河南省焦作市縣級重點中學(xué)2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題

2021—2022學(xué)年上學(xué)期期中考試試題高二理科數(shù)學(xué)試卷考生注意：1.本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚.3.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.每小題只有一項符合題目要求）1.下列命題中，正確的是（）A.經(jīng)過不同的三點有且只有一個平面B.分別在兩個平面的兩條直線一定是異面直線C.垂直于同一個平面的兩條直線是平行直線D.垂直于同一個平面的兩個平面平行【答案】C【解析】【分析】根據(jù)不在一條直線上的三點確定一個平面，來判斷A是否正確；根據(jù)分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線的位置關(guān)系不確定，來判斷B是否正確；根據(jù)垂直于同一平面的兩直線平行，來判斷C是否正確；根據(jù)垂直于同一條直線的兩條直線的位置關(guān)系是平行、相交或異面，來判斷D是否正確．【詳解】解：對A，當(dāng)三點在一條直線上時，平面不唯一，∴A錯誤；對B，分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線的位置關(guān)系不確定，∴B錯誤；對C，根據(jù)垂直于同一平面的兩直線平行，∴C正確；對D，垂直于同一平面的兩平面的位置關(guān)系是平行、相交，∴D錯誤．故選C．【點睛】本題考查了空間直線與直線的位置關(guān)系及線面垂直的判定與性質(zhì)，考查了學(xué)生的空間想象能力.2.正方體中，異面直線與所成角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先連接，，根據(jù)得到或其補(bǔ)角為異面直線與所成的角，再計算其大小即可.【詳解】連接，，如圖所示：因為，所以或其補(bǔ)角為異面直線與所成的角，在中，，所以.故選：B【點睛】本題主要考查幾何法求異面直線所成角，屬于簡單題.3.若直線：與直線：互相垂直，則的值為（）A. B. C.或 D.1或【答案】D【解析】【分析】根據(jù)兩直線垂直的充要條件得到方程，解得即可.【詳解】解：因為直線：與直線：互相垂直，所以，解得或.故選：D4.若圓錐的軸截面是等邊三角形，則它的側(cè)面展開圖扇形的圓心角為A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】試題分析：由題圓錐的軸截面是等邊三角形，可設(shè)邊長為，則底面圓的半徑為，圓錐的母線長為，即圓錐的側(cè)面展開圖扇形的半徑為，設(shè)側(cè)面展開圖扇形的圓心角為，則．考點：弧度制下的扇形的圓心角算法.5.正六棱錐底邊長為1，側(cè)棱與底面所成的角為45°，則它的斜高等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】如圖所示的正六棱錐中，可得即為側(cè)棱與底面所成角，由此可求出側(cè)棱長，進(jìn)而求出斜高.【詳解】如圖，正六棱錐底面中心為，是BC中點，可知即為斜高，因為底面是正六邊形，，可知底面，即為側(cè)棱與底面所成角，，,.故選：A.【點睛】本題考查根據(jù)線面角計算相關(guān)長度，屬于基礎(chǔ)題.6.直線不經(jīng)過第二象限，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】將直線方程轉(zhuǎn)化為斜截式方程，再根據(jù)直線不經(jīng)過第二象限，由求解.【詳解】直線方程可化為：，因為直線不經(jīng)過第二象限，所以，解得，所以的取值范圍為故選：B【點睛】本題主要考查直線的方程及其應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.7.圓上的點到直線的最大距離與最小距離的差是（）A.36 B.18 C. D.【答案】D【解析】【分析】求出圓的圓心坐標(biāo)及半徑，判斷直線與圓的位置關(guān)系即可求解.【詳解】解：因為圓，即，所以圓心坐標(biāo)為，半徑，因為圓心到直線的距離，所以直線與圓相離，所以圓上的點到直線的最大距離與最小距離的差為，故選：D.8.在中，角，，對邊分別為，，，若，則為A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形【答案】D【解析】【詳解】余弦定理得代入原式得解得則形狀為等腰或直角三角形,選D.點睛：判斷三角形形狀的方法①化邊：通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀．②化角：通過三角恒等變形，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷三角形的形狀，此時要注意應(yīng)用這個結(jié)論．9.已知空間中不同直線、和不同平面、，下面四個結(jié)論：①若、互為異面直線，，，，，則；②若，，，則；③若，，則；④若，，，則.其中正確的是（）A.①② B.②③ C.③④ D.①③【答案】D【解析】【分析】由線面和面面平行和垂直的判定定理和性質(zhì)定理即可得解．【詳解】解：對于①，由面面平行的判定定理可得，若、互為異面直線，，，則或相交，又因為，，則，故①正確；對于②，若，，，則或，相交，故②錯誤，對于③，若，，則；故③正確，對于④，若，，，則或，故④錯誤，綜上可得：正確的是①③，故選：．【點睛】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，屬于中檔題．10.唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.”詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營所在區(qū)域為，若將軍從點處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，并假定將軍只要到達(dá)軍營所在區(qū)域即回到軍營，則“將軍飲馬”的最短總路程為A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出點A關(guān)于直線的對稱點，點到圓心的距離減去半徑即為最短.【詳解】解：設(shè)點A關(guān)于直線的對稱點，的中點為，故解得，要使從點A到軍營總路程最短，即為點到軍營最短的距離，“將軍飲馬”的最短總路程為，故選A.【點睛】本題考查了數(shù)學(xué)文化問題、點關(guān)于直線的對稱問題、點與圓的位置關(guān)系等等，解決問題的關(guān)鍵是將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立出數(shù)學(xué)模型，從而解決問題.11.已知正方體的棱長為1，是棱的中點，點在正方體內(nèi)部或正方體的表面上，且平面，則動點的軌跡所形成的區(qū)域面積是（

）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分別取棱、、、、的中點、、、、，證明平面平面，從而動點的軌跡所形成的區(qū)域是平面，再求面積得解.【詳解】如圖，分別取棱、、、、的中點、、、、，則，，，平面平面，點在正方體內(nèi)部或正方體的表面上，若平面，動點的軌跡所形成的區(qū)域是平面，正方體的棱長為1，，，到的距離，動點的軌跡所形成的區(qū)域面積：．故選．【點睛】本題考查動點的軌跡所形成的區(qū)域面積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、空間想象能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．12.如圖，矩形中，，E為邊的中點，將沿直線翻轉(zhuǎn)成（平面）.若M、O分別為線段、的中點，則在翻轉(zhuǎn)過程中，下列說法錯誤的是（）A.與平面垂直的直線必與直線垂直；B.異面直線與所成角是定值；C.一定存在某個位置，使；D.三棱錐外接球半徑與棱的長之比為定值；【答案】C【解析】【分析】對A，由面面平行可知正確；對B，取的中點為，作出異面直線所成的角，并證明為定值；對C，利用反證法證明，與已知矛盾；對D，確定為三棱錐的外接球球心，即可得證.【詳解】取中點，連接.為的中點，.又為的中點，且，∴四邊形為平行四邊形，，∴平面平面平面，∴與平面垂直的直線必與直線垂直，故A正確.取的中點為，連接，則且，∴四邊形是平行四邊形，，為異面直線與所成的角.設(shè)，則，，，故異面直線與所成的角為定值，故B正確.連接.為等腰直角三角形且為斜邊中點，.若，則平面，又，.又平面，，與已知矛盾，故C錯誤.，為三棱錐外接球球心，又為定值，故D正確.故選：C【點睛】本題考查空間幾何體的翻折問題、異面直線所成角、外接球等問題，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查空間想象能力、運算求解能力，求解時注意翻折前后的不變量.二、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.若圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為，半徑為4的扇形，則這個圓錐的表面積是_____________【答案】【解析】【詳解】因為圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為，半徑設(shè)為，則為4的扇形，則扇形面積為，設(shè)圓錐的底面半徑為，則底面積則這個圓錐的表面積是底面積加上側(cè)面積，和為，故答案為：14.已知圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，則的值為________.【答案】【解析】【分析】首先將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可求出圓心坐標(biāo)與半徑，再寫出拋物線的準(zhǔn)線方程，根據(jù)直線與圓的關(guān)系得到方程，解得即可.【詳解】解：圓，即，所以圓心為，半徑，拋物線的準(zhǔn)線為，由題意可知，解得或（舍去）.故答案為：15.已知為雙曲線的上焦點，為的上頂點，為上的點，且平行于軸.若的斜率為，則的離心率為___________.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)題意，求得點的坐標(biāo)，利用斜率公式求得的斜率，從而求得的等量關(guān)系，即可求得離心率.【詳解】對雙曲線：，其上頂點，令，則，解得（舍）或，故可得，因為的斜率為，故可得，整理得，即，解得（舍）或，即雙曲線的離心率為.故答案為：.16.棱長為的正方體中，是棱的中點，過、、作正方體的截面，則截面的面積是_________．【答案】【解析】【分析】連接，設(shè)截面交棱于點，連接、，利用面面平行的性質(zhì)分析可知點為的中點，且四邊形為等腰梯形，計算出該四邊形的各邊長及高，利用梯形的面積公式可求得截面的面積.【詳解】連接，設(shè)截面交棱于點，連接、，在正方體中，且，則四邊形為平行四邊形，所以，，因為平面平面，平面平面，平面平面，所以，，則，為的中點，則為的中點，由勾股定理可得，，，所以，四邊形為等腰梯形，過點、分別在平面內(nèi)作、，垂足分別為點、，由等腰梯形的性質(zhì)可得，，又因為，所以，，所以，，因為，，，則四邊形為矩形，所以，，所以，，則，因此，截面面積為.故答案為：.【點睛】方法點睛：作截面的常用三種方法：（1）直接法：截面的定點在幾何體的棱上；（2）平行線法；截面與幾何體的兩個平行平面相交，或者截面上有一條直線與幾何體的某個面平行；（3）延長交線得交點：截面上的點中至少有兩個點在幾何體的同一平面上.三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且a1＋a5＝12，a4＋a8＝0.（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）若等比數(shù)列{bn}滿足b1＝8，b2＝a1＋a2＋a3，求數(shù)列{bn}的通項公式．【答案】（1）an＝2n12；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)得到，然后根據(jù)等差數(shù)列的通項公式求出和的值即可.（2）根據(jù)（1）的條件求出b2＝24，b1＝8，然后根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求出的值即可.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，因為a1＋a5＝2a3＝12，a4＋a8＝2a6＝0，所以，所以，解得，所以an＝10＋2(n1)＝2n12.【小問2詳解】設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q，因為b2＝a1＋a2＋a3＝24，b1＝8，所以－8q＝－24，即q＝3，因此.18.中，內(nèi)角、、所對的邊為、、，.（1）求角的大小；（2）若、、成等差數(shù)列，且，求邊長的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理可求得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；（2）由三角形的面積公式可求得的值，由已知可得，利用余弦定理可得出關(guān)于的等式，即可求得邊的長.【小問1詳解】解：因為，由正弦定理可得，，則，可得，，，因此，.【小問2詳解】解：，可得，因為、、成等差數(shù)列，則，由余弦定理可得，解得.19.已知{an}是公差不為零的等差數(shù)列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比數(shù)列.（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項;（Ⅱ）求數(shù)列的前n項和Sn.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【詳解】本試題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念以及等比數(shù)列的前n項和公式等基本知識．（Ⅰ）由題設(shè)知公差由成等比數(shù)列得解得（舍去），故的通項（Ⅱ）由（Ⅰ）知，由等比數(shù)列前n項和公式得點評：本試題題目條件給的比較清晰，直接．只要抓住概念就可以很好的解決．20.如圖，已知四邊形中，，，，且，求四邊形的面積．【答案】.【解析】【分析】在中由余弦定理可得，在中，由余弦定理可得，再利用四邊形的面積，結(jié)合三角形面積公式可得答案.【詳解】在中，由，，，可得．在中，由，，，可得又，故．所以四邊形的面積=【點睛】本題主要考查余弦定理解三角形，考查了三角形面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題.21.已知數(shù)列{an}的首項a1＝1，且an＋1＝(n∈N*).（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)bn＝－，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.【答案】（1）證明見解析.（2）2－.【解析】【分析】（1）根據(jù)遞推公式，得到，推出，即可證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）先由（1）求出，即bn＝，再錯位相減法，即可求出數(shù)列的和.【小問1詳解】（1）證明：因為an＋1＝，所以＝＝＋，所以－＝－＝，又a1－≠0，所以數(shù)列為以－＝為首項，為公比的等比數(shù)列.【小問2詳解】解：由（1）可得＝＋，所以bn＝，所以Sn＝＋＋＋…＋，①所以Sn＝＋＋…＋＋，②①－②得，Sn＝＋＋…＋－＝－，解得Sn＝2－.22.如圖，漁船甲位于