福建省漳州市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

漳州市2023-2024學(xué)年（上）期末高中教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)高二數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁(yè)，考試時(shí)間120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名．考生要認(rèn)真核對(duì)答題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號(hào)、姓名”與考生本人準(zhǔn)考證號(hào)、姓名是否一致．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束，考生必須將試題卷和答題卡一并交回．一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知為等比數(shù)列，，，則（）A.6 B.8 C.10 D.12【答案】B【解析】【分析】因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，是與的等比中項(xiàng)，列式求解即可.【詳解】因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，所以是與的等比中項(xiàng)，則.故選：B.2.已知圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則與圓C有相同的圓心，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意設(shè)出圓的方程，代入點(diǎn)運(yùn)算可得解.【詳解】根據(jù)題意設(shè)所求圓的方程為，代入點(diǎn)，得，所以所求圓的方程為．故選：B．3.某班聯(lián)歡會(huì)原定3個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開(kāi)演前又增加了2個(gè)節(jié)目，現(xiàn)將這2個(gè)新節(jié)目插人節(jié)目單中，要求新節(jié)目不相鄰，那么不同的插法種數(shù)為（）A.6 B.12 C.20 D.72【答案】B【解析】【分析】利用插空法結(jié)合排列組合計(jì)數(shù)方法求解.【詳解】這2個(gè)新節(jié)目插入節(jié)目單中且不相鄰，則在原定3個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單產(chǎn)生的4個(gè)空位中，選2個(gè)位置安排2個(gè)新節(jié)目，且兩個(gè)新節(jié)目順序可變，此時(shí)有種插法.故選：B4.已知直線過(guò)點(diǎn)，且直線的傾斜角為直線的傾斜角的2倍，則直線的方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，求得直線的傾斜角為，得到的斜率為，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程，即可求解.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，其中，由直線，可得斜率為，即，可得，根據(jù)題意，可得直線的傾斜角為，所以直線的斜率為，因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)點(diǎn)，可得直線的方程為，即.故選：D5.已知，為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，為虛軸的一個(gè)端點(diǎn)，，則的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知得，結(jié)合求出可得答案.【詳解】如圖，因?yàn)?，所以，可得，即，可得，則的漸近線方程為.故選：A.6.已知點(diǎn)A(-1，3)，B(3，1)，點(diǎn)C在坐標(biāo)軸上，∠ACB=90°，則滿足條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】若點(diǎn)C在x軸上，設(shè)C(x，0)，根據(jù)勾股定理求得x=0或x=2.若點(diǎn)C在y軸上，設(shè)C(0，y)，根據(jù)勾股定理求得y=0或y=4.由此得解.【詳解】若點(diǎn)C在x軸上，設(shè)C(x，0)，由∠ACB=90°，得|AB|2=|AC|2+|BC|2，即[3-(-1)]2+(1-3)2=(x+1)2+32+(x-3)2+12，解得x=0或x=2.若點(diǎn)C在y軸上，設(shè)C(0，y)，同理可求得y=0或y=4，綜上，滿足條件的點(diǎn)C有3個(gè).故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了分類討論思想，考查了兩點(diǎn)間的距離公式，考查了勾股定理，屬于基礎(chǔ)題.7.已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，且，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】B【解析】【分析】結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)及數(shù)列的單調(diào)性判斷各選項(xiàng)即可.【詳解】由已知數(shù)列各項(xiàng)均為正，因此乘積也為正，公比，若，則，由等比數(shù)列性質(zhì)知，所以，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；又，因?yàn)?，所以，所以，則，故先增后減，所以，故選項(xiàng)B正確；若，則，又，無(wú)法判斷與1的大小，即無(wú)法判斷與1的大小，故與大小沒(méi)法判斷，故選項(xiàng)CD錯(cuò)誤.故選：B8.已知橢圓的上頂點(diǎn)為，兩個(gè)焦點(diǎn)為，，過(guò)且垂直于的直線與交于，兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)是（）A.6 B. C. D.8【答案】D【解析】【分析】由題意，可得直線是線段的垂直平分線，進(jìn)而利用橢圓的定義可求的周長(zhǎng).【詳解】設(shè)直線與相交于，由題意，此時(shí)為等邊三角形，所以為線段的中點(diǎn)，進(jìn)而可得為線段的垂直平分線，所以.因此，的周長(zhǎng)等于.故的周長(zhǎng)為.故選：D二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求.9.已知直線，，則（）A.過(guò)定點(diǎn) B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)， D.當(dāng)時(shí)，的斜率不存在【答案】ABD【解析】【分析】令的系數(shù)等于零求出定點(diǎn)即可判斷A；當(dāng)時(shí)，求出兩直線方程，利用斜率關(guān)系即可判斷BD；當(dāng)時(shí)，求出兩直線方程，利用斜率關(guān)系即可判斷C.【詳解】對(duì)于A，直線的方程化為，令，解得，所以直線過(guò)定點(diǎn)，正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，，所以，正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，其斜率為2，其斜率為0，故兩直線相交，錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，直線的傾斜角為，故的斜率不存在，正確.故選：ABD.10.2023年海峽兩岸花博會(huì)的花卉展區(qū)設(shè)置在福建漳州，某花卉種植園有2種蘭花，2種三角梅共4種精品花卉，其中“綠水晶”是培育的蘭花新品種，4種精品花卉將去，展館參展，每種只能去一個(gè)展館，每個(gè)展館至少有1種花卉參展，下列選項(xiàng)正確的是（）A.若展館需要3種花卉，有4種安排方法B.共有14種安排方法C若“綠水晶”去展館，有8種安排方法D.若2種三角梅不能去往同一個(gè)展館，有4種安排方法【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)排列、組合知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，若展館需要3種花卉，則有種安排方法，正確.B選項(xiàng)，4種花卉按去，展館參展有種方法；按去，展館參展有種方法；因此不同的安排方法種數(shù)是，正確.C選項(xiàng)，若“綠水晶”去展館，若展館有種花卉，則安排方法數(shù)有種方法，若展館有種花卉，則安排方法數(shù)有種方法，若展館有種花卉，則安排方法數(shù)有種方法，所以共有種方法，錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，由選項(xiàng)B知，4種精品花卉將去，展館參展共有14種安排方法，若2種三角梅去往同一個(gè)展館，有種安排方法，則2種三角梅不能去往同一個(gè)展館，有種安排方法，錯(cuò)誤.故選：AB11.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)原點(diǎn)的動(dòng)直線交拋物線于另一點(diǎn)，交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則為線段中點(diǎn) B.若，則C.存在直線，使得 D.面積的最小值為8【答案】ABD【解析】【分析】A選項(xiàng)，設(shè)，由焦半徑公式求出，不妨設(shè)，進(jìn)而求出；B選項(xiàng)，求出，利用焦半徑公式求出；C選項(xiàng)，計(jì)算出，，求出，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，在C選項(xiàng)基礎(chǔ)上得到，由基本不等式求出面積最小值.【詳解】A選項(xiàng)，由題意得，準(zhǔn)線方程為，設(shè)直線方程為，，，由拋物線定義得，解得，故，不妨設(shè)，故直線方程為，則，，故，所以線段中點(diǎn)，A正確；B選項(xiàng)，設(shè)，則，又，解得，故，B正確；C選項(xiàng)，聯(lián)立與得，解得，故，則，中，令得，故，則，故不存在直線，使得，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，由C選項(xiàng)可知，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故面積最小值為8，D正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中最值或范圍問(wèn)題的常見(jiàn)解法：（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來(lái)解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值或范圍．12.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，則下列結(jié)論正確的是（）A.可能為1 B.數(shù)列是等比數(shù)列C. D.若，的最大值為64【答案】BC【解析】【分析】利用遞推公式求出范圍可判斷A；對(duì)遞推式變式結(jié)合等比數(shù)列定義可判斷B；由，結(jié)合等差數(shù)列求和公式利用分組求和可判斷C；計(jì)算出可判斷D.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，又，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，得，即，由選項(xiàng)A知，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，-1為公比的等比數(shù)列，故B正確；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，為奇數(shù)時(shí)，，為偶數(shù)時(shí)，，因?yàn)?，所以的最大值不可能?4，故D錯(cuò)誤；故選：BC三、填空題：本大題共4小題.13.圓在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】求出切點(diǎn)與圓心連線的斜率后可得切線方程.【詳解】由題意可知：圓的圓心為，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，故切線必垂直于切點(diǎn)與圓心連線，而切點(diǎn)與圓心連線的斜率為，故切線的斜率為，故切線方程為：，即.故答案為：14.已知，則______.【答案】【解析】【分析】賦值法求系數(shù)和即可.【詳解】令得，所以.故答案為：15.數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式________．【答案】【解析】【分析】累加法求數(shù)列通項(xiàng)公式.【詳解】，該通式對(duì)也適用，所以答案為：.16.已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，以為圓心、為半徑作圓，若圓上存在點(diǎn)，雙曲線的右支上存在點(diǎn)使得，則雙曲線的離心率的取值范圍為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】結(jié)合圖形，利用幾何關(guān)系，根據(jù)臨界值列式求解.【詳解】如圖，若圓上存在點(diǎn)，雙曲線的右支上存在點(diǎn)使得，當(dāng)與圓相切時(shí)，，此時(shí)，則，則，因?yàn)?，所以，解得：所以雙曲線離心率的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為直線與圓相切問(wèn)題，利用臨界情況，建立不等式求離心率.四、解答題：本大題共6小題，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17.已知的展開(kāi)式中，所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為32．（1）求的值；（2）若展開(kāi)式中的系數(shù)為，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為列式求解；（2）寫出通項(xiàng)，令指數(shù)等于即可求得答案.【小問(wèn)1詳解】∵所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為32，∴，∴．【小問(wèn)2詳解】二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，∴展開(kāi)式中的系數(shù)為，∴解得．18.已知等差數(shù)列的公差為2，且，，成等比數(shù)列．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由等比中項(xiàng)和公差列出方程求出首項(xiàng)即可；（2）裂項(xiàng)相消法求前n項(xiàng)和.【小問(wèn)1詳解】∵，，成等比數(shù)列，且公差∴∴，解得∴【小問(wèn)2詳解】∵記的前項(xiàng)和為∴.19.已知圓的圓心在軸上，且經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與圓相交于，兩點(diǎn).（1）求圓的方程；（2）當(dāng)時(shí)，求直線的方程.【答案】（1）（2）直線為或【解析】【分析】（1）根據(jù)圓心在軸上，設(shè)圓，將坐標(biāo)代入求解即可；（2）先根據(jù)弦長(zhǎng)求出圓心到直線的距離，然后分直線的斜率不存在和存在兩種情況討論，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，利用點(diǎn)到直線距離公式列方程求解即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)閳A的圓心在軸上，所以設(shè)圓的方程為，因?yàn)閳A經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，所以，解得，所以圓的方程為.【小問(wèn)2詳解】記圓心到直線距離為，因?yàn)?，解得，?dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，此時(shí)圓心到直線的距離，符合；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，，即，由，解得，所以直線，即.綜上，直線為或.20.已知圓，動(dòng)圓與圓內(nèi)切，且與定直線相切，設(shè)動(dòng)圓圓心的軌跡為．（1）求的方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與交于、兩點(diǎn)，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為，求直線的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用兩圓內(nèi)切所滿足的條件列出等式即可；（2）首先設(shè)直線的方程，和拋物線聯(lián)立，，用弦長(zhǎng)公式，則是點(diǎn)到直線的距離公式.【小問(wèn)1詳解】如圖：設(shè)動(dòng)點(diǎn)，顯然動(dòng)圓的半徑要大于圓的半徑，兩圓內(nèi)切，所以圓心距離，又因?yàn)閯?dòng)圓與直線相切，所以，所以，整理得，∴的方程為；【小問(wèn)2詳解】易知直線斜率不為0，故可設(shè)方程為，，，聯(lián)立得：，，，，則原點(diǎn)到直線的距離，所以解得，所以直線的方程為21.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）刪去數(shù)列的第項(xiàng)（其中），將剩余的項(xiàng)按從小到大的順序排成新數(shù)列，設(shè)的前項(xiàng)和為，請(qǐng)寫出的前6項(xiàng)，并求出和．【答案】21.22.前6項(xiàng)為2，，，，，；；【解析】【分析】（1）與的關(guān)系法求數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）由題寫出前6項(xiàng)，然后分成兩個(gè)子數(shù)列分別求和即可.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，有，解得；當(dāng)時(shí)，有，聯(lián)立條件，得，即，即；所以是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，因此，．【小問(wèn)2詳解】刪去數(shù)列的第項(xiàng)（其中），將剩余的項(xiàng)按從小到大排列依次為：，，，，，，…數(shù)列前6項(xiàng)為2，，，，．．注意到，，，…構(gòu)成以為首項(xiàng)，以8為公比的等比數(shù)列，，，，…構(gòu)成以為首項(xiàng)，以8為公比的等比數(shù)列，．22.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，的坐標(biāo)分別為，，動(dòng)點(diǎn)滿足直線與的斜率之積為定值，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為．（1）求的方程；（2）設(shè)直線與曲線相交于，兩點(diǎn)，直線，，的斜率分別為，，（其中），的面積為S，以，為直徑的圓的面積分別為，．若，，恰好構(gòu)成等比數(shù)列，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析