ+σ=0,μ-2σ=-3,μ+2σ=1，所以P(-2≤X≤0)≈0.6827,P(-3≤X≤1)≈0.9545，所以P(0<X<1)=1故選：B.【變式3.1】（2023·山東棗莊·統(tǒng)考二模）某地區(qū)有20000名考生參加了高三第二次調(diào)研考試．經(jīng)過數(shù)據(jù)分析，數(shù)學(xué)成績X近似服從正態(tài)分布N72,82，則數(shù)學(xué)成績位于[80，88]的人數(shù)約為（參考數(shù)據(jù)：Pμ-σ≤X≤μ+σ≈0.6827，Pμ-2σ≤X≤μ+2σA．455 B．2718 C．6346 D．9545【解題思路】根據(jù)題設(shè)條件結(jié)合對稱性得出數(shù)學(xué)成績位于[80，88]的人數(shù).【解答過程】由題意可知，μ=72,σ=8，P=則數(shù)學(xué)成績位于[80，88]的人數(shù)約為0.1359×20000=2718.故選：B.【變式3.2】（2023下·河北·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）某質(zhì)檢員從某生產(chǎn)線生產(chǎn)的零件中隨機(jī)抽取了一部分零件進(jìn)行質(zhì)量檢測，根據(jù)檢測結(jié)果發(fā)現(xiàn)這批零件的某一質(zhì)量指數(shù)X服從正態(tài)分布N50,9，且X落在47,56內(nèi)的零件個數(shù)為81860，則可估計(jì)所抽取的零件中質(zhì)量指數(shù)小于44的個數(shù)為（

（附：若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布Nμ,σ2，則Pμ-σ≤Z≤μ+σ≈0.6827A．270 B．2275 C．2410 D．4550【解題思路】根據(jù)題意，由3σ原則可得P47≤X≤56=0.8186【解答過程】由題意可知，P47≤X≤56則所抽取的零件總數(shù)為818600.8186故估計(jì)所抽取的零件中質(zhì)量指數(shù)小于44的個數(shù)為100000×1-0.9545故選：B.【考點(diǎn)4

\o"標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的應(yīng)用"\t"/gzsx/zj135500/_blank"標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的應(yīng)用】【例4.1】（2023·高二課時練習(xí)）高鐵是當(dāng)代中國重要的一類交通基礎(chǔ)設(shè)施，乘坐高鐵已經(jīng)成為人們喜愛的一種出行方式，已知某市市郊乘車前往高鐵站有①，②兩條路線可走，路線①穿過市區(qū)，路程較短但交通擁擠，所需時間（單位為分鐘）服從正態(tài)分布N50,100；路線②走環(huán)城公路，路程長，但意外阻塞較少，所需時間（單位為分鐘）服從正態(tài)分布N60,16，若住同一地方的甲、乙兩人分別有70分鐘與64分鐘可用，要使兩人按時到達(dá)車站的可能性更大，則甲乙選擇的路線分別是（A．①、② B．②、① C．①、① D．②、②【解題思路】分別比較甲、乙走線路①、②的概率大小，由此可得出結(jié)論.【解答過程】對于甲，若有70分鐘可走，走第一條線路趕到的概率為PX≤70走第二條線路趕到的概率為PX≤70∵Φ2<Φ2.5對于乙，若有64分鐘可走，走第一條線路的概率為PX≤64走第二條線路趕到的概率為PX≤64∵Φ1.4>Φ故選：B.【例4.2】（2023下·高二課時練習(xí)）某市組織了一次高二調(diào)研考試，考試后統(tǒng)計(jì)的數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)f(x）=1102πeA．該市這次考試的數(shù)學(xué)平均成績?yōu)?0分B．分?jǐn)?shù)在120分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在60分以下的人數(shù)相同C．分?jǐn)?shù)在110分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在50分以下的人數(shù)相同D．該市這次考試的數(shù)學(xué)成績標(biāo)準(zhǔn)差為10【解題思路】分析：根據(jù)密度函數(shù)的特點(diǎn)可得：平均成績及標(biāo)準(zhǔn)差，再結(jié)合正態(tài)曲線的對稱性可得分?jǐn)?shù)在110分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在50分以下的人數(shù)相同，從而即可選出答案.【解答過程】∵密度函數(shù)f(x）∴該市這次考試的數(shù)學(xué)平均成績?yōu)?0分該市這次考試的數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)差為10，從圖形上看，它關(guān)于直線x=80對稱，且50與110也關(guān)于直線x=80對稱，故分?jǐn)?shù)在110分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在50分以下的人數(shù)相同.故選B.【變式4.1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）小明上學(xué)有時坐公交車，有時騎自行車，他記錄多次數(shù)據(jù)，分析得到：坐公交車平均用時30min，樣本方差為36；騎自行車平均用時34min，樣本方差為4，假設(shè)坐公交車用時X~N(30,62)，騎自行車用時Y~N(34,A．P(X≤38)>P(Y≤38) B．P(X≤34)>P(Y≤34)C．如果有38分鐘可用，小明應(yīng)選擇坐公交車 D．如果有34分鐘可用，小明應(yīng)選擇自行車【解題思路】利用正態(tài)分布曲線的意義以及對稱性，對四個選項(xiàng)逐一分析判斷即可．【解答過程】因?yàn)閄~N(30,62)將X,Y化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則X-306因?yàn)?8-306<38-342，所以又P(X≤34)>12,P(Y≤34)=12因?yàn)镻(X≤38)<P(Y≤38)，所以如果有38分鐘可用，小明應(yīng)選擇自行車，故C錯誤；因?yàn)镻(X≤34)>P(Y≤34)，所以如果有34分鐘可用，小明應(yīng)選擇坐公交車，故D錯誤.故選：B．【變式4.2】（2023·遼寧阜新·?？寄M預(yù)測）《山東省高考改革試點(diǎn)方案》規(guī)定：2020年高考總成績由語文、數(shù)學(xué)、外語三門統(tǒng)考科目和思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物六門選考科目組成，將每門選考科目的考生原始成績從高到低劃分為A、B+，B、C+、C、D+、D、E共8個等級，參照正態(tài)分布原則，確定各等級人數(shù)所占比例分別為3%，7%，16%，24%，24%、16%、7%、3%，選考科目成績計(jì)入考生總成績時，將A至E等級內(nèi)的考生原始成績，依照等比例轉(zhuǎn)換法則，分別轉(zhuǎn)換到[91,100]，[81,90]，[71,80]、[61,70]、[51,60]、[41,50]、[31,40]、[21,30]、八個分?jǐn)?shù)區(qū)間，得到考生的等級成績，如果山東省某次高考模擬考試物理科目的原始成績X～N(50,256)，那么D等級的原始分最高大約為（

）附：①若X～N(μ,σ2)，Y=X-μσ，則Y～N(0,1)；②當(dāng)YA．23 B．29 C．36 D．43【解題思路】由于原始分與對應(yīng)等級分的分布情況是相同的，由P(等級分≥40)=0.9即有P(原始分≥x-5016)=0.9，結(jié)合原始分滿足X～N(50,256)的正態(tài)分布即可得均值和標(biāo)準(zhǔn)差，而Y=X-μσ且P(Y≤1.3)≈0.9知P(Y≥-1.3)≈0.9，即有x-50【解答過程】由題意知：X～N(50,256)則有μ=50，σ=16設(shè)D等級的原始分最高大約為x，對應(yīng)的等級分為40，而P(等級分≥40)=1-(7%+3%)=0.9∴有P(原始分≥x-5016)而P(Y≤1.3)≈0.9，由對稱性知P(Y≥-1.3)≈0.9∴有x-5016=-1.3，即故選：B.【考點(diǎn)5\o"正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用"\t"/gzsx/zj135500/_blank"正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用】【例5.1】（2023上·全國·高三專題練習(xí)）零件的精度幾乎決定了產(chǎn)品的質(zhì)量，越精密的零件其精度要求也會越高.某企業(yè)為了提高零件產(chǎn)品質(zhì)量，質(zhì)檢部門隨機(jī)抽查了100個零件的直徑進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)整理，得到數(shù)據(jù)如下表：零件直徑（單位：厘米）1.0,1.21.2,1.41.4,1.61.6,1.81.8,2.0零件個數(shù)1025302510已知零件的直徑可視為服從正態(tài)分布Nμ,σ2，μ，σ2參考數(shù)據(jù)：0.052≈0.228；若隨機(jī)變量ξ～Nμ,σ2，則Pμ-σ≤ξ≤μ+σ(1)分別求μ，σ2(2)試估計(jì)這批零件直徑在1.044,1.728的概率；(3)隨機(jī)抽查2000個零件，估計(jì)在這2000個零件中，零件的直徑在1.044,1.728的個數(shù).【解題思路】（1）根據(jù)平均數(shù)與方差的公式即可求解.（2）根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，結(jié)合正態(tài)分布在三個常見的區(qū)間上取值的概率進(jìn)行求解.（3）根據(jù)區(qū)間1.044,1.728上的概率計(jì)算即可.【解答過程】（1）由平均數(shù)與方差的計(jì)算公式分別得：μ=σ2=1100×（2）設(shè)ξ表示零件直徑，則ξ～Nμ,σ2Pμ-σ≤ξ≤μ+σ由對稱性得，2P1.5≤ξ≤1.728=0.6827同理，Pμ-2σ≤ξ≤μ+2σ2P1.044≤ξ≤1.5=0.9545P1.044≤ξ≤故這批零件直徑在1.044,1.728的概率為0.8186.（3）由（2）知，P1.044≤ξ≤所以在這2000個零件中，零件的直徑在1.044,1.728的有2000×0.8186≈1637個.【例5.2】（2023·全國·模擬預(yù)測）2023年中秋國慶雙節(jié)期間，我國繼續(xù)執(zhí)行高速公路免費(fèi)政策.交通部門為掌握雙節(jié)期間車輛出行的高峰情況，在某高速公路收費(fèi)點(diǎn)記錄了10月1日上午8:20~9:40這一時間段內(nèi)通過的車輛數(shù)，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)這一時間段內(nèi)共有1000輛車通過該收費(fèi)點(diǎn)，為方便統(tǒng)計(jì)，時間段8:20~8:40記作區(qū)間[20,40)，8:40~9:00記作40,60，9:00~9:20記作60,80，9:20~9:40記作80,100，對通過該收費(fèi)點(diǎn)的車輛數(shù)進(jìn)行初步處理，已知m=2n，8:20~9:40時間段內(nèi)的車輛數(shù)的頻數(shù)如下表：時間段[20,40)40,6060,8080,100頻數(shù)100300mn(1)現(xiàn)對數(shù)據(jù)進(jìn)一步分析，采用分層隨機(jī)抽樣的方法從這1000輛車中抽取10輛，再從這10輛車中隨機(jī)抽取4輛，設(shè)抽到的4輛車中在9：00~9：40通過的車輛數(shù)為X，求X的分布列與期望；(2)由大數(shù)據(jù)分析可知，工作日期間車輛在每天通過該收費(fèi)點(diǎn)的時刻T~Nμ,σ2，其中μ可用（1）中這1000輛車在8:20~9:40之間通過該收費(fèi)點(diǎn)的時刻的平均值近似代替，σ2可用樣本的方差近似代替（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表），已知某天共有800參考數(shù)據(jù)：若T~Nμ,σ2，則①Pμ-σ<T≤μ+σ=0.6827；②【解題思路】（1）根據(jù)分層抽樣、超幾何分布等知識求得分布列并求得數(shù)學(xué)期望.（2）先求得μ,σ2【解答過程】（1）因?yàn)?00+300+m+n=1000，m=2n，所以m=400，n=200.由分層隨機(jī)抽樣可知，抽取的10輛車中，在9：00~9：40通過的車輛數(shù)位于時間段60,80，80,100這兩個區(qū)間內(nèi)的車輛數(shù)為(400+200)1000車輛數(shù)X的可能取值為0，1，2，3，4，P(X=0)=C60C4P(X=3)=C63所以X的分布列為X01234P14381所以E(X)=0×1（2）這1000輛車在8:20~9:40時間段內(nèi)通過該收費(fèi)點(diǎn)的時刻的平均值μ=30×1001000+50×3001000σ2所以σ=18.估計(jì)在8:28~9:22這一時間段內(nèi)通過的車輛數(shù)，也就是28<T≤82通過的車輛數(shù)，工作日期間車輛在每天通過該收費(fèi)點(diǎn)的時刻T~N64,P28<T≤82=P64-2×18<T≤64+18=Pμ-2σ<T≤μ+σ所以估計(jì)在8:28~9:22這一時間段內(nèi)通過的車輛數(shù)為800×0.8186≈655.【變式5.1】（2023上·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？茧A段練習(xí)）為慶祝中國共產(chǎn)黨成立101周年，喜迎黨的二十大勝利召開，不斷提升廣大黨員干部學(xué)習(xí)黨的政治理論知識的自覺性，我市面對全體黨員，舉辦了“喜迎二十大，強(qiáng)國復(fù)興有我”黨史知識競賽.比賽由初賽、復(fù)賽和決賽三個環(huán)節(jié)組成.已知進(jìn)入復(fù)賽的黨員共有100000人，復(fù)賽總分105分，所有選手的復(fù)賽成績都不低于55分.經(jīng)過復(fù)賽，有2280名黨員進(jìn)入了決賽，并最終評出了若干一等獎和52個特等獎.復(fù)賽成績和決賽成績都服從正態(tài)分布.現(xiàn)從中隨機(jī)選出100.名選手的復(fù)賽成績，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)試根據(jù)頻率分布直方圖，求這100名選手的平均成績x；(2)若全體復(fù)賽選手的平均成績剛好等于x，標(biāo)準(zhǔn)差為9.5，試確定由復(fù)賽進(jìn)入決賽的分?jǐn)?shù)線是多少?(3)甲在決賽中取得了99分的優(yōu)異成績，乙對甲說：“據(jù)可靠消息，此次決賽的平均成績是75分，90分以上才能獲得特等獎.”試用統(tǒng)計(jì)學(xué)的相關(guān)知識，分析乙所說消息的真實(shí)性.參考數(shù)據(jù)：Pμ-σ≤ξ≤μ+σ【解題思路】（1）先根據(jù)概率之和等于1求出a，再根據(jù)頻率分布直方圖求平均數(shù)即可；（2）先求出復(fù)賽選手進(jìn)入決賽的概率，再根據(jù)3σ原則即可得解；（3）先根據(jù)乙所說消息為真，求出決賽中獲得特等獎的概率，再根據(jù)3σ原則求出甲獲得99分的概率，即可得出結(jié)論.【解答過程】（1）由10(0.005+0.03+0.04+a+0.005)=1，得a=0.02，所以x=60×0.05+70×0.3+80×0.4+90×0.2+100×0.05=79（2）由已知，復(fù)賽選手進(jìn)入決賽的概率為2280100000又因?yàn)閺?fù)賽成績ξ服從N(79,9.52)所以進(jìn)入決賽的分?jǐn)?shù)線為μ+2σ=79+9.5×2=98；（3）若乙所說消息為真，則決賽中獲得特等獎的概率為522280≈0.0228由90=μ+2σ=75+2σ得σ=7.5，∴μ+3σ=75+22.5=97.5，而P(ξ≥μ+3σ)=0.0013，所以甲獲得99分是小概率事件，這幾乎是不可能發(fā)生的，根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)的相關(guān)原理，我們可以判斷，乙所說的消息是不真實(shí)的．【變式5.2】（2023下·山西大同·高二?？计谀┦糯笠詠?，某貧困地區(qū)扶貧辦積極貫徹落實(shí)國家精準(zhǔn)扶貧的政策要求，帶領(lǐng)廣大農(nóng)村地區(qū)人民群眾脫貧奔小康.經(jīng)過不懈的奮力拼搏，新農(nóng)村建設(shè)取得巨大進(jìn)步，農(nóng)民年收入也逐年增加，為了制定提升農(nóng)民收入力爭早日脫貧的工作計(jì)劃，該地扶貧辦統(tǒng)計(jì)了2019年50位農(nóng)民的年收入并制成如下頻率分布直方圖：

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)50位農(nóng)民的年平均收入x（單位：千元）（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點(diǎn)值表示）；(2)由頻率分布直方圖，可以認(rèn)為該貧困地區(qū)農(nóng)民收入X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，其中μ?近似為年平均收入x，σ2①在扶貧攻堅(jiān)工作中，若使該地區(qū)約有84.14%的農(nóng)民的年收入高于扶貧辦制定的最低年收入標(biāo)準(zhǔn)，則最低年收入大約為多少千元？②為了調(diào)研“精準(zhǔn)扶貧，不落一人”的政策要求落實(shí)情況，扶貧辦隨機(jī)走訪了1000位農(nóng)民.若每位農(nóng)民的年收入互相獨(dú)立，記這1000位農(nóng)民中的年收入高于12.14千元的人數(shù)為ξ?，求E(ξ)附參考數(shù)據(jù)：6.92≈2.63若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ,σP(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827，P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.【解題思路】（1）根據(jù)頻率分布直方圖求平均值方法可得，（2）①根據(jù)3σ原則可得，②根據(jù)3σ原則先得每位農(nóng)民年收入高于12.14千元的概率，根據(jù)二項(xiàng)分布的期望公式可得.【解答過程】（1）x=17.40（千元），故估計(jì)50位農(nóng)民的年平均收入x為17.40千元.（2）由題意知X～①P(X>μ-σ)=0.5+0.6827所以μ-σ=17.40-2.63=14.77時，滿足題意，即最低年收入大約為14.77千元.②由P(X>12.14)=P(X>μ-2σ)=0.5+0.9545每個農(nóng)民的年收入高于12.14千元的事件的概率為0.9773，則ξ～B(1000,p)，其中p=0.9773，所以E(ξ)=1000×0.9773=977.3.模塊二模塊二課后作業(yè)1．（2023下·湖北武漢·高二?？计谀┰O(shè)隨機(jī)變量X~N0,1，則X的密度函數(shù)為（

A．fx=1C．fx=1【解題思路】根據(jù)正態(tài)分布的定義可求得μ=0,σ=1，從而可求X的密度函數(shù).【解答過程】因?yàn)閄~N0,1，所以μ=0,σ2所以X的密度函數(shù)為A.故選：A.2．（2023下·陜西寶雞·高二統(tǒng)考期末）已知三個正態(tài)分布密度函數(shù)fix=A．μ1=B．μ1<C．μ1<D．μ1=【解題思路】結(jié)合正態(tài)分布密度函數(shù)中參數(shù)μ表示其均值大小，σ表示離散程度，利用圖象形狀即可判斷出結(jié)論.【解答過程】根據(jù)正態(tài)分布密度函數(shù)中參數(shù)μ，結(jié)合圖象可知f2x，f3且都在f1x的右側(cè)，即比較f1x和f2又f3x的離散程度比f1x和故選：B.3．（2023上·全國·高三專題練習(xí)）已知隨機(jī)變量X~N4,22，則P(8<X<10)A．0.0214 B．0.1358 C．0.8185 D．0.9759【解題思路】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性可求概率.【解答過程】由題意，知μ=4，σ=2，所以該正態(tài)曲線關(guān)于直線x=4對稱．所以P0<X<8P-2<X<10所以P8<X<10=故選：A．4．（2023下·遼寧鞍山·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N3,4，若PX>a-2=PX<6-3a，則A．-2 B．-1 C．12 D．【解題思路】根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性即可求得答案.【解答過程】由題意隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N3,4，即正態(tài)分布曲線關(guān)于x=3對稱因?yàn)镻X>a-2故a-2+(6-3a)2故選：B.5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)X~Nμ1,σ1A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥C．對任意正數(shù)t，P(X≤t)≥P(Y≤t) D．對任意正數(shù)t，P(X≥t)≥P(Y≥t)【解題思路】由正態(tài)密度曲線的性質(zhì)結(jié)合圖像可得μ1<μ2，0<【解答過程】A選項(xiàng)：X~Nμ1,σ12、因此結(jié)合所給圖像可得μ1<μ2，所以B選項(xiàng)：又X～N(μ1,σ12)所以0<σ1<σ2CD選項(xiàng)：由密度曲線與橫軸所圍成的圖形的面積的意義可知：對任意正數(shù)t，P(X≤t)≥P(Y≤t)．P(X≥t)≤P(Y≥t),故C正確，D錯誤．故選：C．6．（2023下·廣西南寧·高二賓陽中學(xué)校聯(lián)考期末）某田地生長的小麥的株高X服從正態(tài)分布N100,16，則P96≤X≤108≈（附：若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布Nμ,σ2，則Pμ-σ≤Z≤μ+σ≈0.6827A．0.6827 B．0.8186 C．0.9545 D．0.9759【解題思路】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性及所提供數(shù)據(jù)運(yùn)算即可.【解答過程】由題知，μ=100,σ=4，所以P(96≤X≤108)=P(μ-σ≤X≤μ+2σ)==1故選：B.7．（2023下·上海崇明·高二統(tǒng)考期末）某校高中三年級1600名學(xué)生參加了區(qū)第二次高考模擬統(tǒng)一考試，已知數(shù)學(xué)考試成績X服從正態(tài)分布N100,σ2（試卷滿分為150分），統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示，數(shù)學(xué)考試成績在80分到120分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的34，則此次統(tǒng)考中成績不低于A．200 B．150 C．250 D．100【解題思路】根據(jù)題意，由正態(tài)分布的性質(zhì)可得PX≥120，即可得到結(jié)果【解答過程】因?yàn)閿?shù)學(xué)考試成績服從正態(tài)分布X～N100,σ2所以PX≥120則此次統(tǒng)考中成績不低于120分的學(xué)生人數(shù)約為18故選：A.8．（2023·全國·模擬預(yù)測）在日常生活中，許多現(xiàn)象都服從正態(tài)分布.若X～Nμ,σ2，記p1=Pμ-σ<X<μ+σ，p2=Pμ-2σ<X<μ+2σ，p3=PA．1-p12 B．1-p22【解題思路】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性即可得所求.【解答過程】由題意知，X～N30,25，則μ=30，σ=5，∴μ-2σ=20，μ+2σ=40結(jié)合正態(tài)曲線的對稱性可得PX>40故選：C.9．（2023下·陜西渭南·高二校考期末）為了檢測自動流水線生產(chǎn)的食鹽質(zhì)量，檢驗(yàn)員每天從生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取.k(k∈N*)包食鹽，并測量其質(zhì)量（單位：g）.由于存在各種不可控制的因素，任意抽取的一袋食鹽的質(zhì)量與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量之間存在一定的誤差，已知這條生產(chǎn)線在正常狀態(tài)下，每包食鹽的質(zhì)量服從正態(tài)分布N(μ,σ2).假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示每天抽取的k包食鹽中質(zhì)量在(μ-3σ,μ+3σ)之外的包數(shù)，若X的數(shù)學(xué)期望附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)A．12 B．13 C．14 D．16【解題思路】由題意得到X～Bk,0.0027，從而根據(jù)EX【解答過程】因?yàn)镻(μ-3σ<X<μ+3σ)≈0.9973，所以1-0.9973≈0.0027，故X～Bk,0.0027，所以EX=0.0027k>0.03因?yàn)閗∈N*，故k故選：A.10．（2023下·上?！じ叨ｎ}練習(xí)）老張每天17:00下班回家，通常步行5分鐘后乘坐公交車再步行到家，公交車有A，B兩條線路可以選擇.乘坐線路A所需時間（單位：分鐘）服從正態(tài)分布N44,4，下車后步行到家要5分鐘；乘坐線路B所需時間（單位：分鐘）服從正態(tài)分布N33,16，下車后步行到家要12分鐘.下列說法從統(tǒng)計(jì)角度認(rèn)為不合理的是（（參考數(shù)據(jù)：Z～Nμ,σ2，則Pμ-σ<Z,μ+σ≈0.6827A．若乘坐線路B，18:00前一定能到家B．乘坐線路A和乘坐線路B在17:58前到家的可能性一樣C．乘坐線路B比乘坐線路A在17:54前到家的可能性更大D．若乘坐線路A，則在17:48前到家的可能性不超過1【解題思路】利用正態(tài)分布曲線的對稱性及正態(tài)分布的概率，對四個選項(xiàng)逐個分析判斷即可.【解答過程】對于A，因?yàn)镻(B>45)=1即乘坐線路18:02能到家的概率為0.00135，所以乘坐線路B，18:00前不一定能到家，所以A錯誤，對于B，乘坐線路A在17:58前到家的概率為P(A<48)=1乘坐線路B在17:58前到家的概率為P(B<41)=1所以乘坐線路A和乘坐線路B在17:58前到家的可能性一樣，所以B正確，對于C，乘坐線路A在17:54前到家的概率為P(A<44)=1乘坐線路B在17:54前到家的概率為P(B<37)=1所以乘坐線路B比乘坐線路A在17:54前到家的可能性更大，對于D，乘坐線路A，則在17:48前到家的概率為P(A<38)=12[1-P(38≤Z≤50)]≈故選：A.11．（2023上·高二課時練習(xí)）已知某公司人均月收入X服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)圖像如圖所示．(1)寫出此公司人均月收入的密度函數(shù)的表達(dá)式；(2)求此公司人均月收入在8000～8500元之間的人數(shù)所占的百分比．【解題思路】（1）結(jié)合密度曲線可得μ=8000，（2）由Pμ-σ≤X≤μ+σ≈0.6827，求此公司人均月收入在【解答過程】（1）設(shè)公司人均月收入為X～結(jié)合題圖可知，μ=8000，此公司人均月收入的正態(tài)分布密度函數(shù)表達(dá)式為:φμ,σ(x)=1（2）X～N8000,所以P(8000<X≤8500)=1故公司人均月收入在8000～8500元之間的人數(shù)所占的百分比為34.14%.12．（2023下·高二課時練習(xí)）已知隨機(jī)變量X～Nμ,σ2，且其正態(tài)密度曲線在-∞(1)求參數(shù)μ,σ的值；(2)求P64<X≤72【解題思路】（1）根據(jù)正態(tài)分布曲線單調(diào)性可得μ，由特殊區(qū)間概率值可求得σ；（2）根據(jù)3σ原則和正態(tài)分布曲線的對稱性直接求解即可.【解答過程】（1）∵正態(tài)密度曲線在-∞,80上單調(diào)遞增，在80,+∞又P72<X<88≈0.683，∴μ-σ=72（2）P64<X≤72=Pμ-2σ<X≤μ-σ13．（2023·全國·高二課堂例題）假設(shè)某個地區(qū)高二學(xué)生的身高服從正態(tài)分布，且