河南省大聯(lián)考2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期階段性測(cè)試(三)數(shù)學(xué)試題

天一大聯(lián)考2022—2023學(xué)年高二年級(jí)階段性測(cè)試（三）數(shù)學(xué)考生注意：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將考生號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上．在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.與向量共線(xiàn)的單位向量可以為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】計(jì)算出，從而得到與向量共線(xiàn)的單位向量.【詳解】因?yàn)?，所以與向量共線(xiàn)的單位向量可以是或.故選：D2.下列導(dǎo)數(shù)計(jì)算錯(cuò)誤的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】A選項(xiàng)，利用冪函數(shù)的求導(dǎo)法則計(jì)算即可；B選項(xiàng)，簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則計(jì)算即可；CD選項(xiàng)，利用求導(dǎo)乘法和除法法則計(jì)算即可.【詳解】A選項(xiàng)，，A正確；B選項(xiàng)，，B正確；C選項(xiàng)，，C正確；D選項(xiàng)，，D錯(cuò)誤.故選：D3.若數(shù)列是等差數(shù)列，且，則（）A.1 B.1 C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到，從而代入求值即可.【詳解】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以，故，解得，故.故選：A4.已知函數(shù)滿(mǎn)足（為的導(dǎo)函數(shù)），則（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】【分析】求導(dǎo)，代入求出，從而得到的解析式，求出答案.【詳解】，當(dāng)時(shí)，，解得，故，所以.故選：D5.若直線(xiàn)與圓相切，則（）A. B. C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】由直線(xiàn)和圓相切可知，圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑，即可求得結(jié)果.【詳解】由圓方程改寫(xiě)成可得圓心為，半徑，所以圓心到直線(xiàn)的距離，解得或.故選：C6.曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】依題意，設(shè)切線(xiàn)方程的斜率為，因?yàn)?，所以，，根?jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，，又，所以切線(xiàn)方程為，即.故選：A.7.函數(shù)，的最大值是（）A. B. C.0 D.1【答案】B【解析】【分析】求導(dǎo)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，再求出最值.【詳解】，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，取得極大值，也是最大值，故故選：B.8.定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在的圖象如圖所示，則函數(shù)在的極大值點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】由導(dǎo)數(shù)與極大值之間的關(guān)系求解．【詳解】函數(shù)在極大值點(diǎn)左增右減，即導(dǎo)數(shù)在極大值點(diǎn)左正右負(fù)，觀察導(dǎo)函數(shù)圖象，在上有兩個(gè)有兩個(gè)零點(diǎn)滿(mǎn)足．故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系．屬于基礎(chǔ)題．9.已知雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為、，離心率為，點(diǎn)在雙曲線(xiàn)的右支上，且，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用離心率公式可求得的值，利用雙曲線(xiàn)的定義以及勾股定理求出的值，再利用三角形的面積公式可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)殡p曲線(xiàn)的離心率為，所以，，因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線(xiàn)的右支上，由雙曲線(xiàn)的定義可得，因?yàn)?，由勾股定理可得，所以，，所以，，因此?故選：D.10.若函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)四個(gè)象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C D.【答案】C【解析】【分析】求導(dǎo)，分，與三種情況，結(jié)合函數(shù)極值及函數(shù)圖象的走勢(shì)，得到不等式，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，不經(jīng)過(guò)三四象限，不合題意，舍去，

當(dāng)時(shí)，由得，若，則當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故在處取得極大值，且極大值為，故經(jīng)過(guò)第二象限，在處取得極小值，且極小值為，函數(shù)一定過(guò)第三和第一象限，要想經(jīng)過(guò)第四象限，只需，解得，若，則當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故在處取得極小值，且極小值為，在處取得極大值，且極大值為，故經(jīng)過(guò)第一象限，函數(shù)一定過(guò)第二和第四象限，要想經(jīng)過(guò)第三象限，只需，解得，綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：C11.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)滿(mǎn)足：對(duì)任意的都有，若，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由構(gòu)造，得到其單調(diào)性，對(duì)不等式變形后得到，從而由單調(diào)性解不等式，求出答案.【詳解】設(shè)，則在R上恒成立，所以在R上單調(diào)遞增，可變形為，即，由的單調(diào)性可知，解得，實(shí)數(shù)k的取值范圍是.故選：A12.已知直線(xiàn)l：經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F，且與拋物線(xiàn)交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D在拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)上，若，且，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意求出拋物線(xiàn)方程，設(shè)，，聯(lián)立直線(xiàn)l方程，易知，利用韋達(dá)定理和兩點(diǎn)表示斜率公式、弦長(zhǎng)公式可得、，由列出方程，解之即可求解.【詳解】由題意知，，因直線(xiàn)l過(guò)，所以，解得，故拋物線(xiàn)的方程為，則準(zhǔn)線(xiàn)方程為，，消去x，得，，設(shè)，AB的中點(diǎn)，則，所以，代入直線(xiàn)l，得，得.設(shè)，由，得，若，則，得，又，，由，得，解得.若，直線(xiàn)l方程為，此時(shí)AB的中點(diǎn)為F，，不符合題意.綜上，.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.在等比數(shù)列中，，，則______．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式得，化簡(jiǎn)得關(guān)于的方程，解出的值，而，代入即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，首項(xiàng)為，顯然由題知，，，，化為,解得或（舍去），，故答案為：2.14.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】由題意得到在上恒成立，參變分離，只需，求出，從而得到答案.【詳解】，由題意得在上恒成立，因?yàn)椋栽谏虾愠闪?，即在上恒成立，只需，其中，所?故答案為：15.在棱長(zhǎng)為1的正方體中，E為棱的中點(diǎn)，則點(diǎn)D到平面的距離為_(kāi)_____．【答案】1【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用點(diǎn)到平面的空間向量公式求解答案.【詳解】如圖所示，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，故，點(diǎn)D到平面的距離為.故答案為：116.已知直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切，則的最小值是______．【答案】【解析】【分析】設(shè)出切點(diǎn)，得到方程組，得到，故，構(gòu)造，利用導(dǎo)函數(shù)求出最小值，得到答案.【詳解】直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切，設(shè)切點(diǎn)為，則，所以，因?yàn)?，所以，即，又，，故，將代入得，，解得，故，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故在處取得極小值，也時(shí)最小值，故，故的最小值為1.故答案為：1【點(diǎn)睛】當(dāng)已知切點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的幾何意義可得到切線(xiàn)的斜率，再利用求出切線(xiàn)方程；當(dāng)不知道切點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，要設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合切點(diǎn)既在函數(shù)圖象上，又在切線(xiàn)方程上，列出等式，進(jìn)行求解.三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．17.已知函數(shù)在處有極值36．（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；（2）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)遞增區(qū)間．【答案】（1）或（2），【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，利用及，列出方程組，求出，檢驗(yàn)后得到答案；（2）在（1）的基礎(chǔ)上，由導(dǎo)函數(shù)大于0，解不等式，求出單調(diào)遞增區(qū)間.【小問(wèn)1詳解】由題意知．∵，，∴或，經(jīng)檢驗(yàn)都符合題意．小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，由（1）得，∴，由，即，解得或，∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，．18.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）利用，可得答案；（2）由（1）結(jié)合裂項(xiàng)求和法可得答案.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，也滿(mǎn)足該式，所以．【小問(wèn)2詳解】由（1）知，所以．因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，即．19.如圖，在三棱柱中，，點(diǎn)D為棱AC的中點(diǎn)，且，側(cè)面為菱形，且．（1）求證：平面ABC；（2）若，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）通過(guò)證明，可得平面ABC；（2）由（1），以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DB，DC，所在直線(xiàn)為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz．后由向量法可得答案.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，點(diǎn)D為棱AC的中點(diǎn)，所以．又，，平面，平面，所以平面．又平面，所以．如圖，連接．因?yàn)閭?cè)面為菱形，且，所以為等邊三角形，所以．又，平面ABC，平面ABC．所以平面ABC．【小問(wèn)2詳解】由（1）的過(guò)程可知，可以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DB，DC，所在直線(xiàn)為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz．不妨設(shè)，由題可知，，，，．由，可得．設(shè)平面的法向量為，而，，則有取，得．設(shè)平面的法向量為，而，，則有，取，得．設(shè)平面與平面夾角為，則，即平面與平面夾角的余弦值為．20.已知，分別為橢圓C：的左、右焦點(diǎn)，離心率，點(diǎn)E在橢圓C上，的面積的最大值為．（1）求C的方程；（2）設(shè)C的上、下頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)M是C上異于A，B的任意一點(diǎn)，直線(xiàn)MA，MB分別與x軸交于P，Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：為定值．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意列式求解，即可得結(jié)果；（2）設(shè)，根據(jù)題意求P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可求，結(jié)合運(yùn)算整理即可得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】設(shè)C的半焦距為，由題意可得，解得，所以C的方程為．【小問(wèn)2詳解】由（1）可得，，設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)，所以直線(xiàn)AM的方程為，令，得，即同理可得，所以，∵在橢圓上，則，整理得，∴（為定值）.21.已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，證明：在上恒成立；（2）若有2個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）設(shè)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，根據(jù)指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的性質(zhì)知函數(shù)在上單調(diào)遞增且，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求出即可；（2）函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)與的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖形即可求解.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，設(shè)，由函數(shù)和在上單調(diào)遞增，知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，所以即在上恒成立；【小問(wèn)2詳解】由，得，令，則有2個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)與的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，令，得，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)趨向于正無(wú)窮時(shí)，趨向于正無(wú)窮的速率遠(yuǎn)遠(yuǎn)比大，故趨向于0，作出函數(shù)的大致圖象如下：結(jié)合圖象可知，當(dāng)時(shí)，與的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，故a的取值范圍是．22.已知函數(shù)，．（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，證明．【答案】（1）答案見(jiàn)