第02講 一元二次函數(shù)、方程和不等式（七大題型）（原卷版）

第02講一元二次函數(shù)、方程和不等式【題型歸納目錄】【知識點梳理】知識點一、符號法則與比較大小實數(shù)的符號：任意，則（為正數(shù)）、或（為負(fù)數(shù)）三種情況有且只有一種成立．兩實數(shù)的加、乘運(yùn)算結(jié)果的符號具有以下符號性質(zhì)：①兩個同號實數(shù)相加，和的符號不變符號語言：；②兩個同號實數(shù)相乘，積是正數(shù)符號語言：； ③兩個異號實數(shù)相乘，積是負(fù)數(shù)符號語言：④任何實數(shù)的平方為非負(fù)數(shù)，0的平方為0符號語言：，．比較兩個實數(shù)大小的法則：對任意兩個實數(shù)、①；②；③．對于任意實數(shù)、，，，三種關(guān)系有且只有一種成立．知識點二、不等式的性質(zhì)不等式的性質(zhì)可分為基本性質(zhì)和運(yùn)算性質(zhì)兩部分基本性質(zhì)有：（1）對稱性：（2）傳遞性：（3）可加性：（c∈R）（4）可乘性：a>b，運(yùn)算性質(zhì)有：（1）可加法則：（2）可乘法則：（3）可乘方性：知識點詮釋：不等式的性質(zhì)是不等式同解變形的依據(jù)．知識點三、比較兩代數(shù)式大小的方法作差法：任意兩個代數(shù)式、，可以作差后比較與0的關(guān)系，進(jìn)一步比較與的大?。?；②；③．作商法：任意兩個值為正的代數(shù)式、，可以作商后比較與1的關(guān)系，進(jìn)一步比較與的大?。?；②；③．中間量法：若且，則（實質(zhì)是不等式的傳遞性）．一般選擇0或1為中間量．知識點四、基本不等式1、對公式及的理解．（1）成立的條件是不同的：前者只要求都是實數(shù)，而后者要求都是正數(shù)；（2）取等號“=”的條件在形式上是相同的，都是“當(dāng)且僅當(dāng)時取等號”．2、由公式和可以引申出常用的常用結(jié)論①（同號）；②（異號）；③或知識點詮釋：可以變形為：，可以變形為：．知識點五、用基本不等式求最大（?。┲翟谟没静坏仁角蠛瘮?shù)的最值時，應(yīng)具備三個條件：一正二定三取等．①一正：函數(shù)的解析式中，各項均為正數(shù)；②二定：函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項的和或積必須有一個為定值；③三取等：函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項均相等，取得最值．知識點詮釋：1、兩個不等式：與成立的條件是不同的，前者要求a，b都是實數(shù)，后者要求a，b都是正數(shù)．2、兩個不等式：與都是帶有等號的不等式，對于“當(dāng)且僅當(dāng)……時，取“=”號這句話的含義要有正確的理解．3、基本不等式的功能在于“和積互化”．若所證不等式可整理成一邊是和，另一邊是積的形式，則考慮使用平均不等式；若對于所給的“和式”中的各項的“積”為定值，則“和”有最小值，對于給出的“積式”中的各項的“和”為定值，則“積”有最大值．4、利用兩個數(shù)的基本不等式求函數(shù)的最值必須具備三個條件：①各項都是正數(shù)；②和（或積）為定值；③各項能取得相等的值．5、基本不等式在解決實際問題中有廣泛的應(yīng)用，在應(yīng)用時一般按以下步驟進(jìn)行：①先理解題意，設(shè)變量，設(shè)變量時一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)；②建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題；③在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大或最小值；④寫出正確答案．知識點六、二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對應(yīng)關(guān)系對于一元二次方程的兩根為且，設(shè)，它的解按照，，可分三種情況，相應(yīng)地，二次函數(shù)的圖像與軸的位置關(guān)系也分為三種情況．因此我們分三種情況來討論一元二次不等式或的解集．二次函數(shù)（）的圖象有兩相異實根有兩相等實根無實根知識點七、一元二次不等式恒成立問題（1）轉(zhuǎn)化為一元二次不等式解集為的情況，即恒成立恒成立（2）分離參數(shù)，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為求最值問題．【典型例題】題型一：等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)例1．（2024·全國·高一專題練習(xí)）已知，下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則例2．（2024·全國·高一專題練習(xí)）下列不等式中成立的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則例3．（2024·廣東廣州·高一廣州市白云中學(xué)校考階段練習(xí)）下列命題為真命題的是（

）A．若，則 B．若，，則C．若，則 D．若，則變式1．（2024·浙江杭州·高一校考）下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，，則C．若，，則D．若，，則題型二：利用基本不等式求最值例4．（2024·浙江杭州·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）若正數(shù)滿足.(1)求的最大值；(2)求的最小值.例5．（2024·新疆阿克蘇·高一?？计谀┰O(shè)，且(1)若，求的最大值；(2)若，求的最小值例6．（2024·江蘇南京·高一江蘇省高淳高級中學(xué)校聯(lián)考）已知.(1)求的最小值(2)求的最小值.變式2．（2024·浙江·高一校聯(lián)考）已知實數(shù)，均為正實數(shù)．(1)若，求的最小值；(2)若，求的最小值．變式3．（2024·山西大同·高一山西省陽高縣第一中學(xué)校?？计谀┮阎?(1)當(dāng)時，求的最小值；(2)當(dāng)時，求的最小值.變式4．（2024·江蘇淮安·高一淮陰中學(xué)校考）若實數(shù)，且滿足．(1)求的最大值；(2)求x+y的最小值．題型三：二次函數(shù)與一元二次方程、不等式例7．（多選題）（2024·全國·高一期末）若不等式的解集是，則下列結(jié)論正確的是（

）A．且B．C．關(guān)于的不等式的解集是D．關(guān)于的不等式的解集是例8．（多選題）（2024·廣東佛山·高一佛山一中?？茧A段練習(xí)）已知不等式的解集為或，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．的解集為例9．（多選題）（2024·湖北孝感·高一湖北省孝感市第一高級中學(xué)校聯(lián)考）已知不等式的解集為或，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．D．的解集為變式5．（多選題）（2024·陜西西安·高一統(tǒng)考）已知關(guān)于的不等式的解集為或，則以下選項正確的有（）A．B．不等式的解集為C．D．不等式的解集為或題型四：恒成立與有解問題例10．（2024·全國·高一期末）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求的解集；(2)是否存在實數(shù)，使得不等式對滿足的所有恒成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.例11．（2024·江蘇宿遷·高一?？迹┮阎瘮?shù)，，(1)若關(guān)于的不等式的解集為，求實數(shù)和實數(shù)的值；(2)若對，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.例12．（2024·陜西西安·高一西安市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（1）若正數(shù)，滿足，求的最小值．（2）已知，，且，若恒成立，求實數(shù)的取值范圍．變式6．（2024·安徽亳州·高一?？计谀?）已知，求的最大值；（2）若恒成立，求的取值范圍．變式7．（2024·西藏林芝·高一?？迹?）二次不等式的解集為，求的取值范圍（2）設(shè)函數(shù)；若對于一切實數(shù)恒成立，求的取值范圍變式8．（2024·福建·高一福建省羅源第一中學(xué)校聯(lián)考）已知函數(shù)(1)若的解集是或，求實數(shù)的值；(2)當(dāng)時，若時函數(shù)有解，求的取值范圍．題型五：二次函數(shù)根的分布問題例13．（2024·江蘇連云港·高一江蘇省新海高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知方程的一個實根小于2，另一個實根大于2，求實數(shù)的取值范圍.例14．（2024·北京·高一大峪中學(xué)?？迹┮阎匠逃袃蓚€不相等的正根，則實數(shù)的取值范圍是.例15．（2024·湖南·高一校聯(lián)考）已知關(guān)于的方程的兩根分別在區(qū)間，內(nèi)，則實數(shù)的取值范圍為．變式9．（2024·江蘇南通·高一江蘇省南通中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知一元二次方程的一根在中，另一根在中，則的取值范圍為.題型六：不等式在實際問題中的應(yīng)用例16．（2024·全國·高一專題練習(xí)）某汽車公司因發(fā)展需要，需購進(jìn)一批汽車，計劃使用不超過1000萬元的資金購買單價分別為40萬元、90萬元的型汽車和型汽車，根據(jù)需要，型汽車至少買5輛，型汽車至少買6輛，寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式（組）.例17．（2024·云南·高一云南師大附中?？计谀┘?、乙兩地相距1000km，貨車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過100（km/h），若貨車每小時的運(yùn)輸成本（以元為單位）由可變成本和固定成本組成，可變成本是速度的平方的倍，固定成本為元.(1)將全程運(yùn)輸成本（元）表示為速度的函數(shù)，并指出這個函數(shù)的定義域；(2)為了使全程運(yùn)輸成本最小，貨車應(yīng)以多大的速度行駛?例18．（2024·廣東深圳·高一校考期末）某公司為了提高生產(chǎn)效率，決定投入160萬元買一套生產(chǎn)設(shè)備，預(yù)計使用該設(shè)備后，前年的支出成本為萬元，每年的銷售收入98萬元.使用若干年后對該設(shè)備處理的方案有兩種，方案一：當(dāng)總盈利額達(dá)到最大值時，該設(shè)備以20萬元的價格處理；方案二：當(dāng)年平均盈利額達(dá)到最大值時，該設(shè)備以30萬元的價格處理.哪種方案較為合理？并說明理由.（注：年平均盈利額）變式10．（2024·上海浦東新·高一華師大二附中?？茧A段練習(xí)）如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，軸在地平面上，軸垂直于地平面，單位長度為1千米，某炮位于坐標(biāo)原點，已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程表示的曲線上，其中與發(fā)射方向有關(guān)，炮的射程是指炮彈落地點的橫坐標(biāo).

(1)求炮的最大射程；(2)設(shè)在第一象限有一飛行物（忽略其大?。?，其飛行高度為3.2千米，若炮彈可以擊中它，求的取值范圍.變式11．（2024·甘肅臨夏·高一?？计谀┠硢挝唤ㄔ煲婚g地面面積為12平方米的背面靠墻的矩形小房